AD1 estatistica

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1 
 
1- Numa repartição pública, processos são avaliados como tendo algum problema (P) ou não (NP). Os processos são 
inspecionados e sua condição é registrada. Isto é feito até que dois processos consecutivos tenham algum problema ou 
após quatro inspeções, o que ocorrer primeiro. Com base nessas informações, faça o que se pede: 
 
a) Descreva o conjunto que caracteriza o espaço amostral do experimento. 
RESOLUÇÃO: 
O espaço amostral será o conjunto formado por todos os resultados possíveis do experimento, EXCLUINDO 
aqueles que possuem o mesmo valor lógico, ou seja, aqueles que respeitam a regra para parar a avaliação. Como 
cada processo pode receber duas avaliações distintas, e são avaliados até 4 processos, o total de possibilidades 
será: 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝟐 = 𝟏𝟔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 , porém se faz necessário excluir aqueles que tem valor igual para o 
experimento, que são eles: 
(𝑷, 𝑷, 𝑷, 𝑷) ; (𝑷, 𝑷, 𝑷, 𝑵𝑷); (𝑷, 𝑷, 𝑵𝑷, 𝑵𝑷); (𝑷, 𝑷, 𝑵𝑷, 𝑷) = (𝑷, 𝑷) das 4 combinações mostradas, 3 devem ser 
excluídas pois apresentam o mesmo valor lógico, ou seja, interrompem a avaliação no segundo processo 
verificado, por apresentam problemas no processo verificado. 
 
Outros que apresentam valor lógico igual, são: (𝑵𝑷, 𝑷, 𝑷, 𝑵𝑷) ; (𝑵𝑷, 𝑷, 𝑷, 𝑷) = (𝑵𝑷, 𝑷, 𝑷) , nesse caso deve ser 
excluída uma das opções, pois apresentam o mesmo valor, interrompem a avaliação no terceiro processo 
verificado, por apresentarem 2 processos com problemas em sequência. 
 
Sendo assim, das 16 possibilidades, devemos excluir 4 que apresentam valor lógico iguais a outras combinações. 
 
Assim, 𝟏𝟔 − 𝟒 = 𝟏𝟐 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔, que serão: 
 
Espaço amostral 
{(𝑷, 𝑷); (𝑷, 𝑵𝑷, 𝑷, 𝑷); (𝑷, 𝑵𝑷, 𝑷, 𝑵𝑷); (𝑷, 𝑵𝑷, 𝑵𝑷, 𝑷); (𝑷, 𝑵𝑷, 𝑵𝑷, 𝑵𝑷); (𝑵𝑷, 𝑷, 𝑷); (𝑵𝑷, 𝑷, 𝑵𝑷, 𝑷); 
(𝑵𝑷, 𝑷, 𝑵𝑷, 𝑵𝑷); (𝑵𝑷, 𝑵𝑷, 𝑷, 𝑷); (𝑵𝑷, 𝑵𝑷, 𝑷, 𝑵𝑷); (𝑵𝑷, 𝑵𝑷, 𝑵𝑷, 𝑷); (𝑵𝑷, 𝑵𝑷, 𝑵𝑷, 𝑵𝑷)}; 
 
 
b) Com base no espaço amostral, determine a frequência relativa de eventos que façam com que as inspeções sejam 
interrompidas com até três processos verificados. 
RESOLUÇÃO: 
 
𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑫𝑬 𝑷𝑹𝑶𝑪𝑬𝑺𝑺𝑶𝑺 𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨𝑫𝑶𝑺: 𝟏𝟐 
𝑪𝑶𝑴 𝑨𝑻É 𝟑 𝑷𝑹𝑶𝑪𝑬𝑺𝑺𝑶𝑺 𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨𝑫𝑶𝑺 ∶ {(𝑷, 𝑷); (𝑵𝑷, 𝑷, 𝑷)} = 𝟐 𝑪𝑨𝑺𝑶𝑺 
 
Logo, a frequência relativa será : 
𝟐
𝟏𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟔𝟔 ≅ 𝟎, 𝟏𝟕 𝒐𝒖 𝟏𝟕% 
 
2- Uma pesquisa foi conduzida a fim de estudar a variabilidade de respostas fisiológicas do fitoplâncton marinho no litoral 
sul de São Paulo. Diversas variáveis foram investigadas em amostras de água na condição natural e submetidas a quatro 
situações experimentais definidas de acordo com a luminosidade ambiental (10% e 100%) e a condição da água (N= com 
nutrientes e SN= sem nutrientes). Os dados da tabela referem-se a medidas de clorofila a (mg.m3 ). 
 
 2 
 
Quadro: Dados das amostras de água 
a) Calcule a média, a mediana e a moda para cada uma das amostras. 
RESOLUÇÃO: 
• 30% SN 
𝑴é𝒅𝒊𝒂 =
𝟔, 𝟐 + 𝟒, 𝟖 + 𝟑 + 𝟓, 𝟔 + 𝟕, 𝟏 + 𝟒, 𝟖
𝟔
=
𝟑𝟏, 𝟓𝟎
𝟔
= 𝟓, 𝟐𝟓 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 =
𝟒, 𝟖 + 𝟓, 𝟔
𝟐
= 𝟓, 𝟐 𝑴𝒐𝒅𝒂 = 𝟒, 𝟖 
 
 
 
 
• 30% N 
𝑴é𝒅𝒊𝒂 =
𝟏𝟐, 𝟕 + 𝟏𝟏, 𝟑 + 𝟗, 𝟑 + 𝟗, 𝟓 + 𝟏𝟏, 𝟕 + 𝟏𝟓, 𝟑
𝟔
=
𝟔𝟗, 𝟖
𝟔
= 𝟏𝟏, 𝟔𝟑 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 =
𝟏𝟏, 𝟑 + 𝟏𝟏, 𝟕
𝟐
= 𝟏𝟏, 𝟓 𝑴𝒐𝒅𝒂 = 𝒂𝒎𝒐𝒅𝒂𝒍 
• 100% SN 
𝑴é𝒅𝒊𝒂 =
𝟕 + 𝟒, 𝟒 + 𝟑, 𝟖 + 𝟓 + 𝟓, 𝟓 + 𝟑, 𝟐
𝟔
=
𝟐𝟖, 𝟗𝟎
𝟔
= 𝟒, 𝟖𝟏 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 =
𝟒, 𝟒 + 𝟓
𝟐
= 𝟒, 𝟕 𝑴𝒐𝒅𝒂 = 𝒂𝒎𝒐𝒅𝒂𝒍 
• 100% N 
𝑴é𝒅𝒊𝒂 =
𝟖, 𝟑 + 𝟕, 𝟏 + 𝟏𝟏, 𝟕 + 𝟏𝟎 + 𝟖, 𝟓 + 𝟏𝟐, 𝟒
𝟔
=
𝟓𝟖
𝟔
 𝟗, 𝟔𝟔 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 =
𝟖, 𝟓 + 𝟏𝟎
𝟐
= 𝟗, 𝟐𝟓 𝑴𝒐𝒅𝒂 = 𝒂𝒎𝒐𝒅𝒂𝒍 
 
b) Calcule a variância e o desvio-padrão de cada uma das amostras. 
RESOLUÇÃO: 
 
