Álgebra Superior I: Anéis e Polinômios

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Gabarito da 2◦ Avaliação – ÁLGEBRA SUPERIOR I
1. Seja (A,⊕,⊗) um anel, mostre que para todo x ∈ A, x ⊗ 0 = 0, onde 0 é o elemento neutro
com relação a operação de soma, ⊕.
Solução: Observe que x ⊗ 0 = x ⊗ (0 ⊕ 0). Da propriedade distributiva segue que
x⊗ 0 = x⊗ 0⊕ x⊗ 0, como B é um anel segue que todo elemento possui um inverso aditivo
assim o elemento x⊗ 0 possui um inverso aditivo a qual denotaremos por z.
Somando z nos dois lados da igualdade acima, obtemos que
0 = (x⊗ 0)⊕ z = (x⊗ 0⊕ x⊗ 0)⊕ z = x⊗ 0⊕ (x⊗ 0⊕ z) = x⊗ 0.
Isto termina a prova.
2. Vamos definir duas operações no conjunto dos números reais, usando as operações usuais de
R, que o tornam um anel.
a⊕ b = a+ b+ 1
a� b = ab+ a+ b
(a) Qual é o elemento neutro de (R,⊕,�) com a respeito a operação ⊕ ?
Solução: Seja k o elemento neutro da adição então para todo x ∈ R,
x⊕ k = x⇒ x+ k+ 1 = x.
Disto segue que k = −1.
1
(b) (Z,⊕,�) possui unidade? Qual?
Solução: Seja t o elemento neutro da multiplicação então para todo x ∈ R,
x⊗ t = x⇔ x+ t+ x · t = x⇔ t+ x · t = 0⇔ t · (1+ x) = 0.
Como a igualdade acima vale para todo x segue que t = 0.
(c) Resolva a equação 2� (3⊕ x) = x� (x⊕ 5).
Solução: Observe que
2� (3⊕ x) = 2� (4+ x) = 8+ 2x+ 6+ x = 3x+ 14
e
x� (x⊕ 5) = x� (x+ 6) = x2 + 6x+ x+ x+ 6 = x2 + 8x+ 6
.
Daí, 2� (3⊕ x) = x� (x⊕ 5)⇔ 3x + 14 = x2 + 8x + 6⇔ x2 + 5x − 8 = 0. Resolvendo
esta equação do segundo grau obtemos que x = −
5
2
+
√
57
2
ou x = −
5
2
−
√
57
2
.
3. Considere o anel (A,⊕,⊗) e responda os itens abaixo:
(a) Defina subanel de A.
Solução 1: Um subconjunto S ⊂ A é um subanel se para quaisquer a,b ∈ S tem-se
que a⊕ b ∈ S e a⊗ b ∈ S e S é um anel.
Solução 2: Um subconjunto S ⊂ A é um subanel se para quaisquer a,b ∈ S tem-se
que a⊕ b ′ ∈ S e a⊗ b ∈ S onde b ′ é o imverso aditivo de b.
(b) Se S1 e S2 são subanéis de A, mostre que S1 ∩ S2 também é um subanel de A.
Solução: Dados a,b ∈ S1 ∩ S2, temos que a,b ∈ S1 e a,b ∈ S2. Como S1 e S2 são
subanéis de S segue que a ⊕ b ′ ∈ S1, a ⊕ b ′ ∈ S2, a ⊗ b ∈ S1 e a ⊗ b ∈ S2. Portanto,
a⊗ b ∈ S1 ∩ S2 e a⊗ b ∈ S1 ∩ S2 e isto prova que S1 ∩ S2 é um subanel de S.
(c) A união de subanéis também é um subanel ?(Justifique a sua resposta)
Solução: Não. Por exemplo, considere o anel dos números inteiros com as opera-
ções usuais e considere os subanéis 2Z e 3Z, note que 2 ∈ 2Z ∪ 3Z, 3 ∈ 2Z ∪ 3Z mas
2+ 3 = 5 /∈ 2Z ∪ 3Z
4. Encontre todas as soluções da equação x3 = x, no anel (Z6,+, ·).
2
Solução: Observe que
para x = 0, tem-se que 03 = 0
para x = 1, tem-se que 13 = 1
para x = 2, tem-se que 23 = 8 = 2
para x = 3, tem-se que 33 = 27 = 3
para x = 4, tem-se que 43 = 64 = 4
para x = 5, tem-se que 53 = 125 = 5
Portanto, as raízes são 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
5. Mostre que o polinômio f(x) = x3 + 2x+ 2 ∈ Z3[x] é irredutível em Z3.
Solução: Se este polinômio fosse redutível, o polinômio acima teria que ser o produto de um
polinômio de grau 1 por um polinômio de grau 2 uma vez que o polinômio acima possui grau
3. Portanto o polinômio acima deveria ter pelo menos uma raiz
Por outro lado, f(0) = 2, f(1) = 5 = 2, f(2) = 14 = 2, ou seja, f não tem raízes e podemos
concluir que f é irredutível.
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6. Responda os itens abaixo:
(a) Enuncie o critério de Eisenstein.
Solução: O critério de Eisenstein nos diz que dado um polinômio com coeficientes
inteiros se existe um número primo p tal que p divide todos os coeficientes do polinômio
exceto o coeficiente do termo de maior grau e tal que p2 não divide o termo independente
então o polinômio é irredutível sobre os racionais.
(b) Mostre que o polinômio f(x) = x6 + 15x5 + 10x3 + 25x2 + 15 é irredutível
sobre Q.
Solução: Agora considere o número primo 5, observe que 5|15, 5|25, 5|10, 5|15, 5 - 1 e
52 - 15 assim pelo critério de Eisenstein segue que o polinômio f(x) é irredutível sobre Q.
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