Tema 05 - TEXTO DE APOIO AO ESTUDO

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CURSO CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO 
DISCIPLINA: Sistemas Numéricos Computacionais 
TEMA: Métodos Diretos - Eliminação de Gauss e Fatoração LU 
 
 
 
TEXTO PARA APOIO AO ESTUDO 
 
 
Eliminação de Gauss 
 
 
Métodos numéricos para solução de sistemas de equações lineares são divididos principalmente em dois grupos: 
 
– Métodos Exatos: são aqueles que forneceriam a solução exata, não fossem os erros de arredondamento, com 
um número finito de operações. 
 
– Métodos Iterativos: são aqueles que permitem obter a solução de um sistema com uma dada precisão através 
de um processo infinito convergente. 
 
O Método 
 
No método da Eliminação de Gauss, aplicam-se as operações elementares em Ax = b de modo a obter um 
sistema equivalente Ux = c, em que U é uma matriz triangular superior. 
A i-ésima linha da matriz A será denotada por ai , ou seja, ai = ai1 ai2 . . . ain , i = 1, . . . , n. Além disso, [A|b] 
significa a matriz A concatenada com o vetor b. 
Por trata-se de um método iterativo, os valores iniciais das “variáveis” são dados por: A(0) = A e b(0) = b. 
 
A cada estágio j = 0, 1, . . . , n − 1, são aplicadas operações elementares no par [A(j)|b(j)] para obter um novo 
par 
[A(j+1)|b(j+1) ] com zeros abaixo do elemento a(j)jj . 
No primeiro estágio, introduzimos zeros abaixo de a(0)11 subtraindo da j-ésima linha um múltiplo mi1 da 
primeira linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
Fatoração LU 
 
Seja o sistema: Ax = b, nesse método a matriz A é fatorada como o produto de uma matriz L triangular inferior e 
uma matriz triangular superior, ou seja A =LU; 
 
Portanto o sistema Ax=b, pode ser reescrito como: 
 (LU)x = b 
 L(Ux )=b 
 Ly=b e Ux=y 
 
 
Portanto, ao invés de resolver o sistema original, o sistema a ser resolvido, agora, éo sistema triangular inferior 
Ly=b e, em seguida, o sistema triangular superior Ux=y, que fornece a solução de Ax=b. 
 
 
A = LU 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Seja 𝐴 = (
5 2 1
3 1 4
1 1 3
) 
a. Decompor A em LU. 
b. Através da decomposição LU, calcular o determinante de A. 
c. Resolver o sistema Ax = b, onde b = (0, −7, −5), usando a decomposição LU. 
 
Solução 
 
 
 
Item b 
 
 
 
 
 
Item c 
 
 
 
 
Item c 
 
 
 
Implementação 
 
A=[5 2 1;3 1 4;1 1 3] 
n=size(A,1); 
L=eye(n,n); 
for j=1:n-1 
 for i=j+1:n 
 L(i,j) = A(i,j)/A(j,j); 
 A(i,j+1:n) = A(i,j+1:n) - L(i,j)*A(j,j+1:n); 
 A(i,j)=0; 
 end 
end 
 
 
 
 
 
PUBLICAÇÕES: 
[1] Franco, Neide Maria Bertoldi:Cálculo Numérico, Pearson.