fisica1_capitulo1

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Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1 
 Ementa 
 
Introdução à Física, Vetores, Movimento em uma 
dimensão;Movimentos em duas e três dimensões, Leis de 
Newton, Trabalho e energia, Energia potencial e 
conservação da energia, Sistema de partículas e 
conservação do momento linear, Colisões;Rotações. 
 
 Bibliografia Básica 
 HALLIDAY, D., RESNIK, D. e WALKER, J.; 
Fundamentos de Física 3: Mecânica. 6ª Edição. Rio de 
Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 2002. 
Bibliografia Complementar: 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 
:Mecânica. Volume 1. 3ª Edição . São Paulo: Editora 
Edgard Blücher LTDA, 1997. 
Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. Física. 
2ed. Rio de Janeiro: livros técnicos e científicos, 2000. v.1. 
Tipler, P. A. Física. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
V.1. 
 www.claudio.sartori.nom.br 
 
 Introdução: 
A Física é uma ciência baseada em observações 
experimentais e quantitativamente mensuráveis. Seu 
objetivo é encontrar um conjunto de Leis fundamentais que 
governam os fenômenos naturais e utilizá-las para poder 
prever resultados em futuros experimentos. 
As Leis fundamentais utilizadas no desenvolvimento 
de teorias são expressas em linguagem matemática, uma 
espécie de ―ponte‖ que liga a teoria ao experimento. 
Quando ocorre uma discrepância entre a teoria e o 
experimento, novas teorias são formuladas para remover a 
discrepância. Muitas vezes as teorias são satisfatórias sob 
um conjunto limitado de condições; as teorias mais gerais 
devem ser satisfatórias sem limitações. Por exemplo, as 
Leis do movimento descobertas por Isaac Newton (1642-
1727) descrevem precisamente o movimento de corpos sob 
velocidades normais, porém, não se aplicam a corpos com 
velocidades próximas à da luz. Em contraste, a Teoria 
especial da relatividade desenvolvida por Albert Einstein 
(1879-1955) em torno de 1900 descreve o movimento de 
corpos com quaisquer velocidades, coincidindo os 
resultados com a teoria de Newton para corpos com 
velocidades inferiores à da luz. 
A física clássica, que consiste de toda física 
desenvolvida antes de 1900, inclui a teoria, conceitos, leis e 
experimentos em mecânica clássica, termodinâmica e 
eletromagnetismo. 
Importante contribuição para a física clássica veio dos 
trabalhos desenvolvidos por Newton, que desenvolveu a 
mecânica clássica como uma teoria sistemática e foi um 
dos criadores do cálculo e de todo um verdadeiro 
ferramental matemático. 
O desenvolvimento da mecânica continuou pelo século 
18, mas nos campos da termodinâmica, eletricidade e 
magnetismo não foram desenvolvidos até por volta 
do século 19, pprincipalmente porque antes dessa 
época, havia difículdade para avaliar os aparatos 
para o controle de experimentos e seus resultados. 
Uma nova era da física, conhecida como física 
moderna, iniciou-se por volta do início do século 19, 
pois foram descobertos vários fenômenos que não 
eram explicados pela física clássica. 
Os mais importantes desenvolvimentos da física 
moderna são as teorias da relatividade e a teoria da 
mecânica quântica. A teoria de Einstein da 
relatividade revolucionou os conceitos de massa, 
tempo e energia; a mecância quântica, a qual se 
aplica ao mundo macro e microscópico, foi 
originado por um grande número de distintos 
cientistas que descreveram fenômenos físicos em 
nivel atômico. 
 Os cientistas constantemente trabalham 
para improvisar experimentos qua auxiliem no 
entendimento de fenômenos naturais, desenvolvem 
teorias e novas descobertas sugem nas mais 
diferentes áreas da ciência, como na física, geologia, 
química e biologia, causando um enorme impacto 
na sociedade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 2 
 
 CAPITULO 1 
 UNIDADES, GRANDEZAS FÍSICAS E 
VETORES. 
 SISTEMA INTERNACIONAL DE 
UNIDADES DE MEDIDA (SI); 
 ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS. 
MEDIDAS. 
 1971 – 14a conferência geral de pesos e 
medidas – Sistema Internacional de unidades (SI). 
Quantidade 
Fundamentais 
Nome da 
unidade 
Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa kilograma kg 
Tempo segundo s 
 Prefixos para o sistema SI: 
Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbo
lo 
10
24
 yotta Y 10
-24
 yocto y 
10
21
 zetta Z 10
-21
 zepto z 
10
18
 exa 10
-18
 Atto a 
10
15
 peta P 10
-15
 femto f 
10
12
 tera T 10
-12
 Pico p 
10
9
 giga G 10
-9
 Nano n 
10
6
 mega M 10
-6
 micro 
10
3
 kilo k 10
-3
 Milli m 
10
2
 hecto h 10
-2
 centi c 
10
1
 deka da 10
-1
 Deci d 
 Prefixos mais usados: 
Fator Prefix Símbolo 
10
6
 mega M 
10
3
 kilo k 
10
-2
 centi c 
10
-3
 Milli m 
10
-6
 micro 
10
-9
 Nano n 
Alguns fatores de conversão: 
Massa Comprimento Volume 
1kg=1000g=6.02
.10
23
u 
1m=100cm=39.
4in=3.28ft 
1m
3
=1000l
=35,3ft
3
=2
64gal 
1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5
280ft 
Tempo 
1u=1,66.10
-27
kg 1 in=2.54cm 1d=86400s 
Densidade 1nm=10
-9
m=10
0
A 
1year=
4
1365
d=3,16.10
7
s 
1kg/m
3
=10
-
3
g/cm
3 
1 light-
year=9,46.10
15
m 
Medida 
Angular 
 1rad=57,3
0
=0,159rev 
rad=180
0
=
1/2 rev 
 
 
Velocidade Pressão Energia 
1m/s=3,27ft
/s=2.24mi/h 
1Pa= 1N/m
2
 1J=10
7
erg=0,239cal=0
.738ft-lb 
1km/h=0.27
8m/s 
1Pa=1dyne/cm
2
 1kWh=3,6.10
6
J 
1km/h=0.62
1mi/h 
1Pa=1,45.10
-
4
lb/in
2
 
1cal=4,19J 
Força 1atm=1,01.10
5
Pa 1eV=1,60.10
-19
J 
1N=10
5
dyn
e 
1atm=14,7lb/pol
2
 Potência 
1lb=4,45N 1atm=76cm-
Hg=760mm-Hg 
1 
horsepower=746W=5
50 ft.lb/s 
 
 Observações: 
inch: polegada 
feet: pé 
light-year: ano-luz, distância que a luz 
percorre em um ano. 
horsepower: cavalovapor 
 Notação Científica: 
Resultados obtidos em calculadoras ou 
computadores , possuem formatos do tipo dos 
exemplos abaixo: 
Exemplo 1 - Visor: 
126,096E+06=126,096.10
6 
Escrito em notação científica: 
1,26096.10
8 
 
Exemplo 2- Visor: 
0,0108E-08=0,0108.10
-8 
Escrito em notação científica: 
1,08.10
-10
 
 Teoria dos erros: 
 Erros aleatórios e Sistemáticos 
Na medição de grandezas físicas, como 
comprimentos, intervalos de tempo, voltagem entre 
dois pontos, carga elétrica, etc, há fontes de erros 
que a afetam. As medidas são afetadas por erros 
experimentais classificados em dois grandes grupos: 
 
 Erros sistemáticos 
 Erros aleatórios 
Os erros sistemáticos são causados por 
fontes identificáveis, podendo ser eliminados ou 
compensados. Prejudicam a exatidão (―accuracy‖) 
da medida. 
Causas dos erros sistemáticos: 
 Instrumento que foi utilizado. 
 Método de observação utilizado. 
 Efeitos ambientais. 
 Simplificação do modelo teórico 
utilizado. 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 3 
-4 -2 0 2 4
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
68,7%
95,45%
Z
Y
 
 
Ao realizar as medidas, deve-se identificar e 
eliminar o maior número possível de fontes de erros 
sistemáticos. 
Os erros aleatórios são flutuações pacima ou para 
baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das 
medidas realizadas de uma mesma grandeza numa mesma 
situação experimental esteja desviada para mais e a outra 
metade esteja desviada para menos, afetando portanto a 
precisão. 
Algumas fontes de erro típicas: 
 Métodos de observação. 
 Flutuações ambientais. 
Os erros aleatórios podem ser tratados 
quantitativamente através de métodos estatísticos, de 
maneira que seus efeitos na grandeza física medida 
podem ser em geral, eliminados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O Tratamento Estatístico 
Tendo N conjunto de dados xi, calculamos a média e 
o desvio padrão da forma: 
N
x
N
i
i
1
 
N
x
N
i
i
1
2
 
Se os dados xi forem distribuídos em frequência fi: 
N
i
iN
i
ii
f
fx
1
1
 
N
i
i
N
i
ii
f
xf
1
1
2
 
A variância é definida como o quadrado do desvio 
padrão (
2
). Relações importantes: 
22 xx 
Onde: 
N
i
i
N
i
ii
f
xf
x
1
1
2
2
 
(Média Quadrática). 
 
