ANP_10_2020_2

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Unidade curricular: Cálculo II 
Curso: Engenharia de Controle e Automação – IFSC Chapecó 
Profª.: Carise E. Schmidt 
Período letivo: 2020/2 
Aula: 05/03/2021 (ANP) 
 
 
COORDENADAS POLARES (continuação) 
 
 Gráficos de equações em coordenadas polares 
 Assim como em equações cartesianas, um ponto 𝑃(𝑟, 𝜃) está no gráfico de uma 
equação polar 𝑟 = 𝑓(𝜃) se, e somente se, 𝑃 = (𝑟, 𝑓(𝜃)). Em alguns casos, o uso de 
coordenadas polares simplifica equações de curvas. 
 Para traçar um gráfico de uma equação em coordenadas polares, observe o 
seguinte: 
i) Verifique se existem simetrias, ou seja, se a equação se altera com as 
substituições: 
a) 𝜃 por – 𝜃: simetria em relação à reta 𝜃 = 0 (eixo 𝑥) 
b) 𝜃 por 𝜋 − 𝜃: simetria em relação à reta 𝜃 =
𝜋
2
 (eixo 𝑦) 
c) 𝜃 por 𝜋 + 𝜃: simetria em relação ao polo (equivale a substituir 𝑟 por – 𝑟 
ii) Verifique se a curva passa pelo polo 
iii) Determine os pontos da curva, variando 𝜃 a partir de 𝜃 = 0 
iv) Verifique a existência de pontos críticos (máximos e mínimos): 𝑓′(𝜃) = 0 e 
𝑓′′(𝜃) > 0 → 𝜃 é um mínimo relativo; 𝑓′(𝜃) = 0 e 𝑓′′(𝜃) < 0 → 𝜃 é um 
máximo relativo. 
v) Verifique se 𝑟 não se altera ao trocar 𝜃 por 𝜃 + 2𝜋. Se não houver variação, 
basta variar 𝜃 entre 0 e 2𝜋. 
 As relações trigonométricas a seguir são úteis para tais verificações: 
cos(−𝜃) = cos(𝜃) = cos(2𝜋 − 𝜃) = cos (2𝜋 + 𝜃) 
sen(−𝜃) = −sen(𝜃) = sen(2𝜋 − 𝜃) 
cos(𝜋 − 𝜃) = −cos (𝜃) 
sen(2𝜋 + 𝜃) = sen(𝜃) 
 
Exemplos: 
a) a equação da circunferência centrada no polo 𝑟 = 𝐶 
b) a equação da reta 𝜃 = 𝜃0, 𝜃0 > 0 
c) a equação geral da espiral 𝑟 = 𝜃 
 
Equações de algumas curvas especiais em coordenadas polares 
a) Circunferências 
i) 𝑟 = 𝐶 (circunferência centrada no polo, de raio 𝐶) 
ii) 𝑟 = 2𝑎 cos (𝜃) (circunferência com centro na reta 𝜃 = 0, passando pelo 
polo, e raio |𝑎|. 
iii) 𝑟 = 2𝑏 𝑠𝑒𝑛 (𝜃) (circunferência com centro na reta 𝜃 =
𝜋
2
, passando pelo 
polo, e raio |𝑏|. 
 
 
b) Retas 
i) 𝜃 = 𝐶 (reta passando pelo polo) 
ii) 𝑟 cos (𝜃) = 𝑎 (reta paralela ao eixo polar) 
iii) 𝑟 sen (𝜃) = 𝑏 (reta perpendicular à reta que contém o eixo polar) 
 
c) Espirais 
i) 𝑟 = 𝑎𝜃 (espiral de Arquimedes) 
ii) 𝑟 =
𝑎
𝜃
 (espiral hiperbólica) 
iii) 𝑟 = 𝑎𝑏𝜃, 𝑎 > 0 (espiral logarítmica) 
iv) 𝑟 = 𝑎√𝜃 (espiral parabólica) 
 
d) Rosáceas 
i) 𝑟 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃), 𝑛 ∈ ℕ∗ 
ii) 𝑟 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃), 𝑛 ∈ ℕ∗ 
Em ambos os casos, tem-se uma rosácea com 𝑛 folhas, se 𝑛 for ímpar, e 2𝑛 folhas, se 𝑛 
for par. 
 
e) Limaçon 
i) 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
ii) 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
Existem quatro tipos de limaçons e cada tipo depende da razão 
𝑎
𝑏
. Se 0 <
𝑎
𝑏
< 1 tem-se 
uma limaçon com um laço. Se 1 <
𝑎
𝑏
< 2 tem-se uma limaçon com um dente. Se 
𝑎
𝑏
= 1, 
tem-se uma cardioide. E, por fim, se 
𝑎
𝑏
≥ 2, tem-se uma limaçon convexa. 
 
 
f) Lemniscatas 
i) 𝑟2 = ±𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
ii) 𝑟2 = ±𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
 
