MATEMATICA FINANCEIRA 2

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Unidade III
 Atualização Monetária
Matemática 
Financeira
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO
AUTORIA
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Olá! Sou licenciada em Matemática e Especialista em Metodologia 
do Ensino de Matemática com ampla experiência docente nas esferas 
do ensino fundamental, médio e superior. Sou apaixonada pelo que 
faço, pela matemática e adoro lecionar e transmitir sobre essa disciplina 
fascinante. Por isso fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu 
elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você 
nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
OBJETIVO:
para o início do 
desenvolvimento de 
uma nova compe-
tência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando forem 
necessários obser-
vações ou comple-
mentações para o 
seu conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundamen-
to do seu conheci-
mento;
REFLITA:
se houver a neces-
sidade de chamar a 
atenção sobre algo 
a ser refletido ou dis-
cutido sobre;
ACESSE: 
se for preciso aces-
sar um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das últi-
mas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de au-
toaprendizagem for 
aplicada;
TESTANDO:
quando o desen-
volvimento de uma 
competência for 
concluído e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Índices de atualização e inflação .........................................................10
Índices de atualização ................................................................................................................. 10
Índices de inflação ........................................................................................................................... 11
Variações de índices .................................................................................. 20
Correção monetária ...................................................................................................................... 20
Taxas de juros: nominal, efetiva, real e aparente ......................... 27
Taxa de juros .......................................................................................................................................27
Taxa de juros nominal x Taxa de juros efetiva ............................................................28
Taxa de juros aparente x Taxa de juros real .................................................................29
Taxa de desvalorização da moeda ...................................................... 36
7
UNIDADE
03
Matemática Financeira
8
INTRODUÇÃO
Nas unidades antecedentes, nos familiarizamos com conceitos 
fundamentais da Matemática Financeira, sem considerarmos o contexto 
da inflação, ou seja, a moeda adotada em nosso país foi considerada 
estável ao longo do período estabelecido. Não levar em conta esses efeitos 
modifica o resultado de uma operação financeira. Com certeza, você já 
ouviu nos noticiários alguma notícia referente à inflação. Atualmente, ela 
está teoricamente estável, mas já passamos por períodos de hiperinflação, 
quando os preços subiam diariamente exponencialmente. Nos anos de 
1980 e início da década de 1990, esse era o contexto no qual estávamos 
inseridos. Nesse período, o valor do dinheiro se alterava rapidamente 
devido aos efeitos da inflação. Mas, afinal, o que é inflação? O que são os 
índices de atualização? Taxa aparente e real? Taxa de desvalorização da 
moeda? Respostas a estas indagações será o roteiro que nos guiará no 
desenvolvimento desta nossa terceira unidade. Prontos para mais uma 
imersão na matemática financeira? 
Bons estudos!
Matemática Financeira
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OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vinda (o). Nosso propósito é auxiliar você no 
desenvolvimento das seguintes objetivos de aprendizagem até o término 
desta etapa de estudos:
1. Identificar os índices de atualização e inflação.
2. Definir e aplicar técnicas de variações de índices.
3. Reconhecer as taxas de juros – nominal e real.
4. Definir a taxa de desvalorização da moeda. 
Então? Preparado para uma viagem sem volta rumo ao conhecimento? 
Toda longa caminhada se inicia pelo primeiro passo! Vamos lá? Ao trabalho!
Matemática Financeira
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Índices de atualização e inflação
OBJETIVO:
Ao final deste capítulo, você será capaz de entender como 
funcionam os índices de atualização e inflação disponíveis 
em nosso mercado financeiro. Ainda, você alcançará 
habilidades que possibilitarão suas distinções. E então? 
Motivado para desenvolver esta inédita competência? 
Vamos lá! Avante!
Índices de atualização
Caro(a) aluno(a), como é bom retornar nossos estudos! Desta vez, com 
uma temática que interfere em nosso cotidiano. Os índices de atualização 
consistem em valores determinados que possibilitam a atualização de um 
valor que oportuniza a correção monetária.
Castanheira e Macedo (2013) elucidam que correção monetária:
É a revisão estipulada pelas partes de um contrato, ou definida por 
lei, que tem como referência a desvalorização da moeda.
De modo mais simples, é viável descrever correção monetária como 
o ato de fazer ajustes contábeis e financeiros para demonstrar os preços de 
compra da moeda que está em circulação no país (atualmente, o Real) em 
relação ao valor de outras moedas (ajuste cambial) ou índices de inflação 
ou cotação do mercado financeiro (atualização monetária).
Mas como essa definição interfere em minha vida? Esta é uma dúvida 
comum, não é mesmo? Um exemplo da incidência da correção monetária 
acontece quando você efetua uma compra em euros no cartão de crédito 
e, na data de fechamento de sua fatura, o valor do euro apresenta diferença, 
estando mais caro ou mais barato em relação ao valor que estava na data 
da compra. Essa diferença é denominada correção, isto é, ocorre o ajuste 
do valor da moeda, da data da compra até o valor atual.
Matemática Financeira
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Quem já realizou essas operações cambiais atentou-se para esse 
detalhe durante a compra, se não, se assustou. Quem tem o hábito de 
adquirir alguma moeda estrangeira com o cartão de crédito precisa ter 
cuidado para não gerar uma fatura com valor muito mais alto do que havia 
planejado, devido a essa variação.
