CAMPOS CONCEITUAIS

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CAMPOS CONCEITUAIS 
O CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS ADITIVAS 
Quando se propõe um trabalho com a Teoria dos Campos Conceituais no ambiente em que se ensina, são dois os 
importantes campos conceituais que devem ser considerados, sendo eles o campo conceitual das estruturas 
aditivas e o campo conceitual das estruturas multiplicativas. Porém, conforme aquilo que foi colocado na 
introdução da presente dissertação, ao se demonstrar interesse pela análise das estratégias de resolução 
empregadas pelas crianças quando essas são colocadas diante da resolução de problemas correspondentes às 
operações de adição e de subtração e às relações que podem ser estabelecidas entre elas, dá-se ênfase, no texto 
que segue, somente ao primeiro campo conceitual citado. O estudo acerca do campo conceitual das estruturas 
multiplicativas é deixado para estudos posteriores. 
Desse modo, antes de iniciar o estudo que aqui se pretende fazer acerca do campo conceitual das estruturas 
aditivas, é importante que fique claro que “[...] embora as operações de soma e subtração sejam distintas, elas 
estão relacionadas a uma mesma estrutura de raciocínio [...]” (NUNES et. al., 2009, p. 50) a qual se denomina 
“raciocínio aditivo”. 
De modo geral, ao se referenciar o estudo do campo conceitual das estruturas aditivas proposto pela teoria do 
professor e pesquisador francês Gérard Vergnaud, quando as crianças são colocadas diante da resolução de 
problemas que envolvem as operações de adição e de subtração ou que envolvem uma combinação dessas duas 
operações, além de o campo conceitual ser construído por elas durante o processo de resolução de cada um dos 
problemas propostos, muitos outros são os conceitos matemáticos que podem ser desenvolvidos no decorrer das 
atividades. Porém, além do fato de a teoria dos campos conceituais abranger inúmeras significações e relações com 
outros conteúdos matemáticos, é fundamental considerar que “[...] as crianças normalmente constroem um campo 
conceitual pela experiência na vida diária e na escola.” (MAGINA et. al., 2008, p. 22). Isto significa que, ao propor 
problemas relacionados ao campo conceitual aditivo, faz-se necessário considerar também aquilo que a criança já 
sabe, ou seja, é preciso dar importância à bagagem de conhecimento que ela já tem e que é levada à escola. Assim, 
ao trabalhar com o campo conceitual das estruturas aditivas proposto por Vergnaud, possibilita-se à criança 
aprender noções até então desconhecidas e compreender melhor as noções que já possui, desenvolvendo 
competências e habilidades matemáticas e, também, novas concepções e entendimentos sobre aquilo que está 
sendo estudado. 
Além disso, para que se consiga trabalhar com esse campo conceitual no espaço de ensino, faz-se imprescindível, 
primeiramente, entender o que são problemas aditivos e, também, o que são as estruturas aditivas. Por 
“problemas de tipo aditivo”, estamos entendendo todos aqueles cuja solução exige tão somente adições ou 
subtrações, do mesmo modo pelo qual entendemos por “estruturas aditivas” as estruturas em que as relações em 
jogo são formadas exclusivamente por adições ou subtrações. (VERGNAUD, 2014, p 197). 
Magina et. al. (2008) colocam que os problemas de tipo aditivo abrangem diversos conceitos distintos que 
correspondem ao campo conceitual das estruturas aditivas, a saber: o conceito de medidas, o conceito de adição, 
o conceito de subtração, o conceito de transformação de tempo, as relações de comparação e a composição de 
quantidades. Assim, tem-se que, “Para dominar as estruturas aditivas, o aluno precisa ser capaz de resolver diversos 
tipos de situações-problema.” (ibid., p. 19). Ou seja, para que o aluno, ao final do trabalho com problemas de tipo 
aditivo, consiga ter domínio do campo conceitual, é necessário que esse aluno entenda todos os conceitos que se 
apresentam por trás desse campo, uma vez que é importante que consiga aplicá-los nos mais variados tipos de 
problemas. 
Além disso, antes de iniciar o trabalho com cada um dos tipos de problemas aditivos existentes, é importante que 
as definições do conceito denominado de cálculo numérico e, também, do conceito que se conhece por cálculo 
relacional sejam apresentadas, visto que estes são os recursos utilizados de modo a possibilitar a resolução das 
situações aditivas. Assim, tem-se que os chamados cálculos numéricos se referem às operações habituais de adição 
e subtração. Por outro lado, o cálculo relacional corresponde às operações do pensamento, ou seja, são as ações 
fundamentais que devem ser executadas de modo que se consiga manusear todas as relações que se apresentam 
durante a resolução de cada uma das situações (MAGINA et. al., 2008). 
Logo, de modo que fique claro ao leitor cada um dos conceitos definidos no parágrafo acima, elaborou-se como 
exemplo um quadro em que é apresentado um problema aditivo com sua respectiva resolução e em que são 
distinguidos o cálculo relacional e o cálculo numérico referente a ele. 
Quadro 1 – Cálculo Numérico x Cálculo Relacional 
Problema Diagrama e cálculo relacional Cálculo numérico 
Fabíola tinha dois reais em seu cofrinho e ganhou de sua mãe oito reais. Quanto ela tem agora dentro do cofre? 
