Data Envelopment Analysis - DEA

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DATA ENVELOPMENT ANALYSIS – DEA 
 
 
¨  Em 1978, CHARNES, COOPER E RHODES(CCR) construíram um modelo de 
programação matemática para avaliação empírica da eficiência relativa 
de unidades tomadoras de decisão(DMUs) com base nas quantidades 
observadas de insumos e produtos para um grupo similar de DMUs 
operando, globalmente, sob retornos constantes à escala. 
¨  Nominaram esta abordagem como Data Envelopment Analysis (DEA) 
¨  Banker (1980) e Banker, Charnes e Cooper (1984) (BCC) proveram um link 
formal entre DEA e a estimação de fronteiras de produção eficiente 
extendendo o modelo de retornos constantes a escala para retornos 
variáveis a escala. 
Data Envelopment Analysis - DEA 
2 
¨  CHARNES, A.; COOPER, W.W. ; RHODES, E. Measuring the efficiency of 
decision making units. European Journal of Operational Research, 2, 
429-444, 1978. 
¨  BANKER, R. D., CHARNES, R.F.; COOPER, W.W. Some Models for Estimating 
Technical and Scale Inefficiencies in Data Envelopment Analysis, 
Management Science vol. 30, pp. 1078–1092, 1984. 
3 
Data Envelopment Analysis - DEA 
¨  Data Envelopment Analysis – DEA é uma metodologia que envolve 
programação matemática(linear) na avaliação da eficiência relativa de 
unidades tomadoras de decisão (DMU’s) 
¨  Permite a utilização de múltiplos insumos e múltiplos produtos gerando um 
escore de eficiência único para cada DMU. 
¨  A abordagem DEA para medição de eficiência produz importantes insights 
gerenciais: 
¤  Escore de eficiência relativa; 
¤  Para cada unidade ineficiente fornece a informação sobre o grau de 
quanto cada input deverá ser reduzido sem reduzir a produção de qq 
dos produtos, mantendo o mix de inputs ratios aproximadamente 
igual(i.e., the basic technological recipe) , para que a mesma alcance a 
eficiência. 
 
 
4 
Vantagens de DEA 
¨  Trabalha com múltiplos produtos e múltiplos insumos para os 
quais não se tem como alocar preços; 
¨  Fornece uma medida da eficiência global de cada unidade 
analisada; 
¨  Identifica a melhor prática (Benchmarking); 
¨  Identifica a pior prática; 
¨  Fixa metas; 
¨  Permite trabalhar com I e O em diferentes unidades de 
medida; 
5 
¨  Diferente das abordagens econometricas existentes DEA não requer 
muitas informações sobre a tecnologia de produção, ou uma exógena 
especificação da forma paramétrica da função de produção. 
¨  Foca, primeiramente, nos aspectos empíricos observados pelas unidades 
analisadas não sendo dependente de estimativas de preços de insumo e 
produtos. 
¨  Esta caraterística tem aberto várias possibilidades interessantes para 
aplicações deste modelo, orientado empiricamente, na avaliação da 
eficiência de DMUs. 
6 
Produtividade 
¨  Produtividade de um sistema de produção é 
definida como uma relação entre o que foi 
produzido e os insumos utilizados para tal, em um 
certo intervalo de tempo(Moreira, 1991) 
Insumo 
Produto 
Fatores de 
produção 
Produtividade 
¨  Índices parciais: 
¤  Faturamento/m2 
¤  Faturamento/no. de empregados 
¤  Faturamento/no. de check-outs 
¤  no.de caixas(pallest) embarcadas/total de homens-
hora 
¤  no.de caixas(pallest) embarcadas com erros/N.de 
caixas(pallest) embarcadas 
Representam aspectos isolados do comportamento do sistema 
de produção 
Qual a mais produtiva? 
Loja A B C D E F G H 
No. de 
empregados 
2 3 3 4 5 5 6 8 
Vendas 1 3 2 3 4 2 3 5 
Loja A B C D E F G H 
No. de 
empregados 
2 3 3 4 5 5 6 8 
Vendas 1 3 2 3 4 2 3 5 
Vendas/
Empregado 
0,5 1 0,667 0,75 0,8 0,4 0,5 0,625 
Maior razão 
Menor razão 
Fronteira Eficiente – 1I e 1P 
Fronteira e Análise de Regressão 
Função de Produção 
¨  É uma representação matemática da transformação 
de insumos(fatores de produção) em produtos. 
¨  A função de produção permite analisar a 
produtividade de um conjunto de empresas de um 
determinado setor e expressa a relação do que foi 
produzido(y1,y2,...,ym) e os insumos utilizados em 
um certo intervalo de tempo (x1,x2,...,xn). 
Função de Produção 
mão de obra, instalações, 
equipamentos 
Insumos 
Produtos físicos 
ou serviços 
Produtos 
¨  Dificuldades: 
¤  Ajustar uma função matemática que possa representar 
adequadamente o processo de transformação de um 
determinado setor da economia; 
¤  Permite considerar, em geral, uma única variável como 
output. 
Função de produção define a fronteira 
de máxima produtividade 
Função de Produção 
Y 
X 
Função de Produção 
A 
B 
P 
Y* 
X* 
Função de Produção 
¨  Método paramétrico 
¨  Normalmente utilizada a função Cobb-Douglas com 
expoentes ajustados por meio de regressão 
múltipla 
dcb xxxy
321
=
Função de Produção de Operadores Logísticos 
(Novaes, 2001) 
¨  Output F: faturamento anual da empresa, em milhões 
de reais; 
¨  Inputs: 
¤  T: tempo de atuação no mercado, em anos; 
¤  NF: no. de funcionários; 
¤  AR: área total de armazenamento(milhares de m2); 
¤  NV: no. total de veículos; 
¤  NE: no total de equipamentos de movimentação interna; 
¤  NS: no. total de serviços oferecidos; 
¤  NT: no. total de recursos tecnológicos oferecidos. 
NTNSNENVARNFT bbbbbbbaF 7654321=
Variável Coeficiente Valor Coef. t student 
Intercepto a 0,586 0,561 
T b1 0,284 2,883 
NF b2 0,496 6,852 
AR b3 0,341 6,226 
NV b4 -0,192 -0,338 
NE b5 0,234 3,153 
NS B6 -0,078 -0,338 
NT B7 -0,145 -1,153 
Coeficiente de 
determinação 
0,949 - 
NEARNFTF 205,0343,0483,0255,0263,0=
Variável Coeficiente Valor Coef. t student 
Intercepto a 0,263 3.068 
T b1 0,255 2,726 
NF b2 0,483 6,812 
AR b3 0,343 6,449 
NE b5 0,205 3,341 
Coeficiente de 
determinação 
0,947 - 
Exemplo: 
¨  Operador logístico 
¤  Faturamento (milhões de reais) = 40,0 
¤  Tempo de atividade(anos) = 5 
¤  No. de funcionários = 120 
¤  Área total de armazenagem (1000 m2) = 180 
¤  Número total de equipamentos de movimentação 
interna: 38 
 Aplicando a função de produção o faturamento deve ser de 
$50,1 milhões. 
Empresa 20% abaixo à ineficiente 
E se tivermos múltiplos insumos e múltiplos 
produtos? 
 
