MATEMATICA EMPRESARIAL - aula 4

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Objetivos da Aula
Ao final desta aula, você será capaz de:
✓Utilizar a regra de três com base nas propriedades da proporcionalidade para 
desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico e propor soluções aos diversos 
problemas dentro dos contextos organizacionais.
✓Descrever e resolver problemas que envolvam as relações de proporcionalidade 
direta entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes 
proporcionais, em contextos organizacionais para otimizar a tomada de decisão.
Situação Problema 1
Uma das orientações mais importantes da organização mundial da saúde é o uso de 
EPIs (Equipamento de proteção individual). Devido ao surto de Covid19 no mundo 
inteiro a demanda por esses equipamentos aumentou muito rapidamente e, ao 
mesmo tempo, a produção foi prejudicada. Para amenizar essa escassez de EPIs 
alguns professores do DF estão produzindo máscaras em impressoras 3D para doar 
aos profissionais de saúde. Se com 6 impressoras 3D a produção em 8 horas é de 56 
máscaras, quantas impressoras serão necessárias para produzir 128 máscaras em 10 
horas de trabalho?
Situação Problema 2
Está sendo cogitada a compra de novos equipamentos de manuseio de cargas, para 
que um maior volume de movimentações diárias possa ocorrer nos galpões de uma 
empresa.
Atualmente, em cada galpão, são realizadas 250 movimentações em 5 dias com 10 
máquinas em operação. A intenção é realizar 500 movimentações, em apenas 8 dias. 
No formato atual, quantas maquinas deverão ser adquiridas para realizar essa 
quantidade de movimentações?
Regra de 3 simples
A regra de três simples é uma regra prática para determinar o quarto termo de 
uma proporção, conhecendo-se os outros três termos. Quando há somente duas 
grandezas, chamamos de regra de 3 simples.
Para resolvermos a regra de três simples, após organizá-las em uma tabela, basta que 
identifiquemos se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente 
proporcionais.
· Se as grandezas são diretamente proporcionais, mantemos as razões e montamos a 
proporção entre estas razões.
· Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos uma das razões e 
montamos a proporção
Regra de 3 simples
Para percorrer 360 km, um automóvel consome 30 litros de gasolina. Para percorrer 
450 km, quantos litros consumirá?
Devemos primeiramente descobrir se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. Como ao aumentar a distância percorrida, o consumo de gasolina 
aumentará, logo as grandezas são diretamente proporcionais.
Regra de 3 simples
II) Inversamente proporcionais 
Um automóvel com velocidade de 80 km/h gasta 15 minutos em certo percurso. Se a 
velocidade for reduzida para 60 km/h, que tempo, em minutos, será gasto no mesmo 
percurso?
Regra de 3 simples – Mais exemplos
Um objeto custa R$ 3,50 em uma determinada loja. Uma pessoa deseja comprar 10 
desses objetos. Sabendo que a loja não oferece nenhum tipo de desconto, quanto 
essa pessoa pagará por esses 10 objetos?
1---- 3,50
10 ---- x
1x = 10 . 3,50
X = 35,00
Regra de 3 simples – Mais exemplos
Para ir de uma cidade A para uma cidade B, um motorista gasta 4 horas com uma velocidade constante de 60 km/h. Quanto tempo levaria esse motorista 
para realizar a mesma viagem com a velocidade constante de 80 km/h?
Solução: Nesse caso, a regra de três é inversa.
VELOCIDADE TEMPO DE VIAGEM
60km/h--------------------- 4 horas
(MAIOR) 80km/h----------------------- x horas (MENOR)
Vamos construir a proporção invertendo uma das razões. 
80km/h---------------------4 horas
60km/h-----------------------x horas
80x = 60.4
80x = 240
x = 3 horas
Regra de 3 simples – Mais exemplos
Dez operários terminam uma obra em 60 dias. Quanto tempo levarão 15 operários com a mesma capacidade de trabalho 
para terminar a mesma obra?
Solução: 
10 operários------------------60 dias
15 operários------------------ x dias
Nesse caso, a regra de três é inversa. Podemos escrever:
15 operários------------------60 dias
10 operários------------------ x dias
15x = 600
x = 600/15
x = 40 dias
Regra de 3 simples – Mais exemplos
1. Levo duas horas e meia para percorrer 15 km. Se eu tiver quer percorrer 54 km, 
quanto tempo eu levarei? 