2 
Aplicar uma transformação positiva direta ao estado inicial 
ADIÇÃO 2 + 8 = 10 
Fonte: elaborado pela autora (2015) 
Além disso, para que seja possível trabalhar com os problemas de tipo aditivo de maneira efetiva, faz-se 
imprescindível, ainda, destacar alguns códigos elaborados por Vergnaud em sua teoria. Esses códigos, também 
utilizados no presente trabalho, representam os esquemas empregados nos cálculos relacionais correspondentes 
a cada uma das categorias de problemas existentes dentro do campo conceitual das estruturas aditivas. Ou seja, 
são os esquemas que condizem à resolução dos diferentes tipos de problemas aditivos, sendo estes abordados na 
sequência. 
+8 
Quadro 2 – Códigos utilizados nos diversos esquemas 
o retângulo representa um número natural, o círculo representa um número relativo, a chave vertical representa a 
composição de elementos de mesma natureza a chave horizontal representa a composição de elementos de mesma 
natureza a flecha horizontal representa uma transformação ou uma relação, quer dizer, a composição de elementos 
de natureza diferente a flecha vertical representa uma transformação ou uma relação, quer dizer, a composição de 
elementos de natureza diferente 
Fonte: Vergnaud (2014, p. 201) 
Assim, com relação aos tipos de problemas existentes, no momento em que o trabalho com o campo conceitual 
das estruturas aditivas é proposto, são três os grupos de problemas que precisam ser considerados. Estes 
problemas, classificados de acordo com suas características, são denominados de problemas de composição, 
problemas de transformação e problemas de comparação. 
Logo, como primeiro grupo de problemas têm-se as situações nomeadas de composição, correspondentes àqueles 
problemas que envolvem as relações estabelecidas entre a parte e o todo. Ou seja, “a classe de problemas de 
composição compreende as situações que envolvem [...] juntar uma parte com outra parte para obter o todo, ou 
subtrair uma parte do todo para obter a outra parte.” (MAGINA et. al., 2008, p. 25, grifo das autoras). Assim, tem- 
se que, de acordo com as autoras, a ideia central que se encontra por trás dos problemas de composição é a de 
juntar partes, sendo que os valores de cada uma das partes com as quais se vão operar já estão determinados 
(ibid.). Para demonstrar isso, de modo que fique claro ao leitor o tipo de problema com o qual se está trabalhando, 
abaixo é apresentado um protótipo de diagrama, correspondente ao cálculo relacional, que pode ser empregado 
na resolução de problemas de composição. 
Figura 2 – Modelo de Cálculo Relacional para Problemas de Composição 
Fonte: elaborado pela autora (2015) 
Com relação ao segundo grupo de problemas do tipo aditivo, referenciandoo que é abordado por Magina et. al. 
(2008), pode-se colocar que “a classe dos problemas de 
transformação é aquela que [...] no estado inicial tem-se uma quantidade que se transforma 
(com perda/ganho; acréscimo/decréscimo; etc.), chegando ao estado final com outra quantidade.” (ibid., p. 26, 
grifo das autoras), ou seja, situações que envolvem uma transformação tratam-se “[...] de situações em que a ideia 
temporal está sempre envolvida [...]” (ibid., p. 26). Assim, no que segue, apresenta-se o diagrama que pode ser 
utilizado na resolução de problemas de transformação. 
Figura 3 – Modelo de Cálculo Relacional para Problemas de Transformação 
Fonte: elaborado pela autora (2015) 
Por fim, concluindo a apresentação de cada um dos três grupos de problemas de tipo aditivo, têm-se aqueles que 
são denominados de problemas de comparação que, como o próprio nome destaca, tratam de situações em que 
se realiza uma comparação entre duas quantidades, sendo estas denominadas de referente e referido (MAGINA et. 
al., 2008), e que possuem, como possibilidade de resolução, o cálculo relacional apresentado pelo diagrama abaixo. 
Todo Parte 
Parte 
Estado inicial Estado final Operação 
Figura 4 – Modelo de Cálculo Relacional para Problemas de Comparação 
Fonte: elaborado pela autora (2015) 
Além disso, considerando que as relações aditivas são relações ternárias, uma vez que são definidas por Vegnaud 
(2014) como relações que estabelecem ligações de três elementos entre si que podem ser articuladas de maneiras 
distintas gerando, como resultado, uma ampla diversidade de estruturas aditivas, o autor estabelece ainda a 
existência de seis grandes categorias de relações aditivas. Essas relações, também consideradas seis esquemas 
ternários fundamentais para o estudo do campo conceitual das estruturas aditivas, referem-se a diferentes níveis 
de dificuldade, imprescindíveis para a criação de habilidades e competências matemáticas. Desse modo, baseando-
se no que foi colocado no início deste parágrafo, destacam-se, no que segue, as seis categorias de relações aditivas 
existentes. 
 Primeira categoria: tomando-se dois elementos eles se compõem fornecendo, ao final, como resultado, um 
terceiro elemento. 
Além disso, nesta primeira categoria de relação aditiva, dois são os casos possíveis de problemas que devem ser 
considerados. 
1. Conhecendo-se dois elementos, correspondentes às partes do problema, encontrar a composição, 
correspondente ao todo. 
Figura 5 – Cálculo relacional referente ao primeiro caso da primeira categoria 
Fonte: elaborado pela autora (2015) Operação Referido Referente Relação X Y ? 
