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Estudos Disciplinares:
Lógica Básica
Prof. João Giardulli
UNIDADE I
 A primeira qualidade do estilo é a clareza. (Aristóteles)
Introdução
Alguns matemáticos:
 Leibniz (1646-1716)
 Leonhard Euler (1707-1783)
 Augustus de Morgan (1806-1871)
 George Boole (1815-1864)
 Alfred North Whitehead (1861-1947)
 Bertrand Russell (1872-1970)
Introdução
Claude E. Shannon:
 Em 1938, mostrou a aplicação da Álgebra de Boole na análise de circuitos de relés, o que 
serviu de base para o desenvolvimento da teoria dos interruptores.
Introdução
A lógica é:
 “O estudo da razão” ou 
 “O estudo do raciocínio”.
Introdução
A lógica é:
 O estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto. 
(Irving Copi)
Introdução
Proposição:
 Conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. 
(ALENCAR FILHO, 2002)
Ex.: Madri é a capital da Espanha.
Proposições e conectivos
Proposição:
 É uma sentença declarativa que pode ser verdadeira ou falsa.
Ex.: Cristóvão Colombo descobriu o Brasil.
Proposições e conectivos
Proposição:
 Não pode ser ambígua ou suscitar dúvida.
“Eu vi uma foto sua no metrô.”
Proposições e conectivos
Proposição:
 Não pode ser ambígua ou suscitar dúvida.
“Eu vi uma foto sua no metrô.”
Quem estava no metrô? Eu ou você?
Proposições e conectivos
I. Princípio da identidade: todo objeto é idêntico a si mesmo.
II. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa 
ao mesmo tempo.
III. Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Leis fundamentais
I. Princípio da identidade: todo objeto é idêntico a si mesmo.
II. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa 
ao mesmo tempo.
III. Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.
(bivalente)
Leis fundamentais
 O valor lógico de uma proposição ou é verdadeiro (V) se a proposição é verdadeira, 
ou é falso (F) se a proposição é falsa.
Exemplo:
a) O chumbo é mais pesado que a água.
b) O Sol gira em torno de Marte.
Valores lógicos das proposições
Usando a notação:
V(a) = V
V(b) = F
Qual das alternativas abaixo é verdadeira?
a) Cos π/2 = 0.
b) Cervantes escreveu Os Sertões.
c) O número 17 é um número igual a 29.
d) O Sol gira em torno da Terra.
e) 0! = 0.
Interatividade 
Qual das alternativas abaixo é verdadeira?
a) Cos π/2 = 0.
b) Cervantes escreveu Os Sertões.
c) O número 17 é um número igual a 29.
d) O Sol gira em torno da Terra.
e) 0! = 0.
Resposta
Proposição simples:
 É aquela que não pode ser subdividida em outras proposições.
Proposições simples e compostas
Proposição simples:
 É aquela que não pode ser subdividida em outras proposições.
Convenção:
 As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas 
minúsculas p, q, r, s etc.
Proposições simples e compostas
Exemplos:
p: D. Pedro II foi imperador do Brasil.
q: Fernando Henrique Cardoso foi presidente do Brasil.
r: O número 16 é ímpar.
Proposições simples e compostas
Proposição composta:
 É aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.
Proposições simples e compostas
Proposição composta:
 É aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.
Convenção:
 As proposições compostas são habitualmente designadas pelas letras latinas 
maiúsculas P, Q, R, S etc.
Proposições simples e compostas
Exemplos:
P: João é careca e Alice é estudante.
Q: Alice é bonita ou Viviane é estudante.
R: Se João é careca, então é infeliz.
Proposições simples e compostas
Observações:
 As proposições compostas também costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou 
apenas fórmulas.
 As proposições simples são também chamadas de átomos, pois, assim como o átomo, não é 
divisível, enquanto a proposição composta é chamada de molécula.
Proposições simples e compostas
Observações:
 Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposição composta P é formada 
pela combinação das proposições simples p, q, r etc., escreve-se:
 P (q, r, s etc.). Essas proposições simples serão chamadas de proposições 
componentes simples quando for o caso.
Proposições simples e compostas
Observações:
 As proposições componentes de uma proposição composta podem ser, elas mesmas, 
proposições compostas.
Proposições simples e compostas
Definição:
 Chamam-se conectivos as palavras que se usam para formar novas proposições a partir de 
outras (ALENCAR FILHO, 2002).
Conectivos
Exemplos:
P. O número 10 é par e o número 27 é ímpar.
Q. O quadrilátero ABCD é retângulo ou é quadrado.
R. Não está quente.
S. Se Roberto é físico, então sabe matemática.
T. O triângulo ABC é equilátero se, e somente se, é equiângulo.
Conectivos
Considerando o princípio do terceiro 
excluído, a proposição simples “p” 
terá a seguinte representação tabular:
Chamada tabela-verdade.
Tabela-verdade
p
V
F
O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos 
das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado 
(ALENCAR FILHO, 2002).
Tabela-verdade
 Exemplo com duas 
proposições simples:
Tabela-verdade
p q
V V
V F
F V
F F
 Exemplo com três 
proposições simples:
Tabela-verdade
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Construa a tabela-verdade para uma proposição composta P (p, q, r, s) e determine quantas 
linhas ela possui.
a) 16 linhas.
b) 32 linhas.
c) 64 linhas.
d) 128 linhas.
e) 256 linhas.
