O Espaço Vetorial Rn Formas Quadráticas

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O Espaço Vetorial Rn: Formas 
Quadráticas
Apresentação
A ortogonalidade, propriedade definida pelo produto escalar, pode ser usada para decompor 
vetores e matriz. Esse conceito será usado para revisitar a diagonalização de matrizes (em 
particular, a diagonalização de matrizes simétricas) e estudar suas consequências.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário que se lembre 
de: fatoração LU, cálculo de determinantes, cálculo de autovalores e autovetores, subespaços 
definidos por autovalores de uma matriz, diagonalização de matrizes, bases, matriz mudança de 
base, bases ortogonais e ortonormais.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender a diagonalizar uma matriz simétrica por uma 
matriz dita ortogonal, como isso define, manipula e classifica as formas quadráticas do Rn e como 
calculamos a Decomposição de Cholesky para matrizes simétricas positivas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir formas quadráticas. •
Reconhecer uma matriz positiva definida. •
Resolver o algoritmo para a Decomposição de Cholesky.•
Infográfico
As formas quadráticas estão associadas a matrizes simétricas de forma que a diagonalização, por 
matrizes ortogonais dessas matrizes, nos revela uma mudança de coordenadas que reescreve a 
forma quadrática numa forma sem termos cruzados. Isso possibilita a classificação da forma 
quadrática e da matriz associada por seus autovalores e permite, em alguns casos, calcular a 
Decomposição de Cholesky da matriz simétrica associada.
Veja, no Infográfico a seguir, quais são os elementos necessários para o cálculo da diagonalização 
por matrizes ortogonais de matrizes simétricas, a definição e a mudança de variáveis de uma forma 
quadrática, como identificar matrizes simétricas positivas e o algoritmo da Decomposição de 
Cholesky.
Conteúdo do livro
A ortogonalização permite simplificar a decomposição de vetores e a fatoração de matrizes. Na 
análise de sinais, nas simulações por método de Monte Carlo, é comum o uso de pesados 
algoritmos computacionais para o cálculo de seus resultados. Por sorte, esses sistemas dependem 
de matrizes simétricas positivas que permitem o uso da Decomposição de Cholesky.
No capítulo O espaço vetorial Rn: formas quadráticas, da obra Álgebra linear, que serve de base 
teórica para esta Unidade de Aprendizagem, você vai ver como as matrizes simétricas são 
diagonalizáveis por matrizes formadas por vetores coluna de uma base ortonormal do Rn. Esse 
processo é responsável por definir, manipular e classificar as formas quadráticas do Rn, e também 
ensina uma decomposição LU particular, a Decomposição de Cholesky. Essa decomposição, quando 
possível, agiliza em muito os resultados dos algoritmos computacionais associados.
Boa leitura. 
ÁLGEBRA LINEAR 
Marcelo Maximiliano Danesi
O espaço vetorial ℝn : 
formas quadráticas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir formas quadráticas.
 � Reconhecer uma matriz positiva definida.
 � Resolver o algoritmo para a Decomposição de Cholesky.
Introdução
Neste capítulo, você aprenderá sobre matrizes ortogonais, matrizes 
simétricas, as propriedades que permitem reescrever as matrizes simé-
tricas a partir de matrizes ortogonais, o uso desse método para formas 
quadráticas, a classificação de matrizes simétricas em relação aos seus 
autovalores e o cálculo da Decomposição de Cholesky para matrizes de 
uma classe das simétricas.
Para uma matriz simétrica, seus autovalores e autovetores são essen-
ciais para um tipo especial de diagonalização. Usaremos essa decom-
posição para definir e reescrever as formas quadráticas -dimensionais 
e classificá-las. Veremos, também, como a diagonalização de matrizes 
simétricas por matrizes ortogonais permite calcular uma forma especial 
de decomposição LU: a decomposição de Cholesky — que, quando 
possível, requer aproximadamente metade do número de operações 
necessário na fase de eliminação da fatoração LU.