• 30% SN 
𝑺² = 
(𝟔, 𝟐 − 𝟓, 𝟐𝟓)𝟐 + (𝟒, 𝟖 − 𝟓, 𝟐𝟓)𝟐 + (𝟑, 𝟎 − 𝟓, 𝟐𝟓)𝟐 + (𝟓, 𝟔 − 𝟓, 𝟐𝟓)𝟐 + (𝟕, 𝟏 − 𝟓, 𝟐𝟓)𝟐 + (𝟒, 𝟖 − 𝟓, 𝟐𝟓)²
(𝟔 − 𝟏)
 
 
𝑺² = 
(−𝟐, 𝟐𝟓)𝟐 + (−𝟎, 𝟒𝟓)𝟐 + (−𝟐, 𝟐𝟓)𝟐 + (𝟎, 𝟑𝟓)𝟐 + (𝟏, 𝟖𝟓)𝟐 + (−𝟎, 𝟒𝟓)²
𝟓
 
 
 
 3 
𝑺𝟐 = 
𝟓, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟐𝟎 + 𝟓, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟏𝟐 + 𝟑, 𝟒𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟎
𝟓
=
𝟏𝟒, 𝟎𝟔
𝟓
= 𝟐, 𝟖𝟏 
𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐 = 𝑺√𝟐, 𝟖𝟏 ≅ 𝟏, 𝟔𝟖 
 
• 30% N 
𝑺² = 
(𝟏𝟐, 𝟕 − 𝟏𝟏, 𝟔𝟑)𝟐 + (𝟏𝟏, 𝟑 − 𝟏𝟏, 𝟔𝟑)𝟐 + (𝟗, 𝟑 − 𝟏𝟏, 𝟔𝟑)𝟐 + (𝟗, 𝟓 − 𝟏𝟏, 𝟔𝟑)𝟐 + (𝟏𝟏, 𝟕 − 𝟏𝟏, 𝟔𝟑)𝟐 + (𝟏𝟓, 𝟑 − 𝟏𝟏, 𝟔𝟑)²
(𝟔 − 𝟏)
 
 
𝑺² = 
(𝟏, 𝟎𝟕)𝟐 + (−𝟎, 𝟑𝟑)𝟐 + (−𝟐, 𝟑𝟑)𝟐 + (−𝟐, 𝟏𝟑)𝟐 + (𝟎, 𝟎𝟕)𝟐 + (𝟑, 𝟔𝟕)²
𝟓
 
 
𝑺𝟐 = 
𝟏, 𝟏𝟒𝟓 + 𝟎, 𝟏𝟏 + 𝟓, 𝟒𝟑 + 𝟒, 𝟓𝟒 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 + 𝟏𝟑, 𝟒𝟕
𝟓
=
𝟐𝟒, 𝟕
𝟓
= 𝟒, 𝟗𝟒 
𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐 = 𝑺√𝟒, 𝟗𝟒 ≅ 𝟐, 𝟐𝟐𝟑 
• 100% SN 
𝑺² = 
(𝟕 − 𝟒, 𝟖𝟏)𝟐 + (𝟒, 𝟒 − 𝟒, 𝟖𝟏)𝟐 + (𝟑, 𝟖 − 𝟒, 𝟖𝟏)𝟐 + (𝟓 − 𝟒, 𝟖𝟏)𝟐 + (𝟓, 𝟓 − 𝟒, 𝟖𝟏)𝟐 + (𝟑, 𝟐 − 𝟒, 𝟖𝟏)²
(𝟔 − 𝟏)
 
 
𝑺² = 
(𝟐, 𝟏𝟗)𝟐 + (−𝟎, 𝟒𝟏)𝟐 + (−𝟏, 𝟎𝟏)𝟐 + (𝟎, 𝟏𝟗)𝟐 + (𝟎, 𝟔𝟗)𝟐 + (−𝟏, 𝟔𝟏)²
𝟓
 
 
𝑺𝟐 = 
𝟒, 𝟕𝟗𝟔 + 𝟎, 𝟏𝟔𝟖 + 𝟏, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟔 + 𝟎, 𝟒𝟕𝟔 + 𝟐, 𝟓𝟗𝟐
𝟓
=
𝟗, 𝟎𝟖𝟖
𝟓
= 𝟏, 𝟖𝟏𝟕𝟔 
𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐 = 𝑺√𝟏, 𝟖𝟏𝟕𝟔 ≅ 𝟏, 𝟑𝟓 
 
 
 
• 100% N 
𝑺² = 
(𝟖, 𝟑 − 𝟗, 𝟔𝟔)𝟐 + (𝟕, 𝟏 − 𝟗, 𝟔𝟔)𝟐 + (𝟏𝟏, 𝟕 − 𝟗, 𝟔𝟔)𝟐 + (𝟏𝟎 − 𝟗, 𝟔𝟔)𝟐 + (𝟖, 𝟓 − 𝟗, 𝟔𝟔)𝟐 + (𝟏𝟐, 𝟒 − 𝟗, 𝟔𝟔)²
(𝟔 − 𝟏)
 
 
𝑺² = 
(−𝟏, 𝟑𝟔)𝟐 + (−𝟐, 𝟓𝟔)𝟐 + (𝟐, 𝟎𝟒)𝟐 + (𝟎, 𝟑𝟒)𝟐 + (−𝟏, 𝟏𝟔)𝟐 + (𝟐, 𝟕𝟒)²
𝟓
 
 
𝑺𝟐 = 
𝟏, 𝟖𝟒𝟗𝟔 + 𝟔, 𝟓𝟓𝟑𝟔 + 𝟒, 𝟏𝟔𝟏𝟔 + 𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟔 + 𝟏, 𝟑𝟒𝟓𝟔 + 𝟕, 𝟓𝟎𝟕𝟔
𝟓
=
𝟐𝟏, 𝟓𝟑𝟑𝟔
𝟓
= 𝟒, 𝟑𝟎𝟔𝟕𝟐 
𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐 = 𝑺√𝟒, 𝟑𝟎𝟔𝟕𝟐 ≅ 𝟐, 𝟎𝟕 
 
c) Calcule os coeficientes de variação para cada uma das amostras. 
RESOLUÇÃO: 
 
