Estatistica Economica Gabarito

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Disciplina: GST2001 - ESTATÍSTICA ECONÔMICA 
	Período: 2022.2 EAD (G) / AV
	Aluno: LUCAS GOMES DA SILVA
	Matrícula: 202105060029
	Data: 17/08/2022 11:57:18
	Turma: 9001
	
	 ATENÇÃO
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	 1a Questão (Ref.: 202110490708)
	Sejam X e Y variáveis aleatórias, com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: \(f_{XY}(x,y) = (x + y)\), para \(0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\), com \(f_{XY}(x,y) = 0\), caso contrário. Julgue as afirmativas abaixo e assinale a alternativa que indica quais estão corretas.
I - Sendo \(f(x)\) a distribuição marginal de X, podemos dizer que \(f(x)=x+1/2\) para \(0 \leq x \leq 1\)
II - \(P (0 \leq X \leq {1 \over 2}) = 1/2\)
III - \(f_{Y|X} (y|X={1 \over 2}) = y\)
IV - \(P (0 \leq Y \leq {1 \over 2}|X = {1 \over 2}) = {5 \over 8}\)
		
	
	I
	
	I, II e III
	
	I, II
	
	II, III e IV
	
	I e III
	
	
	 2a Questão (Ref.: 202110490771)
	No começo do dia uma máquina de refrigerantes armazena um montante aleatório \(Y\) de líquido (medido em galões). No decorrer do mesmo dia, um montante aleatório \(X\) é descartado pela máquina. Como máquina não é carregada, \(X \leq Y\). A distribuição conjunta de \(X\) e \(Y\) é:
\(f_{XY}(x,y) = \begin{cases} { 1\over 2}, & \quad \text{se } x ∈ 0,2 \text{ e }y∈(0,2)\\ 0, & \quad \text{caso contrário } \end{cases}\)
Calcule a probabilidade de que menos de meio galão seja descarregado no decorrer de um dia, dado que a máquina contém um galão no início do mesmo dia. Multiplique sua resposta por 100 e assinale a resposta correta.
		
	
	40
	
	20
	
	30
	
	50
	
	10
	
	
	 3a Questão (Ref.: 202110490728)
	Considere a seguinte função de densidade conjunta:
\(f_{XY} (x,y) = {x+y^2 \over 27}\)
, para \(x∈{1,2,3}\) e \(y∈{1,2}\). Encontre o valor de \(E[X]\) e assinale a alternativa correta:
		
	
	2/9
	
	3/2
	
	5/3
	
	5/9
	
	10/3
	
	
	 4a Questão (Ref.: 202110451367)
	Sejam \(X_n \sim N(0,2+{2\over n})\) e \(X \sim N(0,2)\). Assinale a alternativa correta:
		
	
	\(\lim\limits_{n \to \infty} Var [X_n] = 4\)
	
	Xn converge tanto em distribuição quanto em probabilidade para X.
	
	Xn converge em probabilidade para X, mas não converge em distribuição para X.
	
	Xn converge em distribuição para X, mas não converge em probabilidade para X.
	
	\(\lim\limits_{n \to \infty} P(|X_n-X|<\in)=1\)
	
	
	 5a Questão (Ref.: 202110451366)
	Sejam X1, ..., Xn variáveis aleatórias independentes, igualmente distribuídas, com distribuição Poisson dada por:
Considere as seguintes alternativas:
I - Pela Lei Fraca dos Grandes Números \(T={1\over n} ∑_{i=1}^n X_i \) aproxima-se da distribuição normal quando n  se aproxima do infinito.
II - Suponha que \(n>5\). \(T={1\over 5} ∑_{i=1}^5 X_i + {1\over n-5} ∑_{i=6}^n X_i \) é um estimador consistente de \(E[X_i]\).
III -  \(T= \bigg({1\over n} ∑_{i=1}^n X_i \bigg)^2- {1\over n-5} ∑_{i=6}^n X_i \) é um estimador viesado de \(E[X_i]\).
IV - Pelo Teorema Central do Limite, \(T={1\over n} ∑_{i=1}^n X_i \) é um estimador consistente de \(Var[X_i]\).
Quais das afirmativas acima estão corretas?
		
