Inferência Sobre Duas Populações

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Inferência sobre duas populações
INFERÊNCIA SOBRE DUAS POPULAÇÕES
Comparação de duas médias
Vimos anteriormente alguns procedimentos de testes de hipóteses que se relacionam a uma amostra de
dados extraída de uma única população. Porém, há estudos em que o objetivo é comparar amostras de
dados extraídas de duas populações. Neste caso, é preciso verificar se estas estão ou não relacionadas:
• Amostras independentes: a amostra retirada de uma população não tem qualquer ligação com a
amostra retirada da outra população.
� Ex.: verificar se há diferença no teor de nicotina de cigarros com e sem filtros.
• Amostras dependentes ou pareadas: a amostra de uma população tem alguma ligação com a
amostra da outra população.
� Ex.: observações tomadas na mesma unidade amostral, antes e depois de alguma intervenção..
2 amostras
Amostras dependentes
teste t
Amostras independentes
Variâncias conhecidas
teste Z
Variâncias desconhecidas
Variâncias iguais
teste t
Variâncias diferentes
teste t
1
Inferência sobre duas populações
1 Amostras dependentes (pareadas)
Os testes são construídos sob as suposições de que as duas amostras são aleatoriamente selecionadas e as
populações são normalmente distribuídas.
Parâmetros: µ1 = média da população 1; µ2 = média da população 2 ou µd = µ1 − µ2 = diferença das
médias das duas populações.
Estrutura dos dados: Amostra constituída de n pares: X1 e X2 correspondem a duas características de
uma mesma unidade amostral. Calculam-se então as diferenças entre as medidas das duas caracterís-
ticas, para cada par.
Unidade amostral (par) X1 X2 Diferenças (d)
1 x11 x21 d1 = x11 − x21
2 x12 x22 d2 = x12 − x22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n x1n x2n dn = x1n − x2n
E a partir dos dados da tabela é possível obter: d¯ = média das diferenças e sd = desvio-padrão das diferenças.
Hipóteses: Para construir as hipóteses, verifiquemos que µ1 = µ2 → µd = 0. Assim, as estruturas
possíveis de hipóteses são:
H0 : µd = 0 H0 : µd ≥ 0 H0 : µd ≤ 0
H1 : µd 6= 0 H1 : µd < 0 H1 : µd > 0
Estatística de teste: Tobs = d¯sd/
√
n
∼ tn−1
Região crítica: Ao nível de significância α:
Primeiro caso:
Hipóteses: H0 : µd ≥ 0 vs H1 : µd < 0
RC= {Tobs : Tobs < −tα}
−− tαα µµ
2
Inferência sobre duas populações
Segundo caso:
Hipóteses: H0 : µd ≤ 0 vs H1 : µd > 0
RC= {Tobs : Tobs > tα}
µµ tαα
Terceiro caso:
Hipóteses: H0 : µd = 0 vs H1 : µd 6= 0
RC=
{
Tobs : Tobs < −tα/2 ou Tobs > tα/2
}
−− tαα 2 µµ tαα 2
Exemplo 1.1: Uma firma de pesquisa de mercado usou uma amostra aleatória de indivíduos para avaliar
o potencial de compra de determinado produto antes e depois de as pessoas virem um novo comercial
de televisão a respeito do produto em questão. As avaliações do potencial de compra basearam-se em
uma escala de 0 a 10, e os valores mais altos indicavam maior potencial de compra. A partir de estudos
anteriores, sabe-se que as avaliações do potencial de compra antes e depois de as pessoas virem comerciais
são normalmente distribuídas. A hipótese nula declarava que a avaliação média 'depois' seria menor ou igual
à avaliação média 'antes'. A rejeição dessa hipótese demonstraria que o comercial melhorou a avaliação do
potencial médio de compra. Use α = 0, 05 e os dados apresentados a seguir para testar a hipótese.
Indivíduo Depois Antes
1 6 5
2 6 4
3 7 7
4 4 3
5 3 5
6 9 8
7 7 5
8 6 6
Solução:
Trata-se de um teste em que as amostras são pareadas, porque as informações foram colhidas do mesmo indi-
víduo antes de depois de verem um comercial de televisão a respeito de um produto.
Parâmetros: µ1 : Avaliação média antes de assistir ao comercial sobre o produto; µ2 : Avaliação média depois
de assistir ao comercial sobre o produto; µd = µ2 − µ1 : Médias das diferenças entre as avaliações depois e antes de
assistir ao comercial sobre o produto.
Hipóteses: H0 : µ2 ≤ µ1 → µd ≤ 0 vs H1 : µ2 > µ1 → µd > 0
3
1.1 Construção de intervalo de confiança para a média das diferenças Inferência sobre duas populações
Cálculo das diferenças:
Avaliação de compra Diferenças
Indivíduo Depois Antes Depois - Antes
1 6 5 1
2 6 4 2
3 7 7 0
4 4 3 1
5 3 5 -2
6 9 8 1
7 7 5 2
8 6 6 0
Diferença média: 0,625
Desvio-padrão das diferenças: 1,302
Estatística de teste: Tobs =
d¯
sd/
√
n
= 0,625
1,302/
√
8
= 1, 357
Região crítica: Como H1 : µd > 0 e α = 0, 05, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t-Student com 7 graus
de liberdade (n - 1 = 8 - 1 = 7) que deixe 0,05 de área à sua direita. Este valor crítico é 1,8946. A região crítica então é:
RC = {Tobs : Tobs > 1, 8946}.
