Lista de Exercícios III

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3a Lista de Exerc´ıcios de Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica
Graduac¸a˜o em Cieˆncias Atuariais/Estat´ıstica
IM-UFRJ
Refereˆncia: Morris H. DeGroot e Mark J. Schervish (2002). Probability and Statistics
(3rd Edition) Addison-Wesley.
Exerc´ıcio 3.3.4. Suponha que a func¸a˜o de distribuic¸a˜o (f.d.) F de uma varia´vel
aleato´ria X seja como na figura abaixo:
Encontre cada uma das seguintes probabilidades:
a. Pr(X = −1) g. Pr(0 6 X 6 3)
b. Pr(X < 0) h. Pr(1 < X 6 2)
c. Pr(X 6 0) i. Pr(1 6 X 6 2)
d. Pr(X = 1) j. Pr(X > 5)
e. Pr(0 < X 6 3) k. Pr(X > 5)
f. Pr(0 < X < 3) l. Pr(3 6 X 6 4)
Exerc´ıcio 3.4.3. Suponha que X e Y tenham uma distribuic¸a˜o conjunta discreta
para a qual a func¸a˜o de probabilidade (f.p.) e´ definida como segue:
f(x, y) =
 c|x+ y| para x = −2,−1, 0, 1, 2 e y = −2,−1, 0, 1, 2,0 c.c.
Determine:
(a) O valor da constante c;
(b) Pr(X = 0 e Y = −2);
(c) Pr(X = 1);
(d) Pr(|X − Y | 6 1).
Exerc´ıcio 3.4.5. Suponha que a f.d.p. conjunta de duas varia´veis aleato´rias X e Y
e´ como segue:
f(x, y) =
 c(x2 + y) para 0 6 y 6 1− x2,0 c.c.
Determine:
(a) O valor da constante c;
(b) Pr(0 6 X 6 1/2);
(c) Pr(Y 6 X + 1);
(d) Pr(Y = X2).
Exerc´ıcio 3.5.3. Suponha que X e Y tenham uma distribuic¸a˜o conjunta cont´ınua
para a qual a f.d.p. conjunta e´ definida como segue:
f(x, y) =
 32y2 para 0 6 x 6 2 e 0 6 y 6 1,0 c.c.
a. Determine as f.d.p.’s marginais de X e Y .
b. X e Y sa˜o independentes?
c. Os eventos {X < 1} e {Y > 1/2} sa˜o independentes?
Exerc´ıcio 3.5.5. Uma certa farma´cia tem treˆs cabines telefoˆnicas pu´blicas. Para
i = 0, 1, 2, 3, seja pi a probabilidade de exatamente i cabines telefoˆnicas estarem ocupadas
a`s 8 horas da noite em qualquer segunda-feira. Suponha que p0 = 0.1, p1 = 0.2, p2 = 0.4
e p3 = 0.3. Sejam X e Y os nu´meros de cabines que sera˜o ocupadas a`s 8 horas em duas
noites independentes de segunda-feira. Determine:
(a) A f.p. conjunta de X e Y ;
(b) Pr(X = Y );
(c) Pr(X > Y ).
Exerc´ıcio 3.6.4. Suponha que a f.d.p. conjunta de duas varia´veis aleato´rias X e Y
e´ como segue:
f(x, y) =
 c(x+ y2) para 0 6 x 6 1 e 0 6 y 6 1,0 c.c.
Determine:
(a) A f.d.p. condicional de X para cada valor de Y dado;
(b) Pr(X < 1
2
|Y = 1
2
).
Exerc´ıcio 3.8.7. Suponha que uma varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o uniforme
no intervalo [0, 1]. Determine a f.d.p. de:
(a) X2;
(b) −X3;
(c) X1/2.
Exerc´ıcio 3.9.6. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias com f.d.p. conjunta dada por:
f(x, y) =
 2(x+ y) para 0 6 x 6 y 6 1,0 c.c.
Encontre a f.d.p. de Z = X + Y .
Exerc´ıcio 4.6.12. Suponha que X e Y tenham uma distribuic¸a˜o conjunta cont´ınua
para a qual a f.d.p. conjunta e´ definida como segue:
f(x, y) =
 13(x+ y) para 0 6 x 6 1 e 0 6 y 6 2,0 c.c.
Determine o valor de Var(2X − 3Y + 8).
Exerc´ıcio 5.6.7. Suponha que a voltagem medida num certo circuito ele´trico tenha
uma distribuic¸a˜o normal com me´dia 120 e desvio padra˜o 2. Se treˆs medidas independentes
da voltagem sa˜o feitas, qual e´ a probabilidade de que todas as treˆs medidas estejam entre
116 e 118?
Exerc´ıcio 5.6.11. Suponha que uma amostra aleato´ria de tamanho n e´ obtida de
uma distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e desvio padra˜o 2. Determine o menor valor de n
tal que
Pr(|Xn − µ| < 0.1) > 0.9.
Exerc´ıcio 5.9.13. Suponha que um certo exame seja feito por cinco estudantes
independentemente um do outro e o nu´mero de minutos necessa´rios por algum particular
estudante para completar o exame tem uma distribuic¸a˜o exponencial com me´dia 80.
Suponha que o exame comece a`s 9:00 da manha˜. Determine a probabilidade de que, no
mı´nimo, um dos estudantes complete o exame antes de 9:40 da manha˜.