• 30% SN 
𝑪𝑽 =
𝟏, 𝟔𝟖
𝟓, 𝟐𝟓
∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟑𝟐% 
• 30% N 
𝑪𝑽 =
𝟐, 𝟐𝟐
𝟏𝟏, 𝟔𝟑
∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟎𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟗, 𝟎𝟗% 
• 100% SN 
𝑪𝑽 =
𝟏, 𝟑𝟓
𝟒, 𝟖𝟏
∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟖, 𝟎𝟕% 
• 100% N 
𝑪𝑽 =
𝟐, 𝟎𝟕
𝟗, 𝟔𝟔
∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟒𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟏, 𝟒𝟑% 
 
 
 4 
d) Faça um histograma considerando os dados de todas as amostras conjuntamente (apresente a tabela de 
frequência). 
RESOLUÇÃO: 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆𝒔 (𝒌) → 𝒌 = √𝒏, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 ≤ 𝟏𝟎𝟎 → 𝒌 = √𝟐𝟒 ≅ 𝟒, 𝟖𝟗𝟗 ≅ 𝟓 
 
𝑨𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 (𝑨) → 𝑨 = 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 − 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 → 𝟏𝟓, 𝟑 − 𝟑 = 𝟏𝟐, 𝟑 
 
𝑨𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆 (𝒄) → 𝒄 =
𝑨
𝒌 − 𝟏
=
𝟏𝟐, 𝟑
𝟓 − 𝟏
=
𝟏𝟐, 𝟑
𝟒
≅ 𝟑 
 
𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒅𝒂 𝟏ª 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆 = 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 −
𝒄
𝟐
= 𝟑 −
𝟑, 𝟎𝟕𝟓
𝟐
= 𝟑 − 𝟏, 𝟓𝟑𝟕 ≅ 𝟏, 𝟓 
 
CLASSES FREQUÊNCIA 
ABSOLUTA 
FREQUÊNCIA 
RELATIVA 
FREQUÊNCIA 
ACUMULADA 
FREQ. RELAT. 
ACUMULADA 
𝟏, 𝟓 ⊢ 𝟒, 𝟓 4 0,16 4 0,16 
𝟒, 𝟓 ⊢ 𝟕, 𝟓 9 0,38 13 0,54 
𝟕, 𝟓 ⊢ 𝟏𝟎, 𝟓 5 0,21 18 0,75 
𝟏𝟎, 𝟓 ⊢ 𝟏𝟑, 𝟓 5 0,21 23 0,96 
𝟏𝟑, 𝟓 ⊢ 𝟏𝟔, 𝟓 1 0,04 24 1,00 
TOTAL 24 1,00 ------------------------- ------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
e) Faça um gráfico de barras para as médias das amostras. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
3- Uma prefeitura está fazendo um levantamento para compra de pasta de dentes para as escolas de ensino 
fundamental. Para essa compra a prefeitura encomendou uma pesquisa sobre o custo mensal (R$) e a eficácia na 
limpeza dos dentes das crianças (notas de zero a cem). Foi então levantada uma amostra de 38 marcas de pastas de 
dentes em tubo: 
 
 
Para cada uma das variáveis, custo e limpeza, faça o que se pede: 
a) Elabore uma tabela que contenha a frequência absoluta, relativa e acumulada. 
RESOLUÇÃO: 
 
5,25
11,63
4,81
9,66
0 2 4 6 8 10 12 14
30% SN
30% N
100% SN
100% N
MÉDIAS
MÉDIAS
 
 6 
 
VALORESFREQ. ABSOLUTA FREQ. RELATIVA FREQ. ACUMULADA F. RELAT. ACUMULADA
0,39 1 0,02632 1 0,02632
0,44 2 0,05263 3 0,07895
0,51 1 0,02632 4 0,10526
0,52 1 0,02632 5 0,13158
0,53 2 0,05263 7 0,18421
0,55 2 0,05263 9 0,23684
0,57 1 0,02632 10 0,26316
0,58 1 0,02632 11 0,28947
0,59 1 0,02632 12 0,31579
0,62 1 0,02632 13 0,34211
0,64 2 0,05263 15 0,39474
0,66 2 0,05263 17 0,44737
0,67 1 0,02632 18 0,47368
0,71 1 0,02632 19 0,50000
0,74 1 0,02632 20 0,52632
0,79 2 0,05263 22 0,57895
0,8 1 0,02632 23 0,60526
0,81 1 0,02632 24 0,63158
0,97 1 0,02632 25 0,65789
1,02 1 0,02632 26 0,68421
1,04 1 0,02632 27 0,71053
1,07 1 0,02632 28 0,73684
1,12 1 0,02632 29 0,76316
1,22 1 0,02632 30 0,78947
1,26 1 0,02632 31 0,81579
1,29 1 0,02632 32 0,84211
1,32 1 0,02632 33 0,86842
1,34 1 0,02632 34 0,89474
1,4 1 0,02632 35 0,92105
1,77 2 0,05263 37 0,97368
4,73 1 0,02632 38 1,00000
TOTAL 38 1,00000
VARIAVEL CUSTO (R$)
 
 7 
 
 
b) Construa um histograma. 
 
 
 
c) Construa um polígono de frequência. 
VALORES FREQ. ABSOLUTA FREQ. RELATIVA FREQ. ACUMULADA F. RELAT. ACUMULADA
28 1 0,02632 1 0,02632
29 1 0,02632 2 0,05263
37 1 0,02632 3 0,07895
39 1 0,02632 4 0,10526
48 1 0,02632 5 0,13158
50 1 0,02632 6 0,15789
51 1 0,02632 7 0,18421
53 3 0,07895 10 0,26316
55 1 0,02632 11 0,28947
56 1 0,02632 12 0,31579
57 2 0,05263 14 0,36842
58 2 0,05263 16 0,42105
60 1 0,02632 17 0,44737
62 3 0,07895 20 0,52632
63 1 0,02632 21 0,55263
64 1 0,02632 22 0,57895
69 1 0,02632 23 0,60526
70 2 0,05263 25 0,65789
71 1 0,02632 26 0,68421
72 3 0,07895 29 0,76316
74 1 0,02632 30 0,78947
75 1 0,02632 31 0,81579
76 1 0,02632 32 0,84211
77 1 0,02632 33 0,86842
79 1 0,02632 34 0,89474
80 1 0,02632 35 0,92105
82 1 0,02632 36 0,94737
85 1 0,02632 37 0,97368
86 1 0,02632 38 1,00000
TOTAL 38 1,00000
VARIAVEL LIMPEZA
3
2
1
0
0,39 0,44 0,51 0,52 0,53 0,55 0,57 0,58 0,59 0,62 0,64 0,66 0,67 0,71 0,74 0,79 0,80 0,81 0,97 1,02 1,04 1,07 1,12 1,22 1,26 1,29 1,32 1,34 1,40 1,77 4,73
VALORES VARIÁVEL CUSTO
HISTOGRAMA CUSTO (R$)
4
3
2
1
0
28 29 37 39 48 50 51 53 55 56 57 58 60 62 63 64 69 70 71 72 74 75 76 77 79 80 82 85 86
VALORES VARIÁVEL LIMPEZA
HISTOGRAMA LIMPEZA
 
 8 
 
 
 
 
d) Construa uma ogiva. 
 