Decisão: Como Tobs = 1, 357 < 1, 8946 → Tobs /∈ RC → Não se rejeita H0.
Conclusão: A 5% de significância, não há evidências amostrais de que o comercial de televisão aumente o potencial de
compra do produto.
1.1 Construção de intervalo de confiança para a média das diferenças
O IC de (1− α)100% de confiança para µd é dado por:
IC(1−α)100%(µd) =
[
d¯− tα/2 sd√
n
; d¯+ tα/2
sd√
n
]
(1)
onde tα/2 deve ser obtido na tabela t-Student com n − 1 graus de liberdade tal que P(t > tα/2) = α/2.
A quantidade E = tα/2 sd√n é chamada de margem de erro, de modo que o intervalo pode ser obtido,
equivalentemente, por:
d¯− E < µd < d¯+ E (2)
4
1.2 Decisão via p-valor Inferência sobre duas populações
Interpretação: Com (1− α)100% de confiança, o valor de µd está entre d¯− E e d¯+ E.
Observação: Construir um intervalo de (1− α)100% de confiança para µd corresponde a realizar o teste
bilateral para µd ao nível de significância α. A regra de decisão, neste caso, é:
Se µd ∈
[
d¯− tα/2 sd√n ; d¯+ tα/2 sd√n
]
→ Não se rejeita H0
Se µd /∈
[
d¯− tα/2 sd√n ; d¯+ tα/2 sd√n
]
→ Rejeita-se H0
No exemplo 1.1: O teste é unilateral, não poderemos conclui-lo pelo intervalo de confiança. Mas podemos
construir o intervalo para interpretá-lo, usando α = 0, 05:
IC95%(µd) =
[
d¯− tα/2
sd√
n
; d¯+ tα/2
sd√
n
]
=
[
0, 625− 2, 3646 1, 302√
8
; 0, 625 + 2, 3646
1, 302√
8
]
= [−0, 463; 1, 713]
Assim, podemos dizer que, com 95% de confiança, o valor de µd está entre -0,463 e 1,713.
1.2 Decisão via p-valor
O p-valor é a probabilidade de ser obtido um valor para a estatística de teste igual ou mais extremo do que
o observado na amostra, considerando verdadeira a hipótese nula.
Regra de decisão:
• Se p-valor < α → H0 deve ser rejeitada, ao nível de significância α.
• Se p-valor ≥ α → H0 não deve ser rejeitada, ao nível de significância α.
Como calcular o p-valor?
H0 : µd ≥ 0 vs H1 : µd < 0 p− valor = P(tn−1 < Tobs)
H0 : µd ≤ 0 vs H1 : µd > 0 p− valor = P(tn−1 > Tobs)
H0 : µd = 0 vs H1 : µd 6= 0 p− valor = 2P(tn−1 > |Tobs|)
Cálculo do p-valor no exemplo 1: Como n=8 e a estatística de teste Tobs = 1, 357, para um teste de comparação de duas
médias a partir de amostras pareadas cuja hipótese alternativa é H1 : µd > 0:
p-valor = P(tn−1 > Tobs) = P(t7 > 1, 357) > 0, 10 → Não se rejeita H0.
2 Amostras independentes
Os testes são construídos sob as seguintes suposições: as duas populações são independentes; as amostras
foram aleatoriamente selecionadas em cada população e as populações das quais foram extraídas as amostras
X1 e X2 são normalmente distribuídas: X1 ∼ N(µ1, σ21) e X2 ∼ N(µ2, σ22).
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2.1 Caso 1: Variâncias conhecidas Inferência sobre duas populações
Estrutura dos dados: No caso de amostras independentes, teremos estatísticas descritivas para as duas
amostras e não mais trabalharemos com as diferenças entre as duas amostras. Outro detalhe impor-
tante é que as amostras podem ser de tamanhos diferentes.
Amostras X1 X2
Tamanho n1 n2
Média x¯1 x¯2
Desvio-padrão s1 s2
Hipóteses: Estruturas possíveis:
H0 : µ1 = µ2 H0 : µ1 ≥ µ2 H0 : µ1 ≤ µ2
H1 : µ1 6= µ2 H1 : µ1 < µ2 H1 : µ1 > µ2
2.1 Caso 1: Variâncias conhecidas
Parâmetros: µ1: média da população da qual foi extraída a amostra X1 e µ2: média da população da
qual foi extraída a amostra X2.
Estatística de teste: Zobs = x¯1−x¯2√
σ21
n1
+
σ22
n2
∼ N(0, 1).