É importante ressaltar que esse é um conceito muito intercalado à 
área de Economia, uma vez que refere-se ao ajuste periódico de alguns 
valores econômicos, tendo como base o índice de inflação de um período 
pré-determinado, dispondo como meta a compensação da perda de valor 
da moeda corrente.
VOCÊ SABIA?
Em 1994, o Brasil passou pela pior crise de inflação, 
denominada hiperinflação. Nessa época, os balanços no 
país eram demonstrados com alguns ajustes, chamados 
de correção monetária de balanços, conforme a Lei nº 
6.404/76. Com o fim da hiperinflação, os ajustes originários 
dessas atualizações eram feitos em razão das altas taxas 
de juros utilizadas pelas instituições financeiras e também 
em decorrência do câmbio flutuante, que oportuniza 
grandes oscilações na cotação do dólar americano em 
relação ao Real.
Índices de inflação
Caro(a) aluno(a), é viável afirmar que todo processo inflacionário 
possibilita consequências positivas e negativas para investidores e 
credores. Dessa forma, a avaliação da inflação é uma questão de 
ponto de vista. Conforme Mathias e Gomes (2007), o Brasil tem uma 
cultura inflacionária que tende a acomodar os conflitos distributivose 
as transferências de renda por meio da própria inflação. Castanheira e 
Macedo (2013) definem inflação como:
Inflação é a deterioração do poder aquisitivo da moeda. 
Matemática Financeira
12
Com o passar do tempo, o capital vai perdendo poder aquisitivo, 
não é mesmo? Um carro que compramos hoje por determinado valor, ao 
ser revendido, daqui a uns três anos não terá o mesmo valor. 
Figura 1 – Inflação 
Fonte: Pixabay.
É comum apenas consideramos a inflação quando os valores 
elevam-se gradativamente em determinado período. Porém, as elevações 
de preços sazonais, isto é, a variação de demanda sobre determinado 
produto e/ou serviço de acordo com a época do ano – como acontece 
com os preços dos produtos agrícolas que dependem das safras (queda) 
e na entressafra (alta) – não são consideradas inflacionárias.
SAIBA MAIS:
Quer se aprofundar neste tema? Clique aqui e assista ao 
vídeo O que é inflação?, elaborado pelo Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística (IBGE). 
Em contrapartida, Castanheira e Macedo (2013) afirmam que a 
deflação pode ser descrita como:
É o oposto da inflação, ou seja, é um processo de queda nos preços 
das mercadorias durante um intervalo de tempo. 
Matemática Financeira
https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-detalhe-de-midia.html?view=mediaibge&catid=2102&id=2938
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Para nós, pode parecer surreal essa definição, mas a verdade é que 
a deflação acontece com a mesma frequência da inflação. Um exemplo 
prático dessa aplicação consiste no lançamento de um modelo novo de 
celular; esse evento acarreta uma deflação no preço do modelo que o 
antecede, uma vez que este é considerado velho e/ou defasado. Assim 
como a inflação, a deflação gera consequências para a economia como 
um todo.
A deflação considerada boa é consequência do aumento da 
produção de vários segmentos; uma vez que há mais peças no mercado, 
a demanda também aumenta, pois é mais fácil encontrar determinados 
itens e, com uma gama maior de possibilidades, os preços tendem a cair.
VOCÊ SABIA?
Em 1993, a inflação no país alcançou uma taxa de 2700% e, 
após a implementação da nova moeda, o valor da inflação 
média dos governos seguintes manteve-se constante, 
em 12,6% na presidência de Fernando Henrique Cardoso 
e em 6,3% no mandato de Lula. Estudos apontam que, 
analisando o Índice Geral de Preços (IGP), foi a partir de 1958 
que o aumento descontrolado da inflação iniciou no Brasil, 
com índices anuais superiores a 30%. O auge aconteceu em 
1964, quando a inflação atingiu 86% (MORAES, 2018).
Caro(a) aluno(a), como vimos, os conceitos de inflação e deflação 
são opostos em sua concepção. Enquanto um eleva o poder de compra, 
o outro o diminui. As distinções são sinalizadas na Figura 2.
Figura 2 - Inflação versus Deflação. 
Fonte: Elaborada pela autora (2020).
Matemática Financeira
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VOCÊ SABIA?
A inflação de demanda ocorre quando a demanda 
ultrapassa a produção disponível de algum produto. Isso é 
comum quando acontece o aumento de produção próximo 
do emprego de recursos. Para ser eliminada, é necessário 
que a política econômica lance mão de recursos que 
estimulem a redução da procura agregada.
O IBGE produz dois dos mais importantes índices de preços: o IPCA, 
considerado oficial pelo Governo Federal, e o INPC. 
Ambos os índices, o IPCA e o INPC, têm como propósito a medição 
da variação de preços de uma cesta de produtos e serviços consumida 
pela população. O resultado demonstra se os preços aumentaram ou 
diminuíram, tendo como referência o período de um mês, considerando 
não apenas a variação de preço de cada item, mas o peso que ele exerce 
no orçamento familiar. O Quadro 1 apresenta o valor direcionado a esses 
índices no mês de janeiro de 2020.
Quadro 1 - IPCA e INPC registrados em janeiro de 2020
Matemática Financeira
15
Fonte: IBGE (2020). 
O Índice de Preços ao Consumidor (IPCA) engloba uma grande 
parcela da população, uma vez que aponta a variação do custo de vida 
médio de famílias com renda mensal de 1 a 40 salários-mínimos.