Esse primeiro caso da primeira categoria de relação aditiva, conhecido por aquilo que se denomina de juntar as 
partes para achar o todo, pode ser nomeado também, de acordo com aquilo que é posto por Magina et. al. (2008), 
de protótipo 1 de adição pelo fato de a situação abordada estar “[...] relacionada com as primeiras experiências da 
criança com a operação de adição, as quais acontecem dentro do seu cotidiano e bem antes de ela iniciar a 1ª série 
do Ensino Fundamental.” (ibid., p. 30). 
2. Conhecendo-se um dos elementos, correspondente a uma das partes, e a composição, correspondente ao todo, 
encontrar o outro elemento, correspondente à outra parte. 
Figura 6 – Cálculo relacional referente ao segundo caso da primeira categoria 
Fonte: elaborado pela autora (2015) 
Assim, finalizando a descrição da primeira categoria de relação aditiva, referenciando as palavras de Magina et. al. 
(2008), tem-se que o segundo caso, acima destacado, pode ser denominado, também, de problema de 1ª extensão 
da composição. 
 Segunda categoria: conhecendo-se um dos elementos, este é submetido a uma transformação gerando, ao final, 
como resultado, outro elemento. 
Figura 7 – Cálculo reacional referente à segunda categoria 
Fonte: elaborado pela autora (2015) 
Nesta segunda categoria de relação aditiva, são três os possíveis casos de problemas que devem ser considerados. 
? Z X ? Z Y X Y Z 
1. Conhecendo-se os dois elementos do problema com o qual se está trabalhando, correspondentes, 
respectivamente, aos estados inicial e final, determinar a transformação, podendo ser esta positiva ou negativa; 
2. Conhecendo-se o primeiro elemento, correspondente ao estado inicial do problema com o qual se está 
trabalhando, e a transformação, determinar o segundo elemento, correspondente ao estado final; 
3. Conhecendo-se o segundo elemento, correspondente ao estado final do problema com o qual se está 
trabalhando, e a transformação, determinar o primeiro elemento, correspondente ao estado inicial. 
Analisando os três casos possíveis de problemas anteriormente citados, ao trabalhar, mais especificamente com o 
primeiro caso de problemas dessa segunda categoria de relação aditiva, tem-se que este caso, segundo Magina et. 
al. (2008), pode ser denominado de problemas de 1ª extensão da transformação. Além disso, ainda no que se refere 
a esse primeiro tipo de problema, as autoras enfatizam também que no momento em que os professores os 
propõem aos seus alunos é importante que eles tenham cuidado para, na elaboração dos seus enunciados, não 
apresentar nenhuma palavra que indique ao aluno qual a operação que ele deve efetuar para que os problemas 
sejam resolvidos. Ou seja, é imprescindível que as “dicas” nos enunciados sejam evitadas uma vez que “[...] as dicas 
podem tanto facilitar quanto dificultar a resolução do problema.” (MAGINA et. al., 2008, p. 35). 
Por outro lado, os problemas abordados no segundo caso da segunda categoria de relação aditiva são denominados 
de problemas protótipos. Além disso, de acordo com Magina et. al. (2008), é importante destacar que nesses tipos 
de problemas as transformações empregadas podem ser tanto positivas, quando estiverem relacionadas a ganhos, 
quanto negativas, quando estiverem relacionadas a perdas. Isto é, “[...] a associação de “ganho” com a operação 
de adição e de “perda” com a de subtração, além da situação de juntar partes, constituem as primeiras 
representações que as crianças formam sobre essas operações. São, portanto, protótipos para elas [...]” (MAGINA 
et. al., 2008, p. 32). 
Por fim, os problemas correspondentes ao terceiro caso citado anteriormente são denominados pelas autoras de 
problemas de 4ª extensão da transformação. 
 Terceira categoria: têm-se dois elementos que se apresentam associados a partir do estabelecimento de uma 
relação. 
Figura 8 – Cálculo relacional referente à terceira categoria 
Fonte: elaborado pela autora (2015) 
No que se refere a esta terceira categoria de relação aditiva, as autoras Magina et. al. (2008) destacam a existência, 
dentro desta, de três tipos de problemas. Uma vez que a terceira categoria é nomeada pelas autoras de problemas 
de comparação, tem-se que os problemas correspondentes a ela são nomeados de problemas de 2ª extensão da 
comparação, problemas de 3ª extensão da comparação e, por último, problemas de 4ª extensão da comparação. 
Desse modo, a partir da denominação dos elementos X e Y destacados no diagrama acima de “referente” e 
“referido”, respectivamente, descreve-se cada um dos tipos de problemas citados como: 
1. Problemas de 2ª extensão da comparação: problemas em que, conhecendo-se o referente e a relação 
estabelecida entre os elementos, pede-se que o referido seja determinado; 2. Problemas de 3ª extensão da 
comparação: problemas em que se conhecem o referente e o referido e se desconhece a relação estabelecida entre 
eles; 
3. Problemas de 4ª extensão da comparação: problemas que, conhecendo-se a relação estabelecida entre os 
elementos e o referido, solicitam que o referente seja determinado. 
 Quarta categoria: têm-se duas transformações que se compõem fornecendo, ao final, como resultado, uma 
terceira transformação. 
Figura 9 – Cálculo relacional referente à quarta categoria 
Fonte: elaborado pela autora (2015) X 
Y ?X Y 
Nesta quarta categoria de relação aditiva, dois são os possíveis casos de problemas que devem ser destacados. 
1. Conhecendo-se os valores correspondentes às duas transformações que fazem parte do problema, encontrar o 
valor da composição. 
