AE-II_SERIES TEMPORAIS- Parte II

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Análise Estatística II-Deptº V- UERJ Profª Fernanda 1
Parte II – MÉTODO DE DECOMPOSIÇÃO 
 
 
Nos preocuparemos na decomposição dos dois elementos fundamentais de uma 
série temporal ,isto é, o movimento estacional e o movimento conjuntural. 
 
Preliminarmente supomos que o movimento conjuntural é representado por uma 
expressão analítica conhecida, a tendência linear ou exponencial. 
 
Aplica-se então um ajustamento pelo método dos mínimos quadrados que 
fornecerá uma estimação das componentes. Este método é denominado 
ANALÍTICO. 
 
 Este tipo de procedimento apresenta o inconveniente de aplicar-se somente a um 
número restrito de séries. 
 
O método de cálculo exposto após o ANALÍTICO , permite na maioria dos casos, 
decompor de uma maneira satisfatória - ao menos numericamente – as séries 
temporais mediante um número reduzido de hipóteses. 
 
II.1 – Método Analítico 
 
 
 II.1.1 – Generalidades: 
 
Supõem-se que a grandeza (variável) estudada observa as hipóteses de natureza 
algébrica que deixam indeterminados alguns parâmetros, por exemplo, supor que 
uma grandeza (variável) econômica evolui linearmente com o tempo, é um modelo 
que deixa indeterminado 2 parâmetros ( a declividade e a ordenada na origem). 
 
O problema que se esboça é a estimação, a partir das observações, dos 
parâmetros do modelo. Um “modelo” é uma espécie de “ato de fé” sobre a 
natureza das coisas, por que é impossível testar a validez exata do modelo, 
embora haja o recurso gráfico, a teoria dos testes de hipóteses que permitirá 
testar alguns casos particulares (como exemplo, correspondentes a alguns valores 
dos parâmetros indeterminados) de algum modelo mais geral, suposto válido. 
 
A única justificativa para a adoção de um modelo são os valores observados no 
passado da série. Um modelo é sempre uma aproximação mais ou menos precisa 
da realidade. Um modelo será tanto mais vantajoso quanto mais conhecido é, quer 
dizer, possua menos parâmetros indeterminados. 
 
II.1.2- Hipóteses do modelo 
 
O modelo que supomos válido durante o estudo se expressa assim : 
 
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• movimento conjuntural é suposto uma tendência linear, da forma : 
 
 ft = αt + β 
 
obs: Poderia ser suposto exponencial , trigonométrico, etc ... , em vez de linear 
como veremos mais tarde. 
 
• movimento estacional é suposto rigorosamente periódico 
 
 St = γj 
 
• movimento acidental (residual) é imaginado equivalente a um desvio de 
média nula, cujos valores sucessivos são supostos independentes uns dos 
outros, e indicados como : 
 
 Zt 
 
• a composição dos três movimentos é suposta aditiva, e portanto : 
 
 yt = α.t + β + γj + Zt 
 
 
Se colocamos : 
 
 βj = β + γj 
 
o que é possível, visto que β e γj só contribuem para o modelo por sua soma, 
então : 
 
 yt = α.t + βj + Zt 
 
Aplicando o princípio da conservação das áreas: 
 
 β = 1/m ∑ βj e γj = βj - β (γj é um desvio ) 
 
Daí a expressão do modelo que possui m + 1 parâmetros (pois tem m 
parâmetros βj e 1 parâmetro α ), se torna : 
 
Yij = α [ m ( i – 1 ) + j ] + βj + Zij 
 
 
II.1.2.1- Estimação dos parâmetros do modelo 
 
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O método de estimação que consideramos é o método dos mínimos quadrados. 
Os estimadores a e bj dos parâmetros α e βj são os valores que tornam mínimo a 
expressão. 
 
A = ∑i ∑j { yij – a [ m (i-1) + j ] – bj } ² 
 
Isto é, a e bj são estimadores de mínimos quadrados (MQ) dos parâmetros α e βj 
.Em outras palavras, com relação a qualquer outros valores (a’,b’) a área A’ (de 
expressão análoga de A , porém com a’ e b’ em lugar de a e b) é maior que de A. 
 
 
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II.1.2.1.1- Estimação dos coeficientes estacionais 
 
Busquemos para um valor de a dado os valores de bj, que torna A mínimo, isto é, 
minimiza A. A derivada parcial de A com relação a cada um dos bj é tal que só 
figuram n dos m.n termos do duplo somatório (isto porque a derivada é em 
relação a cada bj) 
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II.1.2.1.2- Estimação dos coeficientes extra-estacionais 
 
Busquemos para um valor de a dado o valor de bj, que torna A mínimo, isto é, 
minimiza A. A derivada parcial de A com relação a bj é tal que só figuram n dos 
m.n termos do duplo somatório (isto porque a derivada é em relação a cada bj) 
 
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Exemplo: 
 
Consideremos uma série de vendas mensais de uma seção de uma grande loja 
cujos dados estão na tabela abaixo : 
 
 
Mês \ Ano 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 
jan 700 750 775 815 850 925 945 
fev 650 725 775 775 810 840 895 
mar 635 675 750 780 765 825 845 
abr 675 700 735 760 750 800 845 
mai 750 825 810 850 870 890 915 
jun 800 850 870 920 950 1000 1015 
jul 725 825 805 855 875 920 960 
ago 650 700 745 810 850 860 875 
set 675 700 750 795 835 855 895 
out 750 800 825 865 895 930 995 
nov 800 825 875 960 1010 1090 1120 
dez 975 1000 1050 1090 1175 1285 1300 
 
O aspecto linear do movimento Extra-estacional e a regularidade das oscilações 
mensais (mov. Estacional) seguem um ajuste conforme o modelo analítico 
estudado anteriormente. 
 