 A distribuição Normal ou de 
Gauss: 
 Foi Gauss 
(&&)
 quem deduziu a expressão 
para a chamada distribuição Gaussiana ou Normal: 
22
2
2
1
x
eY
 
 
 
(&&) 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), 
Brunswick, Germany 
 Podemos trabalhar com a variável 
denominada de variável reduzida z: 
x
z
 
 Nesse caso, a distribuição Normal ou 
Gaussiana fica: 
2
2
2
1
z
eY
 
 Esta é uma expressão mais simplificada, 
cujo gráfico está dado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Veja que há uma área sob a curva de 1. 
Quando x se encontra no intervalo de ( - , + ), 
a área sob a curva é de 68,7%; já quando x se 
encontra no intervalo ( - 2 , + 2 ) a área já é de 
95% ou 0.95. 
Distribuição Normal ou Gaussiana 
Média 
Variância 
2 
Desvio Padrão 
Coeficiente de simetria 
0
 
 Observe que a curva Gaussiana ou Normal 
é uma curva simétrica em relação ao eixo Oy, tendo 
50% de área à esquerda e a direita do eixo Oy. 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 4 
 Veja como se aproxima da distribuição Normal 
um resultado para N=8 para um exemplo de lançamento de 
moeda ) p = 0.5 = q: 
 Erros na Fase de Modelagem: 
Necessita-se de várias simplificações do mundo físico, 
em geral, para se tentar representar um fenômeno natural 
por um modelo matemático. Esses erros levam em 
consideração a precisão dos instrumentos de medidas. 
Em geral se um instrumento possui precisão p, 
definida em geral pela metade da menor divisão; faz-se um 
conjunto de N medidas. Ao apresentar o resultado final 
teremos que calcular a média 
x
do conjunto de xi medidas 
e o desvio padrão : 
x
N
i
i
N
x
x
x
y
N
i
i
N
y
y
y
 
1
1
2
N
xx
N
i
i
 
 O erro x associado à média será: 
N
x x
N 1
;
N
y
yN 1
 
 Assim o resultado a apresentar será dado por: 
 Se p 
xxps xx
;
yyps yy
 
Se < p 
px
 
xxx pxps
;
yyy pyps
 
 Tais erros em operações matemáticas se 
propagam: Assim, suponha que faz-se medidas diretas das 
variáveis x e y com médias 
yx;
, desvios x e y e erros 
dados por x e y. Teremos que fazer o que se chama de 
propagação de erros nas operações matemáticas: 
1) Soma S = x + y e diferença D = x - y: 
 Nesse caso o erro na soma ou na diferença é dado 
por: 
22
yxDS
 
2) Produto P = x.y 
22
y
y
x
x
yxP
 
3) Quociente Q = x/y 
22
y
y
x
x
y
x
Q
 
4) Potenciação: F = xnym 
22
y
y
m
x
x
nyxF
yxF
mn
mn
 
 Tais regras são conhecidas como regras de 
propagação de erro. 
 Caso Geral: 
Se tivermos uma função f de n variáveis, o 
erro na função f é dado por: 
22 2
2 2 2f f ff D x y z
x y z
 
 Apresentação do resultado 
 
O resultado deve ser apresentados em 
termos dos algarismos significativos (todos os 
corretos da medida mais o primeiro duvidoso, ou 
seja matematicamente, todos da esquerda para a 
direita) . Por exemplo: 
 
12,345 - 5 Algarismos significativos 
(digito 5:duvidoso) 
0,00012 – 2 AS 
-1,234.10
-5
 – 4 AS 
 
 Exemplo 3 – Mediu-se a espessura de uma 
lâmina e encontrou-se a seguinte tabela: (medido 
com paquímetro p=0.025mm) 
 
Espessura (mm) 
2,23 
2,25 
2,31 
2,18 
2,21 
2,23 
 
01.024.2ee
mm pois 
0140,0
6
03437,0
x
 
 Como a precisão p = 0.025, ou seja, maior 
que o desvio padrão, aí escrevemos como: 
 
03.024.2pe 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5 
 Sistemas de Unidades. Grandezas 
Fundamentais 
O SI também é conhecido como sistema métrico. 
As grandezas derivadas do SI são dadas em 
termos das fundamentais. 
As grandezas fundamentais são: 
 
 Metro: (m) 
O metro foi definido, em 1792 na França, como 1 
décimo de milionésimo da distância do pólo norte para o 
equador. Atualmente é definido como a distância entre 
duas linhas finas gravadas em uma barra de platina-irídio, 
mantida no International Bureau of Weights and Measures 
próximo à Paris. 
Em 1960 foi adotado um novo padrão para o 
metro, baseado no comprimento de onda da luz. 
Especificamente, o metro foi redefinido como 1650763,73 
comprimentos de onda de uma particular luz vermelho-
alaranjada emitida por átomos de Kriptônio-86. 
 
COMPRIMENTOS TÍPICOS m 
Distância ao mais afastado quasar (1990) 2.10
26
 
Distância à galáxia de Andrômeda 2.10
22
 
Distância à mais próxima estrela (Próxima 
Centauri) 
4.10
16
 
Distância ao mais afastado planeta (Plutão) 6.10
12
 
Raio da Terra 6.10
6
 
Altura do monte Everest 9.10
2
 
Espessura dessa página 1.10
-4
 
Comprimento de onda da luz 5.10
-7
 
Comprimento de um vírus típico 1.10
-8
 
Raio do átomo de hidrogênio 5.10
-11
 
Raio de um próton 10
-15
 
 
 Tempo: (s) 
Para medir tempo-padrão, os relógios atômicos 
foram desenvolvidos em diversos países. 
A 13
a
 conferência geral de pesos e medidas adotou 
o segundo padrão baseado no relógio atômico de césio. 
(NIST- Colorado USA) 
Em princípio, dois relógios de Césio funcionando 
por 6000 anos não atrasariam 1s em relação ao outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relógio de Césio Padrão, no NIST (USA) 
 
 
Intervalo de Tempo (s) 
Tempo de vida de um próton 10
39
 
Idade do universo 5.10
17
 
Idade da pirâmide de Quéops 1.10
11
 
Expectativa de vida humana (EUA) 2.10
9
 
Duração de um dia 9.10
4
 
Tempo entre duas batidas do 
coração humano 
8.10
-1 
Tempo de vida de um múon 2.10
-6
 
Menor pulso luminoso no 
laboratório (1989) 
6.10
-15
 
Tempo de vida da mais instável 
partícula 
10
-23
 
Constante de tempo de Planck 10
-43 
 
 Massa: (kg) 
A unidade padrão para a massa é um 
cilindro de platina-irídio guardada no International 
Bureau of Weights and Measures , próximo à Paris, 
França, como mostramos na figura 
abaixo:corresponde a uma massa de 1kg, de acordo 
internacional. 
1kg padrão internacional. 
Algumas massas típicas: 
 
Massa kg 
Universo conhecido 10
53
 
Nossa galáxia 2.10
41
 
Sol 2.10
30
 
Lua 7.10
22
 
Asteróide Eros 5.10
15
 
Pequena Montanha 1.10
12
 
Periferia do Oceano 7.10
7
 
Elefante 5.10
3
 
Grampo 3.10
-3
 
Grão de Areia 7.10
-10 
Molécula de 
Penicilina 
5.10
-17
 
Próton 2.10
-27
 
Elétron 9.10
-31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 6 
 Análise de Equações e variáveis em Física. 
 Análise dimensional: 
Muitas vezes em problemas e medidas é de 
extrema utilidade analisar a dimensão da grandeza a ser 
medida ou da variável em questão. Para isso representamos 
as grandezas fundamentais como: 
 
Medida Nome da 
unidade 
Símbolo Dimensão 
Comprimento metro m [L] 
Massa kilograma kg [M] 
Tempo segundo s [T] 
 
 Exemplo 4 – Analisar a dimensão da grandeza 
pressão: 
 
 P=F/A 
 F=ma 
 
Grandeza (unidade SI) Dimensão 
Aceleração a (m/s
2
) [L][T]
-2 
Massa (kg) [M] 
Força (1N=kgm/s
2
) [M][L][T]
-2 
Pressão (N/m
2
) [M][L][T]
-2/[L]2 
[M][L]-1[T]-2 
 
 Assim, a análise dimensional para a Pressão nos 
dá: =[M][L]
-1
[T]
-2
. 
 
 Definições do sistema de unidades básicas do 
SI: 
 
 Unidade de 
comprimento 
metro É o comprimento 
atravessado pela luz no 
vácuo num intervalo de 
1/299 792 458 de um 
segundo. 
 
 Unidade de 
massa 
kilograma Massa de um protótipo 
padrão internacional. 
 
 Unidade de 
tempo 
segundo O Segundo é a duração de 
9 192 631 770 períodos da 
radiação correspondente 
para a transição de dois 
níveis hiperfinos do estado 
fundamental do átomo de 
Césio 133. 
 
 Unidade de 
corrente 
elétrica 
ampere O ampére é uma correntea qual, mantidos dois fios 
condutores de 
comprimentos infinitos e 
paralelos e de 
negligenciável área de 
seção reta circular, s 
separados por 1 metro no 
vácuo, produzir-se-á entre 
esses condutores uma força 
de 2 x 10-7 newton por 
metro de comprimento. 
 
 Unidade de 
temperatura 
termodinâmica 
kelvin O kelvin, unidade de 
temperatura 
termodinâmica, é a fração 
de 1/273.16 da temperatura 
do ponto triplo da água. 
 
 Unidade da 
quantidade de 
uma substância 
mole 1. O mole é a quantidade 
de uma substância de um 
sistema o qual contém 
quantidades elementares 
existentes em 0,0012 kg de 
carbono 12, simbolizando 
o "mol." 
2. Quando n mole é usado, 
as entidades elementares 
devem ser especificadas, 
podendo ser átomos ou 
moléculas, íons, elétrons 
ou outras partículas. 
 
 Unidade de 
quantidade 
luminosa 
candela A candela é a intensidade 
luminosa, em uma dada 
direção, de uma fonte que 
emite radiação 
monocromática de 
frequência 540 x 1012 hertz 
e que tem uma intensidade 
de radiação na direção of 
1/683 watt por 
estereoradiano. 
 Unidade de 
comprimento (metro) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 As origens do metro voltam para o 18º século. Naquele 
momento, havia duas aproximações competindo à definição de 
uma unidade standard (padrão) de duração. O astrônomo 
Christian Huygens sugestionou definindo o metro como a 
duração de um pêndulo que tem um período de um segundo; 
outros sugestionaram definindo o metro como um décimo de 
milionésimo da duração do meridiano da terra ao longo de um 
quadrante (um quarto a circunferência da terra). Em 1791, em 
seguida a Revolução francesa, a Academia francesa de Ciências 
escolheu a definição meridiana em cima da definição de pêndulo 
porque a força de gravidade varia ligeiramente em cima da 
superfície da terra e afeta o período do pêndulo. 
 Assim, era pretendido que o metro igualava 10-7 ou um 
décimo de milionésimo da duração do meridiano por Paris para o 
equador. Porém, o primeiro protótipo era pequeno através de 0.2 
milímetros porque os investigadores calcularam mal o aplainando 
da terra devido a sua rotação. Ainda esta duração se tornou o 
padrão. ( gravura à certos espetáculos de arremesso da liga de 
platina-irídio chamado a " 1874 Liga ".) Em 1889, um protótipo 
internacional novo foi feito de uma liga de platina com 10 % de 
irídio, para dentro de 0.0001, isso seria medido ao ponto de 
derretimento do gelo. Em 1927, o metro foi definido mais 
justamente como a distância, a 0°, entre os machados das duas 
linhas centrais marcados na barra de platina-irídio persistida no 
BIPM, e declarou Protótipo do metro pelo 1º CGPM, esta barra 
que está sujeito a pressão atmosférica standard e apoiada em dois 
cilindros de pelo menos um diâmetro de centímetro, 
simetricamente colocadas no mesmo plano horizontal a uma 
distância de 571 mm de um ao outro. 
 A definição de 1889 do metro, fundamentada no protótipo 
internacional de platina-irídio, foi substituída pelo CGPM em 
1960 usando uma definição fundada em um comprimento de 
onda de radiação kryptônio-86. Esta definição foi adotada para 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7 
reduzir a incerteza com que o metro pode ser percebido. Em 1983 o 
CGPM substituiu esta definição posterior pela seguinte definição: 
O metro é a duração do caminho percorrido pela luz no 
vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo. 
 Note que o efeito desta definição é fixar a velocidade de luz no vácuo 
a exatamente 299 792 458 m·s-1. O protótipo internacional original do 
metro que foi sancionado pelo 1º CGPM em 1889 ainda é persistido no 
BIPM debaixo das condições especificadas em 1889. 
 
