Aula_18_TD0923_Cap_5

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
Prof. Dr. John Kenedy de Araújo
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
• 2ª Lei de Newton
( )dV dF ma m mV
dt dt
= = =
r
r rr
O somatório das forças é a variação da Quantidade de
Movimento
� �⃗
�
�
= ��� � 	�
��
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
�
�� � 	�
�� = lim∆�→�
� 	�
�� ��∆� � � 	�
�� �
∆�
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
� 	�
�� ��∆�
= � 	�
�
� � 	�
�
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
� 	�
�� �
= � 	�
�
� � 	�
�
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
��: �
 = ��∀= ∆� � � 	 · �"⃗
�
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
� 	�
� �
= � 	�
� ��∆�
Para regime permanente:
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
� 	�
�
= ∆� � 	� 	 · �"⃗
�
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
� 	�
�
= �∆� � 	� 	 · �"⃗
�
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
�
�� � 	�
�� = lim∆�→� � 	� 	 · �"⃗� � � 	� 	 · �"⃗�
∆�
∆�
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
�
�� � 	�
�� = � 	� 	 · �"⃗��
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
( )ρ= ⋅ 
rr r r
SC
F V V dA
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
� �#
�
�
= � 	#� 	 · �"⃗��$
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
� �%
�
�
= � 	%� 	 · �"⃗��&
Exemplo 1
Calcular o esforço horizontal sobre a estrutura do
ventilador da figura. Dados: D2 = 0,38 m; V2 = 30 m/s; γγγγ =
12,7 N/m3; V1 ≅≅≅≅ 0. O escoamento é permanente.
Exemplo 1
( ) ( ) ρ= ⋅ 
rr
x x
SC
a F V V dA
Exemplo 1
1 1 2 2 1 1 1
2 2 2
cos180
 cos0
ρ
ρ
− + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
o
o
xp A p A R V V A
V V A
1 2 1mas 0 e 0 e 0= = =p p V
Exemplo 1
2
2 2 2
2 2 2 4
πγρ  = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 
 
x
D
R V A V
g
Exemplo 1
( )
2
212,7 0,38
30,0
9,81 4
π ⋅= ⋅  
 
xR xR = 132,14 N
Exemplo 2
A figura a seguir mostra um redutor numa linha de tubos.
O volume interno do redutor é 0,2 m3 e a sua massa, 25 kg.
Calcule as componentes horizontal e vertical da força que
deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o
redutor. O fluido é gasolina (SG=0,72). O escoamento é
permanente. Considere os pesos do redutor e do fluido.
Exemplo 2
( ) ( ) ρ= ⋅ 
rr
x x
SC
a F V V dA
1 1 2 2 1 1 1
2 2 2
cos180
 cos0
ρ
ρ
− + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
o
o
xp A p A R V V A
V V A
Exemplo 2
2 2
1 1 2 2 2 2 1 1ρ ρ= − + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅xR p A p A V A V A
2 2
21
1
2 2
22
2
0,4
 0,1257
4 4
0,2
0,0314
4 4
π π
π π
⋅= = =
⋅= = =
D
A m
D
A m
Exemplo 2
( )
( ) ( )
3 3
3 2 3 2
então:
58,7 10 0,1257 109 101,3 10 0,0314
 0,72 10 12 0,0314 0,72 10 3 0,1257
= − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
xR
( )direita para esquerdaxR = -4,7 kN
Exemplo 2
( ) ( ) ρ= ⋅ 
rr
y y
SC
b F V V dA
como 0 0
0
= → =
= − − =
= +


y y
y y líquido redutor
y líquido redutor
V F
F R W W
R W W
Exemplo 2
( ) ( )30,72 10 9.81 0,2 25 9,81
γ= ∀ +
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
y líquido redutor
y
R m g
R
( )de baixo para cimayR = 1657,89 N
Exemplo 3
Os dados seguintes pertencemao escoamento da água emum
Tê horizontal (figura a seguir): as vazões Q1 e Q2 são 0,09 e 0,06
m3/s; as pressões manométricas p1, p2 e p3 são 150, 105 e 120
kPa, respectivamente. Calcular: a) a velocidade na seção 3;b)
as componentes Rx e Ry da força externa necessária para
manter o Tê emsua posição. O escoamento é permanente.
Exemplo 3
( ) ( ) Conservação da massa: 0ρ ⋅ =
rr
SC
a V dA
1 1 2 2 3 3cos180 cos0 cos0 0ρ ρ ρ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
o o oV A V A V A
Exemplo 3
( )1 2
1 1 2 2 3 3 3
3
ρ ρ ρ
−
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ → =
Q Q
V A V A V A V
A
Exemplo 3
2 2
21
1
2 2
22
2
0,15
0,0177
4 4
0,1
0,0078
4 4
π π
π π
⋅= = =
⋅= = =
D
A m
D
A m
2
2
3
0,15
0,0177
4
π ⋅= =A m
Exemplo 3
( )
1
1 1
1
2
2 2
2
3
Cálculo das velocidades:
0,09
5,08 
0,0177
0,06
7,69 
0,0078
0,09 0,06
então: 
0,0177
Q AV
Q mV V sA
Q mV V sA
V
=
= = → =
= = → =
−
= → 3 mV = 1,69 s
Exemplo 3
( ) ( ) Equação do momento: ρ= ⋅ 
rr
x x
SC
b F V V dA
1 1 3 3 1 1 1 3 3 3cos180 cos0ρ ρ− + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
o o
xp A p A R V V A V V A
Exemplo 3
2 2
1 1 3 3 3 3 1 1ρ ρ= − + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅xR p A p A V A V A
Exemplo 3
( ) ( )
( ) ( )
3 3
3 2 3 2
150 10 0,0177 120 10 0,0177
 10 1,69 0,0177 10 5,08 0,0177
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
xR
( )direita para esquerdaxR = -937,22 N
Exemplo 3
( ) ( ) Equação do momento: ρ= ⋅ 
rr
y y
SC
c F V V dA
2 2 2 2 2 cos0ρ+ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
o
yp A R V V A
Exemplo 3
( ) ( )2 3 3 22 2 2 2 105 10 0,0078 10 7,69 0,0078ρ= − − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅yR p A V A
( )de cima para baixoyR = -1,28 kN