Figura 3 – Variação do IPCA de julho de 1994 a dezembro de 2020
Fonte: IBGE (2020). 
Matemática Financeira
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VOCÊ SABIA?
O IBGE produz e divulga o IPCA desde 1980. Entre 1980 
e 1994, ano de implantação do Plano Real, o índice 
acumulado foi de 13 342 346 717 671,70%! A maior variação 
mensal do IPCA foi em março de 1990 (82,39%), enquanto a 
menor variação, em agosto de 1998 (-0,51%).
Já o Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) identifica 
a variação do custo de vida médio apenas de famílias que com renda 
mensal de 1 a 5 salários-mínimos. Mas por que é limitado a essa 
quantidade de renda mensal? Bem, a resposta é: porque esses grupos 
são mais sensíveis às variações de preços, pois os estudos apontam que 
esses tendem a gastar todo o seu rendimento mensal em itens básicos 
para a sobrevivência, como alimentação, medicamentos, transporte etc.
SAIBA MAIS:
Quer se aprofundar neste tema? Clique aqui para assistir ao 
vídeo O que é INPC e IPCA?, criado pelo IBGE. 
Outros índices também são importantes no contexto econômico. 
Observe na Figura 4 quais são eles.
Matemática Financeira
https://www.youtube.com/watch?time_continue=4&v=JVcDZOlIMBk&feature=emb_logo
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Figura 4 – Índices de inflação 
INPC
IGP-10
IPCA
IGP-DI
IPCA-E
IGP-M
IPCA-15
IPC-Fipe
IGP
IPC-S
IPC-SP
Índices de 
Inflação
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
Já fomos apresentados aos conceitos referentes aos importantes 
índices de atualização: o INPC e ao IPCA. Agora, conheceremos um pouco 
mais sobre os outros índices de inflação.
O Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo Especial 
(IPCA-E) é calculado pelo IBGE e divulgado ao final de cada trimestre, 
sendo formado pelas taxas do IPCA-15 de cada mês. Tem como objetivo 
realizar um balanço trimestral da inflação.
Matemática Financeira
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O Índice de Preços ao Consumidor Amplo-15 (IPCA-15), também 
medido pelo IBGE, foi constituído com o intuito de oferecer a variação dos 
preços no mercado varejista, mostrando, assim, o incremento do custo de 
vida da população. 
Castanheira e Macedo (2011) discorrem sobre outros índices 
inflacionários costumeiramente utilizados na economia, como:
 • O Índice Geral de Preços (IGP), medido pela Fundação Getúlio 
Vargas (FGV), apresenta a inflação de preços desde matérias-
primas agrícolas e industriais até bens e serviços finais. Este índice 
é composto pela média de três índices que refletem a economia: 
Índice de Preços por Atacado (IPA); Índice de Preços ao Consumidor 
(IPC); e Índice Nacional de Custos da Construção (INCC).
 • O Índice Geral de Preços 10 (IGP-10) é uma das categorias do IGP. 
Mensurado pela FGV, ele identifica a inflação de preços desde 
matérias-primas agrícolas e industriais até bens e serviços finais.
 • O Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M) é também uma 
versão IGP. Identificado pela FGV, ele registra a inflação de preços 
desde matérias-primas agrícolas e industriais até bens e serviços 
finais.
 • O Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna (IGP-DI) é 
também uma versão do IGP. Mensurado pela FGV, ele registra a 
inflação de preços desde matérias-primas agrícolas e industriais 
até bens e serviços finais.
 • O Índice de Preços ao Consumidor Semanal (IPC-S) calcula a 
variação de preços de produtos e serviços em sete capitais 
especificas do país. É medido pela FGV.
 • O Índice de Preços ao Consumidor, da Fundação Instituto de 
Pesquisas Econômicas (IPC-Fipe) é medido pela Fipe e mensura, 
especificadamente, a inflação na cidade de São Paulo.
 • O Índice de Preços ao Consumidor - São Paulo (IPC-SP) calcula a 
variação de preços de produtos e serviços da cidade de São Paulo 
e é medido pela FGV. 
Matemática Financeira
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RESUMINDO:
E então? Gostou do que mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir o que vimos.Você deve ter aprendido que a 
inflação é o nome dado ao aumento dos preços de produtos 
e serviços diversos. Esse valor é calculado pelos índices de 
preços, que costumeiramente recebem o nome de índices 
de inflação, e os mais utilizados na medição da inflação em 
nosso país são o INPC e o IPCA – ambos medem a variação 
de preços de uma cesta de produtos e serviços consumida 
pela população, e o resultado apresenta o aumento ou 
diminuição dos preços de um mês para o outro. O IPCA 
aponta a variação do custo de vida médio de famílias com 
renda mensal entre 1 e 40 salários-mínimos, enquanto o 
INPC verifica a variação do custo de vida médio apenas 
de famílias com renda mensal de 1 a 5 salários-mínimos, 
que representam a grande parcela de toda a população. 
Também conhecemos outros índices que possibilitam a 
mensuração da inflação sob diferentes aspectos.
Matemática Financeira
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Variações de índices
OBJETIVO:
Ao final deste capítulo, você será capaz de entender como 
calculamos na prática a correção monetária, conforme 
determinados índices. Por meio desses resultados, é 
possível estabelecer contratos levando em consideração a 
inflação ou a deflação. E então? Motivado para desenvolver 
esta nova competência? Então vamos lá. Avante!
