Trabalho Engrenagens Planetárias - Mecanismos - Claudir Becher (prof. Patric Neis)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
BACHARELADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
CLAUDIR JÚNIOR DA SILVA BECHER 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO E ANÁLISE TEÓRICA DE ENGRENAGEM PLANETÁRIA 
Velocidades angulares dos componentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTO ALEGRE - RS 
2022 
 
 
CLAUDIR JÚNIOR DA SILVA BECHER 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO E ANÁLISE TEÓRICA DE ENGRENAGEM PLANETÁRIA 
Velocidades angulares dos componentes 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado como requisito parcial para 
obtenção de aprovação na disciplina de Mecanismos I do 
curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal 
do Rio Grande do Sul. 
Professor: Patric Daniel Neis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTO ALEGRE - RS 
2022 
 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1 
2. OBJETIVOS ................................................................................................................... 2 
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA................................................................................... 3 
4. RESULTADOS .............................................................................................................. 4 
5. CONCLUSÕES .............................................................................................................. 6 
6. REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 7 
 
1 
 
1. INTRODUÇÃO 
Uma engrenagem é uma peça de máquina circular rotativa com dentes que 
engrenam com outra parte dentada compatível para transmitir/converter torque e velocidade. O 
princípio básico por trás da operação das engrenagens é análogo ao princípio básico das 
alavancas. Dispositivos de engrenagens podem alterar a velocidade, torque e direção de uma 
fonte de energia. Engrenagens de diferentes tamanhos produzem uma mudança de torque, 
criando uma vantagem mecânica através de sua relação de transmissão. As velocidades de 
rotação e os torques de duas engrenagens engrenadas diferem em proporção aos seus diâmetros, 
que, por sua vez, são proporcionais às suas quantidades de dentes. Duas ou mais engrenagens 
engrenadas, trabalhando em sequência, são chamadas de trem de engrenagens ou transmissão. 
Figura 1.1 – Principais tipos de engrenagens 
 
Dentro do universo das engrenagens estão contidas as engrenagens epicicloidais, 
também conhecidas como engrenagens planetárias, que consistem em uma configuração na 
qual há ao menos duas engrenagens montadas de modo que o centro de uma gire em torno do 
centro da outra. A engrenagem cujo centro orbita a outra é denominada planeta, enquanto a 
2 
 
engrenagem orbitada é denominada sol. Em um conjunto planetário podem existir mais de um 
planeta, bem como mais de um sol. 
Uma engrenagem planetária pode ser montada de modo que as engrenagens 
planetas rolem no interior de uma engrenagem interna, denominada engrenagem anelar. Existe 
a possibilidade de quaisquer das engrenagens componentes da engrenagem planetária ser fixa 
ou móvel, a depender do objetivo que se deseje alcançar com a configuração. 
Figura 1.2 - Exemplo de engrenagem planetária e seus componentes 
 
2. OBJETIVOS 
Este estudo tem por objetivo analisar a relação entre as velocidades angulares de 
entrada e de saída na engrenagem planetária ilustrada na Figura 1.2. Tal análise é baseada em 
simulação computacional através do software Working Model, na qual será possível observar 
a previsão teórica para a velocidade angular de saída na engrenagem planetária em questão dada 
a velocidade angular de entrada, que pode ser transmitida a partir de um motor, por exemplo. 
Também será demonstrado o cálculo teórico relacionado a tal configuração de engrenagens e, 
por fim, será realizada a comparação entre os resultados obtidos via simulação e via cálculo. 
A engrenagem planetária em análise possui entrada do movimento a partir da 
engrenagem sol - que está ligada a um motor que gira a 5 rad/s - e saída do movimento na barra 
3 
 