 Unidade de massa 
(kilograma) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 Ao término do 18º século, um quilograma era a massa de um 
decímetro cúbico de água. Em 1889, o 1º CGPM sancionou o protótipo 
internacional do quilograma, feito de platina-irídio, e declarou: Será 
considerado daqui em diante que este protótipo é a unidade de massa. A 
figura anterior mostra o bloco de platina-irídio, um protótipo 
internacional, como está na Agência Internacional de Pesos e Medidas 
debaixo de condições especificadas pelo 1º CGPM em 1889. 
 O 3d CGPM (1901), em uma declaração pretenderam terminar a 
ambigüidade em uso popular relativo ao palavra " peso, " confirmou isso: 
O quilograma é a unidade de massa; é igual à massa do 
protótipo internacional do quilograma. 
 
 Unidade de tempo 
(segundo) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 A unidade de tempo, o segundo, foi definida originalmente como a 
fração 1/86 400 do dia solar médio. A definição exata de "dia " solar 
médio permaneceu sob as teorias astronômicas. Porém, a medida mostrou 
que não pudessem ser levadas em conta irregularidades na rotação da 
Terra pela teoria e tem o efeito que esta definição não permite alcançar a 
precisão exigida. Para definir a unidade de tempo mais justamente, o 11º 
CGPM (1960) adotou uma definição dada pela União Astronômica 
Internacional que estava baseado no ano tropical. Porém, um trabalho 
experimental já tinha mostrado que um padrão atômico de intervalo de 
tempo, baseado numa transição entre dois níveis de energia de um átomo 
ou uma molécula, poderia ser reproduzida muito mais justamente. 
Considerando que uma definição muito precisa da unidade de tempo é 
indispensável para o Sistema Internacional, o 13º CGPM (1967) decidiu 
substituir a definição do segundo pelo seguinte (afirmou pelo CIPM em 
1997 que esta definição se refere a um átomo de césio em seu estado 
fundamental à uma temperatura de 0 K): 
O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da 
radiação que corresponde à transição entre o dois níveis hiperfinos do 
estado fundamental do átomo de césio 133. 
 
 Unidade de corrente 
elétrica (ampere) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 Unidades de corrente elétrica, chamada " internacional, " para corrente 
e resistência foi introduzida pelo Congresso Elétrico Internacional em 
Chicago em 1893, e as definições do " ampère internacional " e o " ohm 
internacional " eram confirmadas pela Conferência Internacional de 
Londres em 1908. 
 Embora já era óbvio na ocasião do 8º CGPM (1933) que havia um 
desejo unânime para substituir essas " unidades internacionais " através de 
unidades absolutas " denominadas ", a decisão oficial para aboli-los só foi 
levada pelo 9º CGPM (1948) que adotou o ampère para a unidade de 
corrente elétrica e segue a definição proposta pelo CIPM em 1946: 
O ampère é aquela corrente de constante que, se manter 
diretamente em dois condutores paralelos e infinitos, de seção circular 
transversal desprezível, colocados paralelamente a 1 metro no vácuo, 
produziria entre estes condutores uma força igual para 2 x 10-7 newton 
por metro de comprimento. 
 A expressão " unidade de MKS de força " que acontece no texto 
original foi substituída aqui através de " newton, " o nome adotou para 
esta unidade pelo 9º CGPM (1948). Note que o efeito desta definição é 
fixar a constante magnética (permeabilidade do vácuo) a exatamente 4 x 
10-7 H · m-1 . 
 
 
 
 Unidade de temperatura 
termodinâmica (kelvin) 
Acronimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 A definição da unidade de temperatura termodinâmica era 
determinada em substância pelo 10º CGPM (1954) que 
selecionou o ponto triplo de água como o ponto fixo fundamental 
e nomeou a isto a temperatura 273.16 K, definindo a unidade 
assim. O 13º CGPM (1967) adotou o kelvin de nome (símbolo K) 
em vez de " grau Kelvin " (símbolo °K) e definiu a unidade de 
temperatura termodinâmica como segue: 
O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a 
fração 1/273.16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo 
da água. 
 Por causa das escalas termométricasde temperatura, 
permanece prática comum para expressar temperatura 
termodinâmica, símbolo T, em termos de sua diferença da 
referência temperatura T0 = 273.15 K, o ponto de gelo. Esta 
diferença de temperatura é chamada uma temperatura Celcius 
(em graus Centígrados, símbolo t, e é definido pela equação de 
quantidade 
t = T – T0 . 
 A unidade de temperatura Celcius é o grau Centígrado, 
símbolo °C que é por definição igual em magnitude para o kelvin. 
Uma diferença ou intervalo de temperatura podem ser 
expressados em kelvins ou em graus Centígrado (13º CGPM, 
1967). O valor numérico de uma temperatura t graus Celcius é 
determinada por 
t/°C = T/K - 273.15. 
 O kelvin e o grau Centígrado também são também unidades 
de Temperatura Internacional. A Escala de 1990 (ITS-90) adotou 
pelo CIPM em 1989. 
 
 Unidade de quantidade de 
substância (mole) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 Seguindo a descoberta das leis fundamentais de química, as 
unidades foram chamadas, por exemplo, ―átomo-grama" e 
"molécula-grama‖, foram usadas para especificar quantias de 
elementos químicos ou combinações. Estas unidades tiveram uma 
conexão direta com "pesos" atômicos e "pesos moleculares" que 
eram de fato massas relativas. Referiram ―pesos" atômicos 
originalmente ao peso atômico de oxigênio, por acordo geral 
levado como 16. Mas considerando os isótopos físicos separados 
no espectrógrafo de massa, atribuiu o valor 16 a um dos isótopos 
de oxigênio; os químicos atribuíram aquele mesmo valor para o 
(ligeiramente variável) mistura de isótopos 16, 17, e 18 que eram 
para eles o oxigênio de elemento naturalmente acontecendo. 
Finalmente, um acordo entre a União Internacional de Puras e 
Aplicadas Físicas (IUPAP) e a União Internacional de Pura e 
Aplicada Química (IUPAC) trouxe esta dualidade para um fim 
em 1959/60. Os Físicos e Químicos concordaram nomear o valor 
12, exatamente, desde então para o "peso atômico" corretamente 
a massa atômica relativa, do isótopo de carbono com massa 
número 12 (carbono 12, 12C). A balança unificada assim obtida 
dá valores de massa atômica relativa. 
 Permaneceu definir a unidade de quantidade de substância 
fixando a massa correspondente de carbono 12; por acordo 
internacional, esta massa esteve fixa em 0.012 kg, e a unidade 
da quantidade de “substância" era determinada de nome mole 
(mol de símbolo). 
 As Propostas seguintes da IUPAP, IUPAC, e a Organização 
Internacional para Padronização (ISO), o CIPM cedeu 1967, e 
confirmou em 1969, a definição de mole, eventualmente adotados 
pelo 14º CGPM (1971): 
1. mole é a quantia de substância de um sistema que 
contém tantas entidades elementares quanto há átomos em 0.012 
quilograma de carbono 12; seu símbolo é " mol ". 
2. quando o mole é usado, as entidades elementares 
devem ser especificadas e podem ser átomos, moléculas, íons, 
elétrons, outras partículas, ou especificados grupos de tais 
partículas. 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8 
A sua 1980 reunião, o CIPM aprovou a proposta de 1980 pelo Comitê de 
Consultas em Unidades do CIPM que especifica isso nesta definição, é 
compreendido que átomos não ligados de carbono 12, em repouso e no 
estado de solo deles/delas, se refere. 
 
 
 Unidade de intensidade 
luminosa (candela) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
Originalmente, cada país teve seu próprio, e bastante mal 
reprodutível, unidade de intensidade luminosa; era necessário esperar até 
as 1909 para ver um começo de unificação no nível internacional, quando 
os laboratórios nacionais dos Estados Unidos da América, França, e Grã 
Bretanha decidiram adotar a vela internacional representada por 
luminárias de filamento de carbono. Ao mesmo tempo, a Alemanha ficou 
com a vela de Hefner, definida por um padrão de chama, e igual para 
aproximadamente nove décimos de uma vela internacional. Mas um 
padrão baseado em luminárias incandescentes, e conseqüentemente 
dependente na sua estabilidade, nunca teria sido completamente 
satisfatório e poderia ser então só provisional; por outro lado, as 
propriedades de um corpo negro proveram uma solução teoricamente 
perfeita e, já em 1933, foi adotado o princípio que unidades de fotometria 
novas estariam baseado na emissão luminosa de um corpo negro na 
temperatura de fusão da platina (2045 K). 
 As unidades de intensidade luminosa eram baseadas em chama ou 
padrões de filamento incandescentes e foram substituídas em uso em 
vários países antes de 1948 inicialmente pela "vela" baseado no 
luminance da radiação de corpo negro (Teoria feita por Planck) à 
temperatura de platina citada acima. Esta modificação tinha sido 
preparada pela Comissão Internacional em Iluminação (CIE) e pelo CIPM 
antes das 1937, e foi promulgado pelo CIPM em 1946. Foi ratificado 
então em 1948 pelo 9º CGPM que adotaram um nome internacional novo 
para esta unidade, candela (cd de símbolo); em 1967 o 13º CGPM deu 
uma versão emendada da definição de1946. 
 Em 1979, por causa das dificuldades experimentais que ocorriam na 
radiação de corpo negro (Teoria de Planck) a temperaturas altas e as 
possibilidades novas ofereceu através da radiometria, i.e., a medida de 
poder de radiação óptico, o 16º CGPM (1979) adotou uma definição nova 
para o candela: 
O candela é a intensidade luminosa, em uma determinada 
direção, de uma fonte que emite radiação monocromática de freqüência 
540 x 1012 hertz e tem uma intensidade radiante naquela direção de 
1/683 watt por stereoradianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apêndice: 
 Modo Estatístico das calculadoras. 
 Casio fx-82MS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comando Função 
on Liga 
Mode 2 Entra no modo sd 
(statistical data) 
Shift CLR 1 = Limpa memórias 
Dado 1 M+ Inseri dado 1 
Shift 2 Entra no s-var 
Shift 2 1 = Dá a média 
Shift 2 2 = Dá o DPP 
Shift 2 3 = Dá o DPA 
Shift CLR 3 = Limpa tudo 
Mode 3 Entra no modo reg 
1 (regressão 
linear) 
x1,y1 M+ Inseri ponto (x1,y1) 
Exemplo: 
 1.879EXP(-
)5,2.456EXP4 M+ 
Insere o ponto 
(1.879.10-5, 
2.46.104) 
Shift 2 1 = Dá a média de x 
Shift 2 2 = Dá o DPP de x 
Shift 2 3 = Dá o DPA de x 
Shift 2 1 = Dá a média de x 
Shift 2 2 = Dá o DPP de x 
 Shift 2 3 = Dá o DPA de x 
Shift 2 1 = Dá o coeficiente 
linear A 
Shift 2 2 = Dá o coeficiente 
angular B 
Shift 2 3 = Dá a correlação r 
 Série HP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9 
 Recursos estatísticos: 
 Σx, Σx2, Σy, Σy2, Σxy 
 Desvio padrão de amostra, média 
 Desvio padrão de população 
 Regressão linear 
 Combinações, permutações 
 Média ponderada 
 Editar, gravar, nomear, listar 
 Ajuste de curva ( LIN, LOG, EXP, POW ) 
 Plotagem de dados estatísticos 
 Testes de hipóteses 
 Intervalos de confiança 
 