Correção monetária
A correção monetária teve origem no Brasil em 16 de julho de 1964, 
pela Lei nº 4.357, intermediada pela origem da Obrigação Reajustável 
do Tesouro Nacional (ORTN), cujo valor seria reajustado por mês em 
virtude das oscilações de preços de determinados bens e serviços, 
evidenciados pelos índices que são calculados pela Fundação Getúlio 
Vargas (CASTANHEIRA; MACEDO, 2013).
É importante ressaltar que a correção monetária associada aos 
juros pode ser aplicada em diversas situações, basta que exista alguma 
decisão judicial instituída que precisará da devida atualização dos valores 
financeiros.
A correção monetária, quanto aos tributos, passou a ser:
 • Obrigatória sua incidência sobre o valor original dos bens do ativo 
imobilizado das pessoas jurídicas.
 • Permitida sobre o custo de aquisição do imóvel, na venda por 
pessoa física.
 • Obrigatória sobre débitos fiscais decorrentes do não recolhimento 
na data de vencimento.
Matemática Financeira
21
VOCÊ SABIA?
Existem tabelas de atualizações monetárias judiciais que 
têm como objetivo preservar o poder aquisitivo da moeda, 
mediante determinados critérios utilizados pelas diferentes 
esferas da justiça, seja pela aplicação da lei e da doutrina, 
seja pela aplicação do entendimento jurisprudencial dos 
tribunais superiores. Há, também, as tabelas extrajudiciais, 
que podem ser usadas com um só indexador ou vários 
encadeados, permitindo a atualização de obrigações 
contratuais em geral e não contratuais, como as tabelas do 
INPC, da TR, do IGP-M etc.
Conforme Castanheira e Serenato (2011), dois são os procedimentos 
usados para a aplicação da correção monetária aos planos de pagamentos 
no Brasil:
a. Prefixada – determina-se uma taxa de juro contratual, 
independentemente do comportamento futuro da inflação; neste 
contexto, a taxa de juro real de cada período e a taxa de inflação 
deve ser agregada em uma única taxa, que denominamos de taxa 
prefixada. Como exemplo de aplicação do modelo prefixado no 
mercado financeiro, temos os papéis de renda fixa e crédito direto 
ao consumidor;
b. Pós-fixada – neste modelo, a correção monetária tem seu valor 
conhecido com o passar do tempo, à medida que os índices 
oficiais do governo são divulgados; assim, os saldos devedores, 
as parcelas de juros e a amortização são corrigidas conforme a 
inflação. Como exemplo desta modalidade pós-fixado, é possível 
citar os contratos com correção pelo IGPM e os contratos em 
moeda estrangeira.
Matemática Financeira
22
NOTA:
Hoje, a correção monetária é determinada pelo Conselho 
Federal de Contabilidade e trata-se de um Princípio 
Fundamental da Contabilidade. Antes de ser controlada 
pelo Conselho Federal, a determinação dos valores 
acontecia pelo Governo Federal e era chamada de 
Correção Monetária de Balanço. Em 1994, como medida 
para conter a inflação que na época era muito elevada, 
houve a mudança de quem deveria estabelecer os valores 
associados aos índices.
A correção monetária, que será indicada por CM em um determinado 
período, é encontrada por meio da variação percentual entre o índice no 
final do período previamente indicado e o índice encontrado no final do 
período anterior. Matematicamente, a relação que possibilita esse cálculo 
é fornecida por:
Fórmula: CM = indice periodo indicado/indice periodo anterior -1
No entanto, quando os índices de correção monetária se referem 
a vários períodos, o cálculo da correção monetária é determinado pela 
seguinte fórmula:
Fórmula: CMm = (1+CMt )
1 ⁄ n -1
Onde:
CMm= Correção monetária média.
CMt= Correção monetária do período.
n= Período.
Vamos resolver juntos um exemplo para compreendermos na 
prática a utilização destas relações.
EXEMPLO: determine a correção monetária referente ao primeiro 
semestre de 2019 e a média mensal de inflação; admita os dados do IPC 
da Fipe, conforme o Quadro 2, apresentado a seguir:
Matemática Financeira
23
Quadro 2 – IPC de dez./2018 a jun./2019
Fonte: elaborado pela autora (2020).
Inicialmente, devemos retirar os dados do enunciado, que neste 
caso estão disponibilizados na tabela:
 • indice periodo indicado = 102,5
 • indice periodo anterior = 100
Logo: 
CM = indice periodo indicado/indice periodo anterior -1
CM = 102,5/100 -1
CM = 1,025 -1 = 0,025
CM = 2,5% ao semestre
Logo, a correção monetária referente ao semestre analisado foi de 2,5%.
Já a média mensal da inflação é obtida por:
CMm = (1+CMt )
1 ⁄ n -1
CMm = (1+0,025)
1 ⁄ 6 -1
CMm = (1,025)
1 ⁄ 6 -1
CMm ≅ 0,0041 = 0,41%
Matemática Financeira
24
Assim, a correção monetária média referente ao semestre foi de 
0,41%.