(cuja velocidade nos interessa determinar). Além disso, esta configuração em particular possui 
a engrenagem anelar fixa. A engrenagem sol possui 2 cm de diâmetro, os três planetas possuem 
1 cm de diâmetro e o anel possui, portanto, 4 cm de diâmetro. 
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
A teoria cinemática de uma engrenagem planetária, em relação às velocidades 
angulares das engrenagens componentes e de sua geometria, se baseia nas seguintes equações: 
𝑖 = (−
𝐷1
𝐷2
) ⋅ (+
𝐷2
𝐷3
) = −
𝐷1
𝐷3
 (1) 
𝑖 =
𝜔3 − 𝜔𝑏
𝜔1 − 𝜔𝑏
 (2) 
Onde: 
i: relação de transmissão 
D1: diâmetro da engrenagem sol 
D2: diâmetro das engrenagens planeta 
D3: diâmetro da engrenagem anelar 
ω1: velocidade angular da engrenagem sol 
ω3: velocidade angular da engrenagem anelar 
ωb: velocidade angular da barra 
Cada parênteses da Equação 1 significa um engrenamento entre duas engrenagens. 
Os sinais dentro de cada parênteses indicam se as engrenagens cujos diâmetros estão no 
numerador e no denominador da fração giram em sentido oposto (sinal negativo) ou no mesmo 
sentido (sinal positivo). 
4 
 
4. RESULTADOS 
Das Equações 1 e 2: 
𝑖 = (−
𝐷1
𝐷2
) ⋅ (+
𝐷2
𝐷3
) = −
𝐷1
𝐷3
= −
0,2
0,4
= −
1
2
 (3) 
𝑖 =
𝜔3 − 𝜔𝑏
𝜔1 − 𝜔𝑏
=
0 − 𝜔𝑏
5 − 𝜔𝑏
=
−𝜔𝑏
5 − 𝜔𝑏
 (4) 
Igualando as Equações 3 e 4: 
−𝜔𝑏
5 − 𝜔𝑏
= −
1
2
 
∴ 𝜔𝑏 = 1,67 
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
A velocidade angular dos planetas também pode ser obtida: 
−
𝐷1
𝐷2
=
𝜔2 − 𝜔𝑏
𝜔1 − 𝜔𝑏
→ −
0,2
0,1
=
𝜔2 − 1,67
5 − 1,67
 
∴ 𝜔2 = −5 
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
 Ainda podemos obter a relação entre as velocidades angulares de entrada e saída. 
Das Equações 2 e 3: 
−𝜔𝑏
𝜔1 − 𝜔𝑏
= −
1
2
 
∴
𝜔𝑏
𝜔1
=
1
3
 
As Figuras 4.1 e 4.2 apresentam os resultados obtidos a partir da simulação da 
engrenagem planetária em análise no software Working Model. 
5 
 
Figura 4.1 - Simulação no software Working Model: velocidades do sol e da barra 
 
Figura 4.2 - Simulação no software Working Model: velocidades do sol e dos planetas 
 
6 
 
Tabela 4.1 - Comparação entre resultados teóricos e via simulação 
 
5. CONCLUSÕES 
Obtivemos valores iguais para a velocidade angular de saída na engrenagem 
planetária em estudo através dos cálculos teóricos e através da simulação computacional, bem 
como também foram iguais os respectivos valores encontrados em ambas as análises para as 
engrenagens planeta. 
O resultado obtido para a relação entre as velocidades angulares de entrada e de 
saída de tal configuração planetária indica que a saída do movimento, através da barra, ocorre 
no mesmo sentido de giro que a entrada do movimento, através da engrenagem sol. 
As engrenagens planetárias proporcionam uma boa redução de velocidade, 
múltiplas combinações cinemáticas, reações puramente de torção e eixo coaxial. As 
desvantagens incluem altas cargas de rolamento, requisitos de lubrificação constante e 
complexidade do projeto. 
 
 
 
 
 
 
 
Elemento ω teórico (rad/s) ω simulação (rad/s)
Planetas -5 -5
Barra 1,67 1,67
7 
 
6. REFERÊNCIAS 
EPICYCLIC gearing. Wikipedia. Disponivel em: <https://en.wikipedia.org/wiki/Epicyclic_gearing>. 
Acesso em: Setembro 2022. 
MSC.SOFTWARE. Working Model. 
NEIS, P. D. Apostila de Engrenagens, Cardan e Homocinética. Porto Alegre: [s.n.], 2015. 
UICKER, J. J.; PENNOCK, G. R.; SHIGLEY, J. E. Theory of Machines and Mechanisms. New York: Oxford 
University Press, 2003.