Comando Função 
 
Single-var 
 
Entra no modo 
estatístico 
Edit Entra no modo de 
edição. Escolha a 
coluna que inserirá os 
dados 
population Dpp 
sample Dpa 
chk Marque para mostrar 
o valor 
 
Fit data 
 
Entra no modo de 
ajuste de curvas 
Edit Insira os dados (x,y) 
nas colunas 1 e 2, por 
exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GRANDEZAS FÍSICAS Vetoriais e 
escalares. 
 VETORES 
 
 Vetores no plano R2: 
 
 Versores: São vetores de módulo 
1 e perpendiculares entre si. No plano R
2
 definimos 
os versores 
0,1iˆ
 e 
1,0jˆ
 
 y 
 1 
 
 
jˆ
 
 
iˆ0 1 x 
 Representação: 
jvivv yx
ˆˆ
 ou 
),( yx vvv

 ou 
OAAOv
 
xv
: Componente horizontal do vetor 
v
 . 
yv
: Componente vertical do vetor 
v
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cosvvx

 
senvvy

 
CD D C
 
, ,D D C CCD x y x y
 
,D C D CCD x x y y
 
ˆ ˆ
D C D CCD x x i y y j
 
 Módulo ou magnitude do vetor: 
22
yx vvv

 
 
Valeu, 
carinha ? 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10 
o Importante: 
 
v
 é um vetor, por tanto possui módulo direção e 
sentido. 
 
v

 é o módulo do vetor 
v
 , sendo portanto um 
número. 
 
 Direção do vetor: 
A direção de um vetor é dada pelo ângulo que o 
vetor forma com o eixo horizontal Ox, com o ângulo 
medido no sentido anti-horário. 
 
 
 
 θ 
 
 
 Unidades angulares: 
Definimos o grau (em inglês: degree) como um 
noventa avos do ângulo reto. 
 O grado é definido de tal forma que a cada 100 
grados corresponde a 90
0
. Assim: 
0
0
( ) 100
90
grados
 
 O radiano é dado pela correspondência: a cada π 
radianos corresponde a 180
0
. Assim: 
0
0
180
)(rad
 
 
 Modo angular na calculadora: 
Lembre-se que para encontrar o ângulo em graus 
o modo que se deve trabalhar na calculadora é deg (de 
―degree”) e se quisermos operar em radianos, rad. 
A relação entre um ângulo medido em grau 
0
 e um 
ângulo medido em radiano é dada por: 
0
0180
 
 3.14159... 
 Determinação do ângulo : 
v
v
v
v xx  arccoscos
 
 
v
v
v
v yy
 arcsensen
 
 
x
y
x
y
v
v
v
v
arctantan
 
 
 
 
 Conversões de quadrantes: 
 
i) Vetor no segundo quadrante 
 
 y 
x
y
v
v
arctg
 
 
 
v
 000 180 
 
vy 
)(rad
 
 
 vx 0 x 
 
ii) Vetor no terceiro quadrante 
 y 
 
x
y
v
v
arctg
 
 0x 
 
v
 000 180 
 
vy 
)(rad
 
 
 vx 
iii) Vetor no quarto quadrante 
 y 
 
x
y
v
v
arctg
 
0x 
 
v
 000 360 
 
vy 
2)(rad
 
 
 vx 
 
 
 Operações com vetores 
 
 Multiplicação por um escalar 
 
 Soma de vetores 
 Regra do Polígono 
 
v
 
w
 
 
u
 
t
 
 
 
twvuS
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11 
 
 Regra do Paralelogramo 
 
 
vu
 
 
u
 
vu
 
 
 
 
v
 
 
cos2
22
vuvuvu
 
 
cos2
22
vuvuvu
 
Obs.: Vide demonstração no Apêndice I 
 
 Subtração de vetores 
 
 Vetores no espaço R3: 
 
 Representação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
kvjvivv zyx
ˆˆˆ
 
ou 
),,( zyx vvvv

 
ou 
 
OAAOv
 
xv
: Componente x do vetor 
v
 . 
yv
: Componente y do vetor 
v
 . 
 
zv
: Componente z do vetor 
v
 . 
 Determinação dos ângulos formados pelo vetor 
com os eixos: 
 
Ângulo Ângulo formado pelo: Cossenos 
diretores 
 
θx 
Vetor e eixo Ox 
v
vx
x cos
 
 
θy 
Vetor e eixo Oy 
v
vy
y cos
 
 
θz 
Vetor e eixo Oz 
v
vz
z cos
 
 
 Versores: 
0,0,1iˆ
 
0,1,0jˆ
 
1,0,0kˆ
 
 Módulo do vetor: 
 
222
zyx vvvv

 
 
 
 Normalização de um vetor: 
 Dado um vetor 
u
 qualquer, o vetor de 
módulo 1 que aponta na mesma direção e sentido de 
u
 é dado por: 
 
u
u
n 

ˆ
 
u
 
nˆ
 
 Ou: 
jsenin ˆˆcosˆ
 
 
 Regra do paralelogramo: 
 
 
vuS
 
u
 
vuD
 
 
 
 
v
 
cos2
22
vuvuvu

 
Analogamente, podemos provar que: 
cos2
22
vuvuvu

 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12 
 
 Apêndice II 
 Regra do Paralelogramo: Demonstração: 
 
Observe que: 
 
 
uy
ux
uu
uu
cos
cos

 e 
vy
vx
vv
vv
cos
cos

 
 
jsenuiuu uu
ˆˆcos
 
jsenvivv vv
ˆˆcos
 
 
 Relações trigonométricas: 
 
 
asenbbsenabasen coscos)(
 
 
senasenbbaba coscos)cos(
 
 
1cos 22 sen
 
 
sensensen 2)2(
 
 
22cos)2cos( sen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
jsenvsenuivuvu vuvu
ˆˆcoscos

 
22
coscos vuvu senvsenuvuvu

)cos(cos2)(cos)(cos 22
2222
vuvuuuuu sensenvusenvsenuvu

 
 
Como: 
vuvuvu sensencoscos)cos(cos
 
Teremos: 
 
cos2
22
vuvuvu
 
Analogamente, podemos provar que: 
cos2
22
vuvuvu
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
13 
 Apêndice II 
 
 Lei dos Cosenos: 
 
 
cos222 babac
 
 
cos222 cacab
 
 
cos222 bcbca
 
 
 
 
 
 
 
 
 a c 
 
 
 
 b 
 
 
 Lei dos Senos: 
 
sen
c
sen
b
sen
a
 
 
 
Prova:Observe que: 
 
 
 
 1 
 2 
 a h c 
 
 
 
 m n 
 b 
 
senah
a
h
sen
 {1} 
 
sench
c
h
sen
 {2} 
11 coscos ah
a
h
 
 
11 coscos ah
a
h
 
 
 
22 coscos ch
c
h
 
11 senam
a
m
sen
 
 
22 sencn
c
n
sen
 
 
122121 coscos)( sensensensen
 
ac
bh
ac
hnm
a
h
c
n
c
h
a
m
sen
)(
1
1
 
Portanto: 
sen
b
ac
h
 {3}; Reunindo {1}, 
{2} e {3}: 
sen
b
ac
sencsenah
 
Dividindo os membros por a.c: 
b
sen
a
sen
c
sen
 
Ou: 
sen
c
sen
b
sen
a
 
 
 
 Produtos entre vetores 
Dados dois vetores: 
ˆˆ ˆ
x y zu u i u j u k
 θ 
ˆˆ ˆ
x y zv v i v j v k
 
Definimos: 
 Produto escalar: 
O produto escalar entre dois vetores tem como 
u e v
resultado um número. 
 Representamos por: u v 
 
x x y y z zu v u v u v u v
 
 Também podemos demonstrar que: 
cosu v u v
 
 Onde θ é o ângulo entre os vetores
u e v
 . 
 
 Produto vetorial: 
O produto escalar entredois vetores tem como 
u e v
resultado um vetor. 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
14 
 Representamos por: u v 
 
ˆˆ ˆ
x y z
x y z
i j k
u v u u u
v v v
 
 
Também podemos demonstrar que: 
u v u v sen
 
 O vetor 
u v
 é um vetor perpendicular ao 
plano formado pelos vetores 
u e v
 . 
 
 EXERCÍCIOS 
 
 SEÇÃO 1.4 PADRÕES E 
UNIDADES 
 
 SEÇÃO 1.5 
COERÊNCIA E CONVERSÃO DE 
UNIDADES 
 
1.1 Usando a delmição l milha = l.61 km. calcule o 
número de quilômetros em 5 milhas. 
 
1.2 De acordo com o rótulo de uma garrafa de 
molho para salada, o volume do conteúdo é de 0,473 
litros (L). Usando a conversão l L = 1000 cm
3
 , 
expresse este volume em milímetros cúbicos. 
 
1.3 Calcule o tempo em nanossegundos que a luz 
leva para percorrer uma distância de l.00 km no 
vácuo. 
 
1.4 A densidade do chumbo é l l .3 g/cm
3
. Qual e 
este valor em quilogramas por metro cúbico?' 
 
1.5 O cilindro de um potente automóvel Chevrolet 
Corvette possui um volume de 5.3 l.. Sabendo que l 
decâmetro (dam) é igual a 10 m, expresse este volume 
em decametros cúbicos. 
 