Interatividade 
Construa a tabela-verdade para uma proposição composta P (p, q, r, s) e determine quantas 
linhas ela possui.
a) 16 linhas.
b) 32 linhas.
c) 64 linhas.
d) 128 linhas.
e) 256 linhas.
Resposta 
 Negação (~)
Operações lógicas sobre proposições
p ~p
V F
F V
Exemplos de Negação (~)
p: 3 + 3 = 6 e ~p: 3 + 3 ≠ 6
q: 10 < 4 e ~q: 10 > 4
r: Brasília é a capital da Argentina (F) e ~r: Brasília não é a capital da Argentina.
Operações lógicas sobre proposições
Observações:
Nos casos mais simples, antepõe-se o advérbio “não” ao verbo da proposição.
Operações lógicas sobre proposições
Observações:
Nos casos mais simples, antepõe-se o advérbio “não” ao verbo da proposição.
 p: Ursa Maior é uma estrela.
 ~p: Ursa Maior não é uma estrela.
Operações lógicas sobre proposições
Observações:
 Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição dada expressões tais 
como “não é verdade que”, “é falso que”, por exemplo, a negação da proposição.
Operações lógicas sobre proposições
Observações:
 Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição dada expressões tais 
como “não é verdade que”, “é falso que”, por exemplo, a negação da proposição.
q: Jorge é jogador de futebol.
~q: Não é verdade que Jorge é jogador de futebol.
~q: É falso que Jorge é jogador de futebol.
Operações lógicas sobre proposições
CUIDADO!
A negação de “Todo político é ladrão”
é 
“Nem todo político é ladrão”
ou
“Existe pelo menos um 
político que não é ladrão”
Operações lógicas sobre proposições
Conjunção (∧)
 A conjunção de duas proposições p e q é a 
proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico 
é verdadeiro (V) quando as proposições p e q são ambas 
verdadeiras, e falso (F) nos demais casos.
Operações lógicas sobre proposições
p q p ˄ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Exemplos de Conjunção (∧)
p: A clara do ovo é branca (V)
q: 3 < 7 (V)
p ∧ q: A clara do ovo é branca e 3 < 7 (V)
V(p ∧ q) = V (p) ∧ V (q) = V ∧ V = V
Operações lógicas sobre proposições
Exemplos de Conjunção (∧)
p: Enxofre é azul (F)
q: 17 é um número primo (V)
p ∧ q: Enxofre é azul e 17 é um número primo (F)
V(p ∧ q) = V (p) ∧ V (q) = F ∧ V = F
Operações lógicas sobre proposições
Disjunção inclusiva ou soma lógica (∨)
 A disjunção de duas proposições p e q é a 
proposição representada por “p ou q”, cujo valorlógico 
é verdadeiro (V) quando ao menos uma das proposições 
p e q é verdadeira, e falso (F) quando as proposições 
p e q são ambas falsas.
Operações lógicas sobre proposições
p q p ˅ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Exemplos de Disjunção (∨)
p: Madri é a capital da Espanha (V)
q: 9 - 4 = 5 (V)
p ∨ q: Madri é a capital da Espanha ou 9 - 4 = 5 (V)
V(p ∨ q) = V (p) ∨ V (q) = V ∨ V = V
Operações lógicas sobre proposições
Exemplos de Disjunção (∨)
p: Camões escreveu Os Lusíadas (V)
q: π = 3 (F)
p v q: Camões escreveu Os Lusíadas ou π = 3 (V)
V(p ∨ q) = V (p) ∨ V (q) = V ∨ F = V
Operações lógicas sobre proposições
Disjunção Exclusiva (v)
 É proposição representada por “p v q”, que se lê: 
“ou p ou q” ou “p ou q”, mas não ambos; é verdadeira 
quando p e q possuem valores lógicos diferentes; 
é falsa (F) quando p e q possuem valores lógicos idênticos.
Operações lógicas sobre proposições
p q p ˅ q
V V F
V F V
F V V
F F F
Exemplos de Disjunção Exclusiva (v)
p: Maria é alagoana. 
q: Maria é gaúcha.
p v q: Ou Maria é alagoana ou Maria é gaúcha.
Como Maria não pode ser alagoana e gaúcha simultaneamente, então:
V(p v q) = V
Operações lógicas sobre proposições
Condicional (→)
 É uma proposição representada por “se p então q”, 
cujo valor lógico é falso (F) no caso em que p 
é verdadeira e q é falsa, e verdadeiro (V) nos 
demais casos.
Operações lógicas sobre proposições
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Exemplos de Condicional (→)
p: Galois morreu em um duelo (V)
q: 3 é um número real (V)
p → q: Se Galois morreu em um duelo, então 3 é um número real (V)
V(p → q) = V (p) → V (q) = V → V = V
Operações lógicas sobre proposições
Bicondicional (↔)
 É uma proposição representada por “p se e somente 
se q”, cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando p e q 
são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e falso (F) 
nos demais casos.
