Aula 7 - Lei de Coulomb

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Aula 7 
LEI DE COULOMB 
 
A força eletromagnética entre partículas carregadas é uma das forças 
fundamentais da natureza. 
PROPRIEDADES DAS CARGAS ELÉTRICAS 
A partir de uma série de experimentos simples, sabe-se que existem dois tipos 
de cargas elétricas, as quais foram denominadas, respectivamente, de positiva 
e negativa por Benjamin Franklin. 
Para demonstrar este fato, se você atritar dois bastões de vidro em uma folha 
de papel e aproximá-los um do outro, estes bastões se repelirão, ou seja, a 
força entre eles é repulsiva. De outra forma, se você atritar um bastão de vidro 
e um bastão de polipropileno, também com papel, e aproximá-los, os mesmos 
de atrairão, ou seja, a força entre eles será atrativa. 
Esta observação mostra que o vidro e o polipropileno estão em dois estados 
diferentes de eletrificação. 
 
Outro aspecto importante do modelo elétrico de Franklin é: 
Cargas elétricas sempre se conservam. 
Isto quer dizer que quando dois corpos são atritados, nenhuma carga é criada 
no processo. A eletrificação dos corpos é devido à transferência de cargas de 
um corpo para o outro. Desta forma, um corpo ganha uma certa quantidade de 
cargas negativas e o outro ganha a mesma quantidade de cargas positivas. 
Isto é consistente com o fato de que um corpo neutro contém a mesma 
quantidade de cargas positivas (prótons no interior do núcleo do átomo) e 
cargas negativas (elétrons, nas órbitas ao redor do núcleo do átomo). 
A carga elétrica, , ocorre sempre como um múltiplo inteiro da unidade 
fundamental de cargas, (carga do elétron). A carga é, então, quantificada, 
ou seja, existe como pacotes discretos. Assim, pode-se escrever: 
 
Em que, é um inteiro qualquer, sendo a carga do elétron igual a e a do 
próton igual a . 
 
Da discussão acima, conclui-se que as cargas elétricas possuem importantes 
propriedades, quais sejam: 
 Existem dois tipos de cargas na natureza, as quais se atraem se forem 
de tipos diferentes e são repelidas se forem do mesmo tipo; 
 A força entre cargas varia com o inverso do quadrado da distância entre 
elas; 
 Cargas se conservam; 
 Cargas são quantificadas. 
CONDUTORES, ISOLANTES E SEMICONDUTORES 
Condutores são materiais nos quais as cargas elétricas se movem 
com bastante facilidade (ouro, cobre); 
Isolantes são materiais que dificultam o transporte de cargas 
elétricas (vidro, borracha); 
Semicondutores são materiais cujas propriedades elétricas ficam 
entre as dos condutores e as dos isolantes (silício, germânio). 
LEI DE COULOMB 
Experimentos demonstraram que a força elétrica possui as seguintes 
propriedades: 
 A força é inversamente proporcional ao quadrado da distância, , entre 
duas partículas; 
 A força é proporcional ao produto das cargas e nas duas 
partículas; 
 A força é atrativa se as cargas possuem sinais opostos e repulsiva para 
cargas de mesmo sinal. 
A partir destas observações, Coulomb expressou a magnitude da força elétrica 
entre duas cargas como: 
 
| || |
 
 
em que, é a constante de Coulomb, cujo valor no SI é: 
 
 
 
 
Em que (Coulomb) é a unidade de carga e é a permissividade elétrica no 
vácuo e tem valor igual a: 
 
 
A menor unidade de carga conhecida na natureza é a carga de um elétron ou 
de um próton, cujo valor é: 
| | 
As cargas e massas do elétron, do próton e do nêutron são apresentadas na 
tabela abaixo: 
Partícula Carga (C) Massa (kg) 
Elétron 
Próton 
Nêutron 0 
 
Lembre-se que a força elétrica de Coulomb é uma quantidade vetorial e que a 
mesma é aplicada somente a partículas e cargas pontuais. 
A força elétrica exercida em devido à carga , escrita como , é expressa 
na seguinte forma vetorial: 
 
 
 
 ̂ 
em que ̂ é um vetor unitário direcionado de para , 
como apresentado na figura (a) ao lado. 
Como a lei de Coulomb obedece à terceira lei de Newton, 
a força elétrica exercida em devido a é igual em 
magnitude à força exercida em devido a , mas em 
sentido contrário, ou seja: 
 
 
Se e possuem sinais contrários, o produto é 
negativo e a força é atrativa. Veja figura (b). 
 
