linear 2

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear I – 2020.3
Lista 2 – Sistema de Equações Lineares
1. Resolva o sistema abaixo, usando a Regra de Cramer:
(a)

x − 2y + z = 1
2x + y = 3
y − 5z = 4
(b)

x + 2y + 3z = 2
2x + 3y − z = −2
3x + 2y + z = 2
(c)

x + y + z = 1
x + 2y + 4z = 4
x + 3y + 9z = 9
(d)

2x + 3y = z + 1
3x + 2z = 8 − 5y
3z − 1 = x − 2y
2. Sejam A =
 1 1 2 02 −1 −1 3
1 −3 −2 4
 e B =
 1 0 0 10 1 0 −1
0 0 1 0
. Mostre que A é linha equivalente
a B.
3. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas, e calcule o posto e a nulidade.
(a)
 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1
.
(b)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1
.
4. Resolva o sistema de equações abaixo reduzindo sua matriz ampliada à forma escada
1
reduzida por linhas: 
2x − y + 3z = 11
4x − 3y + 2z = 0
x + y + z = 6
3x + y + z = 4
5. Resolva cada sistema abaixo achando a forma escada da sua matriz ampliada e determine:
o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for posśıvel,
o grau de liberdade.
(a) x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1
(b)
{
x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
(c)

x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
x + 7y − 7z = 5
(d)
{
x − 2y + 3z = 0
2x + 5y + 6z = 0
(e)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 − x4 = 4
x1 + x2 − x3 + x4 = −4
x1 − x2 + x3 + x4 = 2
(f)

x + 2y + 3z = 0
2x + y + 3z = 0
3x + 2y + z = 0
(g)

3x + 2y − 4z = 1
x − y + z = 3
x − y − 3z = −3
3x + 3y − 5z = 0
−x + y + z = 1
6. Para quais valores de k ∈ R, o sistema
kx + 2y = 6
3x − y = −2
x + y = 0
é posśıvel e determinado? Para quais valores o sistema é imposśıvel?
7. Considere o sistema 
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
2
Encontre os valores de k ∈ R tais que o sistema seja
a) Posśıvel e determinado;
b) Posśıvel e indeterminado;
c) Imposśıvel.
8. Determine k ∈ R, para que o sistema linear abaixo admita solução.
−4x + 3y = 2
5x − 4y = 0
2x − y = k
9. Encontre todas as soluções do sistema
x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14
2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2
x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1
10. Chamamos de sistema homogêneo de m equações e n incógnitas aquele sistema cujos
termos independentes, bi, são todos nulos.
(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?
(b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogêneo
2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
tenha uma solução distinta da solução trivial (x = y = z = 0).
11. Determine 5 matrizes X de ordem 4× 1 tais que AX = B, onde
A =
 1 1 0 −32 −4 −1 0
3 −2 −1 2
 e B =
 10
2
 .
12. Considere o sistema linear 
x + 3y + 4z = −5
3x + 2y + z = 8
2x + 4y + 3z = 4
Resolva-o:
(a) Usando a regra de Cramer.
3
(b) Usando escalonamento.
13. Usando operações elementares, encontre A−1, onde:
(a) A =
[
1 2
3 4
]
(b) A =
 1 0 22 −1 3
4 1 8

(c) A =

2 1 0 0
1 0 −1 1
0 1 1 1
−1 0 0 3
 .
(d) A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
 .
4