Decomposição espectral e formas quadráticas
Uma matriz A, n × n, é dita ortogonal se:
A ∙ AT = AT ∙ A = I
Isto é, se:
A–1 = AT
Considere as matrizes quadradas:
A = –3/5 4/5
 4/5 3/5
B =
 1/√5 2/√6 –2/√30
–2/√5 1/√6 –1/√30
 0 1/√6 5/√30
Mostre que A e B são matrizes ortogonais pela definição.
Solução:
A forma mais simples é calcular o produto da matriz pela sua transposta. Se esse 
produto resultar na matriz identidade, então, a matriz em questão será ortogonal.
A · AT =
–3/5 4/5
 4/5 3/5
–3/5 4/5
 4/5 3/5· =
1 0
0 1
B · BT =
 1/√5 2/√6 –2/√30
–2/√5 1/√6 –1/√30
 0 1/√6 5/√30
 1/√5 –2/√5 0
 2/√6 1/√6 1/√6
–2/√30 –1/√30 5/√30
. =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas2
O exemplo anterior é interessante por mostrar uma propriedade entre linhas 
e colunas de uma matriz ortogonal frente ao produto escalar.
Se A é matriz n × n, então as afirmações a seguir são equivalentes.
a) A é ortogonal.
b) Os vetores coluna de A formam uma base ortonormal do ℝn.
c) Os vetores linha de A formam uma base ortonormal do ℝn.
Isso significa que as matrizes ortogonais são essencialmente matrizes de mudança 
de base.
Uma matriz A = [aij], n × n, é dita simétrica se:
AT = A
Isto é, se para cada i, j = 1, ..., n
aij = aji
Um caso particular de matriz simétrica são as matrizes diagonais. Uma 
matriz D = [dij], n × n é dita diagonal se dij = 0 para i ≠ j, e i, j = 1, ..., n, isto 
é, uma matriz diagonal apresenta entradas nulas em todas as posições fora 
da diagonal principal.
3O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
Estas matrizes são simétricas:
A = 3 –4
–4 –3
B =
1 5 0
5 –2 –3
0 –3 0
C =
–2 0 0
 0 0 0
 0 0 5
Em particular, C é uma matriz diagonal.
Estamos definindo essas características para mostrar, no exemplo a se-
guir, a relação entre matrizes ortogonais e simétricas. Generalizaremos esse 
resultado na sequência.
Diagonalize a matriz simétrica:
A = 3 –4
–4 –3
Solução:
A equação característica de A é:
det(A – λI) = 0
det 3 – λ –4
 –4 –3 – λ
= 0
(3 – λ)(–3 – λ) –16 = 0
–9 – 3λ + 3λ + λ2 – 16 =0
λ2 – 25 = 0
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas4
Isto é, A tem autovalores λ1 = 5 e λ2 = –5. Calculando os respectivos autovetores, 
temos o seguinte.
 � Para λ1 = 5:
(A – 5I) ∙ = 
x1
x2
0
0
∙ = 
x1
x2
0
0
–2 –4
–4 –5
que nos leva a:
1x1 + 2x2 = 0
x2 = x2{
Portanto, o autovetor associado é o vetor v→1 = (–2,1).
 � Para λ2 = –5:
(A + 5I) ∙ = 
x1
x2
0
0
∙ = 
x1
x2
0
0
 8 –4
–4 2
que nos leva a:
x1 = x1
–2x1 + x2 = 0{
Portanto, o autovetor associado é o vetor v→2 = (1,2).
Assim, A contém dois autovalores reais e distintos com autovetores formando uma 
base:
C = {v→1 = (–2,1), v
→
2 = (1,2)}
ortogonal do ℝ2. Lembrando-se de que qualquer múltiplo de um autovetor também 
é um autovetor associado ao mesmo autovalor, podemos normalizar a base B e construir 
uma base ortonormal de autovetores:
G = , ,–2
√5
1
√5
,1
√5
2
√5{ {
5O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
Dessa forma,
P = e D =–2/√5 1/√5
 1/√5 2/√5
5 0
0 –5
P–1AP = Dsão matrizes tal que:
P–1AP = D
Como P é ortogonal, P–1 = PT. Logo:
–2/√5 1/√5
 1/√5 2/√5
–2/√5 1/√5
 1/√5 2/√5
5 0
0 –5
 3 –4
–4 –3
=
Isto é, a matriz simétrica A é diagonalizável por uma matriz ortogonal formada pelos 
seus autovetores.
