Questão resolvida - 1a Sabendo que o tanque da mistura apresenta formato cilíndrico com altura de 2 m e diâmetro de 3 metros Utilize uma integral tripla, e encontre o volume - Cálculo II - uniCesumar

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• Sabendo que o tanque da mistura apresenta formato cilíndrico com altura de e 2 m
diâmetro de metros. Utilize uma integral tripla, e encontre o volume.3
 
Resolução:
 
Em coordenadas cartesianas, o volume proposto para o tanque é mostrado 
esquematicamente na sequência;
 
O calculo do volume deve ser feito usando coordenadas cilíndricas, dessa forma, o volume é 
dado por;
 
V = 1dV∫∫∫
O diferencial do volume é dado por;
 
dV = RdRd𝜃dh
 
Como se trata de um cilíndro, o limites de integração para o raio deve ser ir de a (raio do 0
3
2
círculo da base), o deve variar de a e a altura vai variar de a , assim, o volume 𝜃 0 2𝜋 h 0 2
do cilíndro fica;
 
V = RdRdhd𝜃
0
∫
2𝜋 2
0
∫
0
∫
3
2
 
 
x
y
z
3
2
-
3
2 3
2
2
Resolvendo, temos;
V = ⋅ dhd𝜃 = ⋅ dhd𝜃 = dhd𝜃
0
∫
2𝜋 2
0
∫ 3
2
( )2
( )2
1
2 0
∫
2𝜋 2
0
∫ 9
4
1
2
2
0
∫
2
0
∫ 9
8
 
V = 𝜋 u. v.
9
2
 
 
V = RdRdhd𝜃 = dhd𝜃 = - dhd𝜃
0
∫
2𝜋
0
∫
2𝜋
0
∫
3
2
0
∫
2𝜋 2
0
∫ R
2
2
0
3
2
0
∫
2𝜋 2
0
∫
2
3
2
2
0
2
( )2
0
V = h d𝜃 = 2 - 0 d𝜃 = ⋅ 2d𝜃 = d𝜃 = 𝜃
0
∫
2𝜋9
8
2
0 0
∫
2𝜋9
8
( )
0
∫
2𝜋9
8 0
∫
2𝜋9
4
9
4
2𝜋
0
4
V = 2𝜋 - 0 = ⋅ 2𝜋
9
4
( )
9
42
(Resposta )