p3-2010-1-gabarito

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P3 – mecânica newtoniana a (FIS 1025) – 29/06/2010
Nome:___________________________________________________________________
Matrícula:_______________________________ Turma: ________________________ 
	Questão
	Valor
	Grau
	Revisão
	1a
	3,0
	
	
	2a
	2,5
	
	
	3a
	2,5
	
	
	Total
	8,0
	
	
 
- As respostas sem justificativas ou cálculos não serão computadas. 
- As respostas devem vir acompanhadas das respectivas unidades.
- Esta prova tem 7 páginas. Confira.
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1a Questão
Mabel e Juliana brincam com um barquinho (ponto B) que desliza num lago artificial de um parque, num dia de calmaria (sem vento). O lago tem dimensões 12m x 12m. No instante t = 0 o barquinho move-se com velocidade de módulo 
 = 1,5 m/s, estando a 60 cm de uma das margens, onde se encontra Mabel. A direção inicial do movimento é dada na FIG. 1. Mabel deve fazer com que Juliana consiga pegar o barquinho e para isso usa uma vara para imprimir ao barquinho uma aceleração constante, de módulo 0,80 m/s2 e direção perpendicular à margem esquerda do lago. Após 3s, no entanto, Mabel perde contato com o barquinho, que passa a mover-se com velocidade constante, até atingir a margem onde se encontra Juliana. 
Dados: cos ( = 0,80; sen ( = 0,60. Use o sistema de referência da F verde: não é ncessário
Respostas na cor verde não serão cobradas.
 
Dê as respostas com 2 dígitos significativos.
(1,2) a)Supondo que as funções horárias que descrevem o movimento do barquinho no intervalo 0 ≤ t ≤ 3s sejam dadas por x(t) = a + bt + ct2 e y(t) = ( + (t + (t2, respectivamente para as sombras x e y, obtenha as 6 constantes e escreva a forma final das funções. Explique como encontrou o valor de cada uma delas. 
a = x(0) = 7,2m (direto da figura) 
b = x´(0) = vx(0) = - v0 cos ( = -1,2 m/s (projeção do vetor velocidade)
2c = x´´(t) = ax = 0,8 ; c= 0,4 m/s2 (projeção do vetor aceleração)
( = y(0) = 0,60m (direto da figura)
( = y´(0) = vx(0) = v0 sen ( = 0,90 m/s (projeção do vetor velocidade)
2( = y´´(t) = ay = 0 pois o vetor 
é perpendicular ao eixo y
(0,6)b)Para o intervalo 0 ≤ t ≤ 3s, qual é a mínima distância entre o barquinho e a margem esquerda do lago? 
Mínima distância ocorre para x´(t) = 0 (sombra x pára, chegando a seu máximo alcance)
x´(t) = - 1,2 + 0,8 t (m,s) ; tm = 1,5s; x(tm ) = 6,3 m = distância mínima á margem esquerda,
de acordo com o sistema de referência. 
(0,2)c)Determine a posição C do barquinho no instante em que Mabel perde o contato com o mesmo. Marque C na FIG. 1, usando a escala da figura. 
x(3s) = 7,2m; y(3s) = 3,3m. 
(1,0)d)Para t > 3s o movimento do barquinho é retilíneo e na direção e sentido dados por 
. Obtenha as componentes desse vetor e dê a posição final do barquinho.
vx (3s) = -1,2 + 0,8 x 3 = 1,2 m/s, constante para t ( 3s.
vy (3s) = 0,90 m/s, constante durante todo o movimento (até atingir a margem).
Posição final: xF e yF
xF = 12m (margem direita, onde se encontra Juliana)
yF = y(tF ) = 0,60 + 0,90 tF, sendo tF o instante final 
Cálculo de tF
 tF = 3 + (t, onde (t é o intervalo de tempo necessário para a sombra x deslocar-se de C até a margem direita; (t = 4,8/ vx (3s) = 4,8/1,2 = 4s. 
tF = 3+4=7s ( yF = 0,60 + 0,90. 7= 6,9 m
2a Questão 
Uma bola é lançada, horizontalmente, de uma altura de 5,1m do chão, caindo sobre o telhado de uma casa vizinha. O telhado tem uma inclinação de 45o. Considere o sistema de referência da FIG. 2, cuja origem coincide com a quina do telhado mais próxima ao prédio de onde ocorreu o lançamento. O módulo da velocidade inicial é de 4m/s. 
Tome g = 10 m/s2, cos 45o = sen 45o = 0,7. 
Dê as respostas com 2 dígitos significativos.
(1,4)a)Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem os movimentos das sombras x e y respectivamente, no sistema de referência da FIG. 2.
Coordenadas inciais das sombras:
x(0) = 0 (projetando a posição inicial no eixo x)
y(0) = 2,1/cos 45o = 2,1 / 0,7 = 3m.
Os ângulos formados pelo vetor velocidade inicial e as direções x e y são ambos 45o. 
Levando em conta os sentidos das componenes do vetor:
vx(0) = - 4 sen 45o = - 2,8 m/s; vy(0) = - 4 cos 45o = - 2,8 m/s; 
Analogamente, para a aceleração:
ax = 10 cos 45o = 7 m/s2 ; ay = - 10 cos 45o = - 7 m/s2
Com esses valores chega-se à expressão final das funções, dadas no quadrado de respostas.
(0,6)b)Calcule o tempo de vôo (tempo até atingir o telhado). 
No telhado, y = 0. Então tem-se 
0 = 3,0 - 2,8 tv - 3,5 tv 2 (tv = 0,61 s
(0,5)c)Se uma segunda bola for lançada verticalmente para baixo, simultaneamente e do mesmo ponto de onde foi lançada a primeira bola, qual deverá ser o módulo e o sentido da velocidade inicial desta segunda bola para que ela chegue ao chão no mesmo instante em que a primeira bola atinge o telhado? Use um sistema de referência com os eixos x e y horizontal e vertical, respectivamente. 
Supondo um novo eixo y orientado para cima e com origem no chão:
y(t) = 5,1 - 
.0,61 – 5.(0,61)2 ( 
= 5,3 m/s
3a Questão. 
Num dado instante de tempo t1 o ponto P de um eixo de motor encontra-se na posição mostrada na FIG.3. Seu movimento é circular uniforme e no sentido anti-horário. O módulo do vetor velocidade de P (velocidade escalar) é de 30,0 m/s. Considere o sistema de referência cartesiano indicado na FIG. 3. As convenções para as coordenadas escalar e angular estão também indicadas. 
Dados: cos 30o = 
; sen 30o = 
; ( = 3,14.
(1,0)a)Desenhe na FIG. 3 o vetor 
 na escala 1cm: 15m/s e calcule as velocidades x´(t) e y´(t) das sombras x e y respectivamente, nesse intante. Justifique sua resposta com desenhos feitos na FIG. 3. Dê as respostas com 3 dígitos significativos. 
Projetando-se o vetor velocidade nos eixos obtém-se
as componentes pedidas, isto é
vx(t1) = 30 cos ((/6) = 30 cos (30o) = 30. 0.866 = 25,981 = 26,0, positivo.
vy(t1) = - 30 sen ((/6) = 30 . ½ = - 15,0 , negativo pois a projeção do vetor velocidade no eixo y aponta para baixo em t1.
(0,3)b)Calcule o período do movimento. Resposta com 3 dígitos significativos. 
 