 
 
 
 
1 2
3 4
5 6
7
10 11
12
14
16 17
20 21
22 23
25 26
29 30
31 32
33 34
35 36
37 38
0
5
10
15
20
25
30
35
40
OGIVA CUSTO (R$)
 
 9 
 
 
e) Calcule a mediana, moda e média. 
 
• CUSTO 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
0,71 + 0,74
2
= 0,725 𝑀𝑜𝑑𝑎 = {0,44; 0,53; 0,55; 0,64; 0,66; 0,79; 0,81; 1,77} 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
0,39 + 0,44 + 0,44 + 0,51 + 0,52 + 0,53 + 0,53 + 0,55 + 0,55 + 0,57 + 0,58 + 0,59 + 0,62 + 0,64 + 0,64 + 0,66 + 0,66 + 0,67 + 0,71 +
0,74 + 0,79 + 0,79 + 0,80 + 0,81 + 0,97 + 1,02 + 1,04 + 1,07 + 1,12 + 1,22 + 1,26 + 1,29 + 1,32 + 1,34 + 1,40 + 1,77 + 1,77 + 4,73
38
 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
36,05
38
≅ 0,95 
 
• LIMPEZA 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
62 + 62
2
= 62 𝑀𝑜𝑑𝑎 = {53; 62; 72} (𝑡𝑟𝑖𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙) 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
28 + 29 + 37 + 39 + 48 + 50 + 51 + 53 + 53 + 53 + 55 + 56 + 57 + 57 + 58 + 58 + 60 +
62 + 62 + 62 + 63 + 64 + 69 + 70 + 70 + 71 + 72 + 72 + 72 + 74 + 75 + 76 + 77 + 79 +
80 + 82 + 85 + 86
38
 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
2365
38
≅ 62,2 
 
f) Calcule a variância, desvio-padrão e coeficiente de variação. 
 
• CUSTO 
 
𝑆2 = ((0,39 − 0,95)2 + 2 ∗ (0,44 − 0,95)2 + (0,51 − 0,95)2 + (0,52 − 0,95)2 + 2 ∗ (0,53 − 0,95)2 + 2 ∗ (0,55 − 0,95)2 + (0,57 − 0,95) + (0,62 −
0,95)2 + 2 ∗ (0,64 − 0,95)2 + 2 ∗ (0,66 − 0,95)2 + (0,67 − 0,95)2 + (0,71 − 0,95)2 + (0,74 − 0,95)2 + 2 ∗ (0,79 − 0,95)2 + (0,80 − 0,95)2 +
(0,81 − 0,95)2 + (0,97 − 0,95)2 + (1,02 − 0,95)2 + (1,04 − 0,95)2 + (1,07 − 0,95)2 + (1,12 − 0,95)2 + (1,22 − 0,95)2 + (1,26 − 0,95)2 +
(1,29 − 0,95)2 + (1,32 − 0,95)2 + (1,34 − 0,95)2 + (1,40 − 0,95)2 + 2 ∗ (1,77 − 0,95)2 + (4,73 − 0,95)2) /(38 − 1) 
 
 
 
1 2
3 4
5 6
7
10 11
12
14
16 17
20 21
22 23
25 26
29 30
31 32
33 34
35 36
37 38
0
5
10
15
20
25
30
35
40
28 29 37 39 48 50 51 53 55 56 57 58 60 62 63 64 69 70 71 72 74 75 76 77 79 80 82 85 86
OGIVA LIMPEZA
 
 10 
𝑆² =
0,3136 + 2 ∗ 0,2601 + 0,1936 + 0,1849 + 2 ∗ 0,1764 + 2 ∗ 0,16 + 0,1444 + 0,1089 + 2 ∗ 0,0961 + 2 ∗ 0,0841 + 0,0784 +
0,0576 + 0,0441 +
2 ∗ 0,0256 + 0,0225 + 0,0196 + 0,0004 + 0,0049 + 0,0081 + 0,0144 + 0,0289 + 0,0729 + 0,0961 + 0,1156 + 0,1369 + 0,1521 +
0,2025 + 2 ∗ 0,6724 + 14,2884
37
 
 
 
𝑠² =
18,02788
37
= 0,48724 
 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = 𝑆 = √0,48724 ≅ 0,6980 
 
𝐶𝑉 =
0,6980
0,95
∗ 100 = 0,7347 ∗ 100 = 73,47% 
 
• LIMPEZA 
 
𝑆² = ((28 − 62,2)2 + (29 − 62,2)2 + (37 − 62,2)2 + (39 − 62,2)2 + (48 − 62,2)2 + (50 − 62,2)2 + (51 − 62,2) + 3 ∗ (53 − 62,2)2 +
(55 − 62,2)2 + (56 − 62,2)2 + 2 ∗ (57 − 62,2)2 + 2 ∗ (58 − 62,2)2 + (60 − 62,2)2 + 3 ∗ (62 − 62,2)2 + (63 − 62,2)2 + (64 − 62,2)2 +
(69 − 62,2)2 + 2 ∗ (70 − 62,2)2 + (71 − 62,2)2 + 3 ∗ (72 − 62,2)2 + (74 − 62,2)2 + (75 − 62,2)2 + (76 − 62,2)2 + (77 − 62,2)2 +
(79 − 62,2)2 + (80 − 62,2)2 + (82 − 62,2)2 + (85 − 62,2)2 + (86 − 62,2)2) /(38 − 1) 
 
 
𝑆² = 
1169,64 + 1102,24 + 635,04 + 538,24 + 201,64 + 148,84 + 125,44 + 3 ∗ 84,64 + 51,84 + 38,44 + 2 ∗ 27,04 + 2 ∗ 17,64 + 4,84 + 3 ∗ 0,04
0,64 + 3,24 + 46,24 + 2 ∗ 60,84 + 77,44 + 3 ∗ 96,04 + 139,24 + 163,84 + 190,44 + 219,04 + 282,24 + 316,84 + 392,04 + 519,84 + 566,44
37
 
 
𝑆² =
7686,92
37
= 207,7546 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = 𝑆 = √207,7546 ≅ 14,4137 𝐶𝑉 =
14,4137
62,2
∗ 100 = 0,2317 ∗ 100 = 23,17% 
 
g) Determine os quartis. 
 