Operações lógicas sobre proposições
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Exemplos de Bicondicional (↔)
p: A Rússia fica na Europa (V)
q: A grama é verde (V)
p ↔ q: A Rússia fica na Europa se e somente se a grama é verde (V)
V(p ↔ q) = V (p) ↔ V (q) = V ↔ V = V
Operações lógicas sobre proposições
Exemplos de Bicondicional (↔)
p: Einstein descobriu o Brasil (F)
q: Tiradentes foi um mártir (V)
p ↔ q: Einstein descobriu o Brasil se e somente se Tiradentes foi um mártir (F)
V(p ↔ q) = V (p) ↔ V (q) = F ↔ V = F
Operações lógicas sobre proposições
Escreva a sentença abaixo utilizando a notação proposta para as proposições simples 
e seus conectivos:
Ou você é gordo ou você é magro.
a) p: você é gordo; q: você é magro; p v q.
b) p: você não é gordo; q: você é magro; ~p v q.
c) p: você é gordo; q: você não é magro; p v ~q.
d) p: você é gordo; q: você é magro; p v q.
e) p: você não é gordo; q: você não é magro; ~p v ~q.
Interatividade 
Escreva a sentença abaixo utilizando a notação proposta para as proposições simples 
e seus conectivos:
Ou você é gordo ou você é magro.
a) p: você é gordo; q: você é magro; p v q.
b) p: você não é gordo; q: você é magro; ~p v q.
c) p: você é gordo; q: você não é magro; p v ~q.
d) p: você é gordo; q: você é magro; p v q.
e) p: você não é gordo; q: você não é magro; ~p v ~q.
Resposta
 Para toda proposição composta P (p, q, r, ...), sempre se pode determinar o seu valor 
lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicos das proposições 
simples que a compõe, p, q, r, ...
Valor lógico de uma proposição composta
Exemplo:
Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são, respectivamente, V e F, determine 
o valor lógico (V ou F) da proposição:
P (p, q): ~(p ∨ q) ↔ ~p ∧ ~q
Valor lógico de uma proposição composta
Exemplo:
Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são, respectivamente, V e F, determine 
o valor lógico (V ou F) da proposição:
P (p, q): ~(p ∨ q) ↔ ~p ∧ ~q
~(V v F) ↔ ~V ∧ ~F
Valor lógico de uma proposição composta
Exemplo:
Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são, respectivamente, V e F, determine 
o valor lógico (V ou F) da proposição:
P (p, q): ~(p ∨ q) ↔ ~p ∧ ~q
~(V v F) ↔ ~V ∧ ~F
~V ↔ F ∧ V
Valor lógico de uma proposição composta
Exemplo:
Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são, respectivamente, V e F, determine 
o valor lógico (V ou F) da proposição:
P (p, q): ~(p ∨ q) ↔ ~p ∧ ~q
~(V v F) ↔ ~V ∧ ~F
~V ↔ F ∧ V
F ↔ F
Valor lógico de uma proposição composta
Exemplo:
Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são, respectivamente, V e F, determine 
o valor lógico (V ou F) da proposição:
P (p, q): ~(p ∨ q) ↔ ~p ∧ ~q
~(V v F) ↔ ~V ∧ ~F
~V ↔ F ∧ V
F ↔ F
P (p, q): V
Valor lógico de uma proposição composta
(1) Maior precedência: ~ (mais “fraco”)
(2) ∧
(3) ∨
(4) →
(5) Menor precedência: ↔ (mais “forte”)
Ordem de precedência dos conectivos
Exemplos:
~p v q = (~p) v q
~p ∨ q → r ∨ s = ((~p) ∨ q) → (r ∨ s)
p → q ↔ s ∧ r = (p → q) ↔ (s ∧ r)
Ordem de precedência dos conectivos
Definição: 
 Tautologia é toda proposição composta P (p, q, r, ...) cujo valor lógico é 
sempre V (verdadeiro), quaisquer que sejam os valores lógicos das 
proposições simples p, q, r, ... que a compõe.
Tautologia, contradição e contingência
Exemplo: 
A proposição p ∨ (q ∧ ~q) ↔ p 
é tautológica, conforme mostra 
a tabela-verdade:
Tautologia, contradição e contingência
p q ~q q˄~q pV(q˄~q) p˅(q˄~q)↔p
V V F F V V
V F V F V V
F V F F F V
F F V F F V
Exemplo: 
A proposição p ∧ r → ~q ∨ r 
é tautológica, conforme 
mostra a tabela-verdade:
Tautologia, contradição e contingência
p q r ~q p ˄ r ~q v r p ˄ r → ~q v r
V V V F V V V
V V F F F F V
V F V V V V V
V F F V F V V
F V V F F V V
F V F F F F V
F F V V F V V
F F F V F V V
Definição: 
 Contradição é toda proposição composta P (p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre F (falso), 
quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p, q, r, ... que a compõe.
Tautologia, contradição e contingência
Exemplo: 
A proposição p ↔ ~p é contraditória, 
conforme mostra a tabela-verdade:
Tautologia, contradição e contingência
p ~p p↔~p
V F F
F V F
Exemplo: 
A proposição (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) 
é contraditória, conforme mostra 
a tabela-verdade:
Tautologia, contradição e contingência
p q p ˄ q p ˅ q ~(p ˅ q) (p ˄ q) ˄ ~(p ˅ q)
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V F
Definição: 
 Contingência é toda proposição composta P (p, q, r, ...) cujo valor lógico depende 
dos valores lógicos das proposições simples p, q, r, ... que a compõe.
Tautologia, contradição e contingência
Exemplo: 
A proposição (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) é 
contraditória, conforme mostra 
a tabela-verdade, porém, as colunas 
intermediárias são contingências.