A tabela a seguir, mostra como calcular os coeficientes a, b e cj , com os quais 
podemos estimar a série ajustada.) 
 
A expressão obtida para a série ajustada é : 
 
yt =715,9 + 3,229 * t + Cj 
 
 
j Cj 
jan -12,5 
fev -57,1 
mar -88,2 
abr -92,9 
mai -4 
jun 63,5 
jul -2,6 
ago -73,7 
set -74,7 
out 1,3 
nov 86,7 
dez 254,1 
 
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Série ajustada 
 
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez 
ano\mês i \ j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
1950 1 707 665 637 636 728 799 736 668 670 750 838 1009 
1951 2 745 704 676 675 767 838 775 707 709 788 877 1047 
1952 3 784 743 715 713 806 876 813 746 748 827 916 1086 
1953 4 823 782 754 752 844 915 852 784 787 866 954 1125 
1954 5 862 820 792 791 883 954 891 823 825 905 993 1164 
1955 6 900 859 831 830 922 992 930 862 864 943 1032 1202 
1956 7 939 898 870 868 961 1031 968 901 903 982 1071 1241 
 
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Cálculo prático 
 
 
 O cálculo prático dos parâmetros (estimadores dos parâmetros) era feito 
pela tábua de “Buys-Ballot”, onde os dados são dispostos seguindo as dimensões 
do tempo . 
 
 
Ano\mês 1 … j … m Total 
Ti 
Média 
anual y i 
Produto 
i.Ti 
1 
M 
i yij Ti y i = 
Ti/m 
i.Ti 
M 
n 
Total Tj Tj Total da 
coluna 
Média dos 
meses j 
 y j = 
Tj/n 
 Média 
geral 
y =T/n.m 
 
Coeficientes 
estacionais cj 
 cj 0 
 
 
 a = T
m
n
m
S
nmn
)
2
1([
)1(.
12
2
+−− ] 
 
 b = )
.2
1.(
. m
nma
nm
T +− 
 
 c = )
2
1(
.
+−−− mja
mn
T
n
Tj
 
 
 
Exemplo1: Estudar a série temporal de vendas de um determinado produto em 
uma indústria , do período de 1979-1982 . As observações são trimestrais . 
Anexo Excel 
 
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II.1.3- Hipótese do Modelo: Composição Multiplicativa e Tendência 
Exponencial 
 
Suponhamos agora a S.T apresentada na figura 1. A análise do comportamento 
das flutuações resultantes da composição do movimento estacional (st) com o 
movimento exta-estacional (ft) nos mostra que as flutuações resultantes são 
crescentes com o tempo. Neste caso, o esquema de composição dos 
componentes da S.T. é o Multiplicativo: 
 
yt = ft . (1+st) . (1+ zt) 
 
Além disto, podemos notar que o movimento extra-estacional (tendência) é melhor 
representado por uma função do tipo: 
 
ft = y0 . (1+r)t (função exponencial) 
 
onde: r é a taxa de crescimento. 
 
Deste modo, a composição dos movimentos da S.T. se dará segundo o modelo: 
 
yt = y0 . (1+r)t . (1+sj) . (1+ zt) Modelo Exponencial Multiplicativo 
 
Aplicando-seo logaritmos na equação do modelo, transformamos o modelo acima 
num modelo linear nos logaritmos: 
 
log yt = log y0 + t log (1+r) + log (1+sj) + log (1+ zt) 
 
Fazendo: 
 
xt = log yt 
b = log y0 
a = log (1+r) 
cj = log (1+sj) 
zt = log (1+ zt) 
 
Teremos o seguinte modelo linear aditivo: 
 
xt = a.t + b + cj + zt 
 
onde: 
 
a, b e cj , j=1,...,m, são os estimadores de α, β, γj j=1,...,m, definidos para o caso 
do modelo linear aditivo, 
 
 
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E logicamente o processo para estimar estes parâmetros é o mesmo (mesma 
tabela de cálculo) utilizada mo modelo linear aditivo, tendo como única alteração, 
que teremos agora que trabalhar na escala dos logaritmos (xt = log yt). 
 
Obviamente para obtermos a equação do modelo Exponencial Multiplicativo, 
devemos obter o anti-log dos valores obtidos para os estimadores a, b, e cj 
j=1,...,m, ou seja: 
 
y0 = anti-log b 
(1+r) = anti-log a 
(1+sj) = anti-log cj 
 
yt = y0 . (1+r)t . (1+sj) . (1+ zt) Modelo Exponencial Multiplicativo 
 
 
Observação: 
Vale lembrar que quando a taxa de crescimento é pequena, o período em estudo 
é curto e os coeficientes estacionais diferem pouco de 1, o Modelo Exponencial 
Multiplicativo se aproxima bastante do Modelo Linear Aditivo. 
( )
( )1. 2
1.12
2
1
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
∑
=
nmn
xnnxi
a
n
i
i ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
2
1mnaxb
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−−=
2
1mjaxxc jj
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Exemplo: 
Determinar os componentes da S.T. abaixo, cujas observações são trimestrais e 
compreendem um horizonte de 5 anos (1990 a 1995). 
 
 Trimestre (j) 
Anos (i) 1 2 3 4 
1 323 294 250 305 
2 354 304 296 326 
3 396 325 310 362 
4 435 342 376 399 
5 499 364 410 456