1.6 Para controlar seu consumo de bebida 
alcoólica, você resolveu beber 0,04 m
3
 de vinho durante 
um ano. Supondo que todo dia você beba a mesma 
quantidade de vinho, quantos cm
3
 de vinho você 
deveria beber por dia? 
 
1.7 O Concorde é o avião comercial mais veloz do 
mundo. Ele pode viajar a 1450 mi/h (cerca de duas 
vezes a velocidade do som ou Mach 2. Calcule esta 
velocidade 
(a) em km/h e (b) em m/s. 
 
1.8 Em um país europeu você vê o seguinte aviso: 
limite máximo de velocidade = 100 mi/h. Expresse este 
limite em km/h e em m/s. 
 
1.9 O consumo de gasolina de um cairo pequeno 
é aproximadamente igual a 15,0 km/L. Expresse este 
consumo em dam/cm
3
. 
 
 SEÇÃO 1.6 
 INCERTEZA 
 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
1.10 Um modo útil de saber quantos segundos 
existem em um ano é dizer que um ano ê 
aproximadamente igual a 10
7
segundos. Calcule o erro 
percentual deste valor aproximado. 
(Em um ano existem 365.24 dias.) 
 
1.11 
(a) Suponha que um trem tenha percorrido 890 
km de Berlim ate Paris e superou em 10 m o limite final 
do trilho. Qual o erro percentual na distância total 
percorrida? 
(b) Seria correto dizer que ele percorreu uma 
distância total de 890.010 m? Explique. 
 
1.12 Usando uma régua de madeira, você mede 
o comprimento de uma placa metálica retangular e 
encontra 12 mm. Usando um micrômetro para medir a 
largura da placa você encontra 5,98 mm. 
Forneça as respostas dos seguintes itens com o número 
de algarismos significativos correio, 
(a) Qual a área do retângulo? 
(b) Qual a razão entre a largura do triângulo e 
o seu comprimento? 
(c) Qual o perímetro do retângulo? 
(d) Qual a diferença entre o comprimento do 
retângulo e a sua largura? 
(e) Qual a razão entre o comprimento do 
retângulo e a sua largura? 
 
1.13 Estime o erro percentual ao medir: 
(a) a distancia de 75 cm usando uma régua de l 
m. 
(b) a massa de 12 g com uma balança química: 
(c) o intervalo de tempo de 6 min com um cronômetro. 
 
1.14 Uma placa retangular de alumínio possui 
comprimento de: 
5.60 ±0.01 cm e largura de: 
l.90 ±0.01 cm. 
(a) Ache a área do retângulo e a incerteza na 
área. 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
15 
(b) Verifique se a incerteza fracionaria na área 
é igual à soma das incertezas fracionárias do 
comprimento e da largura. 
 
1.15 Um disco fino de chocolate possui 
diâmetro igual a 8,50 ± 0,02 cm e espessura igual a 
0.050 ± 0,005 cm. 
(a) Ache o volume e a incerteza no volume, 
(b) Ache a razão entre o diâmetro e a espessura 
e a incerteza desta razão. 
 
 SEÇAO 1.7 ESTIMATIVAS E 
ORDENS DE GRANDEZA 
 
1.16 Faça uma estimativa do volume da 
gasolina consumida no Brasil durante um ano. 
 
1.17 Uma caixa possui volume de 28 cm x 22 
cm x 42 cm e está cheia de folhas de papel de 28 cm x 
22 cm. Esta caixa contém aproximadamente 10 mil ou 
10 milhões de folhas? 
 
1.18 Quantas laranjas você deve espremer para 
obter 2 L de suco de laranja? 
 
1.19 Estime a ordem de grandeza do número 
de palavras de um livro (200 páginas). 
 
1.20 Qual é o volume de ar que uma pessoa 
respira em toda sua vida? Compare este volume com o 
volume de um apartamento de dois quartos. (Estime que 
para cada respiração o volume de ar aspirado é 
aproximadamente igual a 500 cm
3
.) 
 
1.21 Quantos fios de cabelo há em sua cabeça? 
 
1.22 Quantas vêzes o coração de uma pessoa 
bale em toda sua vida? Quantos litros de sangue ele 
bombeia neste período? 
(Estime que em cada batida do coração o volume de 
sangue bombeado é aproximadamente igual a 50 cm
3
). 
 
1.23 Na ópera de Wagner O anel dos 
Niebelungos, a deusa Freia é resgatada em troca de uma 
pilha de ouro com largura e altura suficientes para 
escondê-la. Estime o valor desta pilha de ouro. 
(Use o Exemplo l .4 para obter os dados necessários 
para a densidade e o preço do ouro.) 
 
1.24 Quantas gotas de água existem em todos 
os oceanos da Terra? 
 
1.25 Quantas pilhas são consumidas durante 
um ano acadêmico em sua faculdade? 
 
1.26 Quantas notas de um dólar seriam 
necessárias para fazer uma pilha de notas com uma 
altura igual ã distância entre a Terra e a Lua? Este total 
seria maior ou menor do que o valor gasto em um 
projeto para construir e lançar uma nave até a Lua? 
 
1.27 Quantas notas de um dólar seriam 
necessárias para cobrir a área total dos Estados Unidos 
(incluindo o Alasca e o Havaí)? 
Quanto isto custaria para cada americano? 
 
 SEÇÃO 1.8 VETORES E SOMA 
VETORIAL 
 
1.28 Ouvindo o ruído de uma serpente, você faz 
dois deslocamentos rápidos com módulos de 1.8 e 2.4 
m. Usando diagramas (aproximadamente em escala), 
mostre como esses deslocamentos deveriam ser 
cfetuados para que a resultante tivesse módulo igual 
a: 
(a) 4.2 m. (b) 0.6 m, (c) 3,0 m. 
 
1.29 Um empregado do Correio dirige um 
caminhão de entrega e faz trajeto indicado na Figura l 
.24. Determine o módulo, a direção e o sentido do 
deslocamento resultante usando diagramas em escala. 
(Ver o Exercício l.34 para usar um método alternativo 
na solução deste problema.) 
 
FIGURA 1 Exercícios l.29 e 1.34. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.30 Para os vetores 
A
e
B
 indicados na 
Figura 2 use diagramas em escala para determinar: 
(a) a soma vetorial 
A B
 
(b) a diferença velorial 
A B
. Com as 
respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a 
direçao e o sentido de 
(c) 
A B
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
16 
(d) 
B A
(Veja o Exercício l.35 para usar um 
método alternativo na solução deste problema.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2 Exercícios l.30. l.35, l .40 c 1.48. 
 
1.31 Uma espeleóloga está pesquisando uma 
caverna. Ela percorre 180 m em linha rela de leste para 
oeste, depois caminha 210 m em uma direçao formando 
45
0
 com a direção anterior e em sentido do sul para o 
leste: a seguir, percorre 90 m a 30
0
 no sentido do norte 
para o oeste. Depois de um quarto deslocamento não 
medido, ela retorna ao ponto de partida. Use um 
diagrama em escala para determinar o módulo, a 
direçao c o sentido do quarto deslocamento. (Veja o 
Problema l.59 para usar um método alternativo na 
solução de um problema semelhante a este). 
 
 SEÇÃO 19 
 COMPONENTES DE VETORES 
 
1.32 Use um diagrama em escala para 
determinar os componentes 
A
e
B
dos vetores 
seguintes. Para cada vetor, os números indicam 
(i) o módulo do velor 
(ii) o ângulo que ele faz com o eixo Ox medido 
supondo-se uma rotação no sentido do eixo +Ox para o 
eixo +Oy. Ache para 
(a) módulo 9,3 m e ângulo de 60,0
0
; 
(b) módulo 22.0 km e ângulo 135
0; 
(c) módulo 6.35 cm e ângulo de 307
0
. 
 
1.33 Determine os componentes 
A , B eC 
indicados na Figura 3. 
 
FIGURA 3 Exercícios 1.33, 1.41. l.44 e Problema 1.58. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.34 Um empregado do serviço postal dirige 
um caminhão de entrega e faz o trajeto indicado na 
Figura 4. Use o método dos componentes para 
determinar o módulo, a direção e o sentido do 
deslocamento resultante. Mediante um diagrama 
vetorial (aproximadamente em escala), mostre que o 
deslocamento resultante obtido com este diagrama 
concorda aproximadamente com o resultado obtido pelo 
método dos componentes. 
 
1.35 Para os vetores 
A ,B indicados na 
Figura 3 use o método dos componentes para 
determinar o módulo, a direção e o sentido 
(a) a soma vetorial 
A B
 
(b) a diferença velorial 
A B
. Com as 
respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a 
direçao e o sentido de 
(c) 
A B
 
(d) 
B A 
 
1.36 Determine o módulo, a direção e o 
sentido dos vetores representados pêlos seguintes 
pares de componentes: 
(a) Ax = -8.60 cm, Ay = 5.20 cm; 
(b) Ax = -9.70 m, Ay = -2.45cm; 
(c) Ax = 7.75 km, Ay = -2.70 km. 
 
1.37 Um professor de física desorientado 
dirige 3.25 km do sul para o norte, depois 4.75 km de 
leste para oeste, a seguir l.50 km do norte para o sul. 
Determine o módulo, a direção e o sentido do 
deslocamento resultante, usando o método dos 
componentes. Usando diagramas (aproximadamente em 
escala), mostre que o deslocamento resultante 
encontrado em seu diagrama concorda 
aproximadamente com o resultado obtido pelo método 
dos componentes. 
 
1.38 O vetor 
A
 possui componentes Ax = l.30 
cm, Ay = 2,25 cm; o vetor B possui componentes Bx = 
4,10 cm, By = -3.75 cm. 
Ache 
(a) os componentes da soma vetorial 
A B 
(b) o módulo, a direçao e o sentido da soma 
vetorial 
A B
 
(c) os componentes da diferença vetorial 
A B 
(d) o módulo, a direçao e o sentido da 
diferença vetorial 
A B
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
17 
1.39 O vetor 
A
 possui comprimento igual a 
2,80 cm e esta no primeiro quadrante a 60.0
0
 acima do 
eixo Ox. O vetor 
B
 possui comprimento igual a l .90 
cm e está no quarto quadrante a 60,0
0 
abaixo do eixo Ox 
(Figura 4). Ache o módulo, a direção e o sentido de: 
(a) a soma vetorial 
A B
 
(b) a diferença velorial 
A B
. 
(c) 
A B
 
Em cada caso faça um diagrama da soma ou da 
diferença e mostre que os resultados concordam 
aproximadamente com as respostas numéricas obtidas. 
 