2.Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o 
tempo necessário para enche-lo? 
3.(FEMA)Um pai resolveu dividir sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a 
divisão fosse diretamente proporcional às idades. As moças tinham 16, 18 e 21 anos e 
a quantia a ser dividida era de R$ 55.000,00. Quanto recebeu cada uma?
Regra de 3 simples – Mais exemplos
1. Levo duas horas e meia para percorrer 15 km. Se eu tiver quer percorrer 54 
km, quanto tempo eu levarei? 
2,5 --- 15Km 
x --- 54Km
As duas grandezas são diretamente proporcionais, pois aumentando a quantidade de 
km também aumentamos o tempo
15x = 2,5 . 54
15x = 135
x= 135/15 => x = 9 horas
Regra de 3 simples – Mais exemplos
2.Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o 
tempo necessário para enche-lo? 
1 --- 6 horas
3 --- x horas
As duas grandezas são inversamente proporcionais, pois quanto maior a quantidade de 
torneiras, menor o tempo para encher o tanque:
3 --- 6
1 --- x
3x = 1.6 => 3x = 6 => x = 6/3 => x=2. Logo serão necessárias 2 horas para encher o tanque
Regra de 3 simples – Mais exemplos
3.(FEMA)Um pai resolveu dividir sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a 
divisão fosse diretamente proporcional às idades. As moças tinham 16, 18 e 21 anos 
e a quantia a ser dividida era de R$ 55.000,00. Quanto recebeu cada uma?
Temos que construir as proporções:
𝒂
𝟏𝟔
=
𝒃
𝟏𝟖
=
𝒄
𝟐𝟏
=
𝒂+𝒃+𝒄
𝟏𝟔+𝟏𝟖+𝟐𝟏
=
𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟓
= 𝟏𝟎𝟎𝟎
Temos então que:
𝑎
16
= 1000 => a = 16.000 => a sobrinha de 16 anos receberá 16 mil
𝑏
18
= 1000 => b = 18.000 => a sobrinha de 18 anos receberá 18 mil
𝑐
21
= 1000 => c = 21.000 => a sobrinha de 21 anos receberá 21 mil
Regra de Três Composta
A regra é dita composta quando envolve três ou mais grandezas, sejam elas 
diretas ou inversas. O primeiro passo para resolvermos uma regra de três 
composta é organizar as grandezas em uma tabela, colocando cada grandeza 
e seus valores em suas colunas. Marcamos o valor conhecido que está na 
mesma coluna de x. O que se faz depois é identificar se as grandezas 
envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais, relacionando 
cada grandeza com a grandeza cujo valor é desconhecido (x).
Regra de Três Composta – Exemplo 1
Como exemplo vamos resolver o seguinte problema: Uma confecção costuma fazer 
250 blusas em 5 dias com 12 máquinas. A confecção recebeu um pedido para 
produzir 600 blusas para uniforme de uma empresa, mas 4 máquinas apresentaram 
defeito. Quantos dias serão necessários para atender ao pedido da empresa?
N° de dias N° de blusas N° de máquinas
5 250 12
x 600 8
Devemos começar identificando nas grandezas, quais correspondem 
ao PROCESSO e qual grandeza corresponde ao PRODUTO
Regra de Três Composta – Exemplo 1
Observe que o PRODUTO final é a quantidade de blusas enquanto o PROCESSO para 
a fabricação das blusas envolve quantidade de dias e o número de máquinas
N° de dias N° de blusas N° de máquinas
5 250 12
x 600 8
PROCESSO PRODUTO
N° DIAS N°
MAQUINAS
N° BLUSAS
5 12 
X 8
250
600
Regra de Três Composta – Exemplo 1
Para resolver o problema e encontrar o número 
de dias, vamos multiplicar cruzado, seguindo o X 
desenhado, ou seja:
8.x.250 = 5.12.600
2000 x = 36.000
x = 
36.000
2.000
= 18
Logo, são necessários 18 dias.
