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O Problema Inverso: Método de Monte Carlo
Leonardo Martins Santana
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Introdução
Problema Direto e Problema Inverso.
Problema inverso: a partir de uma série de medidas , feitas sobre um modelo desconhecido, o problema inverso visa obter um vetor de parâmetros , que soluciona a equação onde é um operador que relaciona os parâmetros do modelo m e os dados observados 
Existencia ou Não de Soluçao 
Linear e Não-Linear
Introdução
Metodos de alcance Local. Ex: Tipo Newton
Metodos de Alcance Global. (Monte Carlo)
Tipo de abordagem 
Deterministica
Probabilistica
Metodo Monte Carlo
Foi formalizado em 1949, por meio do artigo intitulado Monte Carlo Method, publicado por John Von Neumann e Stanislav Ulam.
Ulam (primeiro) e o Cassino de Monte Carlo em Mônaco
Metodos de Monte Carlo
São usuais para tentar resolver problemas inversos dentro de uma estrutura puramente probabilística.
É uma técnica computacional que utiliza números aleatórios para resolver problemas de natureza probabilística
A única exigência é que o sistema físico ou matemático seja descrito (modelado) em termos de funções de densidade de distribuição de probabilidade (FDP).
Metodos de Monte Carlo
Uma vez conhecidas essas distribuições, a Simulação de Monte Carlo pode proceder fazendo as amostragens aleatórias a partir das mesmas. 
O processo é repetido inúmeras vezes e o resultado desejado é obtido por meio de técnicas estatísticas (média, desvio padrão, etc.) sobre um determinado número de realizações (amostra) que podem chegar a milhões.
Metodo de Monte Carlo
Na prática, diante de um problema envolvendo incertezas, realizar uma Simulação com Monte Carlo para aproximar sua solução consiste em quatro passos padrões:
a) Modelar o problema definindo uma FDP para representar o comportamento de cada uma das suas incertezas.
b) Gerar valores pseudo-aleatórios aderentes à FDP de cada incerteza do problema.
c) Calcular o resultado determinístico substituindo as incertezas pelos valores gerados obtendo, assim, uma observação do problema. Repetir os passos B e C até se obter uma amostra com o tamanho desejado de realizações
d) Agregar e manipular os resultados da amostra de forma a obter uma estimativa da solução do problema.
“Explotação“ e “Exploração"
Analise Probabilistica Bayesiana
Bayes [1763], que apresentou um método para combinar informações prévias sobre um modelo com as informações de novos dados. Nesta formulação de um problema inverso, toda informação é representada em termos probabilísticos.
Supoe que se saiba algo sobre um modelo antes de observar os dados. Este conhecimento é expresso de forma probabilística e é chamado de modelo de probabilidade anterior (antes de os dados terem sido observados).
Inversão Bayesiana fornece uma estrutura para combinar a informação prévia probabilística com a informação contida nos dados observados, afim de atualizar a informação prévia.
 Geradores de Valores Aleatórios
Todas as técnicas de Monte Carlo fazem uso de geradores de números aleatórios de algum tipo.
Os métodos de Monte Carlo basicamente relaciona um numero aleatório a um modelo . 
Nos computadores são usados geradores que, baseados em algoritmos matemáticos, simulam sorteios de números aleatórios, mais apropriadamente denominados números pseudoaleatórios. Por exemplo, números aleatórios no intervalo (0, 1).
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Criterio de Rejeiçao
Para obter uma distribuição de probabilidades mais geral definida num intervalo [a, b] , e com normalização 
A técnica de rejeição de Neumann permite obter variáveis aleatórias com distribuição no intervalo [a, b] a partir das de números aleatórios sorteados e distribuídas no intervalo [0,1].
Criterio de Rejeiçao
No método de Monte Carlo, a técnica de Newmann pode ser aplicada em dois passos:
1 - Calculo das probabilidades de modelos-alvo distribuído no espaço de modelos partir de função probabilidade, devidamente normalizada.
2 - Geração um número aleatório distribuído no intervalo [0, 1], relacionado a e cheque a relação de desigualdade
O objetivo da técnica de rejeição de Neumann é eliminar todos os pontos acima da distribuição testando a condição do passo 2.
Criterio de Rejeiçao
Esquematização: no quadro (a), o gráfico da função de distribuição de probabilidade dos modelos Em (b) uma amostra inicial da distribuição dos números aleatórios na região retangular limitada acima pela reta de máxima probabilidade. Em (c) aparecem osvalores selecionados (aceitos). 
Conclusão
As técnicas de Monte Carlo são uma das várias abordagens que foram aplicados com sucesso a problemas inversos em Geofísica.
Com o crescimento e disseminação de alto desempenho computação, as técnicas de inversão de Monte Carlo não são mais restrito aos proprietários de supercomputadores. Como seu uso se torna mais difundido, pode-se esperar satisfatória aplicabilidade do método para problemas não-lineares e a necessidade de linearização irá diminuir em muitos casos.
Referencias
MOSSEGAR, Klaus; CAMBRIDGE, Malcolm. Monte Carlo analisais of inverse problems. Inverse problems, v. 18, n. 3, p. R29, 2002.
TARANTOLA, Albert. Inverse problem theory and methods for model parameter estimation. Siam, 2005.
MENKE, William. Geophysical data analysis: Discrete inverse theory. Academic press, 2018.