• 1º Quartil 
 
𝐸𝑄1 =
1𝑛
4
 →
1 ∗ 38
4
= 9,5 ≅ 10ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 
 
𝐿𝑖𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎 → 𝑄1 =
53 + 53
2
= 53 ; 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 → 𝑄1 =
0,55 + 0,57
2
= 0,56 
 
• 2º Quartil 
 
𝐸𝑄2 =
2𝑛
4
 →
2 ∗ 38
4
=
76
4
= 19 = 19ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 
 
𝐿𝑖𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎 → 𝑄2 =
62 + 62
2
= 62 ; 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 → 𝑄2 =
0,67 + 0,71
2
= 0,69 
 
• 3º Quartil 
 
𝐸𝑄3 =
3𝑛
4
 →
3 ∗ 38
4
=
114
4
= 28,5 ≅ 29ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 
 
𝐿𝑖𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎 → 𝑄3 =
72 + 72
2
= 72 ; 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 → 𝑄3 =
1,07 + 1,12
2
= 1,10 
 
 
 11 
 
h) Repita todos os itens acima considerando agora que os dados estão em intervalos de classe. Para tanto calcule 
o intervalo de classes adequado. 
RESOLUÇÃO: 
 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 → 𝑘 = √𝑛 → √38 = 6,16 ≅ 7 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 
 
• LIMPEZA 
 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 − 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 → 86 − 28 = 58 
 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 → 𝑐 =
𝐴
𝑘 − 1
→ 𝑐 =
58
7 − 1
=
58
6
= 9,67 ≅ 10 
 
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 1ª 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 −
𝑐
2
 → 28 −
10
2
= 23 
• CUSTO 
 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 − 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 → 4,73 − 0,39 = 4,34 
 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 → 𝑐 =
𝐴
𝑘 − 1
→ 𝑐 =
4,34
7 − 1
=
4,34
6
= 0,72 
 
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 1ª 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 −
𝑐
2
 → 0,39 −
0,72
2
= 0,03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F. ABSOLUTA F. RELATIVA F.ABS. ACUMULADA F.REL.ACUMULADA
23 ⊢ 33 2 0,0526 2 0,0526
33 ⊢ 43 2 0,0526 4 0,1053
43 ⊢ 53 3 0,0789 7 0,1842
53 ⊢ 63 13 0,3421 20 0,5263
63 ⊢ 73 9 0,2368 29 0,7632
73 ⊢ 83 7 0,1842 36 0,9474
83 ⊢ 93 2 0,0526 38 1,0000
38 1,0000 --------- ----------
CLASSE
TABELA DE FREQUÊNCIA ( LIMPEZA)
TOTAL
 
 12 
 
 
 
 
• LIMPEZA 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎(�̅�) =
{[
23 + 33
2
] ∗ 2 + [
33 + 43
2
] ∗ 2 + [
43 + 53
2
] ∗ 3 + [
53 + 63
2
] ∗ 13 + [
63 + 73
2
] ∗ 9 + [
73 + 83
2
] ∗ 7 + [
83 + 93
2
] ∗ 2}
38
 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎(�̅�) =
{(28 ∗ 2) + (38 ∗ 2) + (48 ∗ 3) + (58 ∗ 13) + (68 ∗ 9) + (78 ∗ 7) + (88 ∗ 2)}
38
 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎(�̅�) =
56 + 76 + 144 + 754 + 612 + 546 + 176
38
=
2364
38
= 62,21 
 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 𝐿𝑖 +
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
∗ 𝑐 → 53 +
13 − 3
(13 − 3) + (13 − 9)
∗ 10 → 53 +
10
10 + 4
∗ 10 → 53 +
10
14
∗ 10 
 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 53 + 0,7142 ∗ 10 = 60,14 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝐿𝑖 +
(
𝑛
2
) + 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑎𝑐
𝑓𝑚𝑒𝑑
∗ 𝑐 → 53 +
(
382
) − (3 + 2 + 2)
13
∗ 10 → 53 +
19 − 7
13
∗ 10 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 53 + 0,9230 ∗ 10 = 62,23 
 
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 → 𝑉(𝑥) =
1
𝑛
 ∑ (𝑥1 − �̅�)
2 ∗ 𝐹𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
𝑉(𝑥) =
1
38
∗ [(28 − 62,21)2 ∗ 2 + (38 − 62,21)2 ∗ 2 + (48 − 62,21)2 ∗ 3 + (58 − 62,21)2 ∗ 13 + (68 − 62,21)2 ∗ 9 + (78 − 62,21)2 ∗ 7
+ (88 − 62,21)2 ∗ 2] 
 
𝑉(𝑥) =
1
38
∗ [2.340,6482 + 1.172,2482 + 605,7723 + 230,4133 + 301,7169 + 1.745,2687 + 1.330,2482] 
 
𝑉(𝑥) =
1
38
∗ 7.726,3158 → 𝑉(𝑥) = 203,3241 
 
F. ABSOLUTA F. RELATIVA F.ABS. ACUMULADA F.REL.ACUMULADA
0,03 ⊢ 0,75 20 0,5263 20 0,5263
0,75 ⊢ 1,47 15 0,3947 35 0,9211
1,47 ⊢ 2,19 2 0,0526 37 0,9737
2,19 ⊢ 2,91 0 0,0000 37 0,9737
2,91 ⊢ 3,63 0 0,0000 37 0,9737
3,63 ⊢ 4,35 0 0,0000 37 0,9737
4,35 ⊢ 5,07 1 0,0263 38 1,0000
38 1,0000 --------- ----------
TABELA DE FREQUÊNCIA (CUSTO)
CLASSE
TOTAL
 
 13 
 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 → 𝜎 = √𝑉(𝑥) 
 
𝜎 = √203,3241 ≅ 14,2592 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 → 𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
∗ 100 
 
𝐶𝑉 =
14,2592
62,21
∗ 100 = 22,92% 
• CUSTO 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎(�̅�)
=
{[
0,03 + 0,75
2
] ∗ 20 + [
0,75 + 1,47
2
] ∗ 15 + [
1,47 + 2,19
2
] ∗ 2 + [
2,19 + 2,91
2
] ∗ 0 + [
2,91 + 3,63
2
] ∗ 0 + [
3,63 + 4,35
2
] ∗ 0 + [
4,35 + 5,07
2
]}
38
 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎(�̅�) =
{(0,39 ∗ 20) + (1,11 ∗ 15) + (1,83 ∗ 2) + 0 + 0 + 0 + (4,71 ∗ 1)}
38
 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎(�̅�) =
32,82
38
= 0,8637 
 
 
 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 𝐿𝑖 +
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
∗ 𝑐 → 0,03 +
20 − 0
(20 − 0) + (20 − 15)
∗ 0,72 → 0,03 +
20
20 + 5
∗ 0,72 → 0,03 +
20
25
∗ 0,72 
 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 0,03 + 0,8 ∗ 0,72 = 0,606 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝐿𝑖 +
(
𝑛
2
) + 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑎𝑐
𝑓𝑚𝑒𝑑
∗ 𝑐 → 0,03 +
(
38
2
) − 0
20
∗ 0,72 → 0,03 +
19
20
∗ 0,72 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 0,03 + 0,95 ∗ 0,72 = 0,714 
 