Região crítica:
Primeiro caso:
Hipóteses: H0 : µ1 ≥ µ2 vs H1 : µ1 < µ2
RC= {Zobs: Zobs < −zα}
−− zαα µµ
Segundo caso:
Hipóteses: H0 : µ1 ≤ µ2 vs H1 : µ1 > µ2
RC= {Zobs : Zobs > zα}
µµ zαα
6
2.1 Caso 1: Variâncias conhecidas Inferência sobre duas populações
Terceiro caso:
Hipóteses: H0 : µ1 = µ2 vs H1 : µ1 6= µ2
RC=
{
Zobs : Zobs < −zα/2 ou Zobs > zα/2
}
−− zαα 2 µµ zαα 2
Exemplo 2.1 : Um estudo realizado pela Cornell University dos diferenciais de salário entre homens e
mulheres relatou que uma das razões pelas quais os salários dos homens são mais altos que os das mulheres
é o fato de os homens tenderem a ter mais anos de experiência no trabalho que as mulheres. Supondo que
os resumos amostrais abaixo apresentem os anos de experiência correspondente a cada grupo e que os anos
de experiência de homens e mulheres tenham distribuição normal, pode-se dizer, a 5% de significância, que
a afirmação do estudo é verdadeira?
Homens Mulheres
n1 = 100 n2 = 85
x¯1 = 14, 9 anos x¯2 = 10, 3 anos
σ1 = 5, 2 anos σ2 = 3, 8 anos
Solução:
Trata-se de um caso de amostras independentes com variâncias conhecidas.
Parâmetros: µ1: tempo médio de experiência (em anos) dos homens e µ2: tempo médio de experiência (em anos) das mulheres.
Hipóteses: H0 : µ1 ≤ µ2 vs H1 : µ1 > µ2.
Estatística de teste: Zobs =
x¯1−x¯2√
σ21
n1
+
σ22
n2
= 14,9−10,3√
5,22
100 +
3,82
85
= 6, 933.
Região crítica: Como H1 : µ1 > µ2 e α = 0, 05, é preciso encontrar o valor crítico da distribuição normal padrão que
deixe 0,05 de área à sua direita.
O valor crítico é 1,64 e a região crítica é: RC = {Zobs : Zobs > 1, 64}.
Decisão: Como Zobs = 6, 933 > 1, 64 → Zobs ∈ RC → Rejeita-se H0.
Conclusão: Há evidências amostrais suficientes para apoiar a informação de que o tempo médio de experiência em anos
dos homens é maior que o das mulheres, a 5% de significância.
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2.1 Caso 1: Variâncias conhecidas Inferência sobre duas populações
2.1.1 Construção de intervalo de confiança para µ1 − µ2
O IC de (1− α)100% de confiança para µ1 − µ2 é dado por:
IC(1−α)100%(µ1 − µ2) =
(x¯1 − x¯2)− zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
; (x¯1 − x¯2) + zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2

(3)
onde zα/2 deve ser obtido na tabela Normal tal que P(Z > zα/2) = α/2. A margem de erro nesse caso é:
E = zα/2
√
σ21
n1
+ σ
2
2
n2
e podemos construir o intervalo como (x¯1 − x¯2)− E < µ1 − µ2 < (x¯1 − x¯2) + E.
Interpretação: Com (1−α)100% de confiança, o valor de µ1−µ2 está entre (x¯1− x¯2)−E e (x¯1− x¯2)+E.
Observação: Construir um intervalo de (1 − α)100% de confiança para µ1 − µ2 corresponde a realizar o
teste bilateral para µ1 − µ2 ao nível de significância α. A regra de decisão, neste caso, é:
Se 0 ∈
[
(x¯1 − x¯2)− zα/2
√
σ21
n1
+ σ
2
2
n2
; (x¯1 − x¯2) + zα/2
√
σ21
n1
+ σ
2
2
n2
]
→ Não se rejeita H0
Se 0 /∈
[
(x¯1 − x¯2)− zα/2
√
σ21
n1
+ σ
2
2
n2
; (x¯1 − x¯2) + zα/2
√
σ21
n1
+ σ
2
2
n2
]
→ Rejeita-se H0
No exemplo 2.1: O teste é unilateral, não poderemos conclui-lo pelo intervalo de confiança. Mas podemos
construir o intervalo para interpretá-lo, usando α = 0, 05:
IC95%(µ1 − µ2) =
(x¯1 − x¯2)− zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
; (x¯1 − x¯2) + zα/2
√
σ21
n1
+
σ22
n2

=
(14, 9− 10, 3)− 1, 96
√
5, 22
100
+
3, 82
85
; (14, 9− 10, 3) + 1, 96
√
5, 22
100
+
3, 82
85
 = [3, 299; 5, 901]
Assim, podemos dizer que, com 95% de confiança, o valor de µ1 − µ2 está entre 3,299 e 5,901.
2.1.2 Decisão via p-valor
A regra de decisão é a mesma apresentada na seção 1.1. Neste caso, o cálculo do p-valor será feito da
seguinte forma:
H0 : µ1 ≥ µ2 vs H1 : µ1 < µ2 p− valor = P(Z < Zobs)
H0 : µ1 ≤ µ2 vs H1 : µ1 > µ2 p− valor = P(Z > Zobs)
H0 : µ1 = µ2 vs H1 : µ1 6= µ2 p− valor = 2P(Z > |Zobs|)
Cálculo do p-valor no exemplo 2: Como a estatística de teste Zobs = 6, 933, para um teste de comparação de duas médias a
partir de amostras independentes com variâncias conhecidas cuja hipótese alternativa é H1 : µ1 > µ2:
p-valor = P(Z > Zobs) = P(Z > 6, 933) < 0, 001 → Rejeita-se H0.
