ATIVIDADE 3 CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL

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Sabendo-se que a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um certo corpo de massa  de  a  é
em que  é o calor específico do corpo à temperatura  . Considerando a tabela abaixo, calcule a quantidade de calor necessária para se elevar 15 kg de água de 20 °C a 80 °C.
	 (°C)
	 ()
	0
	999,8
	10
	999,6
	20
	998,1
	30
	995,4
	40
	992,3
	50
	988,2
	60
	983,2
	70
	977,7
	80
	971,5
	90
	965,6
	100
	958,9
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 272.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta, com, temos que
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos da tabela dada na questão, podemos calcular o valor de.
 
	
	
	
	0
	20
	998,1
	1
	30
	995,4
	2
	40
	992,3
	3
	50
	988,2
	4
	60
	983,2
	5
	70
	977,7
	6
	80
	971,5
 
 Consequentemente, kcal
· 
888240 kcal
· 
655980 kcal
· 
567890 kcal
· 
745350 kcal
· 
987330 kcal
Para Barroso (1987) uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B. Para medir a área de um trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação a AB com um intervalo de 0,06 m. Usando os dados tabelados e a regra dos trapézios simples, calcule uma aproximação para a área da região compreendida entre as perpendiculares 6 e 7.
 
	Perpendiculares
	Comprimento (metros)
	1
	3,45
	2
	4,68
	3
	4,79
	4
	5,13
	5
	5,68
	6
	5,97
	7
	6,85
	8
	5,71
	9
	5,34
	10
	4,97
	11
	3,44
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 273.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios simples, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de metros quadrados.
 
	
	
	
	0
	0
	5,97
	1
	0,06
	6,85  
· 
0,45 metros quadrados
· 
0,25 metros quadrados
· 
0,62 metros quadrados
· 
0,56 metros quadrados
· 
0,38 metros quadrados
Franco  (2013) Uma aproximação para a velocidade em função do tempo de um paraquedista em queda livre na atmosfera é dada pela equação:
em que  é a aceleração da gravidade (9,8 ),  é a massa do paraquedista (75 kg),  é o coeficiente de arrasto (13,4 ) e  é o tempo (em ) a partir do início da queda. Suponha que o paraquedista salte de uma altura de 3500 metros. Sabe-se que o espaço percorrido por ele entre os instantes de tempo  e  é dado por:
,
A partir da regra dos trapézios composta, com 6 pontos distintos, desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule o espaço percorrido pelo paraquedista entre os instantes  e .
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 373.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos obtidos através da lei da função, podemos calcular o valor de metros .
 
	
	
	
	0
	2
	16,48049477
	1
	2,2
	17,82738402
	2
	2,4
	19,12699418
	3
	2,6
	20,38098486
	4
	2,8
	21,59095741
	5
	3
	22,75845698
· 18,54 metros
· 
21,45 metros
· 
20,22 metros
· 
19,71 metros
· 
22,79 metros
Franco (2013) A determinação da área da seção reta de rios e lagos é importante em projetos de prevenção de enchentes (para o cálculo de vazão da água) e nos projetos de reservatórios (para o cálculo do volume total de água). A menos que dispositivos tipo sonar sejam usados na obtenção do perfil do fundo de rios/lagos, o engenheiro deve trabalhar com valores da profundidade, obtidos em pontos discretos da superfície. Um exemplo típico da seção reta de um rio é mostrado na Figura abaixo:
 
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 371.
 
Use a fórmula dos trapézios composta sobre os respectivos pontos igualmente espaçados para calcular a área da região da seção reta do rio compreendida entre 10 e 20 metros de distância da margem esquerda desse rio.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos lidos na Figura, podemos calcular o valor de metros quadrados.
 
	
	
	
	0
	10
	6
	1
	12
	4
	2
	14
	3,6
	3
	16
	3,4
	4
	18
	2,8
	5
	20
	0
· 
31,4 metros quadrados
· 
29,8 metros quadrados
· 
33,6 metros quadrados RESPOTA CORETA
· 
34,9 metros quadrados
· 
30,5 metros quadrados
Décio Sperandio et al, 2014, p. 222, adaptado) A Figura representa a fotografia de um lago com as medidas em quilômetros. Calcule uma aproximação para a área localizada abaixo da reta horizontal, em quilômetros quadrados, por meio da regra dos trapézios composta utilizando todos os pontos possíveis nesta região.
 
Referência: Décio Sperandio; João Teixeira Mendes; Luiz Henry Monken e Silva. Cálculo numérico, 2ª edição. São Paulo: Editora Pearson, 2014.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 5 pontos distintos, encontramos a área solicitada. Para a parte inferior, temos:
 
Logo, arrumando e substituindo os pontos lidos na Figura, podemos calcular o valor de.
 