EXEMPLO: Calcule a correção monetária e a média mensal referente 
ao período de abril/2019 a dezembro/2019, considerando os dados do 
INPC do IBGE, conforme a tabela apresentada a seguir:
Quadro 3 – INPC de abr./2018 a dez./2019
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
Identificando os dados disponibilizados na tabela:
 • indice periodo indicado = 102,13
 • indice periodo anterior = 100
Logo: 
CM = indice periodo indicado/indice periodo anterior -1
CM = 102,13/100 -1
CM = 1,0213 -1 = 0,0213
CM = 2,13% 
Matemática Financeira
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Assim, a correção monetária referente ao semestre analisado foi de 
2,13%.
Já a média mensal da inflação é obtida por:
CMm = (1+CMt)
1 ⁄ n -1
CMm = (1+0,0213)
1 ⁄ 9 -1
CMm =(1,0213)
1 ⁄ 6 -1
CMm ≅ 0,0035 = 0,35%
Assim, a correção monetária média referente ao semestre foi de 0,35%.
SAIBA MAIS:
O aplicativo Calculadora do Cidadão, do Banco Central 
do Brasil, possibilita a simulação das operações de suas 
finanças com base nas informações disponibilizadas 
por você. Com esse recurso, é possível fazer correções 
monetárias, com emprego de séries históricas de taxas e 
indicadores financeiros armazenados no Banco Central do 
Brasil, além de poder comparar o custo de pagar parte da 
fatura de seu cartão (crédito rotativo) com outros tipos de 
crédito. 
Para usufruir desta facilidade, clique aqui. 
Matemática Financeira
https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/corrigirPorIndice.do?method=corrigirPorIndice
26
RESUMINDO:
Gostou do que mostramos? Aprendeu mesmo tudinho? 
Agora, só para termos certeza de que você realmente 
entendeu o tema de estudo deste capítulo, vamos resumir 
o que vimos. Você deve ter aprendido que a correção ou 
atualização monetária é a revisão estipulada pelas partes 
de um contrato previamente estabelecido, ou definida por 
lei, que tem como referência a desvalorização da moeda. 
A correção monetária pode ser calculada por uma relação 
específica, que considera a variação percentual entre o 
índice no final do período previamente indicado e o índice 
encontrado no final do período anterior,assim como a 
correção monetária média também é determinada por uma 
fórmula específica que leva em conta correção monetária 
média, a correção monetária do período e o período em 
questão.
Matemática Financeira
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Taxas de juros: nominal, efetiva, real e 
aparente
OBJETIVO:
Ao final deste capítulo, você será capaz de compreender 
as taxas de juros nominal e real, além de resolver diferentes 
exercícios relacionados a esses conceitos. E então? 
Motivado para desenvolver esta inédita competência? 
Vamos lá! Avante!
Taxa de juros
Estimado(a) aluno(a), você provavelmente já ouviu falar das taxas de 
juros, não é mesmo? Embora seja um termo popular, nem todos sabem 
exatamente o que são. E afinal, como calculá-las? Qual a sua finalidade?
Matematicamente, a taxa de juros consiste na razão entre os 
juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período e o 
capital inicialmente emprestado, sendo representado por um valor 
numérico, obtido pelo quociente entre os capitais e tempo considerado. 
Basicamente, a taxa de juros está diretamente relacionada à diferença 
entre o valor emprestado e o valor devolvido.
NOTA:
Na resolução de problemas com uso de fórmulas, a taxa 
de juros deve estar na forma unitária. Quando utilizamos a 
calculadora financeira HP-12C, a taxa deve ser inserida na 
forma percentual; já no Excel, são aceitos os dois formatos.
Na especulação de operações financeiras, utilizamos dois tipos 
de taxas que são úteis para a comparação de índices. Essa subdivisão é 
descrita pela Figura 5.
Matemática Financeira
28
Figura 5 - Categorias de taxas de juros 
Taxa de Juros
Taxa Bruta
Taxa Líquida 
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
A taxa bruta é gerada tomando como referência os valores presente 
e futuro do capital utilizado, desconsiderando o desconto do imposto 
devido. Já a taxa liquida é baseia-se nos valores presente e futuro, 
admitindo o desconto do imposto devido.
Taxa de juros nominal x Taxa de juros efetiva
É comum nos questionarmos sobre a taxa anexada a determinada 
operação financeira, e a resposta costuma diferenciar quanto ao período 
de capitalização. Não entendeu? Leia a seguir algumas afirmações para 
chegarmos juntos a uma conclusão.
I. 140% ao semestre com capitalização mensal.
II. 16% ao mês com capitalização mensal.
III. 300% ao ano com capitalização trimestral.
IV. 1250% ao ano com capitalização bimestral.
V. 250% ao semestre com capitalização semestral.
O que essas informações têm em comum? E de incomum? Bem, 
observe que, nos discursos apresentados em I, III e IV, o período de 
formação e a incorporação dos juros são diferentes. Na asserção I, o juro 
é semestral com capitalização mensal; na asserção III, o juro é anual com 
capitalização trimestral; e; por fim, na asserção IV, o juro é anual com 
capitalização bimestral. Para todos esses contextos que apresentam essa 
relação, denominamos de taxa efetiva, que, de acordo com Castanheira 
e Macedo (2013), é:
Matemática Financeira
29
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos 
juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Em contrapartida, quando avaliamos as afirmações restantes, isto 
é, II e V, o período de formação e a incorporação dos juros são iguais. 