 w1* y1 + w2 * y2 + ... + ws*ys 
 
P = 
 v1 * x1 + v2 * y2 + ... + vm* xm 
 
 
 
onde: wi = peso atribuído ao produto j 
 vi = peso atribuído ao insumo i 
 yj = valor observado do produto j 
 xi = valor observado do insumo i 
Eficiência 
¨  A eficiência é medida comparando-se as 
produtividades de cada empresa com a máxima 
produtividade observada. 
¨  Seja P1,P2, ..., Pn as produtividades de n empresas 
¨  Seja P* a máxima produtividade observada 
P
PE
E
*
=ϕ
1
...
...
2211
2211 ≤
+++
+++
=
xvxvxv
yuyuyu
mm
nn
Eϕ
Voltando ao exemplo anterior: 
Loja A B C D E F G H 
No. de 
empregados 
2 3 3 4 5 5 6 8 
Vendas 1 3 2 3 4 2 3 5 
Vendas/
Empregado 
0,5 1 0,667 0,75 0,8 0,4 0,5 0,625 
Eficiência relativa 
B mpregado/
H_)G,F,E,D,C,A,i(i empregado/
eVendas
Vendas
Efi
=
=
Eficiência Caso 1 Insumo e 1 Produto 
Loja A B C D E F G H 
Eficiência 0,5 1 0,667 0,75 0,8 0,4 0,5 0,625 
2 Insumos e 1 Produto 
Loja A B C D E F G H I 
Empregados x1 4 7 8 4 2 5 6 5,5 6 
Área x2 3 3 1 2 4 2 4 2,5 2,5 
Vendas y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Eficiência de A = d(O,P)/d(O,A) = 
0,8571 
 
1 Insumo e 2 Produtos 
Loja A B C D E F G 
Empregados x 1 1 1 1 1 1 1 
Clientes y1 1 2 3 4 4 5 6 
Vendas y2 5 7 4 3 6 5 2 
 
 
Eficiência de D = d(0,P)/d(O,D) 
= 1,33 
 
Y1/I(D) = 1,33* (4) = 5,33 
Y2/I(D)= 1,33*(3) = 4 
 
Eficiência de A = d(0,A)/d(O,A) 
= 1,5 
 
Y1/I(A) = 1,5* (1) = 1,5 
Y2/I(A)= 1,5*(5) = 7 
 
 
 
 
2 Insumos e 2 Produtos 
Hospital A B C D E F G H I J K L 
Médicos 20 19 25 27 22 55 33 31 30 50 53 38 
Enferm. 151 131 160 168 158 255 235 206 244 268 306 284 
PacExt 100 150 160 180 94 230 220 152 190 250 260 250 
PacInter 90 50 55 72 66 90 88 80 100 100 147 120 
Produtividade Total dos Fatores 
 
 w1* y1 + w2 * y2 + ... + ws*ys 
 
P = 
 v1 * x1 + v2 * y2 + ... + vm* xm 
 
 
 
