8. Inferência para Duas Populações - Parte I

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16/09/2013 
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Inferência para Duas Populações 
Luis A. Toscano 
Est-UFMG 
Introdução 
• Abordaremos o tópico mais importante de comparar duas 
populações P1 e P2, baseados em dados fornecidos por 
amostras dessas duas populações. 
 
• Uma pergunta que aparece é se o método A é melhor que o 
método B? 
 
• Em termos estatísticos, ela equivale a comparar dois 
conjuntos de informações, resultantes das medidas obtidas da 
aplicação de dois métodos a dois conjuntos de objetos ou 
indivíduos. 
Introdução 
• Uma das dificuldades que enfrentamos é a de caracterizar 
adequadamente a “igualdade” ou “equivalência” de duas 
populações. 
 
• Por exemplo, suponha que estamos interessados em saber se 
alunos de duas regiões, A e B, tiveram desempenhos iguais 
em um mesmo teste nacional. 
 
• Suponha que tenhamos os resultados do teste para “todos os 
alunos” das duas regiões, isto é, conhecemos as duas 
populações. 
 
• Suponha µA = µB e A = B., as duas populações são iguais? 
Introdução 
• É necessário também mencionarmos a forma da distribuição. 
 
• Definida a forma, a igualdade dos parâmetros que identificam 
a curva implica a igualdade das duas populações. 
 
• Como a normal é um modelo importante e seguido por 
muitas variáveis de interesse práticos, estaremos admitindo 
essa forma. 
Comparação de médias: 
amostras independentes 
• Aqui temos dados na forma de duas amostras, extraídas 
independentemente de cada população. 
• É muito comum em experimento do tipo “controle” versus 
“tratamento”. 
 
Exemplo: 
• Queremos verificar qual melhor maneira de ensinar 
estatística a alunos. 
• Um grupo recebe um curso ministrado pela televisão. 
• O outro assiste o curso ao vivo. 
• Queremos verificar se o curso ao vivo é mais eficaz que o 
curso pela televisão. 
Comparação de médias: 
amostras independentes 
 
Exemplo: 
• Queremos comparar o efeito de duas rações, A e B. 
• A razão que leva ao maior crescimento dos porcos é a melhor. 
• Um grupo de porcos é alimentado com a ração A e outro 
coma ração B. 
• Após cinco semanas verifica-se qual grupo cresceu mais. 
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• Vamos considerar aqui apenas o caso em que queremos 
comparar a média das duas populações 
• Podemos ter varias situações distintas. 
Comparação de médias: 
amostras dependentes 
• Para os testes de hipótese para uma população: 
– precisávamos supor que os elementos da amostra eram 
independentes. 
 
• Pode ser que os elementos dentro de cada grupo sejam 
independentes. 
 
• Mas os dois grupos podem ser dependentes um do outro. 
 
• Exemplo: fazemos duas medições na mesma pessoa em 
momentos distintos. 
 
Exemplo: 
• Uma distribuidora de combustível produz gasolina. 
• Quer verificar se um novo tipo é mais eficaz na revitalização 
dos motores velhos. 
• 2 automóveis com mais de 8 anos de uso são selecionados. 
• Verifica-se o seu consumo de combustível. 
• O carro é abastecido com o novo tipo de gasolina. 
• Após 15 semanas aferi-se novamente o consumo do carro. 
• As amostras são independentes? 
 
Exemplo: 
• Um novo sistema operacional de computadores está 
• sendo avaliado. 
• Afirma-se que ele é mais rápido que o líder do mercado. 
• Um grupo A foi selecionado e utilizou o sistema convencional. 
• Outro grupo B usou o sistema alternativo. 
• Os grupos são compostos por consumidores diferentes. 
• As amostras são independentes? 
Possíveis situações na comparação de duas populações 
Duas 
Amostras 
Dependentes 
Caso 1 
Independentes 
Variâncias 
 Conhecidas 
Caso 2 
Variâncias 
Iguais 
Caso 3 
Variâncias 
 Desconhecidas 
Variâncias 
Diferentes 
Caso 4 
Comparação de duas Médias 
Caso 1: Amostras dependentes ou relacionadas 
(teste t – pareado): 
Podemos concluir que as médias populacionais diferem? 
Os dados a seguir são de amostras relacionadas tomadas de duas 
populações: 
Elemento I II
1 21 20
2 28 26
3 18 18
4 20 20
5 26 24
População
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• Seja X a variável aleatória que representa a característica de interesse em 
cada uma das populações. 
• Consideremos duas amostras relacionadas de duas populações de 
tamanho n; 
• Queremos testar: 
H0 As médias populacionais são iguais; 
H1: As médias populacionais as médias não são iguais 
Caso 1: Amostras Dependentes 
Calculamos o valor da diferença correspondente a cada elemento di 
Elemento População di 
I II 
X1i X2i 
1 X11 X21 d1 =X11- X21 
2 X12 X22 d2 =X12- X22 
3 X13 X23 d3 =X13- X23 
. . . . 
Intervalo de Confiança para µD 
Uma estimação por intervalo da diferença de médias assumirá a seguinte 
forma 
n
s
td d2/
Para um coeficiente de confiança (1 - )%. 
Exemplo: Um médico deseja determinar se certa droga modifica a 
temperatura do corpo. Seis pessoas são selecionadas ao acaso e sua 
temperatura corporal é medida. A droga é ministrada e, depois de 20 
minutos, a temperatura corpórea é novamente medida. Os resultados estão 
listados a seguir . 
Sendo α=0,02, há evidencias suficiente para concluir que a droga muda a 
temperatura do corpórea? 
Construa um intervalo de confiança de 98% para µD. 
Conclusão: 
Não há evidencia suficiente para concluir que a droga modifica a 
temperatura do corpo ao nível de significância de 2%. 
Pessoas 1 2 3 4 5 6 7 
Temperatura inicial 101,8 98,5 98,1 99,4 98,9 100,2 97,9 
Segunda temperatura 99,2 98,4 98,2 99 98,6 99,7 97,8 
 A seguir estão as perdas semanais médias de horas-homem devido a 
acidentes em dez industrias antes e depois da adoção de um programa de 
segurança abrangente. 
Exemplo: Diferença entre Médias (Dados Pareados) 
 45 e 36 73 e 60 46 e 44 124 e 119 33 e 35 
 57 e 51 83 e 77 34 e 29 26 e 24 17 e 11 
 Teste a eficácia do programa de segurança ao nível 0,05 de significância. 
 Construa um intervalo de confiança de 95% para µD. 
 Conclusão: 
Ao nível de significância de 5%, há evidencias que o programa de segurança 
industrial é eficaz.