 
 
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 → 𝑉(𝑥) =
1
𝑛
 ∑ (𝑥1 − �̅�)
2 ∗ 𝐹𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
𝑉(𝑥) =
1
38
∗ [(0,39 − 0,8637)2 ∗ 20 + (1,11 − 0,8637)2 ∗ 15 + (1,83 − 0,8637)2 ∗ 2 + (4,71 − 0,8637)2 ∗ 1] 
 
𝑉(𝑥) =
1
38
∗ [4,4878 + 0,9099 + 1,8674 + 14,7940] 
 
𝑉(𝑥) =
1
38
∗ 22,0591 = 0,5805 
 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 → 𝜎 = √𝑉(𝑥) 
 
𝜎 = √0,5805 ≅ 0,7619 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 → 𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
∗ 100 
 
𝐶𝑉 =
0,7619
0,8637
∗ 100 = 88,21% 
 
 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
28 38 48 58 68 78 88
HISTOGRAMA LIMPEZA
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0,39 1,11 1,83 2,55 3,27 3,99 4,71
HISTOGRAMA CUSTO
 
 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
4- Duas moedas M1 e M2 viciadas são tais que a probabilidade de se obter coroa ao jogar a moeda M1 é 0,4 e a 
probabilidade de se obter coroa ao jogar a moeda M2 é 0,7. Escolhe-se uma das duas moedas e a moeda escolhida é 
lançada. Utilize os conceitos de probabilidade condicional para determinar a probabilidade da moeda M1 ter sido a 
usada, sabendo que o resultado obtido foi coroa. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
P(coroa/M1) = 0,40 e P(coroa/M2) = 0,70 do conceito de probabilidade condicional, sabe-se também que 
P(coroa/M1) = P(M1∩coroa) / P(M1), do mesmo conceito sabe-se que P(M1/coroa) = P(M1∩coroa) / P(coroa). Note 
20
35
37 37 37 37 38
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 1 2 3 3 4 5
OGIVA LIMPEZA
20
35
37 37 37 37
38
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0,39 1,11 1,83 2,55 3,27 3,99 4,71
OGIVA CUSTO
 
 17 
que os numeradores nos dois casos são iguais. Com isso tem-se que P(M1∩coroa) = P(M1/coroa) P(coroa) = 
P(coroa/M1) P(M1). Como o que se pede é a probabilidade de ter sido usado M1 dado que o resultado é coroa, tem-
se que o desejado é P(M1/coroa) = P(M1∩coroa) / P(coroa). O numerador é dado por P(coroa/M1) P(M1) ou 
P(M1/coroa) P(coroa). 
Como temos informações para trabalhar com a primeira opção, então: 
 
𝑷 (𝑴𝟏 𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂) =
𝑷(𝑴𝟏 ∩ 𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂)
𝑷(𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂)
⁄ = 
𝑷(𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂 𝑴𝟏) ∗ 𝑷(𝑴𝟏)⁄
𝑷(𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂)
=
𝟎, 𝟒 ∗ 𝟎, 𝟓
𝑷(𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂)
 
 
Da expressão acima, precisamos agora determinar P(coroa). Note que o resultado coroa pode ser obtido por 
qualquer uma das moedas M1 ou M2, com isso, e considerando que não se pode utilizar duas moedas 
simultaneamente, ou seja, obter coroa dada a utilização de M1 é: 
 
𝑷(𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂) = 𝑷(𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂 𝑴𝟏) ∗ 𝑷(𝑴𝟏) + 𝑷(𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂 𝑴𝟐) ∗ 𝑷(𝑴𝟐) = 𝟎, 𝟒 ∗ 𝟎, 𝟓 + 𝟎, 𝟕 ∗ 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟓𝟓⁄ ⁄ 
 
Substituindo esse resultado na expressão acima, tem-se : 
 
𝑷(𝑴𝟏 𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂) =
𝟎, 𝟒 ∗ 𝟎, 𝟓
𝟎, 𝟓𝟓
=
𝟎, 𝟐
𝟎, 𝟓𝟓
= 𝟎, 𝟑𝟔𝟒 𝒐𝒖 𝟑𝟔, 𝟒%⁄ 
 
 
5- É possível que se tenham as seguintes probabilidades P(A)=1/2, P(B)=1/4 e P(A∩B)=1/3? (Justifique) 
RESOLUÇÃO: 
 
Não, por definição, dois eventos A e B são independentes se, 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) 
 
𝑷(𝑨) =
𝟏
𝟐
 𝒆 𝑷(𝑩) =
𝟏
𝟒
 , 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =
𝟏
𝟐
∗
𝟏
𝟒
=
𝟏
𝟖
 , 𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐
𝟏
𝟑
 ≠
𝟏
𝟖
 
 
6- A tabela a seguir lista a história de 940 pastilhas em um processo de fabricação de semicondutores. 
Suponha que uma pastilha seja selecionada, ao acaso desta tabela. Faça A denotar o evento em que a pastilha 
contenha altos níveis de contaminação, B o evento em que as pastilhas estejam no centro de uma ferramenta de 
produzir faíscas e E o evento em que a pastilha não seja proveniente do centro da ferramenta de produzir faíscas nem 
contenha altos níveis de contaminação. Determine: P(A), P(B), P(E), P(A∩B), P(A∪B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
RESOLUÇÃO: 
 
𝑃(𝐴) =
514+68
940
=
582
940
= 0,6191 𝑃(𝐵) =
68+248
940
=
316
940
= 0,3362 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
68
940
= 0,0723 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
582
940
+
316
940
−
68
940
=
582 + 316 − 68
940
=
830
940
 0,8830 
 
𝑃(𝐸) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 −
830
940
=
940 − 830
940
=
110
940
= 0,1170 
 
7- Um investidor dispõe de certa importância em dinheiro para investir no momento. Três 
possibilidades alternativas de carteira estão disponíveis. Os lucros estimados para cada carteira, sob cada 
condição econômica, são indicados na tabela de remuneração: 
 
 
 
Com base em experiência passada, o investidor atribui as seguintes probabilidades para cada condição 
econômica: P(a economia decresce) = 0,30; P(não há mudanças) = 0,50; e P(a economia cresce) = 0,20. 
a) Determine a melhor seleção de carteiras para o investidor de acordo com o critério do valor monetário 
esperado. Discuta. 
 
b) Qual seria o efeito nos resultados se as probabilidades das condições econômicas fossem: 
a. 0,1; 0,6; 0,3? 
b. 0,1; 0,3; 0,6? 
c. 0,4; 0,4; 0,2? 
 