onde: wi = peso atribuído ao produto jvi = peso atribuído ao insumo i 
 yj = valor observado do produto j 
 xi = valor observado do insumo i 
Pesos Fixos 
¨  v1 (peso médicos):v2(peso enferm.) = 5:1 
¨  W1(peso pac-ext):w2(peso pac-int) = 1:3 
Hospital A B C D E F G H I J K L 
Pesos 
Fixos 
1 0,9 0,77 0,89 0,74 0,64 0,82 0,74 0,84 0,72 0,83 0,87 
CCR 1 1 0,88 1 0,76 0,84 0,90 0,8 0,96 0,87 0,96 0,96 
Pressupostos de DEA 
¨  Todos os pares de inputs-output observados são 
combinações viáveis 
¨  O conjunto de possibilidades de produção é convexo, 
ou seja, se dois pares (xA, yA) e (xB,yB) são conjuntos 
viáveis então a combinação convexa entre eles(xc,yc) é 
também viável. Entende-se aqui por combinação 
convexa um média ponderada tal como: 
¨  (xc , yc) = λxA+(1-λ)xB e yc=λyA+(1-λ)yB 
¨  tal que 0<=λ<=1 
39 
¨  free disposability of inputs, ou seja, se (x0,y0) é 
viável então qualquer par (x,y0) tal que x>=x0 é 
também viável; 
¨  free disposability of outputs,ou seja, se (x0,y0) é 
viável então qualquer par (x0,y) tal que y<=y0 é 
também viável; 
40 
41 
CHARNES, A.; COOPER, W.W. ; RHODES, E. Measuring the efficiency of 
decision making units. European Journal of Operational Research, 2, 
429-444, 1978. 42 
max 
ru
r=1
s
∑ r0y
iv
i=1
m
∑ i0x
subject to
ru
r=1
s
∑ rjy
iv
i=1
m
∑ ijx
≤1, j =1,...,n
ru , iv ≥ 0
¨  Notação: 
¨  j à associado à DMU j (j=1,…, n) 
¨  xij à quantidade consumida do recurso/insumo 
i(i=1,…,m) pela DMU j 
¨  yrj à quantidade produzida do produto r(r=1,…,s) 
pela DMU j 
¨  DMU0 = DMU sob analise que consome xi0 
quantidades do recurso i para produzir yr0 
quantidades do produto r. 
¨  Peso da DMU j na composição da DMU virtual jλ =
43 
44 
y 
x 
Fronteira CRS/CCR 
ANM 
DEA Charnes, Cooper e Rhodes, 1978 
Retornos constantes à escala 
45 
max ru
r=1
s
∑ r0y
subject to
ru
r=1
s
∑ rjy − iv
i=1
m
∑ ijx ≤ 0, j =1,...,n
iv
i=1
m
∑ ijx =1
ru , iv ≥ 0
Min θ
subject to
jλ
j=1
n
∑ ijx ≤θ i0x , i =1, 2,...,m
jλ
j=1
n
∑ rjy ≥ i0y , r =1, 2,..., s
jλ ≥ 0, ∀j
MODELO DOS MULTIPLICADORES 
ORIENTADO A INSUMO 
MODELO DO ENVELOPAMENTO 
 ORIENTADO A INSUMO 
DEA CCR - Retornos constantes à escala 
 46 
MODELO DOS MULTIPLICADORES 
ORIENTADO À EXPANSÃO DE PRODUTOS 
MODELO DO ENVELOPAMENTO 
 ORIENTADO À EXPANSÃO DE PRODUTOS 
http://www.jstor.org/pss/2631725 
min iv
i=1
m
∑ i0x
subject to
iv
i=1
m
∑ ijx − ru
r=1
s
∑ rjy ≥ 0, j =1,...,n
ru
r=1
s
∑ r0y =1
ru , iv ≥ 0
Max φ
subject to
jλ
j=1
n
∑ ijx ≤ i0x , i =1, 2,...,m
jλ
j=1
n
∑ rjy ≥ i0φy , r =1, 2,..., s
jλ ≥ 0, ∀j
¨  Modelo orientado insumo: verifica se a DMU pode reduzir 
sua utilização de recursos(insumos) enquanto mantém a 
produção no mesmo nível 
¤  Se Ɵ*=1, então o nível atual de recursos não pode ser 
reduzido(proporcionalmente) indicando que a DMU está sob a 
fronteira; Ɵ*<1 à DMU ineficiente 
¨  Modelo orientado produto: verifica se a DMU pode 
aumentar as quantidades produzidas de produto mantendo 
a utilização de recursos (insumos) constante. 
¤  Se ø*=1, então o nível atual de produtos não pode ser 
aumentado(proporcionalmente) indicando que a DMU está sob a 
fronteira; ø >1, DMU ineficiente 
47 
¨  DMU0 é eficiente(100%) se e somente se satisfizer 
as seguintes condições: 
¨  DMU0 é fracamente eficiente se e somente se 
*
θ =1(φ =1) e todas as folgas i
−*s = r+*s = 0
*
θ =1(φ =1) e i
−*s ≠ 0 e/ou r+*s ≠ 0
48 
Cálculo das metas 
49 
META
ORIENTADO
INSUMO
xˆi0 =θ *xi0 − si−
*
= jλ ijx
j=1
n
∑ , i =1,2,...,m
yˆr0 = yi0 + sr+
*
= jλ ijy
j=1
n
∑ , r =1,2,…, s
#
$
%
%
%
&
%
%
%
META
ORIENTADO
PRODUTO
xˆi0 = xi0 − si−
*
= jλ ijx
j=1
n
∑ , i =1,2,...,m
yˆr0 = φyi0 + sr+
*
= jλ ijy
j=1
n
∑ , r =1, 2,…, s
#
$
%
%
%
&
%
%
%
Pressupostos de DEA 
¨  As unidades (DMU´s) são homogêneas 
Utilizam os mesmos insumos 
 na produção dos mesmos produtos 
 
