Aula 3 ICM - Estrutura dos Sólidos Cristalinos parte 2

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Profa. Fabiana Fim 
 
Sala: CTJ 104 
Horário: 3ª 20:40 - 22:20 / 5ª 18:10 - 19:00 / 6ª 18:10 - 20:40 
 
Universidade Federal da Paraíba 
Centro de Tecnologia 
Departamento de Engenharia de Materiais 
ICM – Aula 3 parte 2 
Estrutura dos sólidos cristalinos 
2 
Pontos, Direções e Planos Cristalográficos 
Quando se estuda materiais cristalinos, torna-se necessário especificar um 
ponto particular no interior da célula unitária, uma direção cristalográfica ou um 
plano cristalográfico. 
Profª. Fabiana Fim 
A posição de P é designada 
usando as coordenadas q r s, 
ao longo dos eixos x y z, 
respectivamente, com valores 
que são menores ou iguais à 
unidade (1). 
Coordenadas dos pontos 
3 
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Exemplo: Especifique as coordenadas dos pontos para todas as posições 
atômicas em uma célula unitária CCC. 
Comprimentos 
Fracionários 
Nº do 
Pto. 
Eixo x Eixo y Eixo z Coord 
Ptos 
1 0 0 0 0 0 0 
2 1 0 0 1 0 0 
3 1 1 0 1 1 0 
4 0 1 0 0 1 0 
5 ½ ½ ½ ½ ½ ½ 
6 0 0 1 0 0 1 
7 1 0 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 1 1 
9 0 1 1 0 1 1 
a 
a 
a 
z 
y 
x 
1 
2 3 
4 
5 
6 
7 8 
9 
4 
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Direções Cristalográficas 
5 
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Direções Cristalográficas - Exemplo 
6 
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x y z 
1 0 ½ multiplica por 2 
[2 0 1] 
-1 1 1 negativo é representado por um 
traço em cima do número 
[1 1 1] 
_ 
Direções Cristalográficas - Exemplo 
7 
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Direções Cristalográficas - Exemplo 
Coordenadas do final da direção 
 
Subtrair 
 
Coordenadas da origem da direção 
8 
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Direções Cristalográficas - Exemplo 
9 
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Direções Cristalográficas - Exemplo 
10 
Profª. Fabiana Fim 
Direções Cristalográficas – Para o sistema 
cúbico 
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Direções Cristalográficas – Para o sistema 
cúbico 
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Exemplo: Desenhe a direção [1 1 0] em uma célula unitária cúbica. 
z 
x 
y 
-y 
P 
_ 
PLANOS CRISTALINOS 
 Por quê são importantes? 
•Para a determinação da estrutura cristalina 
Os métodos de difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de 
pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os 
parâmetros do reticulado de um cristal. 
Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado. 
Estes são usados para determinar os ângulos interaxiais de um cristal. 
•Para a deformação plástica 
 A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos 
átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a 
acontecer preferencialmente ao longo de planos direções específicos do cristal. 
•Para as propriedades de transporte 
 Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o transporte 
de elétrons e/ou acelera a condução nestes planos, e, relativamente, reduz a 
velocidade em planos distantes destes. 
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PLANOS CRISTALINOS 
• São representados de maneira similar às 
direções 
• São representados pelos índices de Miller = 
(hkl) 
• Planos paralelos são equivalentes tendo os 
mesmos índices 
 
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Planos Cristalográficos: Índices de Miller 
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Planos Cristalográficos: Índices de Miller 
Profª. Fabiana Fim 
Planos Cristalográficos: Índices de Miller 
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Planos Cristalográficos: Índices de Miller 
(111) 
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x 
y 
z 
Qual é o plano? Qual é o plano? 
(100) 
PLANOS CRISTALINOS 
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PLANOS CRISTALINOS 
Planos (010) 
• São paralelos aos eixos x 
e z (paralelo à face) 
• Cortam um eixo (neste 
exemplo: y em 1 e os 
eixos x e z em ) 
• 1/ , 1/1, 1/  = (010) 
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PLANOS CRISTALINOS 
Planos (110) 
• São paralelos a um eixo 
(z) 
• Cortam dois eixos 
(x e y) 
• 1/ 1, 1/1, 1/  = (110) 
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PLANOS CRISTALINOS 
Planos (111) 
 