Tautologia, contradição e contingência
p q p ˄ q p ˅ q ~(p ˅ q) (p ˄ q) ˄ ~(p ˅ q)
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V F
Qual das proposições compostas abaixo é tautológica?
a) [(p → q) ∧ (q → p)] ↔ (p ↔ q)
b) (p → q) ∧ (q → p)
c) p ∧ q
d) p v q
e) q ↔ q
Interatividade 
Qual das proposições compostas abaixo é tautológica?
a) [(p → q) ∧ (q → p)] ↔ (p ↔ q)
b) (p → q) ∧ (q → p)
c) p ∧ q
d) p v q
e) q ↔ q
Resposta
ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!
UNIDADE I
Prof. João Giardulli
Estudos Disciplinares
Lógica Básica
 Conceituar implicação lógica e as propriedades sobre proposições.
 Apresentar os fundamentos da dedução, métodos dedutivos e técnicas de redução da 
quantidade de conectivos.
Objetivo
Implicação lógica:
 Definição: uma proposição P(p, q, r,...) implica logicamente uma proposição Q (p, q, r,...) se 
Q (p, q, r,...) for verdadeira todas as vezes que P (p, q, r,...) for verdadeira.
Operações adicionais sobre proposições
Implicação lógica:
 Definição: uma proposição P(p, q, r,...) implica logicamente uma proposição Q (p, q, r,...) se 
Q (p, q, r,...) for verdadeira todas as vezes queP (p, q, r,...) for verdadeira.
Notação:
 P (p, q, r,...) ⇒ Q (p, q, r,...)
Operações adicionais sobre proposições
Exemplo de implicação lógica:
A tabela-verdade da proposição (p ∨ q) ∧ ~ p:
 Essa proposição é verdadeira somente na linha 3 e, nessa mesma linha, a proposição “q” 
também é verdadeira.
Então:
(p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q
Operações adicionais sobre proposições
p q p ˅ q ~p (p ˅ q) ˄ ~p
V V V F F
V F V F F
F V V V V
F F F V F
Propriedades da implicação lógica:
Reflexiva:
 P (p, q, r,...) ⇒ P (p, q, r,...)
Operações adicionais sobre proposições
Propriedades da implicação lógica:
Reflexiva:
 P (p, q, r,...) ⇒ P (p, q, r,...)
Transitiva:
Se P (p, q, r,...) ⇒ Q (p, q, r,...) e
Q (p, q, r,...) ⇒ R (p, q, r,...), então
P (p, q, r,...) ⇒ R (p, q, r,...)
Operações adicionais sobre proposições
Tautologias e implicação lógica:
A proposição P (p, q, r,...) implica a proposição Q (p, q, r,...), isto é: 
 P (p, q, r,...) ⇒ Q (p, q, r,...)
Se e somente se a condicional:
 P (p, q, r,...) → Q (p, q, r,...) é tautológica
Operações adicionais sobre proposições
Tautologias e implicação lógica:
 A toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica e vice-versa.
Fonte: Alencar Filho (2002).
Operações adicionais sobre proposições
Observação:
 Os símbolos (→) e (⇒) são distintos.
 (→) é de operação lógica.
 Aplicado às proposições p e q, dá a nova proposição P: p → q.
Operações adicionais sobre proposições
Observação:
 Os símbolos (→) e (⇒) são distintos.
 (⇒) é de relação.
 Estabelece que a condicional P (p, q, r,...) → Q (p, q, r,...) é tautológica.
Operações adicionais sobre proposições
Equivalência lógica:
 Definição: uma proposição P (p, q, r,...) é logicamente equivalente ou apenas equivalente a 
uma proposição Q (p, q, r,...) se as tabelas-verdade dessas duas proposições são idênticas.
Notação:
 P (p, q, r,...) ⇔ Q (p, q, r,...)
Operações adicionais sobre proposições
Propriedades da equivalência lógica:
Reflexiva: P (p, q, r,...) ⇔ P (p, q, r,...)
Simétrica:
 Se P (p, q, r,...) ⇔ Q (p, q, r,...) então
 Q (p, q, r,...) ⇔ P (p, q, r,...)
Transitiva:
Se P (p, q, r,...) ⇔ Q (p, q, r,...) e
Q (p, q, r) ⇔ R (p, q, r,...) então
P (p, q, r) ⇔ R (p, q, r,...)
Operações adicionais sobre proposições
Exemplos de equivalência lógica:
As proposições ~~p e p são equivalentes, isto é, ~~p ⇔ p (regra da dupla negação).
É o que demonstra a tabela-verdade:
Operações adicionais sobre proposições
p ~p ~~p
V F V
F V F
Exemplos de equivalência lógica:
 As proposições ~p → p e p são equivalentes, isto é, ~p → p ⇔ p é o que demonstra a tabela:
Operações adicionais sobre proposições
p ~p ~p → p
V F V
F V F
Exemplos de equivalência lógica:
 A condicional p → q e a disjunção ~p ∨ q têm tabelas-verdade idênticas:
Operações adicionais sobre proposições
p q p →q ~p ~p ˅ q
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
Tautologias e equivalência lógica:
A proposição P (p, q, r,...) é equivalente à proposição Q (p, q, r,...), isto é:
 P (p, q, r,...) ⇔ Q (p, q, r,...)
Se e somente se a bicondicional:
 P (p, q, r,...) ↔ Q (p, q, r,...) é tautológica.