Além disso, considerando aquilo que é posto por Magina et. al. (2008), a quarta categoria de problemas de relação 
aditiva pode ser denominada também de composição de transformação. Desse modo, tem-se que os problemas 
abordados por esta categoria são do tipo problemas mistos os quais serão novamente mencionados nos parágrafos 
finais da presente seção. 
 Quinta categoria: tem-se um estado relativo (uma relação) que, quando submetido a uma transformação, 
fornece, ao final, como resultado, um novo estado relativo. 
Figura 10 – Cálculo relacional referente à quinta categoria 
Fonte: elaborado pela autora (2015) 
 Sexta categoria: têm-se dois estados relativos (relações) que, ao se comporem, geram, ao final, como resultado, 
um terceiro estado relativo. 
Figura 11 – Cálculo relacional referente à sexta categoria 
Fonte: elaborado pela autora (2015) 
Assim, considerando tudo o que foi destacado até o momento com relação às seis categorias de problemas de 
relação aditiva propostas por Vergnaud (2014), é importante que se comente também que as duas últimas 
categorias de problemas acima mencionadas não são estudadas por Magina et. al. (2008). 
Logo, de modo a concluir a discussão acerca da Teoria dos Campos Conceituais e considerando a perspectiva 
abordada por Magina et. al. (2008), apresenta-se, no que segue, um quadro que fornece o resumo de cada um dos 
cálculos relacionais correspondentes a cada um dos tipos de situações-problemas anteriormente elencados e com 
os quais as autoras trabalham. X Z ? X Y ? 
Adiç 
ão 
Subtr 
aç 
ão 
Por fim, conforme o que foi posto ao final da descrição da quarta categoria de problemas de relação aditiva, faz-se 
imprescindível mencionar que existem também os chamados problemas mistos. Tomando-se como referência o 
que é colocado por Magina et. al. (2008, p. 52), chamam-se problemas mistos aqueles problemas que “[...] estarão 
envolvendo mais de um raciocínio aditivo numa mesma situação.”. Ou seja, diferentemente dos problemas em que 
se trabalha com um único raciocínio aditivo, os denominados problemas mistos são problemas em que se aplicam 
dois raciocínios aditivos simultaneamente. 
Além disso, esses problemas, classificados pelas autoras como problemas de composição de transformações 
(problemas que condizem à quarta categoria de relações aditivas de Vergnaud (2014), descrita nos parágrafos 
acima), problemas de transformação de composição e problemas de comparação com composição de 
transformação, exigem conhecimentos matemáticos de maior complexidade e operações de pensamento e cálculos 
relacionais mais elaborados. Desse modo, tem-se que na pesquisa aqui delineada não se deu ênfase a nenhuma 
das três classificações de problemas mistos, uma vez que os conhecimentos matemáticos que se encontram por 
trás destes são desenvolvidos somente em anos posteriores aos cinco anos iniciais do Ensino Fundamental. 
Assim, destaca-se que na presente pesquisa se trabalhou somente com os problemas de composição, deixando-se 
a abordagem dos chamados problemas mistos, bem como dos problemas de transformação e dos problemas de 
comparação como sugestão de tema para uma nova pesquisa em que estes sejam objetos dessa investigação 
futura. 
PRENDIZAGEM MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES DE RAYMOND DUVAL 
2.3.1 Estrutura Multiplicativa sob a ótica de Gérard Vergnaud 
2.3.1.2 Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas 
Conforme já mencionado (seção 2.1), o raciocínio proporcional e o conceito de proporcionalidade fazem parte do 
campo conceitual das estruturas multiplicativas. Em outras palavras, a natureza deste raciocínio e deste conceito é 
multiplicativa. 
Vergnaud (1993, p. 10) define o campo conceitual das estruturas multiplicativas ou apenas campo das estruturas 
multiplicativas como sendo, ao mesmo tempo, 
[...] o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias multiplicações ou divisões, e o conjunto dos 
conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações: proporção simples e proporção múltipla, função linear 
e n-linear, razão escalar direta e inversa, quociente e produto de dimensões, combinação linear e aplicação linear, 
fração, razão, número racional, múltiplo e divisor, etc. 
A formação dos conceitos e o desenvolvimento dos raciocínios pertencentes ao campo das estrutura multiplicativa 
exigem a transição das estruturas aditivas47 para as multiplicativas e esta passagem nem sempre é natural para os 
estudantes (GITIRANA et al., 2014; LAMON, 2007, 2008; NEHRING, 1996; OLIVEIRA, 2000, 2009a, SILVESTRE, 2012; 
VERGNAUD, 1993, 1996, 2009a). Por isso, é preciso propor situações que permitam explicitar não só as filiações, 
mas as rupturas que existem entre essas duas estruturas. 
Conforme Gitirana et al. (2014), entre as operações de multiplicação e adição há uma continuidade em termos de 
estrutura, mas no que se refere aos significados existe uma descontinuidade. Trabalhar a multiplicação como a 
soma de parcelas iguais pode gerar problemas, por exemplo, na compreensão da propriedade comutativa da 
multiplicação. 
Nunes (2010)48 afirma que o raciocínio aditivo e o multiplicativo tem origens diferentes. O raciocínio aditivo 
envolve as ações de juntar, separar e colocar em correspondência um a um. Já o raciocínio multiplicativo envolve 
as ações de distribuir, dividir e colocar em correspondência um a muitos. Assim, o raciocínio da criança nas 
situações multiplicativas não é de uma ação repetida. O conceito de multiplicação também não é de adição 
repetida, o cálculo pode ser feito por adição repetida de parcelas, mas o conceito é caracterizado por duas 
variáveis numa relação fixa, uma com a outra. 
