Achar os autovalores e os autovetores de operador linear T do R³ dado por: T(1, 0, 0) = (2, 0, 0) T(0, 1, 0) = (2, 1, 2) T(0, 0, 1) = (3, 2, 1)...

Para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear T, precisamos encontrar os valores λ e os vetores u que satisfazem a equação T(u) = λu. Começamos encontrando a matriz associada ao operador T, que é dada por: [2 2 3] [0 1 2] [0 2 1] Em seguida, encontramos os autovalores resolvendo a equação det(T-λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Temos: det(T-λI) = |2-λ 2 3 | |0 1-λ 2 | |0 2 1-λ| = 0 Expandindo o determinante, temos: (2-λ)[(1-λ)(1-λ)-4] - 2[2(1-λ)] + 3[2] = 0 Simplificando, chegamos à equação: λ^3 - 4λ^2 - λ + 6 = 0 Podemos resolver essa equação usando o método de Cardano ou outro método numérico. Encontramos que os autovalores são λ1 = -1, λ2 = 1 e λ3 = 4. Agora, para encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor, resolvemos a equação (T-λI)u = 0. Para λ1 = -1, temos: (T-λ1I)u1 = |3 2 3 | |0 2 2 | |0 2 2 | u1 = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos que u1 = (5, -1, -2). Normalizando o vetor, temos u1 = (5/√30, -1/√30, -2/√30). Para λ2 = 1, temos: (T-λ2I)u2 = |1 2 3 | |0 0 2 | |0 2 0 | u2 = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos que u2 = (0, 1, 0). Para λ3 = 4, temos: (T-λ3I)u3 = |-2 2 3 | |0 -3 2 | |0 2 -3 | u3 = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos que u3 = (-1, -3, 3). Normalizando o vetor, temos u3 = (-1/√19, -3/√19, 3/√19). Portanto, a alternativa correta é a letra b: Autovalores: λ1 = -1, λ2 = 1, λ3 = 4; Autovetores: u1 = (5/√30, -1/√30, -2/√30), u2 = (0, 1, 0), u3 = (-1/√19, -3/√19, 3/√19).