FIGURA 4 Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SEÇÃO 1.10 
 VETORES UNITÁRIOS 
 
1.40 Escreva cada vetor indicado na Figura 5 em 
termos dos vetores unitários 
iˆ
e 
jˆ
. 
 
1.41 Escreva cada vetor indicado na Figura 1.26 
em termos dos vetores unitários 
iˆ
e 
jˆ
. 
 
1.42 
 (a) Escreva cada vetor indicado na Figura 6 em 
termos dos vetores unitários 
iˆ
e 
jˆ
. 
 (b) Use vetores unitários para escrever o vetor 
C
, 
onde 
3 4C A B
 
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do vetor 
C
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 5 Exercícios B (2,40 m). Exercício 1.42 
e Problema 1.66. 
 
 1.43 Dados os vetores 
ˆ ˆ4,00 3,00A i j
e
ˆ ˆ5,00 2,00B i j
 
(a) ache o módulo, a direção e o sentido de 
cada vetor; 
(b) escreva uma expressão para a diferença 
vetorial 
A B
 usando vetores unitários; 
(c) ache o módulo, a direção e o sentido da 
diferença vetorial 
A B 
 (d) faça um diagrama vetorial para 
A , B e 
A B
 e mostre que os resultados queconcordam 
aproximadamente com a resposta do item (c). 
 
 
 SEÇÃO 1.1 
 PRODUTOS DE VETORES 
 
1.44 Para os vetores 
A , B eC , indicados na 
Figura 6, ache os produtos escalares 
(a) 
A B 
(b) 
B C
 
(c) 
A C
 
 
1.45 
(a) Ache o produto escalar dos dois vetores 
A
 e 
B
 mencionados no Exercício 1.43. 
(b) Ache o ângulo entre estes vetores. 
 
1.46 Ache o ângulo entre cada par de vetores: 
(a) 
ˆ ˆ2,00 6,00A i j
 e 
ˆ ˆ2,00 3,00B i j
 
(b) 
ˆ ˆ3,00 5,00A i j
 e 
ˆ ˆ10,00 6,00B i j
 
(c) 
ˆ ˆ4,00 2,00A i j
 e 
ˆ ˆ7,00 14,00B i j
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
18 
 
1.47 Supondo um sistema de coordenadas com 
orientação da mão direita, ache a direção e o sentido do 
eixo Oz. 
 
1.48 Para os vetores indicados na Figura 4, 
(a) ache o módulo, a direção e o sentido do 
produto vetorial
A B
; 
(b) ache o módulo, a direção e o sentido do 
produto vetorial 
B A
 
 
1.49 Encontre o produto vetorial 
A B
 
expresso em termos dos vetores unitários. 
Qual o módulo deste produto vetorial? 
 
1.50 Para os vetores indicados na Figura 5, 
(a) ache o módulo, a direção e o sentido do 
produto vetorial 
A B
; 
(b) ache o modulo, a direção e o sentido do 
produto veional 
B A
. 
 
 PROBLEMAS 
 
1.51 A milha é uma unidade de comprimento 
muito usada nos Estados Unidos e na Europa. Sabendo 
que l mi é aproximadamente igual a 1,61 km, calcule: 
(a) o número de metros quadrados existentes 
em uma rnilha quadrada; 
(b) decímetros cúbicos existentes em uma 
milha cúbica. 
 
1.52 Suponha que uma fazenda seja avaliada 
em R$ 4,00 o metro quadrado. Calcule o preço desta 
fazenda sabendo que sua áreatotal é igual a 100 milhas 
quadradas. 
 
1.53 O Maser de Hidrogénio. As ondas de 
rádio geradas por um maser de hidrogénio podem ser 
usadas como um padrão de freqüência. Afreqüência 
dessas ondas é igual a 1420405751.786 hertz. (Um 
hertz significa o mesmo que um ciclo por segundo.) 
Um relógio controlado por um maser de hidrogênio 
pode atrasar ou adiantar apenas l s em 100.000 anos. 
Para as respostas das perguntas seguintes, use apenas 
três algarismos significativos. (O grande número de 
algarismos significativos nesta frequência ilustra a 
impressionante acurácia desta medida). 
(a) Qual é o intervalo de tempo de um ciclo desta 
onda de rádio? 
(b) Quantos ciclos ocorrem em 1h ? 
(c) Quantos ciclos poderiam ter ocorrido durante a 
idade da Terra, estimada em 4,6.10
9
 anos? 
(d) Quantos segundos um relógio controlado por um 
maser de hidrogênio poderia atrasar ou adiantar durante 
a idade da Terra? 
 
1.54 Estime o número de átomos existentes em seu 
corpo. 
(Sugestão: com base em seus conhecimentos de 
biologia e de química; diga quais os tipos mais comuns 
de átomos existem em seu corpo. Qual a massa de cada 
um destes átomos? O Apêndice D apresenta uma 
relação das massas dos diferentes elementos, expressas 
em unidades de massa atómica; você encontrará o valor 
De uma unidade de massa atômica). 
 
1.55 (a) Estime o número de dentistas em sua 
cidade. Você deve considerar nesta estimativa o número 
de habitantes, a frequência com a qual se costuma ir a 
um dentista, a duração típica de um procedimento no 
tratamento dentário (obturações, tratamento de canais 
etc.) e quantas horas um dentista trabalha durante a 
semana. Confira sua estimativa consultando uma lista 
Telefônica local. 
 
1.56 Os matemáticos, os físicos e outros 
pesquisadores trabalham com números grandes. Os 
matemáticos inventaram o nome extravagante de 
googol para designar 10
100
 . Vamos comparar alguns 
números grandes existentes na física com o googol. 
{Nota: Este problema necessita do uso de alguns 
valores numéricos nos apêndices deste livro, com os 
quais seria conveniente você se familiarizar.} 
(a) Estime o número aproximado de átomos 
existentes em nosso planeta. Para facilitar, considere a 
massa atómica dos átomos igual a 14 g/mol. O número 
de Avogadro fornece o número de átomos existentes em 
um mol. NA = 6.02.10
23
 átomos/mol. 
(b) Estime o número aproximado de nêutrons 
existentes em uma estrela de nêutrons. Uma estrela de 
nêutrons é constituída quase que exclusivamente de 
nêutrons e possui massa igual a duas vezes amassa do 
Sol. 
(c) Na teoria principal acerca da origem do 
universo, todo o universo observável ocupava em em 
tempos primordiais um raio igual à atual distância entre 
a Terra e o Sol. Naquela época, o universo possuía 
densidade (massa/volume) de 10
15
 g/cm
3
 . 
Estime o número de partículas existentes no 
universo supondo que naquela época a composição das 
partículas era: 1/3 de prótons, 1/3 de elétrnns e 1/3 de 
nêutrons. 
 
1.57 Você deseja programar o movimento do 
braço de um robô em uma linha de montagem. Seu 
primeiro deslocamento é 
A
 A; seu segundo 
deslocamento é 
B
, cujo módulo é igual a 6,40 cm, 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
19 
orientado formando um ângulo de 63,0°, medido 
considerando-se uma rotação do eixo +0x para o eixo 
Oy. A resultante 
C A B dos dois deslocamentos 
deve também possuir módulo igual a 6,40 cm, porém 
formando um ângulo de 22,0°, medido considerando- 
se uma rotação do eixo +Ox para o eixo +Oy. 
(a) Desenhe um diagrama em escala aproximada 
para estes vetores. 
(b) Ache os componentes de 
A
. 
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido de 
A
. 
 
FIGURA 6 - Exercício 1.58 
 
 
 
 37,0
0
 
12,0A m
 
 
 
 
60,0
0
 40,0
0
 
 
6,0C m
 
15,0B m
 
1.58 
(a) Ache o módulo, a direção e o sentido do 
vetor 
R
 que é a soma dos vetorea 
,A eB C
Figura6. 
Desenhe um diagrama para mostrar como 
R
é formado 
com a soma os três vetores indicados na Figura 6. 
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido do 
vetor 
S C A B
. Desenhe um diagrama para 
mostrar como 
S
 é formado com os três vetores 
indicados na Figura 6. 
 
1.59 Como dissemos no Exercício 1.31. uma 
espeleóloga está pesquisando uma caverna. Ela percorre 
180 m em linha reta de leste para oeste; depois caminha 
210m em uma direção que forrna 45° com a direção 
anterior e em sendito do do sul para o leste, a seguir 
percorre 280 m a 30° no sentido do norte para o leste. 
Depois de um quarto deslocamento, ela retorna ao 
ponto de partida. Use o método dos componentes para 
determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto 
deslocamento. Verifique quê a solução obtida usando-se 
um diagrama sm escala é, aproximadamente igual ao 
resultado obtido pelo método dos componentes. 
 
1.60 Uma velejadora encontra ventos que 
impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00 km 
de oeste para leste, a seguir 3,50 km para sudeste e 
depois uma certa distância em direção desconhecida. 
No final do trajeto ela se encontra a 5,80 km 
diretamente a leste de seu ponto de partida (Figura 7 ). 
Dê o módulo. a direção e o sentido do terceiro 
deslocamento. Faça um diagrama em escala da soma 
vetorial dos deslocamentos e mostres que eles 
concordam aproximadamente ocorrem com o resultado 
obtido mediante a solução numérica. 
 
1.61 Um esquiador percorre 2.80 km com 
ângulo de 45,0° considerando rotação em sentido do sul 
para o oeste, a seguir 7,40 km a 30,0° em sentido do 
leste para o norte, e finalmente 3,30 km a 22.0° em 
sentido do oeste para o sul. 
(a) Mostre estes deslocamentos em um 
diagrama, 
(b) Qual é a distância entre o início ë o fim do 
trajeto? 
 
FIGURA 6 - Exercício 1.60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.62 Em um voo de treinamento, uma aprendiz 
de piloto voa de Lincoln, no Estado de NeBraska: até 
Clarinda, no lowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri; 
depois até Manhattan, no Kansas (Figura l .30). Os 
ângulos formados pêlos deslocamentos são medidos em 
relação ao norte: 0° significa o sentido do sul para o 
norte. 90° é o leste, 180° é o sul e 270° é o oeste. Use o 
método dos componentes para achar 
(a) a distância que ela terá de voar para voltar 
para Lincoin; b) a direção e o sentido que ela deverá 
voar para voltar ao ponto de partida. Ilustre a solução 
fazendo um diagrama vetorial. 
(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na 
floresta fomecendo-lhe o vetor deslocamento, calculado 
pelo método dos componentes, necessário para que ele 
retome para sua cabana. 
 