Ao abordar o campo das estruturas multiplicativas, Vergnaud (2009) sublinha que podem ser distinguidas duas 
categorias de relações, a saber: ternárias e quaternárias. A mais importante é a relação quaternária, pois “forma o 
tecido da grande maioria dos problemas multiplicativos” (p.239) e não a relação ternária. Contudo, no ensino, 
geralmente, se trabalha todos os problemas do campo das estruturas multiplicativas como se envolvesse uma 
relação ternária, o que torna problemático o desenvolvimento do raciocínio proporcional, visto que este depende 
da compreensão e da capacidade de utilização destas estruturas. 
É relevante conceituar essas duas relações que comportam uma multiplicação e/ou divisão. De acordo com 
Vergnaud (2009a, p. 71) as relações quaternárias possuem a seguinte forma: “‘𝑎 está para 𝑏 assim como 𝑐 está para 
𝑑’, [reafirmando] que a relação entre 𝑎 e 𝑏 é a mesma que a relação entre 𝑐 e 𝑑”. Em relação as relações ternárias, 
estas conectam três variáveis entre si, ou seja, 𝑎 × 𝑏 = 𝑐, estas são variáveis de mesma espécie. 
Os problemas do campo das estruturas multiplicativas, pertencem a três grupos: i) isomorfismo de medidas; ii) 
produto de medidas; e iii) proporções múltiplas. O isomorfismo de medidas refere-se a relação quaternária entre 
quatro quantidades, de naturezas distintas duas as duas. O eixo produto de medidas ou comparação múltipla trata 
da composição cartesiana de duas quantidades de mesma natureza para determinar uma terceira, o que requer 
uma relação terciária. Já o eixo proporções múltiplas, também, refere-se a relações quaternárias, em que há mais 
de duas quantidades relacionadas duas a duas. (VERGNAUD, 2009a). 
Diante desse contexto, para aprofundar os entendimentos acerca do campo das estruturas multiplicativas, recorre-
se ao esquema (Figura 13) elaborado pelos pesquisadores Magina, Merlini e Santos (2011), fundamentados nas 
ideias de Vergnaud (2009a) e Nunes et al. (2009). Entende-se que esse modelo sintetiza os diferentes conjuntos de 
situações desse campo,bem como, contribui para as pesquisas no que tange a categorização das situações e para 
as escolhas didáticas dos professores. 
No esquema, verifica-se as duas relações que abrangem as situações multiplicativas, destacadas por Vergnaud 
(2009a): quaternárias e terciárias. As relações quaternárias são constituídas por dois eixos: proporção simples e 
proporção múltipla e nas terciárias destaca-se os eixos: comparação multiplicativa e produto de medidas. 
Como o foco desta pesquisa é o raciocínio proporcional e a proporcionalidade descreve- se com maiores detalhes 
as relações quaternárias, evidenciando seus dois eixos (proporção simples e múltipla). Quanto as relações 
terciárias49, destaca-se apenas o eixo comparação multiplicativa, pois esta envolve o conceito de razão, essencial 
para o desenvolvimento do raciocínio proporcional. 
Figura 13: Esquema do Campo Conceitual Multiplicativo 
Fonte: Organizado com base em Magina, Merlini, Santos (2011, p. 6) 
O eixo proporção simples envolve uma relação entre quatro quantidades, de naturezas distintas duas a duas. Este 
eixo pode ser subdividido em duas classes de situações: um para muitos e muitos para muitos. E, estas classes de 
situações podem envolver variáveis discretas ou contínuas. Na classe um para muitos, pode-se ter três situações 
que requerem níveis de complexidade diferentes, a saber: multiplicação, divisão partitiva e divisão quotitiva. 
(MAGINA; MERLINI; SANTOS; 2011; SILVESTRE, 2012). O formato das situações da classe um para muitos é 
apresentado no Quadro 2. 
Quadro 2: Situações da Classe Um para Muitos 
Nas situações de multiplicação, a quantidade que se relaciona à unidade é dada (1 → 𝑎) e busca-se determinar o 
valor correspondente a segunda variável de mesma espécie (𝑏 → 𝑥). Estas situações e as demais do eixo proporção 
simples podem ser resolvidas, conforme Vergnaud (2009a), por meio de duas estratégias de análise: escalar e 
funcional. A análise escalar centra-se “na noção de operador-escalar (sem dimensão), ela permite passar à outra 
em uma mesma categoria de medidas” (VERGNAUD, 2009a, p. 247). A análise funcional envolve “a noção 𝑓 de 
operador-função que permite passar de uma categoria à outra” (VERGNAUD, 2009a, p. 251). 
Para ilustrar as situações de multiplicação, apresenta-se o seguinte exemplo: Uma embalagem contém 5 figuras. 
José possui 4 embalagens, quantas figuras ele possui? Pode-se resolver esta situação por meio da adição repetida 
(5 + 5 + 5 + 5 = 20), um esquema do campo das estruturas aditivas. Destaca-se que, se o intuito é abordar conceitos 
das estruturas multiplicativas, torna-se importante propor situações que permitam estabelecer rupturas com as 
estruturas aditivas, visto que o raciocínio multiplicativo é diferente, mais amplo e complexo que o aditivo (NUNES, 
2010). 