O resultado do exemplo não é uma coincidência. Inclusive, podemos 
enunciar que: uma matriz A, n × n, é diagonalizável por matriz ortogonal se, 
e somente se, A for matriz simétrica. Outras propriedades de uma matriz A, 
n × n, simétrica são as seguintes.
a) A tem n autovalores reais, contando multiplicidades.
b) A dimensão do subespaço correspondente a cada autovalor λ é igual à 
multiplicidade da raiz λ na equação característica de A.
c) Os subespaços definidos por cada autovalor são ortogonais entre si, 
no sentido que os autovetores correspondentesa autovalores distintos 
são ortogonais.
Em suma, toda matriz simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal 
composta por autovetores. Mas como proceder quando temos raízes múltiplas 
na equação característica?
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas6
Diagonalize a matriz simétrica:
A =
 2 –2 –4
–2 5 –2
–4 –2 2
Solução:
A equação característica de A é:
– λ³ + 9λ² – 108 = 0
que pode ser fatorada em:
(λ + 3)(λ – 6)² = 0
Isto é, A tem autovalores λ1 = –3, λ2 = 6 e λ3 = 6. Calculando os respectivos autovetores, 
temos o seguinte.
 � Para λ1 = –3:
(A + 3I) ∙ = 
x1
x2
x3
0
0
0
∙ = 
x1
x2
x3
0
0
0
 5 –2 –4
–2 8 –2
–4 –2 5
que nos leva a:
1x1 – 2x2 = 0
x2 = x2
–2x2 + x3 = 0
{
Portanto, o autovetor associado é o vetor v→1 = (2,1,2).
7O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
 � Para λ2, λ3 = 6:
(A – 6I) ∙ = 
x1
x2
x3
0
0
0
∙ = 
x1
x2
x3
0
0
0
–4 –2 –4
–2 –1 –2
–4 –2 –4
que nos leva a:
x1 = x1
2x1 + 1x2 + 2x3 = 0
x3 = x3
{
ou, na forma vetorial:
x1
x2
x3
= x1 + x3
1
–2
0
0
–2
1
Portanto, os autovetores associados são os vetores v→2 = (1,–2,0), v
→
3 = (0,–2,1).
Isso nos mostra que o subespaço associado ao autovalor λ2, λ3 = 6 tem dimensão 2 
e é ortogonal ao subespaço determinado pelo autovalor λ1 = –3. Contudo, a base 
associada a λ2, λ3 = 6 não é ortogonal. O que faremos é ortogonalizar o conjunto 
{v→2, v
→
3} a fim de encontrar uma base ortogonal do subespaço definido pelo autovalor 
λ2, λ3 = 6. Podemos fazer essa ortogonalização devido ao fato de que uma combinação 
linear de autovetores do mesmo autovalor também é um autovetor associado ao 
mesmo autovalor. 