Observe que, na asserção II, o juro é mensal com capitalização mensal, e, 
na asserção V, o juro é semestral com capitalização semestral. Para esta 
condição, é destinado o nome de taxa efetiva, que Castanheira e Macedo 
definem como:
A taxa efetiva é quando o período de formação e incorporação dos 
juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. 
A taxa nominal é muito utilizada em diversas transações do mercado 
financeiro e caracteriza-se por não utilizar o regime de capitalização 
composta em seu cálculo. Já a taxa de juros efetiva é muito popular 
entre nós, brasileiros, pois é comum vermos esse termo incorporado em 
diversas transações, principalmente em títulos de capitalização.
Taxa de juros aparente x Taxa de juros real
Será que seria correto afirmar que as aparências enganam quando 
trabalhamos com juros? Bem, a resposta é sim! Costumeiramente, somos 
enganados ao acreditarmos que certa quantia de dinheiro, quando 
aplicada em uma poupança, em um único mês, rendeu 1,5% ao mês.
Mas por que esta afirmação é uma ilusão? Bem, dentro desse 
percentual, está incluída a inflação do período considerado. Assim, 
retirada essa diferença, o rendimento, na verdade, é inferior ao afirmado.
Considerando a dinâmica do mercado em que estamos inseridos, 
no qual vimos que a inflação é um componente a ser considerado, vamos 
conhecer juntos dois conceitos fundamentais na Matemática Financeira: a 
taxa de juros aparente e a taxa de juros real. Vamos lá?
A definição de taxa aparente é elaborada por Castanheira e Macedo 
(2013) como:
É a taxa que não contabiliza a inflação do período.
Matemática Financeira
30
Essa taxa é contratada ou declarada em uma operação financeira. 
Por exemplo: se um banco oferece um fundo de investimento que 
remunera 23% ao ano, esta é a taxa nominal.
A taxa nominal de juros é usada para demonstrar os efeitos da 
inflação no período analisado, tendo como base os fundos financeiros 
(empréstimos). É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período 
da operação, podendo ser, inclusive, negativa.
No outro extremo, a taxa real é descrita por Castanheira e Macedo 
(2013) como:
É a taxa que utiliza a inflação do período.
A taxa real de juros, em contrapartida, é a taxa que realmente 
gera lucro ao investidor, pois é a taxa que remunera acima da inflação. É 
importante ressaltar que a taxa real pode ser positiva ou negativa, caso a 
correção realizada sobre o capital tenha sido inferior ......à inflação inserida 
no período. (ASSAF NETO, 2012). 
Figura 6 - Composição da taxa real 
Taxa Real
Taxa 
Aparente
Inflação
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
: Os rendimentos financeiros são os responsáveis pela correção 
de capitais investidos mediante uma determinada taxa de juros. As 
Matemática Financeira
31
taxas de juros, assim, são corrigidas pelo Governo conforme os índices 
inflacionários referentes a um período. Todo esse processo ocorre com 
o intuito de corrigir a desvalorização dos capitais aplicados durante uma 
crescente alta da inflação.
As taxas real e aparente relacionam-se mediante a seguinte 
demonstração matemática, baseada, inicialmente, em um período em 
que não houve inflação(1) e em outro, em que o capital foi acrescido da 
taxa real (i) e da taxa de inflação(I)(2). Assim:
(1) M = C∙(1+ia)
(2) M = C∙(1+i)∙(1+I)
Igualando as expressões (1) e (2)).
C∙(1+ia) = C∙(1+i)∙(1+I)
(1+ia) = (1+i)∙(1+I)
Que pode ser reescrito, de maneira mais fácil da seguinte formula:
Taxa real = 1 + taxa aparente/1 + taxa de inflação
REFLITA:
Observe que, se a taxa de inflação for nula, ou seja, igual 
a zero, as taxas de juros nominal e real serão coincidentes, 
isto é, terão o mesmo índice percentual.
Mas e na prática, como essa relação é trabalhada em situações 
cotidianas? Vamos lá?! Juntos desvendaremos mais este conceito.
EXEMPLO: em uma aplicação financeira em que a taxa aparente foi 
de 32% ao ano, durante um ano em que a taxa de inflação ficou definida 
em 10,75%, qual foi a taxa real de juros?
Identificando as informações do enunciado:
 • Taxa real= ?
 • Taxa de inflação = 10,75% = 0,1075
 • Taxa aparente = 32% = 0,32
Matemática Financeira
32
Agora, substituindo os dados na relação entre as taxas, obtemos:
Taxa real = 1 + taxa aparente/1 + taxa de inflação
Taxa real = 1+0,32/1+0,1075 = 1,32/1,1075 = 1,1987
Taxa real = 1,1987-1 = 0,1987 = 19,87%
Assim, é possível afirmar que a taxa real de juros neste período foi 
de 19,87%.
No cálculo manual da taxa real é sempre necessário subtrair do 
resultado um, fato este relacionado à equivalência de 100% ou seja, .
Cálculo pela calculadora HP–12C
ENTER 0,32
ENTER 0,1035
+
1 –EXEMPLO: encontre a taxa de rendimento real de determinada 
aplicação, cuja taxa aparente ficou definida em 5,25% mensal em um mês 
em que a taxa de inflação fixou em 8,1%.
Identificando as informações do enunciado:
 • Taxa real= ?
