Simulado - CÁLCULO DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS

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CÁLCULO DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS
2a aula
 
 
Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região
do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2.
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Respondido em 18/03/2023 11:03:23
 
Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = , ou seja, eu onde u = x 2, no
intevalo 0 <= x <=1 e 0<= y <= x
e - 1
1/2
 
e
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Respondido em 18/03/2023 11:03:27
Explicação:
 passando os limites de integracao de y temos 
chame u = x2 e du = 2x dx
 aplicando os limites de integracao encontra-se
 
ex2𝑒𝑥2
(e−1)2
(𝑒− 1)
2
∫ 10∫ x0e
udydxondeu=x2 ∫0
1 ∫0
𝑥 𝑒𝑢𝑑𝑦𝑑𝑥𝑜𝑛𝑑𝑒𝑢 = 𝑥2
∫ 10ye
x2dx∫0
1 𝑦𝑒𝑥2𝑑𝑥 ∫ 10xe
x2dx
∫0
1 𝑥𝑒𝑥2𝑑𝑥
∫ 12 eudu= 12 ex2 ∫ 1
2
𝑒𝑢𝑑𝑢 = 1
2
𝑒𝑥2 = e−12
= 𝑒− 1
2
 Questão1
 Questão2
 Questão
3
Calcular o volume do sólido: dxdydz.
2.5
1.5
 1
2
3
Respondido em 18/03/2023 11:03:32
 
Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 -
y2 e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus
cálculos estão corretos.
 
 
 
2 
Respondido em 18/03/2023 11:03:37
Explicação:
 O domínio D interior a interseção de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0 entao temos 0 = 4 - x2 - y2 ou x2
+ y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla
também.
V = 
 
Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que:
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do
plano x+y+z = 2.
 1 u.v
9 u.v
5 u.v
∫
10
�
0
1
∫
1 − z0
�
0
1 - 𝑧
∫
20
�
0
2
7π3
7𝜋
3
8π8𝜋
2π3
2𝜋
3
3π5
3𝜋
5
π𝜋
∫ ∫ 4−x2−y2dxdy=∫ 2π0∫ 20(4−r
2)rdrdθ∫ ∫4 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫0
2𝜋
∫0
2
(4 − 𝑟2)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
( 4r22 − r44 )|20θ|2π0=8π(
4𝑟2
2
− 𝑟
4
4
) |0
2 𝜃 |0
2𝜋 = 8𝜋
∫ ∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫ bag(x)dx∫ dch(y)dy
∫ ∫[𝑎, 𝑏]𝑥[𝑐, 𝑑] 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑎
𝑏 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∫𝑐
𝑑 ℎ(𝑦)𝑑𝑦
 Questão4
 Questão5
10 u.v
4 u.v
Respondido em 18/03/2023 11:03:41
Explicação:
Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D =
[0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da
região D.
 Utilizando a definição dada
temos 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e
pela parábola y2 = 2x + 6.
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 36
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Respondido em 18/03/2023 11:03:46
 
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16,
os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
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∫ ∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫ bag(x)dx∫ dch(y)dy
∫ ∫[𝑎, 𝑏]𝑥[𝑐, 𝑑] 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑎
𝑏 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∫𝑐
𝑑 ℎ(𝑦)𝑑𝑦
∫ ∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫ bag(x)dx∫ dch(y)dy
∫ ∫[𝑎, 𝑏]𝑥[𝑐, 𝑑] 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑎
𝑏 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∫𝑐
𝑑 ℎ(𝑦)𝑑𝑦
∫ 10∫ 102−x−ydxdy∫0
1 ∫0
1 2 − 𝑥 − 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
∫ 102x−x
2/2−xydy=∫ 10(3/2)−ydy=1
∫0
1 2𝑥 − 𝑥2 / 2 − 𝑥𝑦𝑑𝑦 = ∫0
1 (3 / 2) − 𝑦𝑑𝑦 = 1
 Questão6
 Questão7
49
Respondido em 18/03/2023 11:03:51
 
Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos:
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz
-7/4
 27/4
4/27
7/4
-27/4
Respondido em 18/03/2023 11:03:53
 
 
 Questão8