Considerando que essa situação pertence ao campo das estruturas multiplicativas, pode- se mobilizar a análise 
escalar ou a funcional. Se a escolha for pela análise escalar (Figura 14), verifica-se que 1 e 4 são números que 
designam a mesma medida (quantidade de embalagens), 5 e 𝑥 (na figura representada pelo símbolo ?) são números 
que, também, representam a mesma medida (quantidade de figuras). Os operadores verticais × 4 não tem 
dimensões (escalares), pois as quantidades são implicadas conforme a grandeza que representa, neste caso, 
(embalagens/embalagens ou figuras/figuras), permitindo passar de uma linha a outra na mesma categoria de 
medidas. 
Figura 14: Exemplo situações um para muitos – multiplicação – Análise Escalar 
Fonte: Elaborada pela autora com base em Vergnaud (2009a) 
Caso a análise funcional seja escolhida (Figura 15), realiza-se a passagem de uma categoria de medida à outra, ou 
seja, o número de figuras é igual a taxa (5 - número de figuras 
por embalagens) multiplicado pelo número de embalagens. Em outras palavras, utilizar a análise funcional significa 
identificar a relação entre as variáveis de naturezas diferentes (constante de proporcionalidade), utilizando a 
relação de proporcionalidade (𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 em que 𝑘 é uma constante ou taxa). 
Figura 15: Exemplo situações um para muitos – multiplicação – Análise Funcional 
Fonte: Elaborada pela autora com base em Vergnaud (2009a) 
A Figura 16 expõe a representação auxiliar de transição, sugerida por Duval (2011, 2012) para a resolução de 
problemas multiplicativos. Para a situação, apresentada acima, a representação tabular permite colocar os dados 
da situação em correspondência um para muitos e verificar a relação fixa entre as duas variáveis (embalagens e 
figurinhas). Contudo, essas análises (escalar e funcional) e representações auxiliares de transição, geralmente, não 
são utilizadas por estudantes da Educação Básica (DUVAL, 2011; GITIRANA et al., 2014; SANTOS, 2012; SILVESTRE, 
2012; VERGNAUD, 2009a). Talvez por não serem incentivadas e/ou abordadas nos materiais curriculares ou porque 
ainda há uma ênfase para o entendimento da multiplicação como a soma de parcelas iguais. 
Figura 16: Representação Auxiliar de Transição 
Fonte: Elaborada pela autora com base em Vergnaud (2009a) 
As situações de divisão são classificadas em dois modelos, a saber: partitiva (partilha equitativa) e quotitiva 
(medida). A divisão partitiva refere-se ao ato de dividir quantidades de naturezas diferentes. Nestas situações, o 
intuito é determinar o valor unitário 𝑓(1). Estas situações são, geralmente, exploradas com maior ênfase na escola 
do que as envolvendo divisão quotitiva (GITIRANA et al., 2014). Exemplificando as situações de divisão partitiva: 
Quatro embalagens iguais contêm 20 figuras. Quantas figuras há em cada embalagem? Se a estratégia escolhida 
for a análise escalar, constata-se que para passar de uma linha a outra (Figura 17) na mesma categoria de medida 
é preciso dividir por 4, neste caso, o número 4 não tem mais dimensão (operador-escalar). 
Figura 17: Exemplo situações um para muitos – divisão partitiva – Análise Escalar 
Fonte: Elaborada pela autora com base em Vergnaud (2009a) 
Se for utilizada a estratégia funcional (Figura 18), verifica-se que o número de figuras por embalagem é 5 (taxa). Na 
representação algébrica a situação é dada por: 𝑓(𝑥) = 5𝑥, em que 𝑓(𝑥) representa o número total de figuras e 𝑥 a 
quantidade de embalagens (𝑓: ℕ → ℕ). 
Figura 18: Exemplo situações um para muitos – divisão partitiva – Análise Funcional 
Fonte: Elaborada pela autora com base em Vergnaud (2009a) 
Correa e Spinillo (2004, p. 110) chamam a atenção para as situações envolvendo divisão partitiva (distribuição) 
porque a resolução pode ser feita recorrendo a um 
[...] raciocínio aditivo em que vai acrescentando mais um elemento a cada rodada até que não haja mais elementos 
para uma nova distribuição. No entanto, dividir, como 
uma operação multiplicativa, implica que a criança possa também prestar atenção às relações entre as quantidades 
em jogo. Implica, em outras palavras, poder estabelecer relações de covariação entre os termos envolvidos na 
operação. 
Verifica-se na citação acima que é importante pensar sobre as relações de covariação, variação entre medidas do 
mesmo espaço, bem como sobre a invariância, variação entre medidas de espaços diferentes, para compreender a 
divisão como operação multiplicativa. Em outros termos, tem-se duas variáveis e uma relação fixa. 
Em relação à divisão quotitiva, esta refere-se ao processo de dividir quantidades de mesma natureza. Em tais 
situações, o objetivo é determinar o valor de 𝑥, conhecendo 𝑓(𝑥) e 𝑓(1). Por exemplo, “Uma embalagem contém 
15 figuras. Quantas embalagens acondicionam 
75 figuras?”. A figura 19 mostra resolução por meio da estratégia escalar. 