 • Taxa de inflação=8,1%=0,081
 • Taxa aparente=5,25%=0,0525
Agora, substituindo os dados na relação entre as taxas, obtemos:
Taxa real = 1 + taxa aparente/1 + taxa de inflação
Taxa real = 1 + 0,0525/1 + 0,081 = 1,0525/1,081 = 0,9736
Taxa real = 0,9736-1 = -0,0264 = -2,64%
Observe que o resultado da taxa real foi negativo; tal informação 
indica que houve prejuízo para o aplicador neste período.
Matemática Financeira
33
Logo, é possível afirmar que no período determinado a taxa real foi 
de -2,64%.
Cálculo pela calculadora HP–12C
ENTER 0,0525
ENTER 0,0,081
+
1 -
NOTA:
Observe que, para o cálculo, a taxa real e/ou taxa 
aparente devem sempre estar na mesma unidade de 
tempo, ou seja, se a taxa aparente for anual, a taxa de 
inflação correspondente também deve ser anual. Se a taxa 
aparente for semestral, a taxa de inflação também deve ser 
contabilizada semestralmente.
EXEMPLO: um investidor adquiriu um título de renda fixa por RS 
10.000,00 e o resgatou pela quantia de R$ 15.130,00, após um período 
de seis meses. Determine a taxa de retorno real desse investimento 
considerando uma taxa de inflação para o período de 25% a.s.?
Reconhecendo as informações do enunciado:
 • Taxa real= ?
 • Taxa de inflação=25%=0,25
 • Taxa aparente= ?
 • PV=10.000
 • FV=15.130
 • n=6 meses=1 semestre
Observe que o solicitado é a determinação da taxa real, no entanto 
é preciso encontrar a taxa aparente para substituir na relação existente; 
Matemática Financeira
34
para tal tarefa recorremos à fórmula de juros compostos que já fomos 
apresentados na unidade inicial. Logo:
FV = PV(1+i)n
15.130 = 10.000(1+i)1
15130/10000 = 1+i
1,513 = 1+i
i = 1,513-1 = 0,513 % a.s.
De posse dessa informação, basta substituir os dados na relação 
entre as taxas aparente e real, encontramos:
Taxa real = 1 + taxa aparente/1 + taxa de inflação
Taxa real = 1 + 0,513/1 + 0,25 = 1,513/1,25 = 1,2104
Taxa real = 1,2104-1 = 0,2104 = 21,04%
Logo, a taxa real incidida nessa transação financeira, sob as condições 
estabelecidas equivale a 21,04%.
Cálculo pela calculadora HP–12C
15130 CHS FV
10000 PV
n
i
ENTER 0,0525
ENTER 0,0,081
+
1 -
Matemática Financeira
35
RESUMINDO:
Gostou do que mostramos? Aprendeu mesmo tudinho? 
Agora, só para termos certeza de que você realmente 
entendeu o tema de estudo deste capítulo, vamos resumir 
o que vimos. Você deve ter aprendido sobre os conceitos de 
taxa aparente e taxa real, assuntos recorrentes no mundo 
das finanças e dos investimentos. A taxa real positiva é a 
que possibilita a um investidor aumentar seu capital. Como 
taxa aparente, consideramos aquela que está inserida 
nas operações correntes. Já a taxa real é o rendimento ou 
custo de uma operação, seja de aplicação ou de captação 
calculadas, depois de extraídos os efeitos inflacionários. No 
caso da taxa real de juros, o efeito inflacionário não existe; 
por isso, ela tende a ser menor que a taxa aparente. Isso 
ocorre porque ela é formada por meio da correção da taxa 
efetiva pela taxa de inflação do período da operação.
Matemática Financeira
36
Taxa de desvalorização da moeda
OBJETIVO:
Ao final deste capítulo, você será capaz de compreender 
a taxa de desvalorização da moeda, e entender a fórmula 
matemática que possibilita o seu cálculo. E então? Pronto? 
Motivado para desenvolver esta nova competência? Vamos 
lá! Avante!
A taxa de desvalorização da moeda possui como fator impactante 
a inflação, sendo esta a engrenagem que movimenta a determinação 
desse parâmetro. Observe a Figura 7.
Figura 7 - Composição da taxa de desvalorização da moeda
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
A relação matemática que possibilita a determinação da taxa de 
desvalorização da moeda é dada por:
Fórmula: TDM = INF/1+INF
Onde:
 • TDM= Taxa de desvalorização da moeda.
 • INF= Taxa de inflação. 
Matemática Financeira
37
É importante ressaltar que, quanto maior for a taxa de inflação, 
maior será a taxa de desvalorização da moeda, isto é, quanto maior for 
a taxa de desvalorização da moeda, menor será o poder de compra do 
cidadão. Por isso, identificamos que, ao aumentar os preços de bens e 
serviços, nosso poder aquisitivo diminui, ocasionando na diminuição do 
nosso poder de compra.
VOCÊ SABIA?
O Banco Central é uma autarquia que exerce suas funções 
com autonomia, sem subordinação a outro órgão do Poder 
Público. Foi instituído em 1964 e é responsável por garantir 
a estabilidade econômica do país por meio da manutenção 
do poder de compra da moeda e da regulação do sistema 
financeiro brasileiro.
EXEMPLO: considerando 12,11% a inflação em determinado período, 
determine a taxa de desvalorização da moeda que determinou este 
resultado negativo no poder de compra da moeda.
Dados do exercício:
 • TDM =?