Quando mais de duas cargas estão presentes, a força entre cada par de 
cargas obedece à lei de Coulomb, por isso, a força resultante em cada carga é 
a soma vetorial das forças exercidas sobre ela pelas cargas vizinhas. 
Por exemplo, se existem 4 cargas, a força resultante na partícula 1 é: 
 
 
Exemplo 1: Considere 3 cargas pontuais 
localizadas nas pontas de um triângulo retângulo, 
como mostrado na figura ao lado. 
 , , e . Encontre a 
força resultante em . 
 
R – Primeiro observe o sentido das forças 
exercidas em por e . A força exercida por 
 em é atrativa, pois as cargas possuem 
sinais contrários. A força exercida em por é 
repulsiva, pois as cargas possuem o mesmo sinal. 
A magnitude de é: 
 
 
| || |
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
A magnitude de é: 
 
 
| || |
 √ 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
A força é repulsiva e faz um ângulo de com o eixo . Assim, a 
componente e a componente de são iguais em magnitude, ou seja: 
 
 
√ 
 
 
 
A força está no sentido negativo do eixo , assim, as componentes e 
da força resultante em são, respectivamente: 
 
 
 
 
 
Podemos, então, expressar a força resultante em na forma vetorial: 
 
 
 
 
Exercício 1: Encontre o módulo, a direção e o sentido da força resultante em 
 do exemplo 1. 
 
R – | | com o eixo . 
 
 
Exemplo 2: Três cargas são colocadas ao longo 
do eixo (veja figura ao lado). A carga positiva 
 é colocada em e a carga 
positiva se encontra na origem. Onde 
deve ser colocada a carga negativa , no eixo , 
para que a resultante das forças sobre ela seja 
igual a zero? 
 
R – Como é negativa e tanto quanto são positivas, as forças e 
são ambas atrativas, como indicado na figura. Pela figura, o módulo das 
respectivas forças são: 
 
| || |
 
 
| || |
 
 
 
Para que a força resultante em seja zero, , ou 
 
 
| || |
 
 
| || |
 
 
 
Como e são comuns a ambos os lados, então: 
 
| |
 
 
| |
 
 | | 
 | | 
 
Resolvendo esta equação quadrática, temos uma raiz positiva , e 
uma raiz negativa não aceitável. Por quê? 
 
Exemplo 2: O átomo de hidrogênio 
O elétron e o próton de um átomo de hidrogênio são separados (em média) 
por uma distância de aproximadamente . Encontre o valor da 
força elétrica e o valor da força gravitacional entre estas duas partículas. 
 
R – Da lei de Coulomb, encontra-se o módulo da força elétrica atrativa, ou 
seja: 
 
 
| | 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a lei da gravitação universal de Newton, o módulo da força 
gravitacional é: 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Duas pequenas esferas 
carregadas idênticas, com massas iguais a 
 , estão em equilíbrio (veja figura 
ao lado). Se o tamanho de cada corda é de 
 e o ângulo , encontre o 
módulo da carga em cada esfera. 
 
R – Do triângulo retângulo da figura, tem-se 
que: 
 
 
 
 
 
Assim, a separação entre as esferas é 
 
As forças atuando em cada uma das esferas são mostradas na figura. Como 
as esferas estão em equilíbrio, a força resultante em cada uma delas é zero. 
Assim, 
 ∑∑ 
 
De temos que ⁄ . Substituindo em temos: 
 
 
 ⁄ 
 
Usando a lei de Coulomb e sabendo que , temos: 
 
 
| |
 
 | | 
 
 
 
 
 
 ⁄
 
 
| | 
 
Exercício 2: Se a carga das esferas fosse negativa, quantos elétrons teriam 
que ser adicionados a elas para se ter uma carga líquida de ?