Aplicando o método de Gram-Schmidt à base {v→2, v
→
3}, obtemos a base ortogonal:
(1,–2,0), (–4,–2,5)
1
5{ }
Assim, A contém três autovalores reais (contando multiplicidade) com autovetores 
formando uma base ortogonal do ℝ2:
C = (2,1,2), (1,–2,0), (–4,–2,5)
1
5{ }
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas8
Lembrando-se de que qualquer múltiplo de um autovetor também é um autovetor 
associado ao mesmo autovalor, podemos normalizar a base B e construir uma base 
ortonormal de autovetores:
G = ,
2
3
, ,1
3
2
3
, , 01
√5
, ,–2
√5
–4
√45
,–2
√45
5
√45{ }
Dessa forma:
2/3 1/√5 –4/√45
1/3 –2/√5 –2/√45
2/3 0 5/√45
P = e D =
–3 0 0
 0 6 0
 0 0 6
são matrizes tal que:
P–1AP = D
Como P é ortogonal, P–1 = PT. Logo:
–3 0 0
 0 6 0
 0 0 6
 2/3 1/3 2/3
 1/√5 –2/√5 0
–4/√45 –2/√45 5/√45
2/3 1/√5 –4/√45
1/3 –2/√5 –2/√45
2/3 0 5/√45
 2 –2 –4
–2 5 –2
–4 –2 2
=
Isto é, a matriz simétrica A é diagonalizável por uma matriz ortogonal formada pelos 
seus autovetores.
Como esse exemplo ilustra, o processo de diagonalizar ortogonalmente 
uma matriz simétrica A, n × n, pode ser descrito pelo algoritmo a seguir.
a) Calcule as raízes reais (contando multiplicidade) da equação caracte-
rística de A.
b) Encontre a base de autovetores associada a cada autovalor.
c) Use o método de Gram-Schmidt em cada uma das bases encontradas para 
obter uma base ortonormal do subespaço associado a cada autovalor.
d) Escreva as matrizes a seguir, respeitando a ordem que o autovalor 
λi está associado ao autovetor coluna v
→
i. P = [v
→
1 v
→
2 ... v
→
n] e 
 
9O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
 
D =
λ1 ... 0 0
⋮ λ1 ... 0
0 ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ... λn
.
e) Escreva a diagonalização ortogonal de A, de forma que:
PTAP = D
D =
λ1 ... 0 0
⋮ λ1 ... 0
0 ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ... λn
Note que, no algoritmo de diagonalização ortogonal, a matriz P é ortogonal, e a 
matriz D é diagonal.
Uma consequência da decomposição descrita anteriormente é que, respei-
tando a notação anterior, podemos escrever a matriz A como:
A = PDPT
Isto é,
λ1 ... 0 0
⋮ λ2 ... 0
0 ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ... λn
A = [v→1 v
→
2 ... v
→
n]
v→1
v→2
⋮
v→n
T
T
T
o que é equivalente a escrever:
A = λ1v
→
1v
→
1 + λ2v
→
2v
→
2 + ... + λnv
→
nv
→
n
T T T
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas10
que é denominada decomposição espectral da matriz A. Para fins de 
cálculo, vale ressaltar que v→iv
→
i
T é o produto matricial da matriz v→i, n × 1, pela 
matriz v→iT, 1 × n, resultando numa matriz n × n.
Pelo cálculo do exemplo anterior, podemos afirmar que a diagonalização de:
A =
 2 –2 –4
–2 5 –2
–4 –2 2
nos dá que:
–3 0 0
 0 6 0
 0 0 6
 2/3 1/3 2/3
 1/√5 –2/√5 0
–4/√45 –2/√45 5/√45
2/3 1/√5 –4/√45
1/3 –2/√5 –2/√45
2/3 0 5/√45
A =
Assim, a decomposição espectral de A é:
A = –3 [2/3 1/3 2/3] + 6 [1/√5 –2/√5 0] 
2/3
1/3
2/3
1/√5
–2/√5
0
–4/√45
–2/√45
5/√45
+ 6 [–4/√45 – 2/√45 5/√45]
Formas quadráticas
Uma forma quadrática é uma função Q: ℝn → ℝ que transforma o vetor 
x→ = (x1, x2, ..., xn) no número real dado pela expressão:
Q(x→) = x→ Ax→ = [x1 x2 ... xn] A
T
x1
x2
⋮
xn
onde A é uma matriz simétrica n × n associada à forma quadrática Q.
