convolucao_2

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Parte I
Convolução Cont́ınua
Convolução de sistemas cont́ınuos
Definição
Convolução é a operação
x1(t) ∗ x2(t) =
∫ +∞
−∞
x1(τ)x2(t− τ)dτ
Note que nem sempre a integral de convolução existe. Por exemplo, se x1(t) =
x2(t) = 1, então x1(t) ∗ x2(t) não existe.
Propriedade
O impulso é o elemento neutro da convolução, pois
x(t) ∗ δ(t) =
∫ +∞
−∞
x(τ)δ(t− τ)dτ =
∫ +∞
−∞
x(t− τ)δ(τ)dτ = x(t)
Convolução de sistemas cont́ınuos
Propriedade (Deslocamento no tempo)
x(t) ∗ δ(t− a) = x(t− a)
Prova:
x(t) ∗ δ(t− a) =
∫ +∞
−∞
x(τ)δ(t− τ − a)dτ = x(t− a)
Convolução de sistemas cont́ınuos
Propriedade (Convoluir com o degrau é integrar)
x(t) ∗ u(t) = Ix(t) =
∫ t
−∞
x(τ)dτ
1
Prova:
x(t) ∗ u(t) =
∫ +∞
−∞
x(τ)u(t− τ)dτ
=
∫ t
−∞
x(τ)u(t− τ)dτ +
∫ +∞
t
x(τ)u(t− τ)dτ︸ ︷︷ ︸
=0
=
∫ t
−∞
x(τ)dτ
Exemplo
Para
x1(t) = u(t)− u(t− 1) e x2(t) = e−tu(t)
determine y(t) = x1(t) ∗ x2(t).
Solução – Método gráfico
1. Esboçar x1(τ) e x2(t− τ)
-5 0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-5 0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2. Determinar os intervalos de integração (superposição das curvas)
• t < 0
• 0 ≤ t ≤ 1
• t > 1
Solução – Método gráfico
2
-5 0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• Para t < 0 não existe sobreposição entre as curvas. Portanto,
Se t < 0, então y1(t) = 0, ∀τ
Solução – Método gráfico
-5 0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• Para 0 ≤ t ≤ 1 o domı́nio de sobreposição entre as curvas aumenta
conforme t também aumenta. Portanto, se 0 ≤ t ≤ 1, então o intervalo
de integração é 0 ≤ τ ≤ t e a integral de convolução é dada por
y2(t) =
∫ t
0
1.e−(t−τ)dτ = e−t
∫ t
0
eτdτ
= e−t
(
eτ |t0
)
= e−t(et − 1)
= 1− e−t
y2(t)= (1− e−t)(u(t)− u(t− 1)) Por que?
Solução – Método gráfico
3
-5 0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• Para t > 1 o domı́nio de sobreposição permanece inalterado conforme
t aumenta. Portanto, se t > 1, então o intervalo de integração é 0 ≤
τ ≤ 1 e a integral de convolução é dada por
y3(t) =
∫ 1
0
1.e−(t−τ)dτ = e−t
∫ 1
0
eτdτ
= e−t
(
eτ |10
)
= e−t(e1 − 1)
= e1−t − e−t
y3(t)= (e
1−t − e−t)u(t− 1) Por que?
Solução – Método gráfico
• O sinal convolúıdo é, então, descrito por
y(t) = y1(t) + y2(t) + y3(t)
= (1− e−t)(u(t)− u(t− 1)) + (e1−t − e−t)u(t− 1)
• Ou, equivalentemente,
y(t) =

0, t < 0
1− e−t, 0 ≤ t ≤ 1
e1−t − e−t, t > 1
Solução – Método anaĺıtico
• Utilizando a propriedade de que convoluir com o degrau é integrar,
tem-se que
e−tu(t) ∗ u(t) =
∫ t
−∞
e−τu(τ)dτ = (1− e−t)u(t) = Ix2(t)
4
• Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo, pode-se escrever
u(t− 1) = u(t) ∗ δ(t− 1)
e, consequentemente,
e−tu(t) ∗ u(t− 1) = e−tu(t) ∗ u(t) ∗ δ(t− 1) = Ix2(t− 1)
= (1− e−(t−1))u(t− 1)
• Assim, y(t) = x1(t) ∗ x2(t) é tal que
y(t) = Ix2(t)− Ix2(t− 1)
= (1− e−t)u(t) + (e1−t − 1)u(t− 1)
• Verifique que o resultado obtido é igual ao do método gráfico!
Exerćıcio
Determine a forma anaĺıtica e esboce a convolução y(t) = x1(t) ∗ x2(t),
sendo
2 4 6
1
2
t
x1(t)
2 4
3
t
x2(t)
5