A) RESOLUÇÃO: 
 
𝑉𝑀𝐸 = ∑ 𝑥𝑦. 𝑃𝑖
𝑛
𝑥−1
 
 
 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 → 𝑉𝑀𝐸 = 500 ∗ 0,3 + 1000 ∗ 0,5 + 2000 ∗ 0,2 = 150 + 500 + 400 = 1050 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐵 → 𝑉𝑀𝐸 = −2000 ∗ 0,3 + 2000 ∗ 0,5 + 5000 ∗ 0,2 = −600 + 1000 + 1000 = 1400 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐶 → 𝑉𝑀𝐸 = −7000 ∗ 0,3 + (−1000 ∗ 0,5) + 20000 ∗ 0,2 = −2100 − 500 + 4000 = 1400 
 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 + 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 − 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑙𝑖 
 
 
 
 
 
 19 
 
CONDIÇÃO LUCRO 
ÓTIMO 
A B C 
Economia decresce 500 500 – 500 = 0 500 – (-2000) = 2500 500 – (-7000) = 7500 
Não há mudanças 2000 2000 – 1000 = 1000 2000 – 2000 = 0 2000 – (-1000) = 3000 
Economia cresce 20000 20000 – 2000 = 18000 20000 – 5000 = 15000 20000 – 20000 = 0 
 
𝑃𝑂𝐸 = 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 
 
𝑃𝑂𝐸𝐴 = 0 ∗ 0,3 + 1000 ∗ 0,5 + 18000 ∗ 0,2 = 0 + 500 + 3600 = 4100 
 
𝑃𝑂𝐸𝐵 = 2500 ∗ 0,3 + 0 ∗ 0,5 + 15000 ∗ 0,2 = 750 + 0 + 3000 = 3750 
 
𝑃𝑂𝐸𝐶 = 7500 ∗ 0,3 + 3000 ∗ 0,5 + 0 ∗ 0,2 = 2250 + 1500 + 0 = 3750 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = 𝜎 
 
𝜎𝐴
2 = (500 − 1050)2 ∗ 0,3 + (1000 − 1050)2 ∗ 0,5 + (2000 − 1050)2 ∗ 0,2 
 
𝜎𝐴
2 = 272500 → 𝜎 = √272500 ≅ 522,0153 
 
𝜎𝐵
2 = (−2000 − 1400)2 ∗ 0,3 + (2000 − 1400)2 ∗ 0,5 + (5000 − 1400)2 ∗ 0,2 
 
𝜎𝐵
2 = 6240000 → 𝜎 = √6240000 ≅ 2497,9991 
 
𝜎𝐶
2 = (−7000 −1400)2 ∗ 0,3 + (−1000 − 1400)2 ∗ 0,5 + (20000 − 1400)2 ∗ 0,2 
 
𝜎𝐶
2 = 93240000 → 𝜎 = √93240000 ≅ 9656,0862 
 
𝑅𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑐𝑜: 𝑅 =
𝑉𝑀𝐸
𝜎
 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 → 𝑅𝐴 =
1050
522,0153
 ≅ 2,0114 
 
 
 20 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐵 → 𝑅𝐵 =
1400
2497,9991
 ≅ 0,5604 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐶 → 𝑅𝐶 =
1400
9656,0862
 ≅ 0,1450 
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 𝑎 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 é 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑐𝑜 
 
B) RESOLUÇÃO: 
 
a) Para 0,1 ; 0,6 ; 0,3 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 → 𝑉𝑀𝐸 = 500 ∗ 0,1 + 1000 ∗ 0,6 + 2000 ∗ 0,3 = 50 + 600 + 600 = 1250 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐵 → 𝑉𝑀𝐸 = −2000 ∗ 0,1 + 2000 ∗ 0,6 + 5000 ∗ 0,3 = −200 + 1200 + 1500 = 2500 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐶 → 𝑉𝑀𝐸 = −7000 ∗ 0,1 + (−1000 ∗ 0,6) + 20000 ∗ 0,3 = −700 − 600 + 6000 = 4700 
 
𝑃𝑂𝐸𝐴 = 0 ∗ 0,1 + 1000 ∗ 0,6 + 18000 ∗ 0,3 = 0 + 600 + 5400 = 6000 
 
𝑃𝑂𝐸𝐵 = 2500 ∗ 0,1 + 0 ∗ 0,6 + 15000 ∗ 0,3 = 250 + 0 + 4500 = 4750 
 
𝑃𝑂𝐸𝐶 = 7500 ∗ 0,1 + 3000 ∗ 0,6 + 0 ∗ 0,3 = 750 + 1800 + 0 = 2550 
 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = 𝜎 
 
𝜎𝐴
2 = (500 − 1250)2 ∗ 0,1 + (1000 − 1250)2 ∗ 0,6 + (2000 − 1250)2 ∗ 0,3 
 
𝜎𝐴
2 = 262500 → 𝜎 = √262500 ≅ 512,3475 
 
𝜎𝐵
2 = (−2000 − 2500)2 ∗ 0,1 + (2000 − 2500)2 ∗ 0,6 + (5000 − 2500)2 ∗ 0,3 
 
𝜎𝐵
2 = 4050000 → 𝜎 = √4050000 ≅ 2012,4611 
 
𝜎𝐶
2 = (−7000 − 4700)2 ∗ 0,1 + (−1000 − 4700)2 ∗ 0,6 + (20000 − 4700)2 ∗ 0,3 
 
 
 21 
𝜎𝐶
2 = 103401000 → 𝜎 = √103401000 ≅ 10169,0707 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 → 𝑅𝐴 =
1250
512,3475
 ≅ 2,4397 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐵 → 𝑅𝐵 =
2500
2012,4611
 ≅ 1,2422 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐶 → 𝑅𝐶 =
4700
10169,0707
 ≅ 0,4622 
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 𝑎 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 é 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑐𝑜 
b) Para 0,1 ; 0,3 ; 0,6 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 → 𝑉𝑀𝐸 = 500 ∗ 0,1 + 1000 ∗ 0,3 + 2000 ∗ 0,6 = 50 + 300 + 1200 = 1550 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐵 → 𝑉𝑀𝐸 = −2000 ∗ 0,1 + 2000 ∗ 0,3 + 5000 ∗ 0,6 = −200 + 600 + 3000 = 3400 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐶 → 𝑉𝑀𝐸 = −7000 ∗ 0,1 + (−1000 ∗ 0,3) + 20000 ∗ 0,6 = −700 − 300 + 12000 = 11000 
 