11O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
No ℝ2, escreva a expressão que calcula Q se:
A = 3 –4
–4 –3
Pela definição:
Q(x1, x2) = [x1 x2]
 3 –4
–4 –3
x1
x2
Logo:
Q(x1, x2) = 3x1 – 3x2 – 8x1x2
2 2
É um pouco complicado representar por fórmulas, mas, fixado n ∈ ℕ, dada 
uma expressão quadrática:
Q(x1, x2, ..., xn) = α1x1 + α2x2 + ... + αnxn + β1,2x1x2 + ... + βn–1,nxn–1xn2 2 2
Com α1, ..., αn, β1,2, ..., βn–1,n ∈ ℝ, sempre conseguiremos encontrar uma 
matriz simétrica A, n × n, que reduz a expressão acima a uma forma quadrá-
tica. Para tanto, basta ocupar a diagonal principal de A com os coeficientes 
dos termos xi2 e dividir igualmente, entre as posições (i,j) e ( j,i) de A, i ≠ j, os 
coeficientes dos termos cruzados xixj.
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas12
Escreva a matriz simétrica associada à expressão quadrática:
Q(x1, x2, x3) = 1x1 – 3x2 – 2x3 – 7x1x2 – 5x1x3 – 4x2x3
2 2 2
Pelo que observamos, a matriz simétrica A = [aij] contém, na diagonal principal, os 
elementos:
a11 = 1, a22 = –3, a33 = 2
e, nas posições anteriores da diagonal principal (i < j), os elementos:
a12 = –7/2, a13 = 5/2, a23 = –4/2
De forma simétrica, preenchemos as demais posições, e a matriz A é:
A =
 1 –7/2 5/2
–7/2 – 3 –2
 5/2 –2 2
Mudança de variáveis nas formas quadráticas
É fato que os termos cruzados xixj estão ligados aos termos fora da diagonal 
principal da matriz A. A dúvida que nos resta é: será que existe uma mudança 
de coordenadas de x→ = (x1, x2, ..., xn) para y
→ = (y1, y2, ..., yn) , de maneira que a 
forma quadrática nas novas coordenadas não contenha termos cruzados yiyj?
A resposta é praticamente imediata, agora que compreendemos o processo 
de diagonalização de uma matriz simétrica por matrizes ortogonais. Dada uma 
matriz simétrica A, n × n, existem P e D matrizes n × n , tal que P é ortogonal 
e formada por uma base de autovetores de A, e D é uma matriz diagonal 
formada pelos autovalores de A. Se considerarmos a mudança de coordenadas:
x→ = Py→
ou reciprocamente P–1x→ = y→, temos:
Q(x→) = (Py→)T A(Py→) = y→T (PT AP)y→ = y→TDy→
13O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
Sendo essa última forma livre dos termos cruzados yiyj.
Vamos aproveitar os exemplos anteriores para mostrar como a mudança 
de coordenadas funciona para uma forma quadrática do ℝ2.
A forma quadrática Q(x1, x2) = 3x1 – 3x2 –8x1x2
2 2 tem matriz simétrica associada:
A = 3 –4
–4 –3
que pode ser ortogonalmente diagonalizável por:
P = e D =–2/√5 1/√5
 1/√5 2/√5
5 0
0 –5
Se tomarmos a mudança de coordenadas:
x1 = y1 + y2
–2
√5
1
√5
x2 = y1 + y2
1
√5
2
√5
ou reciprocamente:
y1 = x1 + x2
–2
√5
1
√5
y2 = x1 + x2
1
√5
2
√5
podemos reescrever Q como:
Q~(y1, y2) = 5y1 –5y2
2 2
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas14
Para o cálculo de P–1x→ = y→, lembre-se de que P–1 = PT, já que P é ortogonal.
Nessas condições, as colunas de P são chamadas de eixos principais da 
formaquadrática Q(x→), enquanto que y→ é o vetor formado pelas coordenadas 
de x→ relativas à base ortonormal do ℝn, formada pelos eixos principais (que 
são autovetores de A). Repare também que, em relação a y→, a forma quadrática 
é dada pela soma dos termos yi2, e seus coeficientes são os autovalores de A.