8
2.2 Comparação de duas variâncias Inferência sobre duas populações
2.2 Comparação de duas variâncias
Em alguns estudos é necessário testar se duas populações independentes possuem variâncias iguais. Este
teste é usado, por exemplo, no caso em que se deseja comparar médias de populações independentes com
variâncias desconhecidas, para determinar se deve ser usado o teste t para variâncias iguais ou o teste t
para variâncias diferentes.
Estrutura dos dados: Por se tratar de amostras independentes, segue a mesma estrutura apresentada na
seção 2. Para este teste, porém, deve-se adotar s1 obrigatoriamente como a maior das duas variâncias
amostrais. Consequentemente, n1 e σ
2
1 serão, respectivamente, o tamanho da amostra e a variância
da população da qual foi extraída a amostra que apresentou maior variância.
Amostras X1 X2
Tamanho n1 n2
Média x¯1 x¯2
Desvio-padrão s1 s2
Parâmetros: σ21 : variância da população da qual foi extraída a amostra com maior variância e σ
2
2 : var-
iância da outra população.
Hipóteses: Estudaremos apenas o teste bilateral para variâncias, porque nos interessa saber apenas se são
iguais ou diferentes para aplicarmos o teste t para comparação de médias. Observemos que as duas
estruturas de hipóteses apresentadas abaixo são equivalentes:
H0 : σ21 = σ
2
2 H0 : σ1 = σ2
H1 : σ21 6= σ22 H1 : σ1 6= σ2
Estatística de teste: Fobs =
s21
s22
∼ F(n1−1;n2−1)
A distribuição F tem as seguintes características: É assimétrica, os valores da distribuição F não podem
ser negativos, a forma da distribuição F depende de dois graus de liberdade diferentes.
Região crítica:
Hipóteses: H0 : σ1 = σ2 vs H1 : σ1 6= σ2
RC=
{
Fobs : Fobs > f1−α/2
}
f1−−αα 2
Observemos que, assim como no teste de comparação de médias do tipo bilateral, no teste bilateral de
variâncias também dividimos o nível de significância α em dois e determinamos os valores críticos como
sendo os valores tabelados que deixam α/2 de área acima e α/2 de área abaixo deles. Porém, a estatística
de teste foi definida de forma assumir apenas valores maiores que 1, de modo que a evidência contra H0
9
2.2 Comparação de duas variâncias Inferência sobre duas populações
será encontrada apenas para valores 'grandes' de Fobs. Por isso, apesar de ser um teste bilateral, precisamos
encontrar apenas um valor crítico, o que deixa α/2 de área acima dele.
O valor f(1−α/2) pode ser encontrado na tabela da distribuição F com (n1 − 1) graus de liberdade no
numerador e (n2 − 1) graus de liberdade no denominador, tal que P(F > f(1−α/2)) = α/2.
Exemplo 2.2 : Em um estudo sobre salários de comissários de bordo, selecionaram-se aleatoriamente salários
pagos por duas companhias diferentes. Para 40 comissários de bordo da American Airlines, a média é de
$23.870 e o desvio-padrão $2.960. Para 35 comissários de bordo da TWA, a média é $22.025 e o desvio-
padrão $3.065. No nível de significância de 10%, teste a afirmação de que os salários da American Airlines
e da TWA têm o mesmo desvio-padrão.
TWA American Airlines
n1 = 35 n2 = 40
x¯1 = $22.025 x¯2 = $23.870
s1 = $3.065 s2 = $2.960
Solução:
Seja X1 : salários dos comissários da TWA (população da qual se extraiu a amostra com maior variância) e X2 : salários dos
comissários da American Airlines.
Parâmetros: σ1: desvio-padrão dos salários dos comissários da TWA e σ2: desvio-padrão dos salários dos comissários da
American Airlines.
Hipóteses: H0 : σ1 = σ2 vs H1 : σ1 6= σ2.
Estatística de teste: Fobs =
s21
s22
= 3.065
2
2.9602
= 1, 072.
Região crítica: Como H1 : σ1 6= σ2 e α = 0, 10, é preciso encontrar o valor crítico da distribuição F com n1 − 1 = 34
graus de liberdade no numerador e n2 − 1 = 39 graus de liberdade no denominador que deixe 0,05 de área à sua direita.
O valor crítico é 1,7444 e a região crítica é: RC = {Fobs : Fobs > 1, 7444}.
Decisão: Como Fobs = 1, 072 < 1, 7444 → Fobs /∈ RC → Não se rejeita H0.
Conclusão: Há evidências amostrais suficientes para apoiar a informação de que o desvio-padrão dos salários dos comissários
da TWA e da American Airlines são iguais, a 10% de significância.
10
2.3 Caso 2: Variânciasdesconhecidas e iguais Inferência sobre duas populações
2.3 Caso 2: Variâncias desconhecidas e iguais
Este teste se aplica quando a hipótese nula H0 : σ1 = σ2 do teste das variâncias não é rejeitada, e é
construído sob as seguintes suposições: as duas populações são independentes e normalmente distribuídas
e as amostras foram aleatoriamente selecionadas em cada população.