	
	
	
	0
	8
	4
	1
	16
	5
	2
	24
	9
	3
	32
	8
	4
	40
	7
· 280
· 
200
· 
300
· 
240
· RESPOTA CORETA
uponha que um motorista realizou a leitura da velocidade instantânea de um veículo  em alguns momentos específicos e registrou esses dados como na tabela abaixo:
 
	t (min)
	0
	5
	10
	15
	20
	25
	30
	35
	v (km/h)
	42
	47
	50
	55
	60
	62
	70
	80
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como o motorista esqueceu de anotar a quilometragem do veículo e deseja saber uma aproximação da distância percorrida, calcule essa aproximação a partir da regra dos trapézios composta sobre todos os pontos dados na tabela.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 8 pontos distintos, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de km.
 
	
	
	
	0
	0
	42
	1
	5
	47
	2
	10
	50
	3
	15
	55
	4
	20
	60
	5
	25
	62
	6
	30
	70
	7
	35
	80
· 
27,69 km
· 
40,22 km
· 
25,84 km
· 
22,45 km
· 
33,75 km
(Franco, 2013, adaptado) Sem utilizar a fórmula do erro de truncamento, aproxime pela regra dos trapézios composta, com 5 pontos distintos, o comprimento de arco da curva  de  a . Lembre-se que o comprimento de arco de uma curva genérica  do ponto  ao ponto é dada por
 
 Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 366. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 5 pontos distintos, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos determinados a partir da lei da função do integrando, podemos calcular o valor de.
 
	
	
	
	0
	0
	4,123105626
	1
	0,25
	1,802775638
	2
	0,5
	1,414213562
	3
	0,75
	3,640054945
	4
	1
	6,08276253
· 
2,89
· 
2,72
· 
2,99
· 
2,75
· 
2,88
Franco (2013) A seção reta de um veleiro está mostrada na Figura abaixo:
Fonte: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 376.
 
 A força que o vento exerce sobre o mastro (devido às velas) varia conforme a altura  (em metros) a partir do convés. Medidas experimentais constataram que a força resultante exercida sobre o mastro (em ) é dada pela equação:
,       
Usando a regra dos trapézios composta, com 11 pontos distintos, desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule essa força resultante.
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 pontos distintos, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de kN.
 
	
	
	
	0
	0
	0
	1
	1
	0,163746151
	2
	2
	0,223440015
	3
	3
	0,235204987
	4
	4
	0,224664482
	5
	5
	0,204377467
	6
	6
	0,180716527
	7
	7
	0,156925341
	8
	8
	0,1345976799
	9
	0,114437692
	10
	10
	0,096668059
· 
1,87 kN
· 
1,65 kN
· 
1,69 kN resposta correta 
· 
1,92 kN
· 
1,71 kN
Franco (2013) Uma aproximação para a velocidade em função do tempo de um paraquedista em queda livre na atmosfera é dada pela equação:
em que  é a aceleração da gravidade (9,8 ),  é a massa do paraquedista (68 kg),  é o coeficiente de arrasto (12,5 ) e  é o tempo (em ) a partir do início da queda. Suponha que o paraquedista salte de uma altura de 3000 metros. Sabe-se que o espaço percorrido por ele entre os instantes de tempo  e  é dado por:
,
A partir da regra dos trapézios composta, com 5 pontos distintos, desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule a altura em que se encontra o paraquedista no instante 
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 373.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 5 pontos distintos, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos obtidos através da lei da função, podemos calcular o valor de metros .
 
	
	
	
	0
	0
	0
	1
	0,5
	4,681559536
	2
	1
	8,952010884
	3
	1,5
	12,84745525
	4
	2
	16,40082363
Portanto, a altura em que se encontra o paraquedista é igual a
 metros.
· 
 metros
· 
 metros
· 
 metros
· 
 metros
· 
 metros
Barroso (1987) Usando a regra dos trapézios composta sobre os pontos necessários, calcule e marque a alternativa que representa o valor do trabalho  realizado por um gás sendo aquecido segundo a tabela abaixo, em que  é a pressão exercida pela gás e  é o seu respectivo  volume.
 
	 ()
	
	0,5
	110
	1,0
	100
	1,5
	90
	2,0
	82
	2,5
	74
	3,0
	63
	3,5
	54
	4,0
	38
	4,5
	32
	5,0
	22
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 274.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos
 
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor de J.
 
	
	
	
	0
	1,5
	90
	1
	2
	82
	2
	2,5
	74
	3
	3
	63
	4
	3,5
	54
	5
	4
	38  
· 
186 J
· 
168,5 J
· 
208,5 J
· 
191 J
· 
216,5 J