Uma forma quadrática tem por imagem o conjunto de todos os valores possíveis de 
Q(x→) com x→ variando em ℝn. A mudança de coordenadas x→ = Py→ não altera a imagem 
da forma quadrática, ou seja, a imagem de Q(x→) com x→, variando em ℝn, é igual à 
imagem de y→ TDy→ com y
→, variando em ℝn.
Matriz positiva definida
Dada uma forma quadrática, existe uma mudança de coordenadas x→ = Py→, 
tal que:
Q(x→) = λ1y1 + λ2y2 + ... + λnyn
2 2 2
onde λ1, λ2, ..., λn ∈ ℝ são os autovalores da matriz simétrica associada 
a Q(x→). Essa conclusão nos permite classificar a forma Q(x→) por meio dos 
autovalores λ1, λ2, ..., λn.
Dada A matriz simétrica, n × n, e Q(x→) forma quadrática definida por A, 
dizemos que a forma Q é:
15O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
 � positiva definida se, e somente se, todos os autovalores de A forem 
positivos e, nesse caso, Q(x→) > 0 se x→ ≠ 0→;
 � negativa definida se, e somente se, todos os autovalores de A forem 
negativos e, nesse caso, Q(x→) < 0 se x→ ≠ 0→;
 � indefinida se, e somente se, A tiver, pelo menos, um autovalor positivo 
e um autovalor negativo.
Um cuidado que devemos ter ao tentar classificar a forma Q a partir da 
matriz A é que os sinais das entradas de A não determinam a classificação 
de Q. Veja, a seguir, o caso de uma matriz simétrica A com todas as entradas 
positivas, mas que define uma forma indefinida.
A matriz simétrica A =
2 4
4 3 define a forma quadrática:
Q(x1, x2) = 2x1 + 3x2 + 8x1x2
2 2
Contudo, essa forma não é positiva definida, pois:
Q = + – < 0
1
2
2
4
3
4
8
4
–1
2
,
Podemos verificar que Q é uma forma indefinida por meio do cálculo dos autovalores 
de A, que são:
λ1 = e λ2 =
5 + √65
2
5 – √65
2
Isto é, λ1 > 0 e λ2 < 0.
Identificando matrizes positivas
A classificação da forma quadrática Q por meio dos autovalores da matriz 
simétrica A pode ser estendida para a matriz A, isto é, se todos os autovalores 
de A são positivos, dizemos que A é matriz simétrica positiva definida. Em 
particular, as matrizes positivas definidas são as matrizes simétricas mais 
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas16
importantes nas aplicações da teoria. Então, falaremos um pouco mais sobre 
como identificar se uma matriz simétrica é positiva definida sem calcular os 
seus autovalores.
Dada uma matriz A, n × n, tal que A = [aij], definimos a k-ésima submatriz 
principal de A como sendo, para cada k = 1, ..., n, a matriz:
Ak =
a11 a12 ... a1k
a21 a22 ... a2k
 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
ak1 ak2 ... akk
Assim, uma matriz simétrica A é positiva definida se, e somente se, o 
determinante de cada submatriz principal de A for positivo.
A matriz simétrica do exemplo anterior:
A =
2 4
4 3
tem submatrizes principais:
A1 = [2]
A2 = = A
2 4
4 3
Calculando os determinantes dessas matrizes, percebemos que:
det(A1) = 2 > 0
det(A2) = –10 < 0
Portanto, A não é positiva definida.
O exemplo anterior mostra que esse critério não nos dá os valores dos 
autovalores, mas permite identificar se a matriz simétrica A é positiva definida 
ou não.
17O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
A matriz simétrica:
 1 –1 –1 –1
–1 4 2 0
–1 2 3 1
–1 0 1 2
B =
tem submatrizes principais:
B1 = [1]
B2 =
 1 –1
–1 4
B3 =
 1 –1 –1
–1 4 2
–1 2 3
B4 = B
Calculando os determinantes dessas matrizes, temos que:
det(B1) = 1
det(B2) = 3
det(B3) = 5
det(B4) = 3
Portanto, podemos afirmar que B é positiva definida sem calcular os autovalores de B.