Operações adicionais sobre proposições
Observação:
 Os símbolos ↔ e ⇔ são distintos.
 (↔) é de operação lógica.
 Aplicado às proposições p e q, dá a nova proposição.
Operações adicionais sobre proposições
Observação:
 Os símbolos ↔ e ⇔ são distintos.
 (⇔) é de relação.
 Estabelece que a bicondicional
P (p , q, r,...) ↔ Q (p, q , r,...) é tautológica.
Operações adicionais sobre proposições
Outras equivalências:
 p ∧ (p v q) ⇔ p
 (p → q) ∧ (q → p) ⇔ (p ↔ q)
 (~p v q) ∧ (~q v p) ⇔ (p ↔ q)
 p v (p ∧ q) ⇔ p
Faça você mesmo 
Proposições associadas a uma condicional:
Dada a condicional (p→q), chamam-se proposições associadas a (p→q) as três seguintes 
proposições condicionais que contêm p e q:
 Recíproca de p → q: q → p
 Contrária de p → q: ~p → ~q
 Contrapositiva de p → q: ~q → ~ p
Operações adicionais sobre proposições
Proposições associadas a uma condicional:
As tabelas-verdades dessas quatro proposições são:
Operações adicionais sobre proposições
p q p →q q→p ~p→ ~q ~q→ ~p
V V V V V V
V F F V V F
F V V F F V
F F V V V V
Exemplos:
Seja a condicional relativa a um quadrilátero Q:
 p → q: se Q é quadrado, então, Q é retângulo.
A recíproca dessa proposição é:
 q → p: se Q é retângulo, então, é quadrado.
 Aqui, a condicional p → q é verdadeira, mas a sua recíproca 
q → p é falsa.
Operações adicionais sobre proposições
Exemplos:
Seja a proposição relativa à lei de trânsito:
 p → q: Se eu bebo, então, eu não dirijo.
A contrapositiva dessa proposição é:
 ~q → ~p: Se eu dirijo, então, eu não bebo.
 Aqui, a condicional p → q e a sua contrapositiva ~q → ~p 
são equivalentes e ambas são verdadeiras.
Operações adicionais sobre proposições
Propriedades da conjunção:
 Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples, 
cujos valores lógicos respectivos são (V) verdadeiro e (F) falso.
Idempotente: p ∧ p ⇔ p
Identidade: p ∧ t ⇔ p e 
p ∧ c ⇔ c
Associativa: (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r)
Comutativa: p ∧ q ↔ q ∧ p
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
Propriedades da conjunção:
 A demonstração da identidade pode ser feita com a construção da tabela-verdade e a 
verificação da tautologia.
p ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
p t c p ˄ t p ˄ c p ˄ t ↔ p p ˄ c ↔ c
V V F V F V V
F V F F F V V
Propriedades da disjunção:
 Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples, 
cujos valores lógicos respectivos são V (verdadeiro) e F (falso).
Idempotente: p ∨ p ⇔ p
Identidade: p ∨ t ⇔ t e p ∨ c ⇔ p
Associativa: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Comutativa: p ∨ q ⇔ q ∨ p
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
Qual das alternativas é verdadeira?
a) p v q ⇔ p ∧ q
b) p v q ⇔(p → q) ∧ (q → p)
c) p v q ⇔ ~p → q
d) p v q ⇔ p v (p ∧ q)
e) p v q ⇔ p
Interatividade 
Qual das alternativas é verdadeira?
a) p v q ⇔ p ∧ q
b) p v q ⇔(p → q) ∧ (q → p)
c) p v q ⇔ ~p → q
d) p v q ⇔ p v (p ∧ q)
e) p v q ⇔ p
Resposta 
Propriedades da conjunção e da disjunção:
 Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.
Distributivas:
 p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
 p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
Propriedades da conjunção e da disjunção:
 Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.
Distributivas:
 p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
 p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
Propriedades da conjunção e da disjunção:
 p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
p q r q ˄ r p ˅ (q ˄ r) p ˅ q p ˅ r (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V F V V V V
V F F F V V V V
F V V V V V V V
F V F F F V F F
F F V F F F V F
F F F F F F F F
Propriedades da conjunção e da disjunção:
 Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.
Absorção:
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
e
p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
Propriedades da conjunção e da disjunção:
 Sejam p e q proposições simples quaisquer.
Regras de Morgan:
 ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~q
 ~(p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~q
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
Propriedades da conjunção e da disjunção:
 ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~q
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
p q p ˄ q ~ (p ˄ q) ~ p ~ q ~ p ˅ ~q
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V F V V
Negação da condicional:
Como:
 p → q ⇔ ~ p ∨ q
Negando-se a condicional, tem-se:
~(p → q ) ⇔
⇔ ~ (~p ∨ q ) ⇔
⇔ ~~p ∧ ~q ⇔
⇔ p ∧ ~q
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
Negação da bicondicional:
Como:
 p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p), então,
 p ↔ q ⇔ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)
Negando-se a bicondicional, tem-se:
 ~(p↔ q) ⇔ ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)]
 ~(p ↔ q) ⇔ ~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)
 ~(p ↔ q) ⇔ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
 Para auxílio nas demonstrações, serão realizadas as seguintes suposições:
 Serão dadas as proposições simples p, q, r; a proposição t sempre é verdadeira e a 
proposição c é sempre falsa. 
 Elas serão substituídas, respectivamente, por proposições compostas P, Q e R; além de T 
(tautologia) e C (contradição) quando for o caso.