Figura 19: Exemplo situações um para muitos – divisão quotitiva – Análise Escalar 
Fonte: Elaborada pela autora com base em Vergnaud (2009a) 
Segundo Gitirana et al. (2014, p. 62), nas situações de divisão quotitiva os estudantes não entendem, por exemplo, 
comodividir 75 figuras por 15 figuras, resulta em 5 embalagens. O número de embalagens é compreendido pelo 
estudante como uma nova grandeza, principalmente, quando a resolução evidencia o cálculo numérico. Neste 
sentido, “o uso da razão já não é mais tão simples, pois ela terá que ser identificada pelos estudantes sem o valor 
da unidade”. Talvez, a identificação da relação entre as variáveis de naturezas diferentes (análise funcional) seja a 
estratégia que melhor justifique a variável embalagens na solução da situação (Figura 20), pois são: 75 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠 ÷ 
15 ( 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠 
Figura 20: Exemplo situações um para muitos – divisão quotitiva – Análise Funcional 
Fonte: Elaborada pela autora com base em Vergnaud (2009a) 
Assim, ao utilizar as análises escalar ou funcional para resolver situações da classe um 
para muitos pode-se identificar dois teoremas-em-ato essenciais à compreensão da 
proporcionalidade: preservação da razão – se o número de figuras quadriplica o número de embalagens também (a 
razão é sempre mantida), cujo teorema matemático é dado por: 𝑓(𝑛𝑥) = 𝑛𝑓(𝑥), ∀ 𝑛, 𝑥 𝜖 ℝ ; taxa – o número de 
figuras é igual a taxa (número de figuras por embalagem) multiplicado pelo número de embalagens (propriedade 
linear da proporcionalidade), cujo teorema matemático é dado por: 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥, em que 𝑘 é a taxa. Essas análises 
permitem evidenciar o raciocínio proporcional envolvido na resolução das situações um para muitos, assim como a 
proporcionalidade como função. 
Na classe muitos para muitos (quarta proporcional - Figura 21) tem-se os problemas que na escola, geralmente, são 
resolvidos somente pela “regra de três”. Nestas situações, o valor da unidade é desconhecido, ou seja, o valor 
correspondente a taxa está implícito. 
Figura 21: Situações da Classe Muitos para Muitos 
Fonte: Elaborada pela autora com base em Silvestre (2012) 
O exemplo (Figura 22) mostra uma situação da classe muitos para muitos e resolução pelas análises escalar e 
funcional. Na resolução apresentada a esquerda há um operador escalar que transforma as quantidades do mesmo 
tipo. Já a resolução a direita utiliza a relação linear funcional entre os elementos correspondentes dos espaços de 
medidas. 
Figura 22: Exemplo situações muitos para muitos 
3 novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários 8 para fazer um pulôver. Qual vai ser o peso do pulôver? 
Fonte: Adaptado de Vergnaud (2009a, p. 240) 
Para resolver essa situação por meio da análise escalar o estudante pode buscar o valor correspondente a unidade 
(se 3 novelos correspondem a 200 g, então 1 novelo corresponde a 𝑥 g) e assim trabalharia com um escalar inteiro 
ou determinaria o número racional que permite solucionar a situação (que é a aplicação sucessiva de dois 
operadores ÷ 3 e × 8). Na análise funcional o operador 𝑓 desta situação é dado por 200 𝑔 3 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑙𝑜𝑠. Segundo 
Vergnaud (2009a, p. 252) a “análise dessa correspondência em termos de função é, [...], muito mais delicada porque 
implica não somente a noção de relação numérica, mas também aquela de quociente de dimensões (no caso, 
gramas/novelos)”. 
Acredita-se que as dificuldades sublinhadas por Vergnaud (2009a) na utilização da análise funcional estão 
relacionadas, em especial, a identificação das estruturas centrais do conceito de função, a saber: variável, 
correspondência, dependência, regularidade e generalização (CARAÇA, 2003), imprescindíveis ao conceito de 
proporcionalidade, visto que este está presente no pensamento multiplicativo implícita ou explicitamente e faz 
parte do campo conceitual das funções. 
Para Pavan (2010) o conceito de multiplicação se constrói e ao mesmo tempo serve de apoio ao desenvolvimento 
das ideias básicas do conceito de função. Compreende-se que as concepções de Pavan (2010) são relevantes mas, 
para tanto, o pensamento funcional deveria ser abordado desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental e as 
situações propostas estariam voltadas para o tipo de variação e dependência das variáveis envolvidas, 
principalmente, nas situações proporcionais. Além disso, o trabalho com as representações auxiliares de 
transição, evidenciado por Duval (2011, 2012), por exemplo, tabular precisa ser intensificado, visto a importância 
destas representações para a compreensão dos enunciados dos problemas multiplicativos. 
A operação cognitiva, colocar em correspondência, indicada por Duval (2011, 2012) como uma das atividades mais 
importantes da Matemática, também é destacada por Correa e Spinillo (2009) como fundamental para solucionar 
problemas de natureza multiplicativa porque está relacionada as estratégias intuitivas utilizadas pelos sujeitos 
aprendizes na resolução das situações. 
Ressalta-se que na maioria das vezes as situações da classe muitos para muitos são trabalhadas apenas a partir do 
7º ano. Contudo, pesquisadores (MERLINI, 2012; NUNES, 2010; OLIVEIRA, 2000, 2009; SANTOS, 2012) mostraram 
que estudantes de anos inferiores conseguem resolver, com sucesso, estes problemas sem recorrer a algoritmos. 
No que tange ao desempenho dos estudantes ao resolverem situações da classe muitos para muitos, Gitirana et al. 