Parâmetros: µ1: média da população da qual foi extraída a amostra X1 e µ2: média da população da
qual foi extraída a amostra X2.
Estatística de teste: Tobs = x¯1−x¯2√
S2p
n1
+
S2p
n2
∼ tn1+n2−2, onde S2p = (n1−1)S
2
1+(n2−1)S22
n1+n2−2 .
Região crítica:
Primeiro caso:
Hipóteses: H0 : µ1 ≥ µ2 vs H1 : µ1 < µ2
RC= {Tobs : Tobs < −tα}
−− tαα µµ
Segundo caso:
Hipóteses: H0 : µ1 ≤ µ2 vs H1 : µ1 > µ2
RC= {Tobs : Tobs > tα}
µµ tαα
Terceiro caso:
Hipóteses: H0 : µ1 = µ2 vs H1 : µ1 6= µ2
RC=
{
Tobs : Tobs < −tα/2 ou Tobs > tα/2
}
−− tαα 2 µµ tαα 2
11
2.3 Caso 2: Variâncias desconhecidas e iguais Inferência sobre duas populações
Exemplo 2.3 : Pesquisadores estão testando sistemas comerciais de filtragem de ar fabricados pela Winston e
pela Barrington. Testam-se amostras aleatórias de cada companhia, registrando-se a eficiência da filtragem
em uma escala padrão, onde os escores mais altos correspondem a melhor filtragem, com os seguintes
resultados:
Winston Barrington
n1 = 18 n2 = 24
x¯1 = 85, 7 x¯2 = 80, 6
s1 = 2, 8 s2 = 4, 1
Ao nível de significância de 0,05 teste a afirmação de que ambos os sistemas têm a mesma eficiência média.
Solução:
Estamos em um caso de comparação de duas médias de populações com variâncias desconhecidas. Precisaremos primeiro
testar as variâncias para saber se podemos assumí-las iguais ou diferentes.
TESTE DAS VARIÂNCIAS
Parâmetros: σ1 = Desvio-padrão dos escores de eficiência na filtragem da Barrington (maior desvio-padrão amostral) e σ2 =
Desvio-padrão dos escores de eficiência na filtragem da Winston.
Hipóteses: H0 : σ1 = σ2 vs H1 : σ1 6= σ2.
Estatística de teste: Fobs =
s21
s22
= 4,1
2
2,82
= 2, 144.
Região crítica: Como H1 : σ1 6= σ2 e α = 0, 05, é preciso encontrar o valor crítico da distribuição F com n1 − 1 = 23
graus de liberdade no numerador e n2 − 1 = 17 graus de liberdade no denominador que deixe 0,025 de área à sua direita.
O valor crítico é 2,5598 e a região crítica é: RC = {Fobs : Fobs > 2, 5598}.
Decisão: Como Fobs = 2, 144 < 2, 5598 → Fobs /∈ RC → Não se rejeita H0.
Conclusão: A 5% de significância, há evidências de que os desvios-padrão dos escores de eficiência da Barrington e da
Winston sejam iguais.
Podemos então aplicar o teste para comparação de médias, no caso de variâncias desconhecidas e iguais.
12
2.3 Caso 2: Variâncias desconhecidas e iguais Inferência sobre duas populações
TESTE DAS MÉDIAS
Parâmetros: µ1 = Escore médio de eficiência da Winston e µ2 = Escore médio de eficiência da Barrington.
Hipóteses: H0 : µ1 = µ2 vs H1 : µ1 6= µ2.
Estatística de teste: Precisamos calcular o valor da variância combinada S2p , para substituirmos na estatística de teste.
S2p =
(n1−1)S21+(n2−1)S22
n1+n2−2 =
17×2,82+23×4,12
18+24−2 = 12, 998.
Tobs =
x¯1−x¯2√
S2p
n1
+
S2p
n2
= 85,7−80,6√
12,998
18 +
12,998
24
= 4, 537
Região crítica: Como H1 : µ1 6= µ2 e α = 0, 05, é preciso encontrar o valor crítico da distribuição t-Student com n1 +n2−2 =
18 + 24− 2 = 40 graus de liberdade que deixe 0,025 de área à sua direita.
O valor crítico é 2,0211 porque o teste é bilateral, e a região crítica é:
RC = {Tobs : Tobs < −2, 0211 ou Tobs > 2, 0211}.
Decisão: Como Tobs = 4, 537 > 2, 0211 → Tobs ∈ RC → Rejeita-se H0.
Conclusão: A 5% de significância existem evidências amostrais de que os escores médios de eficiência das empresas Win-
ston e Barrington sejam diferentes.
2.3.1 Construção de intervalo de confiança para a diferença das médias
O IC de (1− α)100% de confiança para µ1 − µ2 é dado por:
IC(1−α)100%(µ1 − µ2) =
[
(x¯1 − x¯2)− tα/2
√
S2p
(
1
n1
+
1
n2
)
; (x¯1 − x¯2) + tα/2
√
S2p
(
1
n1
+
1
n2
)]
(4)
onde tα/2 deve ser obtido na tabela t-Student com n1 +n2−2 graus de liberdade tal que P(t > tα/2) = α/2.