Período T é obtido de ( = 2(/T , onde ( é a velocidade angular.
Cáclulo de (: da relação entre grandezas angulares e escalares obtém-se ( = v/r, onde v = 
 é a velocidade escalar; então :
( = 30 / 0,5 = 60 rad/s e T = 2(/60 = 0,105 s.
(1,0)c)Sabendo que no MC uniforme ((t) = (0 + (t, obtenha as funções x´´(t) e y´´(t) que fornecem as acelerações das sombras x e y respectivamente e calcule as acelerações das sombras x e y quando P está no ponto R. 
No MC uniforme temos
x (t) = r cos ((0 + (t); y(t) = r sen ((0 + (t); 
então:
x´´ (t) = - r (2 cos ((0 + (t); 
y´´ (t) = - r (2 sen ((0 + (t); 
no ponto R, ((t) = 2n(, n inteiro, o que nos dá
x´´ (tR) = -r(2 cos (2n() = -r(2 = - 0,5 . 3600 = - 1800 m/s2
y´´ (tR) = -r(2 sen (2n() = -r(2 . 0 = 0.
(0,2)d)Desenhe na FIG. 3 o vetor aceleração obtido no item (b) numa escala arbitrária. Explique a direção e sentido escolhidos.
ay = 0, vetor paralelo a x; 
ax negativo, vetor aponta para o centro;
ax = -1800 m/s2
ay = 0
50 cm
7,2 m
Item (d): vetor aceleração no ponto R 
Distância mínima = 6,3 m
tv = 0,61 s
x(t) = - 2,8 t + 3,5 t2 (m,s) ( , )
y(t) = 3,0 - 2,8 t - 3,5 t2 (m,s) ( , )
x(t) = 7,2 – 1,2 t + 0,40 t2 (m,s) ( , )
y(t) = 0,60 + 0,90 t (m,s) ( , )
margem
esquerda
x´(t) = 26,0 m/s
y´(t) = -15,0 m/s
C
+
R
 -
P
45o
chão
FIG. 2
y
� EMBED Equation.3 ���= 5,3 m/s
x
T = 0,105 s.
vx (3s) = 1,2 m/s
vy (3s) = 0,90 m/s
xF = 12 m 
yF = 6,9 m
xC = 7,2 m
yC = 3,3 m
F
FIG. 1
(
� EMBED Equation.3 ���
0
x
y
� EMBED Equation.3 ���
B
margem ondese encontra Mabel
45o
margem onde se encontra Juliana
0,60 m
45o
2,1 m
FIG. 3 – Mostra o ponto P no instante t1, o sistema de referência cartesiano e as convenções adotadas para as coordenadas escalar e polar.
(/6
3 m
� EMBED Equation.3 ���
y
x
6,9 cm no papel
� EMBED Equation.3 ���
�PAGE �
�PAGE �7�
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