Método Dedutivo
Demonstrar as implicações:
 c ⇒ p; (c → p é tautológica)
 p ⇒ t; (p → t é tautológica)
 Em que p é uma proposição qualquer, c e t são proposições cujos valores lógicos respectivos 
são F e V.
V(c) = F 
V(t) = V
Método Dedutivo
Demonstração:
 Sabe-se que p → q e ~p ∨ q são proposições equivalentes;
 Uma implicação é verdadeira se a condicional é tautológica;
 Se provamos que a condicional referente à implicação é tautológica, então, provamos que a 
proposição é válida.
Método Dedutivo
Demonstração:
 p → q ⇔ ~p ∨ q
 V(c) = F
 V(t) = V
Então:
 c → p ⇔ ~c ∨ p ⇔ t ∨ p ⇔ t (cqd)
 p → t ⇔ ~p ∨ t ⇔ t (cqd)
Método Dedutivo
Demonstração:
Método Dedutivo
p c t c → p p → t
V F V V V
F F V V V
Demonstrar a implicação:
p ∧ q ⇒ p (simplificação)
Demonstração:
p ∧ q → p ⇔
⇔ ~(p ∧ q) ∨ p ⇔
⇔ (~p ∨ ~q) ∨ p ⇔
⇔ (~p ∨ p) ∨ ~ q ⇔
⇔ T ∨ ~q ⇔
⇔ T
Método Dedutivo
Demonstrar a implicação:
p ⇒ p ∨ q (adição)
Demonstração:
p → p ∨ q ⇔
⇔ ~ p ∨ (p ∨ q) ⇔
⇔ (~ p ∨ p) ∨ p ⇔
⇔ T ∨ q ⇔
⇔ T
Método Dedutivo
Demonstrar a implicação:
(p → q) ∧ p ⇒ q (modus ponens)
Demonstração:
(p → q) ∧ p ⇔
⇔ p ∧ (~ p ∨ q) ⇔
⇔ (p ∧ ~p) ∨ (p ∧ q) ⇔
⇔ C ∨ (p ∧ q) ⇔
⇔ p ∧ q ⇒ q
Método Dedutivo
Definição:
 Uma proposição está na forma normal (FN) se e somente se a proposição contém apenas os 
conectivos ~, ∧ e ∨.
Observação:
 Toda proposição pode ser levada para uma FN equivalente pela redução do número de 
conectivos.
Forma normal das proposições
Qual das alternativas não é tautológica?
a) (p → q) ∧ ~ q → ~p
b) (p ∨ q) ∧ ~p → q
c) p ∧ q → p ∨ q
d) (p → q) → (p ∧ r) → q
e) p ∧ q ↔ p ∨ q
Interatividade 
Qual das alternativas não é tautológica?
a) (p → q) ∧ ~ q → ~p
b) (p ∨ q) ∧ ~p → q
c) p ∧ q → p ∨ q
d) (p → q) → (p ∧ r) → q
e) p ∧ q ↔ p ∨ q
Resposta
Apresentar os seguintes conceitos:
 Argumento;
 Verificação da validade.
Objetivo
Argumento:
Algumas definições (dicionário):
1. Raciocínio por meio do qual se tira uma conclusão;
2. Prova, demonstração.
Princípios da argumentação
Mais uma definição:
 Um argumento é um conjunto de duas ou mais proposições, no qual uma das proposições é 
denominada conclusão, e as demais são chamadas de premissas.
 A conclusão é consequência das premissas.
Princípios da argumentação
Inferência:
 É a forma como, por meio das premissas, chega-se a uma conclusão.
 Ela pode ser dita como a forma de raciocínio.
Princípios da argumentação
Exemplo:
“Meu avô é alto, meu pai é alto, eu sou alto, logo, meu filho será alto.”
 Temos quatro proposições, em que as três primeiras são as premissas e a última é a 
conclusão, justificada com base nas outras três.
Princípios da argumentação
Argumento dedutivo:
 São aqueles em que a conclusão é uma consequência lógica das premissas.
Princípios da argumentação
Argumento (dedutivo) válido:
 Premissas verdadeiras.
 Levam a conclusões verdadeiras.
Princípios da argumentação
Argumento indutivo:
 Os argumentos indutivos são aqueles em que a conclusão apresenta informações que não 
estão presentes nas premissas.
Princípios da argumentação
Exemplo:
“Meu time ganhou os três últimos campeonatos, logo, meu time ganhará o próximo 
campeonato.”
 Não há nada que garanta que um time ganhe um campeonato baseado no fato de ter 
ganhado os três últimos, embora isso possa ser muito provável!
Princípios da argumentação
Definição simbólica formal de argumento:
 Sejam P1, P2, ..., Pn (n ≥ 1) e Q proposições quaisquer, simples ou compostas, denomina-se 
argumento toda afirmação em que uma dada sequência finita P1, P2, ..., Pn (n ≥ 1) de 
proposições tem como consequência uma proposição Q.
Princípios da argumentação
Notação de argumento:
1. P1, P2, ..., Pn ⊢ Q
ou
2. P1
P2
...
Pn
___
Q
Princípios da argumentação
 Um argumento (dedutivo).
 Válido ou inválido.
Não é correto dizer de um argumento:
 Verdadeiro ou falso.