APRESENTAM A MESMA TECNOLOGIA 
50 
MB/MA- eficiência 
técnica 
MN/MA – eficiência 
técnica e de escala 
MN/MB – eficiência 
de escala 
A – é ineficiente na escala e 
tecnicamente 
B – é eficiente tecnicamente e possui 
ineficiencia de escala 
N – é eficiente tecnica e na escala 
DEA Banker, Charnes e Cooper, 1984 
Retornos variáveis à escala 
 52 
Min θ
subject to
jλ
j=1
n
∑ ijx ≤θ i0x , i =1, 2,...,m
jλ
j=1
n
∑ rjy ≥ i0y , r =1, 2,..., s
jλ
j=1
n
∑ =1
jλ ≥ 0, ∀j
MODELO DOS MULTIPLICADORES 
ORIENTADO À REDUÇÃO DE INSUMO 
MODELO DO ENVELOPAMENTO 
 ORIENTADO À REDUÇÃO DE INSUMO 
http://www.jstor.org/pss/2631725 
max ru
r=1
s
∑ r0y + 0u
subject to
ru
r=1
s
∑ rjy − iv
i=1
m
∑ ijx + 0u ≤ 0, j =1,...,n
iv
i=1
m
∑ i0x =1
ru , iv ≥ 0
ru livre em sinal
Exemplo (Tutorial DEA) 
Modelo do Envelopamento Orientado 
Insumo 
j,0
s;1,2,...,r ,
m;1,2,...,i ,θ
a sujeito
 
yyλ
xxλ
r0
n
1j
rj
i0
n
1j
ij
j
j
∀≥
=≥
=≤
∑
∑
=
=
λ
θ
j
Min
Modelo do Envelopamento 
¨  Busca um conjunto de pesos que faça com que uma 
combinação convexa(DMU virtual) das DMUs 
existentes tenha um desempenho melhor que o da 
DMU sob análise. 
Importância do Lambda 
λ
= 0, a DMU correspondente não é benchmark para a DMU em análise 
> 0, a DMU correspondente é benchmark para a DMU em análise 
Quanto maior for o lambda maior a importância da DMU 
correspondente como referência para a DMU ineficiente 
Porque Modelo do Envelopamento? 
¨  O esforço computacional é menor pois, em DEA, 
temos, frequentemente um número menor de 
restrições 
¤  (insumos + produtos < no. de dmus) 
¨  Neste modelo as folgas são encontradas 
¨  A interpretação do modelo é de mais fácil 
entendimento. 
DEA CCR – DUAL 
0,,,,
28452
352363
40124
:a sujeito
Min 
>=
>=++++
<=++++
<=++++
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
θ
θ
θ
EDCBA
EDCBA
EDCBA
EDCBA
Modelos com Multiplicadores Restritos 
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
64 
INCORPORATING	
  VALUE	
  JUDGMENTS	
  IN	
  EFFICIENCY	
  ANALYSIS	
  
BANKER,	
  R.,	
  MOREY,	
  R.	
  
Research	
  in	
  Governmental	
  and	
  Nonprofit	
  AccounJng,	
  vol.	
  5,	
  pages	
  
245-­‐267,	
  1989.	
  
	
  
¨  “DEA	
  is	
  useful	
  for	
  evalua/ng	
  rela/ve	
  efficiency	
  of	
  
not-­‐for-­‐profit	
  or	
  governmental	
  organiza/ons	
  
because	
  it	
  evaluates	
  technical	
  efficiency	
  of	
  Decision	
  
Making	
  nits(DMUs)	
  without	
  requiring	
  a	
  priori	
  
knowledge	
  of	
  input	
  or	
  outputs	
  values.	
  Instead,	
  DEA	
  
endogenously	
  generates	
  weights	
  represen/ng	
  a	
  
feasible	
  rela/ve	
  system	
  which	
  provides	
  the	
  highest	
  
possible	
  efficiency	
  ra/ng	
  for	
  the	
  DMU	
  being	
  
evaluated.	
  These	
  endogenous	
  weights,	
  however,	
  
may	
  not	
  be	
  consistent	
  with	
  a	
  realis/c	
  ordering	
  of	
  the	
  
rela/ve	
  input	
  or	
  output	
  values.”	
  	
  
¨  “The	
  DEA	
  approach	
  is	
  appealing	
  in	
  that	
  it	
  focuses	
  on	
  physical	
  
measures	
  of	
  inputs	
  and	
  output	
  a	
  while	
  taking	
  into	
  account	
  
differences	
  in	
  their	
  mixes,	
  as	
  well	
  as	
  in	
  the	
  opera/ng	
  
environments	
  faced	
  by	
  each	
  DMU.	
  It	
  does	
  not	
  require	
  
esJmates	
  of	
  input	
  or	
  output	
  values.”	
  
¨  ...”Thus,	
  in	
  general,	
  different	
  sets	
  of	
  weights	
  are	
  determined	
  
for	
  different	
  DMUs.	
  These	
  weights	
  represent	
  the	
  relaJve	
  
value	
  system	
  that	
  provides	
  the	
  highest	
  possible	
  ra/ng	
  for	
  a	
  
par/cular	
  DMU	
  being	
  evaluated,	
  consistent	
  with	
  the	
  no/on	
  
that	
  the	
  resul/ng	
  value	
  system	
  must	
  be	
  feasible	
  for	
  all	
  the	
  
other	
  DMUs.	
  
¨  “...	
  Hence	
  a	
  DMU	
  manager,	
  aLer	
  being	
  rated	
  as	
  
innefficient	
  by	
  DEA,	
  has	
  no	
  grounds	
  for	
  arguing	
  that	
  
s/he	
  was	
  not	
  informedof	
  top	
  management´s	
  
priori/es	
  regarding	
  the	
  rela/ve	
  importance	
  of	
  the	
  
various	
  outputs	
  to	
  the	
  organiza/on,	
  or	
  the	
  rela/ve	
  
costs	
  of	
  the	
  various	
  inputs.	
  But	
  a	
  disadvantage	
  is	
  
that	
  the	
  weights	
  developed	
  may	
  not	
  be	
  consistent	
  
with	
  a	
  known	
  ordering	
  of	
  the	
  rela/ve	
  values	
  of	
  
outputs	
  or	
  prices	
  of	
  inputs”.	
  