1.64 Uma artista está criando um novo 
logotipo para a página de sua companhia na Internet. 
No programa gráfico que ela está usando, cada pixel em 
um arquivo de imagem possui coordenadas (x, y) onde a 
origem (0,0) está situada no canto superior esquerdo da 
imagem, o eixo +Ox aponta para a direita e o eixo +Oy 
aponta para baixo. As distâncias são medidas em pixels. 
(a) A artista desenha uma linha ligando o local 
do pixel (10,20) com o local (210,200). Ela deseja 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
20 
desenhar uma segunda linha que começa em (10,20), 
tem comprimento de 250 pixels e forma um ângulo de 
30
0
 medindo no sentido dos ponteiros do relógio a partir 
da direção inicial. Qual o local do pixel no qual esta 
segunda linha deve terminar? 
(b) A artista agora desenha uma flecha ligando 
a extremidade direita inferior da primeira linha com a 
extremidade direita inferior da segunda linha. 
Determine o módulo, a direção e o sentido desta flecha. 
Faça um diagrama mostrando as três linhas. 
 
1.64 Um explorador de uma densa floresta na 
África equatorial deixa sua cabana. Ele dá 40 passos no 
sentido nordeste, depois 80 passos em uma direção que 
forma 60
0
 considerando a rotação no sentido de oeste 
para o norte, a seguir 50 passos diretamente para o sul. 
(a) Faça um diagrama aproximadamente em 
escala dos três vetores e da resultante da soma vetorial. 
(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na 
floresta fornecend-lhe o o vetor deslocamento, 
calculado a partir do método das componentes, 
necessário para que ele retorne a sua cabana. 
 
1.65 Os vetores 
,A
 e 
B
 são desenhados a 
partir de um ponto. O vetor 
A
 possui módulo 
A
 e 
forma um ângulo θA, medido supondo-se uma rotação 
no sentido do eixo +0x para o eixo +0y. As grandezas 
correspondentes do vetor 
B
 são o módulo 
B
 e o 
ângulo θB Logo: 
ˆ ˆcos A AA A i A sen j
 
ˆ ˆcos B BB B i B sen j
 
(a) Deduza a Equação: 
cosA B A B
 
B A
 
(b) Mostre que: 
x x y yA B A B A B
 
Observação: Para vetores em 3-D: 
x x y y z zA B A B A B A B
 
Onde: 
ˆˆ ˆcos cos cos
x y zA A A
A A i A j A k
ˆˆ ˆ
x y zA A i A j A k
 
 
ˆˆ ˆcos cos cos
x y zB B B
B B i B j B k
ˆˆ ˆ
x y zB B i B j B k
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 6 - Exercício 1.62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.66 Para os vetores A e a desenhados na 
Figura 6, 
(a) Ache o produto escalar 
A B
; 
(b) Determine o módulo, a direçao e o sentido 
do produto vetorial 
A B
. 
 
1.67 A Figura 7 mostra um paralelogramo 
cujos lados são os vetores 
A
 e 
B
. 
(a) Mostre que o módulo do produto vetorial 
destes vetores é igual à área deste paralelogramo. 
(Sugestão: área = base. altura.) 
(b) Qual é o ângulo entre o produto vetorial e o 
plano deste paralelogramo? 
 
1.68 O vetor 
A
 possui comprimento de 3,50 
cm e aponta para o interior desta página. O vetor 
B
aponta do canto direito inferior desta página para o 
canto esquerdo superior desta página. Defina um 
sistema apropriado de coordenadas com orientação da 
mão direita e ache os três componentes do produto 
vetorial 
A B
, medidos em cm
2
. Faça um diagrama 
mostrando o sistema de coordenadas e os vetores 
A
, 
B
 e 
A B
. 
 
1.69 Dados dois vetores: 
ˆˆ ˆ2 3 4A i j k
 
 e 
ˆˆ ˆ3 1 3A i j k
 
determine: 
(a) o medulo de cada vetor; 
(b) uma expressão para a diferença vetorial 
A B
 usando vetores unitários; 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
21 
(c) o módulo da diferença vetorial 
A B
 
(d) É este valor igual ao módulo da diferença 
vetorial 
B A
? Explique. 
 
1.70 Ângulo da ligação no metano. Na 
moléculado metano, CH4, cada átomo de hidrogênio 
ocupa o vértice de um tetraedro regular em cujo centro 
se encontra o átomo de carbono. Usando coordenadas 
de tal modo que uma das ligações C—H esteja na 
direção 
ˆˆ ˆi j k
 , uma ligação C—H adjacente estará 
na direção 
ˆˆ ˆi j k
. Calcule o ângulo entre estas duas 
ligações. 
 
1.71 Os dois vetores A e B são desenhados a 
partir de um mesmo ponto e 
C A B
 
(a) Mostre que quando C
2
 = A
2
 + B
2
 o ângulo 
entre os vetores 
A
 e 
B
 é 90°. 
(b) Mostre que quando C
2
 < A
2
 + B
2
 , 
o ângulo entre os vetores 
A
 e 
B
 é maior do que 90°. 
(c) Mostre que quando C
2
 > A
2
 + B
2
 o ângulo 
entre os vetores 
A
 e 
B
está compreendido entre 0° e 
90°. 
 
1.72 Quando dois vetores 
A
 e 
B
são 
desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre 
eles é φ. 
(a) Usando técnicas vetoriais, mostre que o 
módulo da soma destes vetores é dado por: 
2 2
2 cosA B A B A B
 
(b) Se 
A
 e 
B
possuem o mesmo módulo, qual 
deve ser õ valor 
A
 ou de 
B
? 
(c) Deduza um resultado análogo ao do item 
(a) para o módulo da diferença vetorial 
A B
. 
(d) Se 
A
 e 
B
possuem o mesmo módulo, qual 
deve ser o valor de φ para que o módulo de 
A B
seja 
igual ao módulo de 
A
 ou de 
B
?
 
 
1.73 Um cubo é colocado de modo que um dos 
seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam 
com os eixos +Ox, +Oy e +Oz de um sistema de 
coordenadas (Figura l .31). Use vetores para calcular 
(a) O ângulo entre a aresta ao longo do eixo 
+Oz (linha az) e a diagonal da origem até o vértice 
oposto (linha ad); 
(b) o ângulo entre a linha ac (a diagonal de 
uma das faces) e a linha ad. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 7 - Problema 1.73 e 1.74 
 
 
 z 
 
 
 b c 
 
 d 
 a 
 y 
 
 x 
 
1.74 Obtenha um vetor unitário ortogonal 
aos dois vetores indicados no Problema l .69. 
 
1.75 Mais tarde em nossos estudos de física 
encontraremos grandezas representadas por 
A B C
. 
(a) Quaisquer que sejam os vetores 
A
 ,
B
e 
C
, prove que: 
A B C A B C
 
(b) Calcule 
A B C
para os três vetores 
seguintes: 
A
 com modulo 5.00 e ângulo θA = 26,0° 
medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo +0x 
para o eixo +0y, 
B
 com módulo 4,00 e ângulo θB = 
63,0° e 
C
 com módulo 6,00 e orientado ao longo do 
eixo +0z. Os vetores A e B estão sobre o plano xy. 
 
 PROBLEMAS DESAFIADORES 
 
1.76 O comprimento de um retângulo é dado 
por L ± l e sua largura é W ± w. 
(a) Mostre que a incerteza na área A é dada por 
a = Lw + W. Suponha que as incertezas l e w sejam 
pequenas, de modo que o produto lw é muito pequeno e 
pode ser desprezado, 
(b) Mostre que a incerteza fracionária na área é 
igual à soma da incerteza fracionária do comprimento 
com a incerteza fracionária da largura, 
(c) Um paralelepípedo possui dimensões L± l, 
W ±w e H ±h. Ache a incerteza fracionária do seu 
volume e mostre que ela é igual à soma das incertezas 
fracionárias do comprimento, da largura e da altura. 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
22 
1.77 Em um jogo de futebol, a bola está 
inicialmente no centro do campo. Considere um sistema 
de coordenadas Oxy no plano do campo e cujo centro O 
coincida com o centro do campo. Depois do primeiro 
chute, a bola se encontra na posição 
ˆ ˆ3 4i j
 onde 
as unidades são em metros. Determine: 
(a) o módulo do deslocamento inicial da bola, 
(b) o ângulo entre este vetor e o eixo +0x. 
 
1.78 Navegando no Sistema Solar. A 
espaçonave Mars Polar Lander (explorador do pólo de 
Marte) foi lançada em 3 de janeiro de 1999. No dia 3 de 
dezembro de 1999 ela pousou na superfície de Marte, 
ocasião em que as posições de Marte e da Terra eram 
dadas pelas coordenadas: 
 x y z 
Terra 0,3182 UA 0,9329 UA 0,0000 UA 
Marte 1.3087UA -0,4423 UA -0,0414 UA 
 
 Nessas coordenadas, o Sol está na origem e o plano da 
órbita da Terra é o plano xy. A Terra corta o eixo +Ox 
uma vez por ano no equinócio de outono no Hemisfério 
Norte (ou primavera no hemisfério Sul, o que ocorre no 
dia 22 de setembro). Uma UA, ou Unidade 
Astronômica, equivale a 1.496.10
8
 km, a distância 
média entre a Terra e o Sol. 
 (a) Em um diagrama, mostre as posições da 
Terra, de Marte e do Sol no dia 3 de dezembro de 1999. 
(b) Calcule as seguintes distâncias em UA no 
dia 3 de dezembro de 1999: 
(i) entre o Sol e a Terra, 
(ii) entre o Sol e Marte, 
(iii) entre a Terra e Marte 
(c) Observando da Terra, qual era o ângulo 
entre a reta que unia a Terra a Marte e a reta que unia a 
Terra ao Sol no dia 3 de dezembro de 1999? 
(d) Verifique e explique se Marte era visível à 
meia-noite no seu local no dia 3 de dezembro de 1999. 
(Quando é meia noite no horário local, o Sol está do 
lado oposto da Terra relação a você.) 
 
1.79 Navegando na Ursa Maior. As sete 
estrelas principais Ursa Maior parecem estar sempre 
situadas a uma mesma distância da Terra, embora elas 
estejam muito afastadas entre si. A Figura indica a 
distância entre a Terra e cada uma dessas estrelas. 
As distâncias são dadas em anos-luz (al), um ano-luz é 
a distância percorrida pela luz durante um ano. Um ano-
luz equivale a 9.461.10
15
 m. 
(a) Alcaide e Méraque estão separadas de 
25,6° no céu. Em um diagrama, mostre as posições do 
Sol, de Alcaide e Méraque. Calcule a distância em 
anos-luz entre Alcaide e Méraque. 
(b) Para um habitante de um planeta que orbita 
Méraque, qual seria a separação angular entre o Sol e 
Alcaide? 
 