𝑃𝑂𝐸𝐴 = 0 ∗ 0,1 + 1000 ∗ 0,3 + 18000 ∗ 0,6 = 0 + 300 + 10800 = 11100 
 
𝑃𝑂𝐸𝐵 = 2500 ∗ 0,1 + 0 ∗ 0,3 + 15000 ∗ 0,6 = 250 + 0 + 9000 = 9250 
 
𝑃𝑂𝐸𝐶 = 7500 ∗ 0,1 + 3000 ∗ 0,3 + 0 ∗ 0,6 = 750 + 900 + 0 = 1650 
 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = 𝜎 
 
𝜎𝐴
2 = (500 − 1550)2 ∗ 0,1 + (1000 − 1550)2 ∗ 0,3 + (2000 − 1550)2 ∗ 0,6 
 
𝜎𝐴
2 = 322500 → 𝜎 = √322500 ≅ 567,8908 
 
𝜎𝐵
2 = (−2000 − 3400)2 ∗ 0,1 + (2000 − 3400)2 ∗ 0,3 + (5000 − 3400)2 ∗ 0,6 
 
𝜎𝐵
2 = 5040000 → 𝜎 = √5040000 ≅ 2244,9944 
 
 
 22 
𝜎𝐶
2 = (−7000 − 11000)2 ∗ 0,1 + (−1000 − 11000)2 ∗ 0,3 + (20000 − 11000)2 ∗ 0,6 
 
𝜎𝐶
2 = 124200000 → 𝜎 = √124200000 ≅ 11144,5053 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 → 𝑅𝐴 =
1550
567,8908
 ≅ 2,7293 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐵 → 𝑅𝐵 =
3400
2244,9944
 ≅ 1,5144 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐶 → 𝑅𝐶 =
11000
11144,5053
 ≅ 0,9870 
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 𝑎 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 é 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑐𝑜 
c) Para 0,4 ; 0,4 ; 0,2 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 → 𝑉𝑀𝐸 = 500 ∗ 0,4 + 1000 ∗ 0,4 + 2000 ∗ 0,2 = 200 + 400 + 400 = 1000 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐵 → 𝑉𝑀𝐸 = −2000 ∗ 0,4 + 2000 ∗ 0,4 + 5000 ∗ 0,2 = −800 + 800 + 1000 = 1000 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐶 → 𝑉𝑀𝐸 = −7000 ∗ 0,4 + (−1000 ∗ 0,4) + 20000 ∗ 0,2 = −2800 − 400 + 4000 = 800 
 
𝑃𝑂𝐸𝐴 = 0 ∗ 0,4 + 1000 ∗ 0,4 + 18000 ∗ 0,2 = 0 + 400 + 3600 = 4000 
 
𝑃𝑂𝐸𝐵 = 2500 ∗ 0,4 + 0 ∗ 0,4 + 15000 ∗ 0,2 = 1000 + 0 + 3000 = 4000 
 
𝑃𝑂𝐸𝐶 = 7500 ∗ 0,4 + 3000 ∗ 0,4 + 0 ∗ 0,2 = 3000 + 1200 + 0 = 4200 
 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = 𝜎 
 
𝜎𝐴
2 = (500 − 1000)2 ∗ 0,4 + (1000 − 1000)2 ∗ 0,4 + (2000 − 1000)2 ∗ 0,2 
 
𝜎𝐴
2 = 300000 → 𝜎 = √300000 ≅ 547,7225 
 
𝜎𝐵
2 = (−2000 − 1000)2 ∗ 0,4 + (2000 − 1000)2 ∗ 0,4 + (5000 − 1000)2 ∗ 0,2 
 
 
 23 
𝜎𝐵
2 = 7200000 → 𝜎 = √7200000 ≅ 2683,2815 
 
𝜎𝐶
2 = (−7000 − 800)2 ∗ 0,4 + (−1000 − 800)2 ∗ 0,4 + (20000 − 800)2 ∗ 0,2 
 
𝜎𝐶
2 = 99360000 → 𝜎 = √99360000 ≅ 9967,9486 
 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 → 𝑅𝐴 =
1000
547,7225
 ≅ 1,8257 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐵 → 𝑅𝐵 =
1000
2683,2815
 ≅ 0,3726 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐶 → 𝑅𝐶 =
800
9967,9486
 ≅ 0,0802 
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 𝑎 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 é 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝐴 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑐𝑜 
 
8- Com relação a uma determinada doença, 3% da população a possui e 97% é saudável. Um teste aplicado 
especificamente para detectar a doença fornece resultado positivo em 85% dos doentes, mas também em 2% de pessoas 
saudáveis (falha positiva). Deseja-se saber qual é a probabilidade de que, dado que o resultado do teste aplicado em um 
paciente resultou positivo, ele seja portador da doença. 
 
3% 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑎 𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎 (𝐷) 
97% 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑎 𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎 (𝑁𝐷) 
𝐷𝑜𝑠 3% 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙çã𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑎 𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎, 85% 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒 15% 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
𝐽á 𝑑𝑜𝑠 97% 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑎 𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎, 2% 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 (𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝑒 98% 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
 
Pela probabilidade condicional temos: 
 
𝑃(𝐷𝑜𝑒𝑛ç𝑎 / 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) = (𝑃(𝐷 ∩ 𝑅. 𝑃. )/𝑃(𝑅. 𝑃. ) ) = 
 𝑃(𝑅. 𝑃./𝐷) ∗ 𝑃(𝐷)
𝑃(𝑅. 𝑃. )
 
𝑃(𝐷𝑜𝑒𝑛ç𝑎 / 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) =
0,85 ∗ 0,03
𝑃(𝑅. 𝑃. )
 
Como não temos o valor da probabilidade de dar Resultado Positivo, teremos que descobrir. 
 
 24 
 
Para isso, devemos considerar todos os casos que podem sair resultado positivo, ou seja tanto na parte da população que 
apresenta a doença, quanto a parte que não apresenta. Com isso, teremos: 
 
𝑃(𝑅. 𝑃. ) = 𝑃(𝑅. 𝑃/𝐷) ∗ 𝑃(𝐷) + 𝑃(𝑅. 𝑃./𝑁𝐷) ∗ 𝑃(𝑁𝐷) 
𝑃(𝑅. 𝑃) = 0,85 ∗ 0,03 + 0,02 ∗ 0,97 → 0,0255 + 0,0194 → 𝑃(𝑅. 𝑃) = 0,0449 
Com isso, basta substituir na expressão anterior: 
 
 
𝑃(𝐷𝑜𝑒𝑛ç𝑎 / 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) =
0,85 ∗ 0,03
𝑃(𝑅. 𝑃. ) 
→ 𝑃(𝐷𝑜𝑒𝑛ç𝑎 / 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) = 
0,85 ∗ 0,03
0,0449
 
𝑃(𝐷𝑜𝑒𝑛ç𝑎 / 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) = 
0,0255
0,0449
= 0,567928 ≅ 0,5679 𝑜𝑢 56,79%