Princípios da argumentação
Validade de um argumento (dedutivo):
Definição:
 P1, P2, ..., Pn ⊢ Q é dito válido se, e somente se, a conclusão Q é verdadeira em todas as 
vezes que as premissas P1, P2, ..., Pn são verdadeiras.
Princípios da argumentação
 Chama-se sofisma (ou falácia) um argumento não válido.
Sofisma:
1. Raciocínio capcioso, feito com a intenção de enganar;
2. Argumento ou raciocínio falso, com alguma aparência de verdade.
Princípios da argumentação
Falácia:
1. Engano, burla;
2. Palavra ou ato enganoso.
Princípios da argumentação
Critérios de validade de um argumento:
Um argumento P1, P2, ..., Pn ⊢ Q é válido se e somente se a condicional: 
 (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q é tautológica.
Princípios da argumentação
Exemplos:
O argumento p ⊢ p ∨ q é válido, pois:
 Sempre que p for verdadeira, a disjunção (v) também será verdadeira.
Princípios da argumentação
Observação:
 A validade ou não validade de um argumento depende apenas da sua forma, e não de seu 
conteúdo ou da verdade e da falsidade das proposições que o integram.
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
1. Adição (AD)
a. p ⊢ p ∨ q (p → p v q é tautológica)
b. p ⊢ q ∨ p (p → q v p é tautológica)
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
2. Simplificação (SIMP)
a. p ∧ q ⊢ p (p ∧ q → p é tautológica)
b. p ∧ q ⊢ q (p ∧ q → q é tautológica)
Princípios da argumentação
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
3. Conjunção (CONJ)
a. p, q ⊢ p ∧ q (p ∧ q → p ∧ q)
b. p, q ⊢ q ∧ p (p ∧ q → q ∧ p)
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
4. Absorção (ABS)
p → q ⊢ p → (p ∧ q)
Regras de inferência:
5. Modus ponens (MP)
p → q, p ⊢ q (p → q) ∧ p → q
Princípios da argumentação
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
6. Modus tollens (MT)
p → q, p ⊢ ~p (p → q) ∧ p → ~p
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
7. Silogismo disjuntivo (SD)
a. p ∨ q, ~p ⊢ q (p ∨ q) ∧ ~p → q
b. p ∨ q, ~q ⊢ p (p ∨ q) ∧ ~q → p
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
8. Silogismo hipotético (SH)
p → q, q → r ⊢ p → r
(p → q) ∧ (q → r) → (p → r)
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
9. Dilema construtivo (DC)
p → q, r → s, p ∨ r ⊢ q ∨ s
(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) → (q ∨ s)
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
10. Dilema destrutivo (DD)
p → q, r → s, ~q ∨ ~s ⊢ ~p ∨ ~r
(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s) → (~p ∨ ~r)
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
11. Simplificação disjuntiva (SIMPD)
p ∨ q, p ∨ ~q ⊢ p
(p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) → p
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
12. Disjunção exclusiva (DE)
p ∨ q, q ⊢ ~q
(p ∨ q) ∧ q → ~q
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
13. Eliminação bicondicional (EB)
a. p ↔ q, p ⊢ q
b. p ↔ q, q ⊢ p
c. p ↔ q, ~p ⊢ ~q
d. p ↔ q, ~q ⊢ ~p
Exemplo: regra da absorção
p → q ⊢ p → (p ∧ q)
p = hoje é sexta-feira
q = irei sair
Princípios da argumentação
Exemplo: regra da absorção
p → q ⊢ p → (p ∧ q)
Se hoje é sexta-feira, então, irei sair. (p→q)
Hoje é sexta-feira, então, hoje é sexta-feira e eu irei sair. (p→(p ∧ q))
Princípios da argumentação
Indique o argumento inválido:
a) p ∧ q ⊢ p.
b) p ∧ q ⊢ q.
c) p, q ⊢ p ∧ q.
d) p → q ⊢ p → (p ∧ q).
e) p → q, p ⊢ ~q.
Interatividade 
Indique o argumento inválido:
a) p ∧ q ⊢ p.
b) p ∧ q ⊢ q.
c) p, q ⊢ p ∧ q.
d) p → q ⊢ p → (p ∧ q).
e) p → q, p ⊢ ~q.
Resposta
Validação de argumentos
Utilizando a tabela-verdade:
O argumento P1, P2, ..., Pn ⊢ Q é válido,então,
a condicional: (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q é tautológica.
Exemplo:
Se a = 3 e b = c, então, b > 2
b ≤ 2
Portanto: b ≠ c
Validação de argumentos
Exemplo:
Se a = 3 e b = c, então, b > 2
b ≤ 2
Portanto: b ≠ c
Identificação das proposições:
p: a = 3; q: b = c; r: b > 2
p ∧ q → r; ~r ⊢ ~q
Validação de argumentos
Exemplo:
Se a = 3 e b = c, então, b > 2
b ≤ 2
Portanto: b ≠ c
Identificação das proposições:
p: a = 3; q: b = c; r: b > 2
p ∧ q → r; ~r ⊢ ~q
A condicional associada ao argumento será:
(((p ∧ q) → r) ∧ ~r) → ~q
Validação de argumentos
Exemplo:
Construindo a tabela-verdade:
Validação de argumentos
Premissa 1 Premissa 2 Conclusão
p q r p^q p^q→r ~r ~q
V V V V V F F
V V F V F V F
V F V F V F V
V F F F V V V
F V V F V F F
F V F F V V F
F F V F V F V
F F F F V V V
Fonte: adaptado de: livro-texto.