A margem de erro neste caso é E = tα/2
√
S2p
(
1
n1
+ 1n2
)
e o IC pode ser obtido também por (x¯1− x¯2)−E <
µ1 − µ2 < (x¯1 − x¯2) + E.
Interpretação: Com (1−α)100% de confiança, o valor de µ1−µ2 está entre (x¯1− x¯2)−E e (x¯1− x¯2)+E.
Observação: Construir um intervalo de (1 − α)100% de confiança para µ1 − µ2 corresponde a realizar o
teste bilateral para µ1 − µ2 ao nível de significância α. A regra de decisão, neste caso, é:
Se 0 ∈
[
(x¯1 − x¯2)− tα/2
√
S2p
(
1
n1
+ 1n2
)
; (x¯1 − x¯2) + tα/2
√
S2p
(
1
n1
+ 1n2
)]
→ Não se rejeita H0
13
2.4 Caso 3: Variâncias desconhecidas e diferentes Inferência sobre duas populações
Se 0 /∈
[
(x¯1 − x¯2)− tα/2
√
S2p
(
1
n1
+ 1n2
)
; (x¯1 − x¯2) + tα/2
√
S2p
(
1
n1
+ 1n2
)]
→ Rejeita-se H0
No exemplo 2.3: Como desejamos realizar um teste bilateral (hipóteses: H0 : µ1 = µ2 vs H1 : µ1 6= µ2), podemos realizar o
teste, a 5% de significância, construindo um intervalo de 95% de confiança. Calculemos primeiro a margem de erro:
E = tα/2
√
S2p
(
1
n1
+
1
n2
)
= 2, 0211
√
12, 998
(
1
18
+
1
24
)
= 2, 272
E então o IC será:
IC95%(µ1 − µ2) = [(x¯1 − x¯2)− E; (x¯1 − x¯2) + E] = [(85, 7− 80, 6)− 2, 272; (85, 7− 80, 6) + 2, 272] = [2, 828; 7, 372]
Como 0 /∈ IC → Rejeita-se H0. A interpretação do IC é: com 95% de confiança podemos inferir que a diferença da eficiência
média das duas companhias esteja entre 2,828 e 7,372.
2.4 Caso 3: Variâncias desconhecidas e diferentes
Este teste se aplica quando a hipótese nula H0 : σ1 = σ2 do teste das variâncias é rejeitada, e é construído
sob as seguintes suposições: as duas populações são independentes e normalmente distribuídas e as amostras
foram aleatoriamente selecionadas em cada população.
Parâmetros: µ1: média da população da qual foi extraída a amostra X1 e µ2: média da população da
qual foi extraída a amostra X2.
Estatística de teste: Tobs = x¯1−x¯2√
S21
n1
+
S21
n2
∼ tn∗ , onde n∗ = min {n1 − 1, n2 − 1}.
Região crítica:
Primeiro caso:
Hipóteses: H0 : µ1 ≥ µ2 vs H1 : µ1 < µ2
RC= {Tobs : Tobs < −tα}
−− tαα µµ
Segundo caso:
Hipóteses: H0 : µ1 ≤ µ2 vs H1 : µ1 > µ2
RC= {Tobs : Tobs > tα}
µµ tαα
14
2.4 Caso 3: Variâncias desconhecidas e diferentes Inferência sobre duas populações
Terceiro caso:
Hipóteses: H0 : µ1 = µ2 vs H1 : µ1 6= µ2
RC=
{
Tobs : Tobs < −tα/2 ou Tobs > tα/2
}
−− tαα 2 µµ tαα 2
Exemplo 2.4 : Periodicamente, os clientes da Merrill Lynch são convidados a avaliar os consultores e os
serviços financeiros dessa empresa. Avaliações mais elevadas sobre a satisfação do cliente indicam um
atendimento melhor, sendo 7 nota máxima. Amostras independentes de avaliações do serviço prestado por
dois consultores financeiros estão resumidas aqui. O consultor A tem dez anos de experiência, enquanto
que o consultor B tem um ano de experiência. Use α = 0,05 e teste a afirmação de que o consultor com
mais experiência possui avaliação melhor que o consultor com menos experiência.
Consultor A Consultor B
n1 = 16 n2 = 10
x¯1 = 6, 82 x¯2 = 6, 25
s1 = 0, 32 s2 = 0, 75
Solução:
Estamos em um caso de comparação de duas médias de populações com variâncias desconhecidas. Precisaremos primeiro
testar as variâncias para saber se podemos assumí-las iguais ou diferentes.
TESTE DAS VARIÂNCIAS
Parâmetros: σ1 : Desvio-padrão da avaliação do consultor B (maior desvio-padrão amostral) e σ2 : = Desvio-padrão da
avaliação do consultor A.
Hipóteses: H0 : σ1 = σ2 vs H1 : σ1 6= σ2.
Estatística de teste: Fobs =
s21
s22
= 0,75
2
0,322
= 5, 493.
Região crítica: Como H1 : σ1 6= σ2 e α = 0, 05, é preciso encontrar o valor crítico da distribuição F com n1 − 1 = 9
graus de liberdade no numerador e n2 − 1 = 15 graus de liberdade no denominador que deixe 0,025 de área à sua direita.
O valor crítico é 3,1227 e a região crítica é: RC = {Fobs : Fobs > 3, 1227}.