1.80 O vetor 
ˆˆ ˆr x i y j z k
denomina-se vetor posição e aponta da Origem uo 
Sistema de coordenadas (0,0,0) para o espaço cujas 
coordenadas são (x, y, z). Use seus conhecimentos sobre 
vetores para provar o seguinte: 
Todos os pontos (x, y, z)que satisfazem a 
equação Ax + By + Cz = 0, onde A, B e C são 
constantes, estão situados em um plano que passa na 
origem e é ortogonal ao vetor 
ˆˆ ˆA i B j C k
. 
Faça um esquema deste vetor e do plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 8 - Problema 1.79 
 
: Alcaide (1.38 al) 
: Mizar (73 al) 
: Arioto (64 al) 
: Megrez (81 al) 
: Feeda (80 al) 
: Dube(105 al) 
: Méraque (77 al) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
23 
 QUESTÕES PARA DISCUSSÃO 
 
Q2.1 O velocímetro de um automóvel mede a 
velocidade escalar ou o vetor velocidade? Explique. 
 
Q2.2 Maria afirma que uma velocidade com 
módulo igual a 60 km/h é equivalente a uma velocidade 
com módulo igual a 17 m/s. Qual foi o erro percentual 
cometido por ela nessa conversão de unidades? 
 
Q2.3 O limite de velocidade nas estradas de alguns 
países da Europa é de 110 km/h. Diga qual é o valor 
desse limite em m/scom aproximação de três algarismos 
significativos. 
 
Q2.4 Em que condições uma velocidade média 
pode ser igual a uma velocidade instantânea? 
 
02.5 Para um determinado intervalo de tempo, o 
deslocamento total é dado pelo produto da velocidade 
media pelo intervalo de tempo. Essa afirmação continua 
válida mesmo quando a velocidade não é constante. 
Explique. 
 
Q2.6 Sob quais condições o módulo do velor 
velocidade media e igual ao módulo da velocidade 
escalar. 
 
Q2.7 Para lazer um mesmo percurso um carro de 
potência menor levou o dobro do tempo de outro carro 
com maior potência. Como estão relacionadas as 
velocidades medias desses carros. 
 
Q2.8 Um motorista em Massachusells foi 
submetido a julgamentopor excesso de velocidade. A 
evidencia contra o motorista foi o depoimento de um 
policial que notou que o carro do acusado estava 
emparelhado com um secundo carro que o ultrapassou. 
Segundo o policial, o segundo carro já havia 
ultrapassado o limite de velocidade. O motorista 
acusado se defendeu alegando que "o segundo carro me 
ultrapassou, portanto eu não estava acelerando". O Juiz 
deu a sentença contra o motorista, porque, pelas 
palavras do Juiz, "se dois carros estão emparelhados, 
ambos estavam acelerando". Se você fosse o advogado 
de defesa do motorista acusado, como contestaria? 
 
Q2.9 É possível ter deslocamento nulo e 
velocidade media diferente de zero? E uma velocidade 
instantânea? Ilustre suas respostas usando um gráfico 
x-t. 
 
Q2.10 Pode existir uma aceleração nula e uma 
velocidade diferente de zero?' Ilustre suas respostas 
usando um gráfico v-t. 
Q2.11 É possível ter uma velocidade nula e 
uma aceleração média diferente de zero? Velocidade 
nula e uma aceleração instantânea diferente de zero? 
Ilustre suas respostas usando um gráfico v-t. 
 
Q2.12 um automóvel está se deslocando de 
leste para oeste. Ele pode ler uma velocidade orientada 
para oeste e ao mesmo tempo uma aceleração orientada 
para leste? Em que circunstâncias? 
 
Q2.13 A caminhonete oficial da Figura 2.2 
está em x1 = 277 m para t1 = 16.0 s e em x2 = l9 m para 
t2 = 25.0 s. 
(a) Desenhe os diferentes grálicos possíveis 
para o movimento da caminhonete. As duas velocidades 
medias vm durante os intervalos de tempo de t1 até t2 
possuem o mesmo valor nos dois gráficos? Explique. 
 
Q2.14 Em movimento com aceleração 
constante, a velocidade de uma partícula e igual á 
metade da soma da velocidade inicial com a velocidade 
final. Isto é verdade quando a aceleração não é 
constante? Explique. 
 
Q2.15 Você lança uma bola de beisebol 
verticalmente para cima e ela atinge uma altura máxima 
maior do que sua altura. O módulo da aceleração e 
maior enquanto ela está sendo lançada ou logo depois 
que ela deixa a sua mão? Explique. 
 
Q2.16 Prove as seguintes afirmações: 
(i) Desprezando os efeitos do ar, quando você 
lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele 
possui a mesma velocidade em seu ponto de lançamento 
tanto durante a ascensão quanto durante a queda. 
(ii) O tempo total da Irajelória e igual ao dobro 
do tempo que o ohjeto leva para atingirsua altura 
máxima. 
 
Q2.17 No Exemplo 2.7 substituindo y = -18.4 
m na Equação (2.13) obtemos v = ± 24.2 m/s. A raiz 
negativa é a velocidade para t = 4.00 s. Explique o 
significado da raiz positiva. 
 
Q2.18 A posição inicial e a velocidade inicial 
de um veículo são conhecidas e faz-se um registro da 
aceleração a cada instante. Pode a posição do veículo 
depois de um certo tempo ser determinada a partir 
destes dados? Caso seja possível, explique como isto 
poderia ser feito. 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
24 
 EXERCÍCIOS 
 
 SEÇÃO 2.2 
 DESLOCAMENTO. 
 TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA 
 
2.1 Um foguete transportando um satélite e acelerado 
verticalmente a partir da superfície terrestre. Após l.15 s 
de seu lançamento, o foguete atravessa o topo de sua 
plataforma de lançamento a 63 m acima do solo. Depois 
de 4.75 s adicionais ele se encontra a l .00 km acima do 
solo. Calcule o modulo da velocidade média do foguete 
para 
(a) o trecho do voo correspodente ao intervalo 
de 4,75 s; 
(b) os primeiros 5 s do seu voo. 
 
2.2 Em uma experiência, um pomho-correio 
foi retirado de seu ninho, levado para um local a 5150 
km do ninho e libertado. Ele retoma ao ninho depois de 
13,5 dias. Tome a origem no ninho e estenda um eixo 
+Ox ate o ponto onde ele foi libertado. Qual a 
velocidade media do pomho-correio em m/s 
(a) para o vôo de retorno ao ninho? 
(b) para o trajeto todo. desde o momento em 
que ele é retirado do ninho ate seu retorno? 
 
2.3 Uma viagem de carro de San Diego a Los 
Angeles dura 2 h e 20 min quando você dirige o carro 
com uma velocidade media de 105 km/h. Em uma 
sexta-feira na parte da tarde, contudo, o trânsito está 
muito pesado e você percorre a mesma distância com 
uma velocidade media de 70 km/h. Calcule o tempo que 
você leva nesse percurso. 
 
2.4 De um pilar até um poste. Começando em 
um pilar, você corre 200 m de oeste para leste (o 
sentido do eixo +Ox) com uma velocidade média de 5.0 
m/s e a seguir corre 280 m de leste para oeste com uma 
velocidade média de 4.0 m/s até um poste. Calcule 
(a) sua velocidade escalar do pilar até o poste: 
(b) o módulo do velor velocidade média do 
pilar até o poste. 
 
2.5 (a) Seu carro velho pode desenvolver uma 
velocidade média de 8.0 m/s durante 60 s. a seguir 
melhorar o desempenho e uma velocidade média de 
20,0 m/s durante 60 s. Calcule sua velocidade média 
para o intervalo total de 120 s. 
(b) Suponha que a velocidade de 8.0 m/s seja 
mantida durante um deslocamento de 240 m, seguido de 
uma velocidade média de 20.0 m/s em outro 
deslocamento de 240 m. Calcule a velocidade média 
para o deslocamento total, 
(c) Fim qual dos dois casos a velocidade 
escalar do percurso total é igual à média das duas 
velocidades escalares? 
 
2.6 Um carro percorre um trecho retilíneo ao 
longo de uma estrada. Sua distância a um sinal de 
parada é uma função do tempo dada por: 
2 3x t t t
 , onde = l.50 m/s
2
 e 
 = 0.0500 m/s
3
 . Calcule a velocidade média do carro 
para os seguintes intervalos de tempo: 
(a) t = 0 até t = 2.00 s; 
(b) t = 0 até t = 4.00 s; 
(c) t = 2 s até t = 4.00 s. 
 
 SEÇÃO 2.3 
 VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
 
2.7 Um carro pára em um semáforo. A seguir ele 
percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância 
ao sinal é dada por : 
2 3x t b t c t
, onde b = 2.40 m/s
2
 e c = 
0.120 m/s
3
; 
(a) Calcule a velocidade média do carro para o 
intervalo de tempo t = 0 até t = 10.0 s. 
(b) Calcule a velocidade instantânea do carro para 
(i) t = 0 
(ii) t = 5.0 s 
(iii) t = 10,0 s 
(c) Quanto tempo após partir do repouso o carro 
retorna novamente ao repouso? 
 
2.8 Uma professora de física sai de sua casa e se 
dirige a pé para o campus. Depois de 5 min começa a 
chover e ela retorna paracasa. Sua distância da casa em 
função do tempo é indicada pelo gráfico da Figura 2.25. 
Em qual dos pontos indicados sua velocidade e 
(a) zero? (b) constante e positiva? 
(c) constante e negativa? (d) crescente em módulo? 
(e) decrescente em módulo? 
 
FIGURA 1 - Problema 2.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
25 
 SEÇÃO 24 
 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 
 ACELERAÇÃO MÉDIA 
 
2.9 Em um teste de um novo modelo de automóvel 
da empresa Motores Incríveis, o veloeímetro é calibrado 
para ler m/s em vê de km/h. A série de medidas a seguir 
foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada 
retilínea muito longa: 
Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 
Velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22 
 
(a) Calcule a aceleração media durante cada 
intervalo de 2.0 s. A aceleração é constante? Ela é 
constante em algum trecho do teste? 
(b) Faça um gráfico v-t dos dados tabelados usando 
escalas de l cm = l s no eixo horizontal e de l cm = 1 s 
no eixo vertical. Desenhe uma curva entre os pontos 
piotados. Medindo a inclinação dessa curva, calcule a 
aceleração instantânea para os tempos t = 9 s, t = 13 s e 
t = 15 s. 
 
2.10 A Figura 2.26 mostra a velocidade em função 
do tempo de um carro movido a energia solar. O 
motorista acelera a partir de um sinal de parada e se 
desloca durante 20 s com velocidade constante de 60 
km/h, e a seguir pisa no freio e pára 40 s após sua 
partida do sinal. Calcule sua aceleração média para os 
seguintes intervalos de tempo: 
(a)