Exemplo:
Construindo a tabela-verdade:
Validação de argumentos
Premissa 1 Premissa 2 Conclusão
p q r p^q p^q→r ~r ~q
V V V V V F F
V V F V F V F
V F V F V F V
V F F F V V V
F V V F V F F
F V F F V V F
F F V F V F V
F F F F V V V
Fonte: adaptado de: livro-texto.
Exemplo:
Construindo a tabela-verdade:
Validação de argumentos
Premissa 1 Premissa 2 Conclusão
p q r p^q p^q→r ~r ~q
V V V V V F F
V V F V F V F
V F V F V F V
V F F F V V V
F V V F V F F
F V F F V V F
F F V F V F V
F F F F V V V
Fonte: adaptado de: livro-texto.
Exemplo:
Construindo a tabela-verdade:
Validação de argumentos
Premissa 1 Premissa 2 Conclusão
p q r p^q p^q→r ~r ~q
V V V V V F F
V V F V F V F
V F V F V F V
V F F F V V V
F V V F V F F
F V F F V V F
F F V F V F V
F F F F V V V
Fonte: adaptado de: livro-texto.
Exemplo:
Construindo a tabela-verdade:
Validação de argumentos
Premissa 1 Premissa 2 Conclusão Cond.
p q r p^q p^q→r ~r ~q P1^P2→C
V V V V V F F
V V F V F V F
V F V F V F V
V F F F V V V
F V V F V F F
F V F F V V F
F F V F V F V
F F F F V V V
Fonte: adaptado de: livro-texto.
Exemplo:
Construindo a tabela-verdade:
Validação de argumentos
Premissa 1 Premissa 2 Conclusão Cond.
p q r p^q p^q→r ~r ~q P1^P2→C
V V V V V F F V
V V F V F V F V
V F V F V F V V
V F F F V V V V
F V V F V F F V
F V F F V V F F
F F V F V F V V
F F F F V V V V
Fonte: adaptado de: livro-texto.
Utilizando regras de inferência (passo a passo):
1. Disponha as premissas uma em cada linha.
2. Numere as linhas.
3. Identifique os principais conectivos de cada premissa.
4. Sempre presuma que as premissas são verdadeiras.
5. Comece com as premissas que tenham uma fórmula mais 
simples.
Validação de argumentos
Fonte: adaptado de: livro-texto.
Validação de argumentos
Utilizando regras de inferência (passo a passo):
6. Infira de cada premissa os valores lógicos de suas proposições componentes.
7. A cada valor lógico encontrado, substitua-o nas premissas mais complexas.
8. Obtenha todos os valores lógicos possíveis.
Fonte: adaptado de: livro-texto.
 Utilizando regras de inferência (passo a passo):
9. No final, você deve ser capaz de afirmar que o valor lógico da conclusão é verdadeiro para 
que o argumento seja válido; do contrário, o argumento será inválido.
Validação de argumentos
Fonte: adaptado de: livro-texto.
Exemplo:
Verificar a validade do argumento:
p → q, p ∧ r ⊢ q
Validação de argumentos
Exemplo:
Verificar a validade do argumento:
p → q, p ∧ r ⊢ q
(1) p → q P1
(2) p ∧ r P2
Validação de argumentos
Exemplo:
Verificar a validade do argumento:
p → q, p ∧ r ⊢ q
(1) p → q P1
(2) p ∧ r P2
(3) p SIMP em (2)
Validação de argumentos
Exemplo:
Verificar a validade do argumento:
p → q, p ∧ r ⊢ q
(1) p → q P1
(2) p ∧ r P2
(3) p SIMP em (2)
(4) q MP em (1) e (3)
Validação de argumentos
Verificar a validade do argumento:
p ∧ q, p ∨ r → s ⊢ p ∧ s
(1) p ∧ q P1
(2) p ∨ r → s P2
(3) p SIMP em (1)
(4) p ∨ r AD em (3)
(5) s MP em (2) e (4)
(6) p ∧ s CONJ em (3) e (5)
Validação de argumentos
Verificar a validade do argumento:
p → (q → r), p → q, p ⊢ r
(1) p → (q → r) P1
(2) p → q P2
(3) p P3
(4) q → r MP em (1) e (3)
(5) q MP em (2) e (3)
(6) r MP em (4) e (5)
Validação de argumentos
Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica. Por outro lado, se geografia não é difícil, então, 
lógica é difícil. Daí segue-se que se Artur gosta de lógica, então:
(RESUMOS-CONCURSOS/2008)
a) Se geografia é difícil, então, lógica é difícil.
b) Lógica é fácil e geografia é difícil.
c) Lógica é fácil e geografia é fácil.
d) Lógica é difícil e geografia é difícil.
e) Lógica é difícil ou geografia é fácil.
Interatividade 
Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica. Por outro lado, se geografia não é difícil, então, 
lógica é difícil. Daí segue-se que se Artur gosta de lógica, então:
(RESUMOS-CONCURSOS/2008)
a) Se geografia é difícil, então, lógica é difícil.
b) Lógica é fácil e geografia é difícil.
c) Lógica é fácil e geografia é fácil.
d) Lógica é difícil e geografia é difícil.
e) Lógica é difícil ou geografia é fácil.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!