¨  “Intensive	
  care	
  pa/ent	
  day	
  in	
  a	
  hospital	
  is	
  more	
  
difficult	
  to	
  serve	
  than	
  a	
  nonintensive	
  care	
  pa/ent	
  
day”.	
  
1. Restrições diretas aos pesos (Thanassoulis, 1988 e Roll, 1991) 
 
onde: 
 
Ili = limite inferior do multiplicador vi (insumos) 
Sii = limite superior do multiplicador vi (insumos) 
IOi = limite inferior do multiplicador ui (produtos) 
SOi = limite superior do multiplicador ui (produtos) 
 
 Profa. Ana Lucia M. Lopes 
68 
iii
iii
SOuIO
SIvII
≤≤
≤≤
Modelos com Multiplicadores Restritos 
2. Métodos de Regiões de Segurança – Assurance Region Method 
(Thompson et al, 1990) – Modelos que impõem restrições na 
magnitude relativa dos pesos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na equaçao acima uma unidade do produto 1 é ao menos K vezes mas 
menos do que ~K vezes mais importante do que uma unidade de 
produto 2. Situação similar se mantém para o lado dos insumos aonde 
a equaçao acima reflete os limites nos preços relativos dos insumos. 
 
 
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
69 
~
21
~
21
/
/
LL
KK
vv
uu
≤≤
≤≤
INCORPORATING	
  VALUE	
  JUDGMENTS	
  IN	
  EFFICIENCY	
  ANALYSIS	
  
BANKER,	
  R.,	
  MOREY,	
  R.	
  
Research	
  in	
  Governmental	
  and	
  Nonprofit	
  AccounJng,	
  vol.	
  5,	
  pages	
  
245-­‐267,	
  1989.	
  
	
  
¨  US	
  Army	
  Recru/ng	
  Command	
  –	
  56	
  recrui/ng	
  
baValions	
  for	
  a	
  recent	
  quarter	
  
¨  Inputs:	
  tamanho	
  da	
  população(F),	
  tamanho	
  da	
  
população	
  elegível(17-­‐21	
  anos	
  Fixo),	
  numero	
  médio	
  
de	
  recrutas	
  a/vos	
  durante	
  o	
  quadrimestre,	
  gastos	
  
com	
  propaganda	
  impactando	
  no	
  período,	
  quan/a	
  
gasta	
  com	
  bonus	
  de	
  alistamento,	
  numero	
  total	
  de	
  
premio	
  concedidos(incen/vos	
  para	
  “quality”	
  
recruits)	
  
¨  Outputs:	
  	
  
Exemplo	
  Cook,	
  Zhu	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
75 
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
76 
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
77 
.52.0,52.0
1
2
1
2 ≤≤≤≤
u
u
v
v
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
78 
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
79 
A	
  PROCEDURE	
  FOR	
  RANKING	
  EFFICIENT	
  UNITS	
  IN	
  DATA	
  
ENVELOPMENT	
  ANALYSIS	
  
Andersen,	
  P.,	
  Petersen,	
  N.C.	
  
Management	
  Science.	
  39,	
  pp	
  1261-­‐1264,	
  1993.	
  
	
  
¨  Quando	
  a	
  DMU	
  sob	
  avaliação	
  não	
  é	
  incluída	
  no	
  
conjunto	
  de	
  referência	
  do	
  modelo	
  de	
  
envelopamento	
  tem-­‐se	
  os	
  modelos	
  DEA	
  de	
  super-­‐
eficiência.	
  
Resultado: 
 
Ranking das unidades 
eficientes 
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
80 
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
81 
Table  9.1  Super-­‐ef0iciency  DEA  Models
Frontier   Type 
 
Input-­‐Oriented 
 
Output-­‐Oriented 
CRS 
VRS 
NIRS 
NDRS 
.00
;,,2,1
;,,2,1
min
0
0
1
0
sup
0
1
sup
≠≥
=≥
=≤
∑
∑
≠
=
≠
=
j
sryy
mixx
tosubject
j
r
n
j
j
rjj
i
er
n
j
j
ijj
er
λ
λ
θλ
θ
…
…
.00
;,,2,1
;,,2,1
max
0
sup
0
1
0
0
1
sup
≠≥
=≥
=≤
∑
∑
≠
=
≠
=
j
sryy
mixx
tosubject
j
r
er
n
j
j
rjj
i
n
j
j
ijj
er
λ
φλ
λ
φ
…
…
1
1
1
0
0
0
≥
≤
=
∑
∑
∑
≠
≠
≠
j
j
j
j
j
j
Add
Add
Add
λ
λ
λ
¨  Desvantagem	
  do	
  modelo:	
  
¤  Inviabilidade	
  em	
  alguns	
  casos	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
82 
Mudança de Produtividade 
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
83 
Technological	
  Progress	
  and	
  Produci/vyt	
  
Growth	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
¨  Índice	
  de	
  Malmquist	
  de	
  Produ/vidade	
  Total	
  dos	
  
Fatores	
  
¤  Avalia	
  a	
  mudança	
  de	
  produ/vidade	
  de	
  uma	
  DMU	
  entre	
  2	
  
períodos	
  de	
  tempo.	
  
¤  Introduzido	
  na	
  literatura	
  por	
  Caves,	
  Christensen	
  e	
  
Diewert(1982)1	
  	
  foi	
  extendido	
  por	
  Fare	
  e	
  Grosskopf	
  em	
  
1992	
  permi/ndo	
  o	
  uso	
  de	
  múl/plos	
  produtos	
  e	
  múl/plos	
  
insumos	
  por	
  meio	
  de	
  DEA.	
  	