Decisão: Como Fobs = 5, 493 > 3, 1227 → Fobs ∈ RC → Rejeita-se H0.
15
2.4 Caso 3: Variânciasdesconhecidas e diferentes Inferência sobre duas populações
Conclusão: A 5% de significância, há evidências de que os desvios-padrão das avaliações dos consultores A e B sejam diferentes.
Podemos então aplicar o teste para comparação de médias, no caso de variâncias desconhecidas e diferentes.
TESTE DAS MÉDIAS
Parâmetros: µ1 : avaliação média do Consultor A e µ2 : = avaliação média do Consultor B.
Hipóteses: H0 : µ1 ≤ µ2 vs H1 : µ1 > µ2.
Estatística de teste: Tobs =
x¯1−x¯2√
S21
n1
+
S21
n2
= 6,82−6,25√
0,322
16 +
0,752
10
= 2, 277
Região crítica: Como H1 : µ1 > µ2 e α = 0, 05, é preciso encontrar o valor crítico da distribuição t-Student com n∗ =
min {n1 − 1, n2 − 1} = min {16− 1, 10− 1} = 9 graus de liberdade que deixe 0,05 de área à sua direita.
O valor crítico é 1,8331, e a região crítica é: RC = {Tobs > 1, 8331}.
Decisão: Como Tobs = 2, 277 > 1, 8331 → Tobs ∈ RC → Rejeita-se H0.
Conclusão: Há evidências amostrais suficientes para apoiar a informação de que o consultor com mais experiência possui
avaliação melhor que o consultor com menos experiência, a 5% de significância.
2.4.1 Construção de intervalo de confiança para a diferença das médias
O IC de (1− α)100% de confiança para µ1 − µ2 é dado por:
IC(1−α)100%(µ1 − µ2) =
(x¯1 − x¯2)− tα/2
√
s21
n1
+
s22
n2
; (x¯1 − x¯2) + tα/2
√
s21
n1
+
s22
n2

(5)
onde tα/2 deve ser obtido na tabela t-Student com n
∗
graus de liberdade tal que P(t > tα/2) = α/2. A
margem de erro neste caso é E = tα/2
√
s21
n1
+ s
2
2
n2
e o IC pode ser obtido também por (x¯1 − x¯2) − E <
µ1 − µ2 < (x¯1 − x¯2) + E.
Interpretação: Com (1−α)100% de confiança, o valor de µ1−µ2 está entre (x¯1− x¯2)−E e (x¯1− x¯2)+E.
Observação: Construir um intervalo de (1 − α)100% de confiança para µ1 − µ2 corresponde a realizar o
teste bilateral para µ1 − µ2 ao nível de significância α. A regra de decisão, neste caso, é:
Se 0 ∈
[
(x¯1 − x¯2)− tα/2
√
s21
n1
+ s
2
2
n2
; (x¯1 − x¯2) + tα/2
√
s21
n1
+ s
2
2
n2
]
→ Não se rejeita H0
16
Inferência sobre duas populações
Se 0 /∈
[
(x¯1 − x¯2)− tα/2
√
s21
n1
+ s
2
2
n2
; (x¯1 − x¯2) + tα/2
√
s21
n1
+ s
2
2
n2
]
→ Rejeita-se H0
No exemplo 2.4: O teste é unilateral, não poderemos conclui-lo pelo intervalo de confiança. Mas podemos construir o intervalo
para interpretá-lo, usando α = 0,05:
E = tα/2
√(
s21
n1
+
s22
n2
)
= 2, 2622
√(
0, 322
16
+
0, 752
10
)
= 0, 566.
E então o IC será:
IC95%(µ1 − µ2) = [(x¯1 − x¯2)− E; (x¯1 − x¯2) + E] = [(6, 82− 6, 25)− 0, 566; (6, 82− 6, 25) + 0, 566] = [0, 004; 1, 136]
Com 95% de confiança podemos inferir que a diferença da avaliação média dos dois consultores está entre 0,004 a 1,136.
3 Comparação de duas proporções
Vimos anteriormente testes para comparação de duas populações quando os parâmetros de interesse eram
médias ou variâncias. Veremos agora o procedimento para comparar duas populações em relação ao
parâmetro proporção, para duas amostras independentes.
Parâmetros: p1: Proporção da população da qual foi extraída a amostra 1 e p2: Proporção da população
da qual foi extraída a amostra 2.
Estrutura dos dados:
Amostra 1 Amostra 2
Tamanho n1 n2
N
o
sucessos m1 m2
Proporção amostral de sucessos pˆ1 =
m1
n1
pˆ2 =
m2
n2
Hipóteses: Estruturas possíveis:
H0 : p1 = p2 H0 : p1 ≥ p2 H0 : p1 ≤ p2
H1 : p1 6= p2 H1 : p1 < p2 H1 : p1 > p2
Estatística de teste: Zobs = pˆ1−pˆ2√
p¯(1−p¯)
(
1
n1
+ 1n2
) ∼ N(0, 1), onde p¯ = m1+m2n1+n2 .
