Produto Misto e Volume de Paralelepípedos

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Produto Misto 
Se tomarmos um vetor 
AE
, não contido no mesmo plano que 
AB
 e 
AD
, determinaremos um paralelepípedo, como na figura. 
O volume de um paralelepípedo é dado por 
hAV bpedoparalelepí 
, em que 
bA
 é a medida da área da base do paralelepípedo e h a medida da altura 
relativa a essa base. 
 
Para calcular o volume desse paralelepípedo, precisaremos da 
medida da altura AM do paralelepípedo, pois estamos interessados em 
usar a base ABCD, cuja área podemos determinar por meio do produto 
vetorial. 
(a) Escreva AM em função de . 
(b) A área do paralelogramo ABCD é dada por: 
(c) Assim, o volume do paralelepípedo ABCDEFGH é dado por: 
(d) Observe a figura. Determine um vetor paralelo ao vetor 
ABAD
. 
(e) Qual é o ângulo entre os vetores 
ABAD
 e 
AE
? 
 
UFJF 
Geometria Analítica e Sistemas Lineares - 2013 
Produto Misto 
Prof a Maria Cristina Oliveira 
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Vimos anteriormente que o produto escalar entre 
u
 e 
v
 é dado por 
 cosvuvu
, em que  é o ângulo entre esses vetores. No caso acima, 
podemos dizer que o volume do paralelepípedo ABCDEFGH é dado pelo 
produto escalar entre os vetores: 
 
 
 A operação entre os vetores 
u
, 
v
 e 
w
 indicada por 
 w,v,u
 é chamada 
produto misto e é dada por: 
   wvuw,v,u 
 
 Esse produto também pode ser calculado por meio das coordenadas 
dos vetores, sendo 
 321 u,u,uu 
, 
 321 v,v,vv 
 e 
 321 w,w,ww 
, 
 
321
321
321
www
vvv
uuu
w,v,u 
 
 O volume do paralelepípedo determinado por 
u
, 
v
 e 
w
 é dado por 
 w,v,uV pedoparalelepí 
. 
 Se três vetores são coplanares, o produto misto entre eles é igual a 
zero.