  
¨  1.	
  Caves,	
  Christensen	
  e	
  Diewert(1982).	
  The	
  Economic	
  Theory	
  of	
  Index	
  
Numbers	
  and	
  the	
  Measurement	
  of	
  Input,	
  Output	
  and	
  Produc/vity.	
  
Econometrica	
  50:6	
  (Novembro),	
  1393-­‐1414.	
  
¨  2.	
  Fare,	
  r.,	
  Grosskpf,	
  S.	
  (1992)	
  Malmquist	
  Indexes	
  and	
  Fisher	
  Ideal	
  Indexes.	
  
The	
  Economic	
  Journal	
  102:410	
  (janeiro)	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
85 
Mudança	
  de	
  produ/vidade	
  de	
  uma	
  DMU	
  é	
  dada	
  por:	
  
¨  	
  mudança	
  na	
  eficiência	
  rela/va	
  (catch-­‐up)	
  
	
  –	
  reflete	
  o	
  grau	
  no	
  qual	
  uma	
  DMU	
  melhora	
  ou	
  
piora	
  sua	
  eficiência	
  –	
  e	
  
¨  	
  mudança	
  tecnológica(fron/er-­‐shiL)	
  –	
  reflete	
  a	
  
mudança	
  na	
  fronteira	
  de	
  eficiência	
  (inovação).	
  
Índice	
  de	
  Malmquist	
  
	
  
colocar	
  grafico	
  pg	
  329	
  -­‐	
  Cooper	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 87 
Evolução	
  na	
  eficiência	
  rela/va	
  
¨  Catch-­‐	
  up	
  =	
  eficiência	
  de	
  (xo,yo)2	
  medido	
  contra	
  a	
  
fronteira	
  do	
  período	
  2/	
  eficiência	
  de	
  (xo,yo)1	
  
medido	
  contra	
  a	
  fronteira	
  do	
  período	
  1	
  
¨  Catch-­‐up=(BD/BQ)/(AC/AP)	
  
¨  Catch-­‐up>1	
  –	
  melhora	
  na	
  eficiência	
  rela/va	
  
¨  Catch-­‐up	
  =	
  1	
  –eficiência	
  rela/va	
  não	
  muda	
  
¨  Catch-­‐up<1	
  –	
  piora	
  na	
  eficiência	
  rela/va	
  
Efeito	
  da	
  Mudança	
  de	
  fronteira	
  
¨  Mudança	
  de	
  fronteira	
  –	
  evolução	
  tecnológica	
  =	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
89 
φ =
1φ 2φ
1φ =
AC
AE =
AC / AP
AE / AP =
eficiência de 1( 0,x 0y )wrt front per 1
eficiência de 1( 0,x 0y )wrt front per 2
2φ =
BF / BQ
BD / BQ =
eficiência de 2( 0,x 0y ) wrt front per 1
eficiência de 2( 0,x 0y ) wrt front per 2
φ =
AC
AE
BF
BD
então :
φ >1−− > progresso na fronteira tecnológica
φ =1−− > não houve avanço na fronteira tecnológica
φ <1−− > regresso na fronteira tecnológica
Índice	
  de	
  Malmquist(MI)	
  
¨  MI=catch-­‐up*mudança	
  de	
  fronteira	
  =	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
90 
AP
BQ
BF
AC
BD
AE
ou
C =
2
δ (
2( ox , 0y ) )
1
δ (
1( ox , 0y ) )
F =
1/2
[
1δ ( 1( ox , 0y ) )
2δ ( 1( ox , 0y ) )
*
1δ ( 2( ox , 0y ) )
2δ ( 2( ox , 0y ) )
]
MI =
1/2
[
1δ ( 2( ox , 0y ) )
1δ ( 1( ox , 0y ) )
*
2δ ( 2( ox , 0y ) )
2δ ( 1( ox , 0y ) )
]
onde :
MI >1 indica progresso na produtividade total dos fatores
MI=1, TFP mantem-se constante
MI<1, deterioração do TFP
Profa. Ana Lucia M. Lopes 91 
( )
nj
yy
xx
tosubject
yx
j
t
n
j
t
jj
t
n
j
t
jj
ttt
,,1,0
min,
0
1
00
1
0000
…=≥
≥
≤
=
∑
∑
=
=
λ
λ
θλ
θθ ( )
nj
yy
xx
tosubject
yx
j
t
n
j
t
jj
t
n
j
t
jj
ttt
,,1,0
min,
1
0
1
1
1
00
1
1
0
1
0
1
0
1
0
…=≥
≥
≤
=
+
=
+
+
=
+
+++
∑
∑
λ
λ
θλ
θθ
Profa. Ana Lucia M. Lopes 92 
( )
nj
yy
tosubject
yx
j
t
n
j
t
jj
ttt
,,1,0
min,
1
0
1
0
1
0
1
00
…=≥
≥
=
+
=
++
∑
λ
λ
θθ ( )
nj
yy
xx
tosubject
yx
j
t
n
j
t
jj
t
n
j
t
jj
ttt
o
,,1,0
min,
0
1
1
00
1
1
000
1
…=≥
≥
≤
=
∑
∑
=
+
=
+
+
λ
λ
θλ
θθ
Mudança	
  de	
  eficiência	
  de	
  escala	
  