Regra de Três Composta – Exemplo 2
Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos 
carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
N° de homens N° de carrinhos N° de dias
8 20 5
4 x 16
Devemos começar identificando nas grandezas, quais correspondem 
ao PROCESSO e qual grandeza corresponde ao PRODUTO
Regra de Três Composta– Exemplo 2
Observe que o PRODUTO final é a quantidade de carrinhos enquanto o PROCESSO
para a fabricação das blusas envolve quantidade de dias e o número de homens
PROCESSO PRODUTO
N° HOMENS N° DIAS N° CARRINHOS
8 5 
4 16
20
X
Regra de Três Composta – Exemplo 2
Para resolver o problema e encontrar o número 
de carrinhos, vamos multiplicar cruzado, 
seguindo o X desenhado, ou seja:
8.5.x = 4.16.20
40 x = 1280
x = 
1280
40
= 32
Logo, são produzidos 32 carrinhos
Regra de Três Composta – Exemplo 3
Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 
pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para 
completar esse muro?
N° de pedreiros N° de dias Muro
2 9 2
3 x 4
Devemos começar identificando nas grandezas, quais correspondem 
ao PROCESSO e qual grandeza corresponde ao PRODUTO
Regra de Três Composta – Exemplo 3
Observe que o PRODUTO final é o muro enquanto o PROCESSO para a construção 
do muro envolve quantidade de dias e o número de pedreiros
PROCESSO PRODUTO
N° PEDREIROS N° DIAS MURO
2 9 
3 X
2
4
Regra de Três Composta – Exemplo 3
Para resolver o problema e encontrar o número 
de dias, vamos multiplicar cruzado, seguindo o X 
desenhado, ou seja:
3.x.2 = 2.9.4
6x = 72
x = 
72
6
= 12
Logo, são necessários 12 dias para completar o 
muro
Regra de Três Composta – Exemplo 4
Em uma gráfica existem 3 impressoras que funcionam ininterruptamente, 10 horas 
por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado uma das 
impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por 
dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?
N° de impressoras N° de horas N° de dias N° de folhas
3 10 4 240.000
2 x 6 480.000
Devemos começar identificando nas grandezas, quais correspondem 
ao PROCESSO e qual grandeza corresponde ao PRODUTO
Regra de Três Composta – Exemplo 4
Observe que o PRODUTO final é o número de folhas enquanto o PROCESSO para a 
impressão das folhas envolve a quantidade de impressoras, o número de dias e horas
PROCESSO PRODUTO
N° impressoras N° horas N° dias N° folhas
3 10 4 
2 x 6
240.000
480.000
Regra de Três Composta – Exemplo 4
Para resolver o problema e encontrar o número 
de horas, vamos multiplicar cruzado, seguindo o 
X desenhado, ou seja:
2.x.6.240000 = 3.10.4.480000
2.880.000x = 57.600.000
x = 
57.600.000
2.880.000
= 20
Logo, são 20 horas
	Slide 1: Matemática Empresarial 
	Slide 2: Objetivos da Aula
	Slide 3: Situação Problema 1
	Slide 4: Situação Problema 2
	Slide 5: Regra de 3 simples
	Slide 6: Regra de 3 simples
	Slide 7: Regra de 3 simples
	Slide 8: Regra de 3 simples – Mais exemplos
	Slide 9: Regra de 3 simples – Mais exemplos
	Slide 10: Regra de 3 simples – Mais exemplos
	Slide 11: Regra de 3 simples – Mais exemplos
	Slide 12: Regra de 3 simples – Mais exemplos
	Slide 13: Regra de 3 simples – Mais exemplos
	Slide 14: Regra de 3 simples – Mais exemplos
	Slide 15: Regra de Três Composta
	Slide 16: Regra de Três Composta – Exemplo 1
	Slide 17: Regra de Três Composta – Exemplo 1
	Slide 18: Regra de Três Composta – Exemplo 1
	Slide 19: Regra de Três Composta – Exemplo 2
	Slide 20: Regra de Três Composta – Exemplo 2
	Slide 21: Regra de Três Composta – Exemplo 2
	Slide 22: Regra de Três Composta – Exemplo 3
	Slide 23: Regra de Três Composta – Exemplo 3
	Slide 24: Regra de Três Composta – Exemplo 3
	Slide 25: Regra de Três Composta – Exemplo 4
	Slide 26: Regra de Três Composta – Exemplo 4
	Slide 27: Regra de Três Composta – Exemplo 4