(2014) realizaram um teste diagnóstico com 504 estudantes do Ensino Fundamental (2º ao 9º ano) das escolas 
públicas de São Paulo (SP), corroborando com os pesquisadores citados acima, mas mostrando que os melhores 
resultados são dos estudantes do 7º ano (65% de acertos). Infere-se que este resultado esteja relacionado a ênfase 
dada, neste ano, para as questões relacionadas a proporcionalidade. 
As situações que pertencem ao eixo comparação multiplicativa envolvem duas variáveis de mesma natureza que 
“são comparadas de forma multiplicativa por um escalar (razão ou relação) - sendo uma o referente e outra o 
referido” (GITIRANA et al., 2014, p. 45). Estas situações são propostas desde o início da escolarização quando os 
conceitos de dobro, metade, entre outros são trabalhados, principalmente, na introdução de número racional. As 
atividades requerem que o estudantes determinem, por exemplo, quanto é 1/3 de 24 balões. Nesta situação, a 
interpretação do número racional mobilizada é de operador multiplicativo (na subseção 2.3.2 há mais detalhes 
acerca desta interpretação do número racional). 
No eixo comparação multiplicativa há duas classes: referido desconhecido e relação desconhecida. Exemplificando: 
José tem o quádruplo da idade de seu filho, que tem 10 anos. 
Qual é a idade de José? Nesta situação (Figura 23), a idade do filho é o referente (informação necessária para se 
fazer a comparação), a idade de José é o referido (informação que é comparada) e o quádruplo representa a razão 
de comparação. 
Figura 23: Exemplo situações comparação multiplicativa 
Fonte: Elaborada pela autora com base em Vergnaud (2009a) 
A atividade (Figura 24) exemplifica uma situação relação/razão desconhecida. Nesta atividade, na letra 𝑎 é dado o 
referente (número de robôs - 6) e o referido (número de computadores - 2), é preciso determinar a relação/razão 
(quantas vezes o número de robôs é maior que o número de computadores). Já na letra 𝑏 é dado o referente 
(número de espaçonaves - 4) e o referido (número de computadores - 2), é preciso determinar a relação/razão 
(quantas vezes o número de espaçonaves é maior que o número de computadores). 
Figura 24: Exemplo de atividade envolvendo comparação multiplicativa – relação desconhecida 
Fonte: Livro didático do 2º ano Anos Iniciais (DANTE, 2011, p. 204) 
Outro aspecto, proposto por Vergnaud (2009a) para o ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos acerca do 
campo das estruturas multiplicativas, que merece destaque é a noção de relação e de cálculo relacional. “A noção 
de relação é uma noção absolutamente geral. O conhecimento consiste, em grande parte, em estabelecer relações 
e organizá-las em sistemas”. (VERGNAUD, 2009a, p. 23). Para o pesquisador, a noção de cálculo relacional possibilita 
esclarecer e explicitara noção, “muito vaga”, de raciocínio, pois este tipo de cálculo envolve mais que operações 
usuais da matemática (cálculo numérico). 
Em outros termos, envolve também as operações de pensamento fundamentais para que a manipulação das 
relações envolvidas na situação seja possível (GITIRANA et al., 2014). Assim, ao escolher as situações o professor 
pode e deve levar em conta a classe de problemas, pois abordar a mesma classe, na maioria das vezes, prejudica o 
estudante na ampliação do seu conhecimento em relação ao cálculo relacional. 
Ao tratar de raciocínio, em específico, o raciocínio matemático, recorre-se as ideias de Oliveira (2009, p. 55, 
tradução nossa) que entende este como “uma atividade que permite as pessoas organizarem seu conhecimento, 
numa sequência lógica que lhes permite atingir uma conclusão, e, assim, produzir novos conhecimentos50”. Há 
diferentes tipos de raciocínios matemáticos mobilizados no fazer matemática, a saber: intuitivo (presente na 
produção da matemática, na formulação de novas conjecturas a serem testadas e validadas posteriormente); 
lógico-dedutivo (próprio da Álgebra e Geometria, baseado em suposições explícitas, está relacionado às provas de 
propriedades em todos os campos da Matemática); visão geométrico- espacial (relacionada ao entendimento da 
geometria e de suas aplicações); e, não-determinístico (ligado a estatística e a probabilidade) (BRASIL, 2014). 
Neste sentido, compreende-se que a materialização do cálculo relacional (raciocínio matemático) nas situações do 
campo das estruturas multiplicativas pode se dar por meio da representação auxiliar de transição, representação 
tabular. Esta representação auxiliar contribui na conversão dos demais registros (numérico, algébrico, gráfico), 
discriminando as unidades de sentido do conteúdo das representações, proporcionando a aquisição do conceito 
de proporcionalidade e o desenvolvimento do raciocínio proporcional. 
Entende-se que as discussões já mencionadas sobre aprendizagem matemática, na perspectiva de Duval (2004, 
2011, 2012), e as problematizações da natureza multiplicativa do raciocínio proporcional e da proporcionalidade, 
sob a ótica de Vergnaud (1993, 1996, 2009a), ainda, exigem aproximações e, principalmente, diferenças no que 
tange a gama de conceitos matemáticos a eles relacionados, principalmente, relações com os números racionais. 
Assim, na próxima seção apresenta-se as ideias de Lamon (2007, 2008) para o desenvolvimentos do raciocínio 
proporcional e aquisição do conceito de proporcionalidade.