¨  (Ray	
  e	
  Desli,	
  1997)	
  Malmquist	
  indice	
  em	
  CRS	
  
ambiente	
  =	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
93 
CMI = catch−up(V )* frontier − shift(V )* scale eficiency change 
VCMI =MI *
1/2
[
1σ
2( 0,x 0y )
1σ
1( 0,x 0y )
2σ
2( 0,x 0y )
2σ
1( 0,x 0y )
]
¨  Grafico	
  pag.	
  338	
  e	
  equaçoes	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
94Profa. Ana Lucia M. Lopes 
95 
where
)),((
)),(()( 1
00
1
2
00
2
yx
yxVupCatch
V
V
δ
δ
=−
2
1
2
00
2
2
00
1
1
00
2
1
00
1
)),((
)),((
)),((
)),(()( ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×=−
yx
yx
yx
yxVshiftFrontier
V
V
V
V
δ
δ
δ
δ
and
2
1
1
00
2
2
00
2
1
00
1
2
00
1
),(
),(
),(
),(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×=
yx
yx
yx
yxChangeEfficiencyScale
σ
σ
σ
σ
Productivity Change, Technical Progress, and Relative Efficiency 
Change in Public Accounting Industry 
BANKER, R., CHANG, H., NATAJARAN, R. 
Management Science. Vol. 51, No. 2, frebruary 2005, pp. 
291-304 
¨  Exemplo:	
  Public	
  Accoun/ng	
  Industry	
  
¨  “our	
  major	
  research	
  objec/ve	
  is	
  to	
  analyse	
  the	
  extend	
  to	
  
which	
  produc/vity	
  change	
  can	
  be	
  explained	
  by	
  a	
  shiL	
  in	
  the	
  
public	
  accoun/ng	
  industry’s	
  produc/on	
  technology(i.e.	
  
technical	
  change)	
  and	
  a	
  change	
  in	
  the	
  efficiency	
  of	
  CPA	
  firms	
  
rela/ve	
  to	
  their	
  peers(i.e.,	
  rela/ve	
  efficiency	
  change)”.	
  	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 96 
¨  “This	
  decomposi/on	
  helps	
  us	
  assess	
  whether	
  produc/vity	
  
change	
  in	
  the	
  public	
  accoun/ng	
  industry	
  was	
  due	
  to	
  a	
  
drama/c	
  improvement	
  in	
  the	
  performance	
  of	
  a	
  selected	
  firms	
  
or	
  to	
  an	
  industrywide	
  improvement	
  in	
  produc/ve	
  efficiency”.	
  
¨  “using	
  revenue	
  and	
  human	
  resource	
  data	
  available	
  for	
  the	
  
1995-­‐1999	
  period,	
  for	
  a	
  sample	
  of	
  64	
  of	
  the	
  top	
  100	
  public	
  
accoun/ng	
  firms	
  in	
  the	
  US,	
  we	
  analyse	
  both	
  the	
  shiL	
  in	
  the	
  
produc/on	
  func/on	
  and	
  the	
  cross-­‐sec/onal	
  distribu/on	
  of	
  
firm	
  produc/vity”.	
  Our	
  results	
  indicate	
  that	
  the	
  average	
  
produc/vity	
  of	
  CPA	
  firms	
  improved	
  by	
  9,5%	
  from	
  1995	
  to	
  
1999.	
  The	
  best	
  prac/ce	
  produc/on	
  fron/er	
  for	
  the	
  public	
  
accoun/ng	
  industry	
  shiLed	
  upward	
  on	
  average	
  by	
  12%	
  during	
  
this	
  period,	
  but	
  many	
  firms	
  in	
  the	
  industry	
  did	
  not	
  benefit	
  as	
  
much	
  from	
  the	
  technical	
  progress,	
  as	
  indicated	
  by	
  a	
  decline	
  of	
  
2,5%	
  in	
  the	
  average	
  rela/ve	
  efficiency”.	
  	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 97 
Technological	
  progress	
  and	
  producJvity	
  growth	
  in	
  the	
  U.S.	
  mobile	
  
telecomunicaJons	
  industry	
  
BANKER,	
  R.,	
  CAO,	
  Z.,	
  MENON,	
  N.	
  
Ann	
  Oper	
  Res	
  (2010)	
  173:77-­‐87	
  
	
  
¨  “…	
  the	
  fast	
  growing	
  U.S.	
  mobile	
  wireless	
  industry	
  has	
  been	
  
experiencing	
  drama/c	
  technological	
  change	
  and	
  substan/al	
  
compe//on.	
  As	
  a	
  result	
  of	
  these	
  catalysts	
  we	
  argue	
  that	
  
wireless	
  firms	
  have	
  experienced	
  significant	
  produc/vity	
  
improvement	
  and	
  provide	
  new	
  evidence	
  that	
  technological	
  
progress	
  almost	
  exclusively	
  contributed	
  to	
  produc/vity	
  
improvements	
  in	
  wireless	
  industry	
  by	
  significantly	
  expanding	
  
the	
  produc/on	
  possibili/es	
  set”…”our	
  findings	
  show	
  that	
  the	
  
industry	
  experienced	
  a	
  significant	
  growth	
  of	
  13%	
  in	
  
produc/vity,	
  which	
  was	
  primarily	
  due	
  to	
  an	
  average	
  
technological	
  progress	
  of	
  9,9%	
  in	
  the	
  industry.”	
  