	
	II, III e IV
	
	III
	
	Apenas I
	
	I, III
	
	I, II e III
	
	
	 6a Questão (Ref.: 202110259588)
	Considere uma amostra aleatória de n variáveis X1, ... ,Xn , normalmente distribuídas com média \(\mu\) e variância \({\sigma}^2\). Sejam \(\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\) e \(S_n^2 = \frac{i}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \bar{X}_n \right )^2\). Seja \(EQM (\hat{ \theta}_n ) = E \left [ \hat{ \theta}_n - \theta \right ]^2 \) para um estimador \(\hat{ \theta}_n\) de \(\theta\). Assinale a alternativa incorreta:
		
	
	\(\bar{X}_n \) é não-viesado.
	
	\(S_n^2\) é viesado.
	
	\(EQM (\bar{X}_n) = \frac{{\sigma}^2}{n}\)
	
	\(EQM(S_n^2) - Var \left [ S_n^2 \right ] = 0\)
	
	\(\left ( \frac{n}{n-1} \right ) S_n^2\) é não-viesado.
	
	
	 7a Questão (Ref.: 202110490635)
	Sejam \(X_1,...,X_n\) independentes e identicamente distribuídos com distribuição \(Binomial(m,p)\), onde \(m\) é conhecido, com uma função de densidade de probabilidade da seguinte forma:
\(f(x|p) = \binom{m}{x} p^x (1-p)^{m-x}\), onde \(x=0,1,...,m\)
O tamanho da amostra é \(n=1\). Encontre o limite inferior de Cramér-Rao do parâmetro p. Dica: \({∂\over ∂p} f(x|p) = {x-mp \over p(1-p)}\)
		
	
	\({m \over p(1-p)}\)
	
	\(-{m \over p(1-p)}\)
	
	\(-{p(1-p) \over m}\)
	
	\({p(1-p) \over nm}\)
	
	\({p(1-p) \over m}\)
	
	
	 8a Questão (Ref.: 202110490624)
	Sejam \(X_1,...,X_n\) independentes e identicamente distribiídos com uma função de densidade de probabilidade da seguinte forma
\(f(x|α)=α^{-2} x^{-{x\over a}}\), onde \(x>0\) e \(α>0\)
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de \(α\), dado por \(\hat{α}_{MV}\) sabendo que a função acima é estritamente côncava no espaço de parâmetro definido (i.e. admite um máximo):
		
	
	\(\hat{α}_{MV} = {\Sigma_{i=1}^n X_i \over n}\)
	
	\(\hat{α}_{MV} = {\Sigma_{i=1}^n X_i \over 4n}\)
	
	\(\hat{α}_{MV} = -{\Sigma_{i=1}^n X_i \over 4n}\)
	
	\(\hat{α}_{MV} = -{\Sigma_{i=1}^n X_i \over 2n}\)
	
	\(\hat{α}_{MV} = {\Sigma_{i=1}^n X_i \over 2n}\)
	
	
	 9a Questão (Ref.: 202110490694)
	Verifique quais afirmações são verdadeiras e assinale a alternativa correta:
I - Se o p-valor de um teste de hipóteses for igual a 0.015, a hipótese nula será rejeitada a 5% de significância, mas não a 1%.
II - O p-valor de um teste de hipóteses é a probabilidade da hipótese nula ser rejeitada.
III - O poder de um teste de hipótese é a probabilidade de rejeitar corretamente uma hipótese nula falsa.
		
	
	Apenas a alternativas III é correta.
	
	Apenas as alternativas II e III são corretas.
	
	Apenas as alternativas I e II são corretas.
	
	Apenas a alternativa I é correta.
	
	Apenas as alternativas I e III são corretas.
	
	
	 10a Questão (Ref.: 202110490673)
	Ao final de um simulado de estatística, uma turma com 9 alunos obteve nota média amostral \(\overline X=72\) e variância amostral \(S^2=16\). As notas dessa turma possuem distribuição normal com média \(μ\) e variância \(σ^2\). Obtenha o intervalo de confiança de 95% para as notas dessa turma. Para a resolução, saiba que \(t\) segue uma distribuição \(t\) de Student tal que \(t_{0.05,8}=3.15\) e que \(z\) segue uma distribuição normal padrão tal que \(z_{0.05}=1.96\). Ao final, utilize somente a parte inteira (i.e. antes da vírgula) dos valores mínimos e máximos do intervalo de confiança, por exemplo, se você obter [1.5 , 3.7] marque [1, 3]. Assinale a alternativa correta.
		
	
	[51, 87]
	
	[53, 97]
	
	[63,79]
	
	[67, 76]
	
	[62, 94]