• Cortam os 3 eixos 
cristalográficos 
• 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111) 
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PLANOS CRISTALINOS 
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_ 
Planos (211) 
• Interceptam todos os 
eixos 
• Cortam o eixo x em ½, 
o y e o z em 1 
• Recíproco: 1/½, 1/1, 
1/1 = 2,1,1 = (211) 
Planos (200) 
• São paralelos aos 
eixos y e z (paralelo à 
face) 
• Cortam um eixo (neste 
exemplo: x em ½ e os 
eixos y e z em ) 
• Recíproco: 1/½, 1/ , 
1/  = 2,0,0 = (200) 
Planos (100) 
São paralelos 
aos eixos y e z 
(paralelo à face) 
Cortam um eixo 
(neste exemplo: 
x em -1 e os 
eixos x e z em 
) 
Recíproco: 1/-1, 
1/ , 1/  = 
-1,0,0 = (100) 
_ 
_ 
PLANOS NO SISTEMA 
CÚBICO 
• A simetria do sistema cúbico faz com que a 
família de planos tenham o mesmo arranjo e 
densidade 
• Deformação em metais envolve deslizamento 
de planos atômicos. O deslizamento ocorre 
mais facilmente nos planos e direções de 
maior densidade atômica (menor distorção 
atômica). 
 
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PLANOS DE MAIOR DENSIDADE 
ATÔMICA NO SISTEMA CCC 
 
• A família de planos 
(110) no sistema ccc é 
o de maior densidade 
atômica 
 
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PLANOS DE MAIOR DENSIDADE 
ATÔMICA NO SISTEMA CFC 
• A família de planos 
(111) no sistema cfc é 
o de maior densidade 
atômica 
 
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Desenhar, em uma célula unitária cúbica, o seguinte plano: 
(101) 
 Recíprocos: 1, 0 -1 
x 
y 
z 
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Interceptos: 1, , -1 
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Desenhar, em uma célula unitária cúbica, o seguinte plano: 
(211) 
x 
y 
z 
Recíprocos: 2, -1, 1 
Profª. Fabiana Fim 
Interceptos: 1/2, -1, 1 
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Desenhar, em uma célula unitária cúbica, o seguinte plano: 
(012) 
x 
y 
z 
Recíprocos: 0, 1, 2 
Profª. Fabiana Fim 
 Interceptos: , 1, 1/2 
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EXERCÍCIOS 
Desenhar, dentro de uma célula unitária cúbica, os seguintes planos: 
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a 
b 
d 
c 
h 
g 
f e 
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Densidade Linear 
Corresponde à fração de comprimento do vetor ocupado 
com átomos 
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Densidade Linear - Exercício 
Ex.: Calcule a DL da direção [1 1 0] na rede CFC de um átomo com raio 
atômico de 1,86A°. 
Nº de átomos sobre o vetor = 2*1/2 + 1 = 2 
 
Comprimento do vetor = 4R 
 
DL = 2/4R = 2/(4*1,86.10-10) = 2,7.109 m-1 
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Densidade Planar 
Corresponde à fração da área cristalográfica planar 
ocupada com átomos 
Profª. Fabiana Fim 
Densidade Planar - Exercício 
Ex.: Calcule a DP do plano (1 1 0) na rede CFC de um átomo com raio 
atômico de 1,86A°. 
Nº de átomos no plano = 1 + 4*1/4 = 2 
 
Área do plano = comprimento * largura 
Ap = 4R * 2R2 = 8R²2 
 
DP = 2/(8R²2) = 2/(8*(1,86.10-10)²2) = 
5,11.1018 m-²