Profa. Ana Lucia M. Lopes 
98 
Modelos DEA para Casos Especiais 
Variáveis não-controladas (non-discretionary) 
 
¨  Nos modelos DEA anteriores assumimos que 
todas as variáveis podem ser controladas pelo 
decisor e, portanto, mudadas na mesma 
proporção. 
¨  Mas e: clima; quantidade de tráfico em uma 
rodovia; renda média da cidade; beta de um 
ativo? 
¨  Variáveis não controladas são aquelas em que os 
decisor não tem controle sobre (non-discretionary). 
¨  Existem situações em que: 
¤  somente um subconjunto de insumos deve ser contraído 
na mesma proporção, mantendo os demais insumos e 
produtos constantes; 
¤  somente um sub-conjunto de produtos é expandido na 
mesma proporção mantendo os demais produtos e 
insumos constantes. 
Representação Gráfica 
Modelo Matemático – Orientação insumo 
C 
NC 
Modelo Matemático 2 estágios 
C 
NC 
C 
NC 
Projeção na fronteira eficiente 
C 
NC 
Representação gráfica 
Modelo Matemático – Orientação Produto 
C 
NC 
CCR Orientação Produto 
NC 
C 
C 
NC 
NC 
NC 
C 
C 
Exemplo pg. 220 - Cooper, Seiford, Tone, 2007 
¨  Até agora foi assumido que todos os dados são 
não-negativos 
Dados Negativos 
LUCROS NEGATIVOS? 
RETORNOS NEGATIVOS? 
PROPRIEDADE DE INVARIÂNCIA à 
TRANSLAÇÃO - VRS 
Dados Negativos 
Fronteira VRS permanece se xij e yij são 
mudados pelos novos valores 
 
 
VRS orientado 
produto – 
translação nos 
insumos 
 
VRS orientado 
insumo – 
translação nos 
produtos 
 
Ambos os dados 
negativos? 
Aditivo 
Observações 
¨  Como a fronteira é formada por DMUs com teta = 
1, a mesma não muda; 
¨  Escores de eficiência podem mudar quando temos 
translação nos insumos e produtos. 
¨  IMPORTANTE: 
¤  VRS orientado à insumo é invariante à translação nos 
produtos; 
¤  VRS orientado à produto é invariante à translação nos 
insumos; 
Fatores Indesejáveis 
¨  Insumo e produtos indesejáveis podem estar 
presentes. 
¤  No. de peças defeituosas 
¤  Emissão de poluentes 
¨  Em modelos DEA produtos devem ser aumentados e 
insumos reduzidos para alcançar a fronteira 
eficiente 
Como tratar fatores 
indesejáveis? 
 
1) Tratando os produtos indesejáveis como insumo – 
objetivo é reduzir os mesmos; 
2) Transformação monotônica decrescente à produto 
indesejável = 1/produto indesejável 
 
 
¨  Como tratar fatores 
indesejáveis? 
¨  Transformação monotônica linear decrescente 
à (Seiford, L.M.; Zhu, J. 2002) 
¨  1º. Multiplicar cada produto indesejável por -1 
¨  2º. Encontrar um valor apropriado para realizar a 
translação transformando os valores negativos em 
positivos 
 
 
Fatores Indesejáveis – Modelo Matemático (VRS 
orientado produto) 
 
3,19)1*7,1(21
0 folga e 1,7h 
12120
20
:
^
0
=−=
==
=+−=
=
−
y
y
y
b
r
b
rj
b
rj
se
Exemplo
¨  O mesmo se aplica aos insumos indesejáveis 
¨  Ver pg. 150 - Zhu 
Modelos Baseados em Folgas e 
Modelos não Radiais 
 
 
 Modelo Aditivo - (Charnes, Cooper, Seiford, 
Stutz, 1982 
 
Modelo Aditivo 
Modelo Aditivo 
Modelo Aditivo 
¨  Utiliza a mesma fronteira do modelo BCC 
¨  Considera o excesso de insumo e folga de produto 
simultaneamente no alcance da fronteira de 
eficiência. 
¨  Dada s solução ótima – (λ*, s-* ,s+*) 
¤  Definição: DMU0 é eficiente no modelo ADD se e 
somente se s-* e s+*=0 
¨  Modelo não tem orientação 
Alcance da Fronteira 
syy
sxx
*
0
^
*
0
^
0
0
+
−
+=
−=
Modelo Aditivo 
Onde os ws se referem aos pesos p produtos e insumos 
Modelo Radial 
MODELO RADIAL 
Ɵ são diferentes 
Modelo Não Radial PS (Preference 
Structure) 
¨  Os pesos que refletem o grau de importância dos 
ajustes desejados podem ser: 
¤  Ai(i=1,2,...,m) 
¤  Br (r=1,2,...,s) 
Modelos com Multiplicadores Restritos 
1. Restrições diretas aos pesos (Thanassoulis, 1988 e Roll, 1991) 
 
onde: 
 
Ili = limite inferior do multiplicador vi (insumos) 
Sii = limite superior do multiplicador vi (insumos) 
IOi = limite inferior do multiplicador ui (produtos) 
SOi = limite superior do multiplicador ui (produtos) 
 
 
Modelos com Multiplicadores Restritos 
2. Métodos de Regiões de Segurança – Assurance Region Method (Thompson et 
al, 1990) – Modelos que impõem restrições na magnitude relativa dos pesos 
 
Cone Ratio 
 
sr
mi
r
r
r
r
i
i
i
i
u
u
v
v
,...,1,
,...,1,
1
1
=≤≤
=≤≤
+
+
γδ
βα
sr
sr
mi
mi
sr
mi
uu
uu
vv
vv
uuu
vvv
rrrrrr
iii
iii
rrrrr
iiiii
,...,1,
,...,1,
,...,1,
,...,1,
,...,1,
,...,1,
1
1
1
1
11
11
=≤
=≤
=≤
=≤
=≤≤
=≤≤
+
+
+
+
++
++
γ
δ
β
α
γδ
βα
Exemplo 
Modelo DEA de Super-eficiência 
¨  Quando a DMU sob avaliação não é incluída no 
conjunto de referência do modelo de 
envelopamento tem-se os modelos DEA de super-
eficiência. 
Resultado: 
 
Ranking das unidades 
eficientes 
¨  Desvantagem do modelo: 
¤  Inviabilidade em alguns casos