 
 Comprimento do arco de uma curva dada em coordenadas polares 
 Seja 𝐶 uma curva dada pela equação polar 𝑟 = 𝑓(𝜃). Utilizando as equações 𝑥 =
𝑟 cos (𝜃) e 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜃), temos que 𝑥 = 𝑓(𝜃)cos (𝜃) e 𝑦 = 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃), que podem ser 
consideradas equações paramétricas da curva 𝐶, para 𝜃 ∈ [𝜃0, 𝜃1]. Derivando essas 
equações, temos: 
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= 𝑓′(𝜃) cos(𝜃) − 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
𝑑𝑦
𝑑𝜃
= 𝑓′(𝜃) sen(𝜃) − 𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
 Elevando ambos os lados dessas equações ao quadrado e somando as duas, temos 
que: 
(
𝑑𝑥
𝑑𝜃
)
2
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝜃
)
2
= [𝑓′(𝜃)]2 + [𝑓(𝜃)]2 
 Substituindo esse resultado na fórmula do comprimento do arco de uma curva 
dada por suas equações paramétricas, temos o comprimento do arco de uma curva dada 
em coordenadas polares: 
𝑠 = ∫ √[𝑓′(𝜃)]2 + [𝑓(𝜃)]2
𝜃1
𝜃0
𝑑𝜃 
 
 Exemplo: Calcular o comprimento da curva 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃), 𝜃 ∈ [0, 𝜋] . 
 
 
 
 
 Área de figuras planas em coordenadas polares 
 Seja 𝑓 uma função contínua e não negativa no intervalo [𝛼, 𝛽]. Seja 𝑅 a região 
limitada pela curva de equação 𝑟 = 𝑓(𝜃) e pelas retas 𝜃 = 𝛼 e 𝜃 = 𝛽. 
 
 Considere uma partição 𝑃 do intervalo [𝛼, 𝛽], definida por 
𝛼 = 𝜃0 < 𝜃1 < ⋯ < 𝜃𝑖−1 < 𝜃𝑖 < ⋯ < 𝜃𝑛 = 𝛽 
 
 Para cada [𝜃𝑖−1, 𝜃𝑖], 𝑖 = 1, … , 𝑛, considere um setor circular de raio 𝑓(𝜌𝑖) e um 
ângulo central ∆𝜃𝑖, em que 𝜃𝑖−1 < 𝜌𝑖 < 𝜃𝑖 e ∆𝜃𝑖 = 𝜃𝑖 − ∆𝜃𝑖−1. 
 
 Dessa forma, a área do i-ésimo setor circular é dada por 
1
2
[𝑓(𝜌𝑖)]
2∆𝜃𝑖 
 Como há um desses setores circulares para cada um dos 𝑛 subintervalos, temos 
uma área aproximada igual a 𝐴𝑛, sendo: 
𝐴𝑛 = ∑
1
2
𝑛
𝑖=1
[𝑓(𝜌𝑖)]
2
∆𝜃𝑖 =
1
2
∑[𝑓(𝜌𝑖)]
2
∆𝜃𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 A medida que 𝑛 cresce, cada ∆𝜃𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 torna-se menor e 𝐴𝑛 aproxima-se da 
área da região delimitada por 𝑟 = 𝑓(𝜃), 𝜃 = 𝛼 e 𝜃 = 𝛽. Portanto: 
𝐴 = lim
𝑛→ ∞
1
2
∑[𝑓(𝜌𝑖)]
2
∆𝜃𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 Pela definição de integral: 
𝐴 =
1
2
∫ [𝑓(𝜃)]2𝑑𝜃
𝛽
𝛼
 
 
 Considere agora a região limitada pelas retas 𝜃 = 𝛼 e 𝜃 = 𝛽, e pelas curvas de equação 
𝑟 = 𝑓(𝜃) e 𝑟 = 𝑔(𝜃), onde 𝑓 e 𝑔 são contínuas no intervalo fechado [𝛼, 𝛽] e 𝑓(𝜃) ≥ 𝑔(𝜃) 
em [𝛼, 𝛽]. 
 
 De modo análogo ao desenvolvido anteriormente, a área dessa região é dada por: 
𝐴 =
1
2
∫ ([𝑓(𝜃)]2 − [𝑔(𝜃)]2)𝑑𝜃
𝛽
𝛼
 
 
Exemplo: Encontre a área da região limitada pelo gráfico de 𝑟 = 2 + 2 cos(𝜃). 
 
Exemplo: Determine a área da região interior à circunferência 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑛 (𝜃) e exterior à 
limaçon 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛(𝜃). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos: 
1) Calcule o comprimento da curva polar 
a) 𝑟 = 3 𝑠𝑒𝑛(𝜃), 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/3 
b) 𝑟 = 𝜃2, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 
2) Esboce a curva e calcule a área limitada por ela 
a) 𝑟 = 3cos (𝜃) 
b) 𝑟2 = 4 cos(2𝜃) 
 
3) Encontre a área da região dentro de um laço da curva 𝑟 = sen(2𝜃) 
 
4) Encontre a área que está dentro da curva 𝑟 = 2 cos(2𝜃) e fora da curva 𝑟 = 1. 
 
5) Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas 𝑟 = cos(2𝜃) e 𝑟 = sen(2𝜃) 
 
Respostas: 
1. a) π; b) 
8
3
[(π2 + 1)
3
2 − 1] 
2. a) 
9π
4
; b) 4 
3. 
π
8
 
4. 
π
3
+
√3
2
 
5. 
π
2
− 1