Fatoração de Cholesky
Quando uma matriz simétrica A é positiva definida, podemos aplicar um tipo 
decomposição muito útil para uma importante classe de algoritmos computa-
cionais. Algebricamente, essa decomposição é consequência da fatoração LU. 
Contudo, para calcularmos a fatoração de Cholesky, não precisamos calcular 
as matrizes L e U, poupando, assim, um esforço computacional considerável.
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas18
Dada uma matriz simétrica A = [aij], n × n, A é positiva definida se, e so-
mente se, existir uma única matriz L, n × n, triangular inferior com elementos 
da diagonal estritamente positivos, tal que:
A = L ∙ LT
A fatoração de Cholesky possibilita calcular a matriz L = [lij], entrada por 
entrada, de forma recorrente, de acordo com os seguintes passos.
1. Para as entradas acima da diagonal principal (i < j), lij = 0
2. Para a primeira coluna:
l11 = √a11
li1 = se i = 2, ..., n
ai1
l11
3. Da segunda linha em diante, calculamos entrada por entrada, de acordo 
com:
lij = , se 1 < j < i ≤ n
aij – (li1lj1 + li2lj2 + ... + li(j–1)lj(j–1)
ljj
lii = √aii – (li1 + li2 + ... + li(i–1)), se i = 2, ..., n
2 2 2
Aplique a decomposição de Cholesky à matriz simétrica:
A =
 2 –2 –4
–2 5 –2
–4 –2 21
19O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
Solução:
Explicitamente, L é uma matriz 3 × 3, tal que:
L =
l11 l12 l13
l21 l22 l23
l31 l32 l33
Assim, para as entradas acima da diagonal principal:
l12 = l13 = l23 = 0
Para a primeira coluna, calculamos:
l11 = √a11 = √2
e
l21 =
a21
l11
=
–2
√2
l31 =
a31
l11
=
–4
√2
Para a segunda linha, calculamos:
l22 = √a22 – l21 = √5 – (–2/√2)
2 = √5 – 2 = √32
Para a terceira linha, calculamos:
l32 = = =
a32 – l31l21
l22
–2 – (–4/√2)(–2/√2)
√3
–6
√3
l33 = √a33 – (l31 + l32) = √21 – ((–4/√2)2 + (–6/√3)2) = √21 – (8 + 12) = 12 2
Logo:
L = 
 √2 0 0
–2/√2 √3 0
–4/√2 –6/√3 1
e
A = 
 √2 0 0
–2/√2 √3 0
–4/√2 –6/√3 1
 2 –2 –4
–2 5 –2
–4 –2 21
= .
√2 –2/√2 –4/√2
 0 √3 –6/√3
 0 0 1
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas20
É importante ressaltar que, enquanto A for uma matriz simétrica positiva de-
finida, todas as operações (quocientes e raízes quadradas) estão bem-definidas, 
e podemos calcular a matriz L de acordo com o algoritmo da decomposição 
de Cholesky.
Aplique a decomposição de Cholesky à matriz simétrica:
 1 –1 –1 –1
–1 4 2 0
–1 2 3 1
–1 0 1 2
B =
Solução:
Explicitamente, L é uma matriz 4 × 4, tal que:
L =
l11 l12 l13 l14
l21 l22 l23 l24
l31 l32 l33 l34
l41 l42 l43 l44
Assim, para as entradas acima da diagonal principal:
l12 = l13 = l14 = l23 = l24 = l34 = 0
Para a primeira coluna, calculamos:
l11 = √a11 = √1 =1
e
l21 = = = –1
a21
l11
–1
1
l31 = = = –1
a31
l11
–1
1
l41 = = = –1
a41
l11
–1
1
21O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
Para a segunda linha, calculamos:
l22 = √a22 – l21 = √4 – 1 = √32
Para a terceira linha, calculamos:
l32 = = =
a32 – l32l21
l22
2 – (–1)(–1)
√3
1
√3
l33 = √a33 – (l31 + l32) = √3 – ((–1)2 + (–1)2) = √3 – (1 + 1) = 12 2
Para a quarta linha, calculamos:
l42 = = =
a42 – l41l21
l22
0 – (–1)(–1)
√3
–1
√3
l44 = √a44 – (l41 + l42 + l43) = √2 – ((–1)2 + (–1/√3)2 + (–1/3)2) = 2 2 2
√5
3
l43 =
a43 – (l41l31 + l42l32)
l33
= =
1 – ((–1)(–1) + (–1/√3)(1/√3))
1
1
3
Logo:
L =
 1 0 0 0
–1 √3 0 0
–1 1/√3 1 0
–1 –1/√3 1/3 √5/3
e
B =
 1 –1 –1 –1
–1 4 2 0
–1 2 3 1
–1 0 1 2
= .