Região crítica:
17
Inferência sobre duas populações
Primeiro caso:
Hipóteses: H0 : p1 ≥ p2 vs H1 : p1 < p2
RC= {Zobs : Zobs < −zα}
−− zαα µµ
Segundo caso:
Hipóteses: H0 : p1 ≤ p2 vs H1 : p1 > p2
RC= {Zobs : Zobs > zα}
µµ zαα
Terceiro caso:
Hipóteses: H0 : p1 = p2 vs H1 : p1 6= p2
RC=
{
Zobs : Zobs < −zα/2 ou Zobs > zα/2
}
−− zαα 2 µµ zαα 2
Exemplo 3.1 : Karl Pearson coletou dados sobre crimes em 1909. Dos indivíduos condenados por incêndio
criminoso, 50 faziam uso de bebidas alcoólicas e 43 eram abstêmios. Dos condenados por crimes de fraude,
63 eram usuários de bebidas alcoólicas e 144 eram abstêmios. Com o nível de 0,01 de significância, teste a
afirmação de que a proporção dos alcoólatras entre os condendados por incêndio é maior do que entre os
condenados por fraude.
Solução:
Parâmetros: p1: = proporção dos indivíduos que bebem entre os condenados por incêndio criminoso e p2: proporção dos
indivíduos que bebem entre os condenados por fraude.
Hipóteses: H0 : p1 ≤ p2 vs H1 : p1 > p2.
Amostras Condenados por incêndio criminoso Condenados por fraude
Tamanho n1 = 93 n2 = 207
N
o
sucessos m1 = 50 m2 = 63
Proporção de sucessos pˆ1 =
m1
n1
= 50
93
= 0, 538 pˆ2 =
63
207
= 0, 304
Estatística de teste: Precisamos calcular primeiro o p¯ = m1+m2
n1+n2
= 50+63
93+207
= 0, 377.
Zobs =
pˆ1−pˆ2√
p¯(1−p¯)
(
1
n1
+ 1
n2
) = 0,538−0,304√
0,377(1−0,377)( 193+ 1207 )
= 3, 868.
Região crítica: Como H1 : µ1 > µ2 e α = 0, 01, é preciso encontrar o valor crítico da distribuição normal padrão que
18
3.1 Construção de intervalo de confiança para p1 − p2 Inferência sobre duas populações
deixe 0,01 de área à sua direita.
O valor crítico é 2,33 e a região crítica é: RC = {Zobs : Zobs > 2, 33}.
Decisão: Como Zobs = 3, 868 > 2, 33 → Zobs ∈ RC → Rejeita-se H0.
Conclusão: A 1% de significância, há evidências amostrais de que a proporção de consumidores de bebida alcoólica entre
os condenados por incêndio criminoso é maior que a proporção de consumidores de bebida alcoólica entre os condenados por
fraude.
3.1 Construção de intervalo de confiança para p1 − p2
O IC de (1− α)100% de confiança para p1 − p2 é dado por:
IC(1−α)100%(p1 − p2) =
[
(pˆ1 − pˆ2)− zα/2
√
p¯(1− p¯)
(
1
n1
+
2
n2
)
; (pˆ1 − pˆ2) + zα/2
√
p¯(1− p¯)
(
1
n1
+
1
n2
)]
(6)
onde zα/2 deve ser obtido na tabela Normal tal que P(Z > zα/2) = α/2. A margem de erro nesse caso é:
E = zα/2
√
p¯(1− p¯)
(
1
n1
+ 1n2
)
e podemos construir o intervalo como (pˆ1− pˆ2)−E < p1−p2 < (pˆ1− pˆ2)+E.
Interpretação: Com (1−α)100% de confiança, o valor de p1− p2 está entre (pˆ1− pˆ2)−E e (pˆ1− pˆ2) +E.
Observação: Construir um intervalo de (1 − α)100% de confiança para p1 − p2 corresponde a realizar o
teste bilateral para p1 − p2 ao nível de significância α. A regra de decisão, neste caso, é:
Se 0 ∈
[
(pˆ1 − pˆ2)− zα/2
√
p¯(1− p¯)
(
1
n1
+ 2n2
)
; (pˆ1 − pˆ2) + zα/2
√
p¯(1− p¯)
(
1
n1
+ 1n2
)]
→ Não se rejeita H0
Se 0 /∈
[
(pˆ1 − pˆ2)− zα/2
√
p¯(1− p¯)
(
1
n1
+ 2n2
)
; (pˆ1 − pˆ2) + zα/2
√
p¯(1− p¯)
(
1
n1
+ 1n2
)]
→ Rejeita-se H0
No exemplo 3.1: O teste é unilateral, não poderemos conclui-lo pelo intervalo de confiança. Mas podemos construir o intervalo
para interpretá-lo, usando α = 0,01, a margem de erro será:
E = zα/2
√
p¯(1− p¯)
(
1
n1
+
2
n2
)
= 2, 58
√
0, 377(1− 0, 377)
(
1
93
+
2
207
)
= 0, 156.
E então o IC será:
IC99%(p1−p2) =
[
(pˆ1 − pˆ2)∓ zα/2
√
p¯(1− p¯)
(
1
n1
+ 2
n2
)]
= [(0, 538− 0, 304)− 0, 156; (0, 538− 0, 304) + 0, 156] = [0, 078; 0, 390]
Com 99% de confiança podemos inferir que p1 − p2 está entre 0,078 a 0,390.
19