 1 0 0 0
–1 √3 0 0
–1 1/√3 1 0
–1 –1/√3 1/3 √5/3
1 –1 –1 –1
0 √3 1/√3 –1/√3
0 0 1 1/3
0 0 0 √5/3
É curioso observar, nos últimos dois exemplos, que o trabalho computa-
cional necessário para decomposição de B não é tão maior que o feito para a 
matriz A. Nesse sentido, é possível concluir que a decomposição de Cholesky 
é computacionalmente viável mesmo para matrizes de tamanho considerável.
O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas22
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
CHAPRA,S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. 7. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2016.
LAY, D. C.; LAY, S. R.; MACDONALD, J. J. Álgebra linear e suas aplicações. 5. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2018.
Leituras recomendadas
23O espaço vetorial ℝn : formas quadráticas
Dica do professor
A diagonalização por matrizes ortogonais exige uma matriz formada por uma base ortonormal de 
autovetores. Você vai usar esse resultado para apresentar os cálculos necessários à ortogonalização 
e normalização de uma base formada a partir de autovalores reais repetidos. Você também terá a 
oportunidade de ver algumas estratégias para o cálculo e saber se o que calculou está correto.
Nesta Dica do Professor, veja uma explicação do algoritmo para diagonalização ortogonal de uma 
matriz simétrica que possui autovalores repetidos. Para isso, você usará o método de Gram-
Schmidt associado ao método de cálculo da base do complemento ortogonal de um subespaço do 
Rn.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/258842acbd9af173a27dd66335872083
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Formas quadráticas: interpretação e eixos principais
No vídeo a seguir, o Prof. Ralph Costa Teixeira, da UFF, em vídeo para a SBM, interpreta algumas 
formas quadráticas do R2 e o que seus eixos principais representam.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Identificação das quádricas
Neste link, você encontra um extenso material da Unicamp com videoaulas e exercícios resolvidos 
falando da classificação das superfícies quadráticas em R3, de acordo com a geometria dos gráficos 
definidos por elas, e como a mudança de coordenadas pode ser visualizada geometricamente.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Aplicações da fatoração de Cholesky em algoritmos 
computacionais
A fatoração de Cholesky aparece em algoritmos computacionais como uma forma de diminuir o 
esforço computacional para o cálculo das soluções de problemas associados a, por exemplo, redes 
bayesianas ligadas ao estudo de inteligência artificial. Neste link, a mestre Viviane Teles de Lucca 
Maranhão, sob orientação do Prof. Dr. Julio Michael Stern (IME – USP), mostra, em sua dissertação 
de mestrado, vários problemas, os algoritmos atuais para o cálculo de suas soluções e qual o papel 
da Decomposição de Cholesky nesses algoritmos numa linguagem bastante acessível.
https://www.youtube.com/embed/NyVQ6SKoB2I
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/geometria-analitica/mudanc-de-coordenadas/classificacao-das-quadricas/
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Lista de exercícios
Para aprender formas quadráticas, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para 
tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45132/tde-27082013-111753/publico/Dissertacao_VivianeTelesLuccaMaranhao_pdf.pdf
http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/897446586/SaibaMaislistadeexerccios.pdf?v=714917700