 • INF = 12,11% = 0,1211
Agora, substituindo as informações, encontramos:
TDM = INF/1+INF
TDM = 0,1211/1+0,1211
TDM ≅ 0,1080 = 10,80%
Assim, é possível afirmar que, com uma inflação de 12,11%, há uma 
redução do poder de compra da moeda igual a 10,8%, isto é, com esse 
percentual de evolução dos preços, as pessoas adquirem 10,8% a menos 
de bens e serviços que consomem.
Matemática Financeira
38
EXEMPLO: a taxa de inflação de determinado país ficou definida 
em 4,25% em 2019; considerando esse contexto, qual foi a taxa de 
desvalorização da moeda (TDM) neste período?
Dados do exercício:
 • TDM =?
 • INF = 4,25% = 0,0425
Agora, substituindo as informações, encontramos:
TDM = INF/1+INF
TDM = 0,0425/1+0,0425
TDM ≅ 0,0408 = 4,08%
Logo, com inflação de 4,25%, há uma redução do poder de compra 
da moeda igual a 4,08%, isto é, com este percentual de evolução dos 
preços, as pessoas adquirem 4,08% a menos de bens e serviços que 
consomem.
EXEMPLO: a moeda nacional de determinado país fechou o ano de 
2019 com uma taxa de desvalorização da moeda de 8,3%. Considerando 
a relação existente entre a taxa de desvalorização da moeda e a inflação, 
determine a respectiva taxa de inflação para o mesmo período.
Informações do exercício:
 • TDM = 8,3% = 0,083
 • INF =?
Agora, substituindo as informações, encontramos:
TDM = INF/1+INF
0,083 = INF/1+INF
0,083(1+INF ) = INF
0,083+0,083INF = INF
0,083 = INF - 0,083INF
0,083 = 0,917INF
INF = 0,083/0,917
INF ≅ 0.0905 = 9,05%
Matemática Financeira
39
Assim, é possível afirmar que uma redução do poder de compra da 
moeda igual a 8,3%, foi ocasionada por uma inflação igual a 9,05%.
EXEMPLO: para a moeda nacional de certo país, ficou fixado como 
taxa de desvalorização da moeda o valor de 10,4%. Considerando a relação 
existente entre a taxa de desvalorização da moeda e a inflação, determine 
a taxa de inflação para o respectivo período.
Informações do exercício:
 • TDM = 10,4% = 0,104
 • INF =?
Agora, substituindo as informações, encontramos:
TDM = INF/1+INF
0,104 = INF/1+INF
0,104(1+INF) = INF
0,104 + 0,104INF = INF
0,104 = INF - 0,104INF
0,104 = 0,896INF
INF = 0,104/0,896
INF ≅ 0.1161 = 11,61%
Logo, é viável afirmar que uma redução do poder de compra da 
moeda igual a 10,4%, foi ocasionada por uma inflação igual a 11,61%.
VOCÊ SABIA?
Âncora cambial é o nome dado a um instrumento de política 
econômica que visa a atrelar a moeda nacional a uma 
moeda estrangeira forte – geralmente, o dólar americano 
–, buscando, com isso, a estabilização da moeda nacional.
Nesse contexto de valorização/desvalorização da moeda nacional, 
é importante conceituarmos a taxa de câmbio, que consiste na relação 
entre as moedas correntes de dois ou mais países. Além disso, ela 
disponibiliza informações sobre as transações comerciais e possibilita 
Matemática Financeira
40
relações de troca entre as nações. Essa taxa é expressa por um preço, 
um valor que se distinguena hora da compra e da venda. A Figura 8, a 
seguir, apresenta o gráfico da variação da taxa de câmbio no ano de 2018. 
Observe:
Figura 8 - Taxa de câmbio Real/Dólar
Fonte: SINFACRS (2018).
A taxa de câmbio pode ser classificada em três categorias, como 
apresentado na Figura 9, a seguir:
Figura 9 – Categorias das taxas de câmbio 
Taxa de Câmbio
Fixa
FlutuanteAtrelada
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
Matemática Financeira
41
Ainda conforme Assaf Neto (2012), cada subdivisão desta taxa de 
câmbio pode ser descritas como:
 • Taxa de câmbio fixa – o Banco Central estabelece um preço fixo 
de uma moeda estrangeira em moeda nacional. A conversão de 
moeda nacional em moeda estrangeira, e vice-versa, é garantida 
pelo Banco Central àquele preço. Essa modalidade de taxa é 
utilizada com o intuito de estabilizar o valor de uma moeda ao fixá-
lo diretamente sob uma taxa pré-determinada em relação à moeda 
âncora, que é mais estável e predominante internacionalmente.
 • Taxa de câmbio flutuante – as taxas mudam livremente ou sob a 
lei da oferta e demanda do mercado. O governo não interfere no 
mercado cambial, uma vez que o objetivo consiste em valorizar 
ou desvalorizar a taxa de câmbio. A única interferência do Banco 
Central consiste em evitar variações muito grandes nas cotações, 
ou mesmo influenciar na taxa de câmbio.
 • Taxa de câmbio atrelada – o regime de câmbio atrelado, consiste 
em um misto entre o câmbio flutuante e o câmbio fixo. Nesse 
regime a taxa de câmbio se altera todos os dias dentro de bandas 
fixadas pelo governo. O Banco Central intervém no mercado para 
manter o preço da moeda no contexto das bandas determinadas. 
Ressalta-se que para que esse regime funcione corretamente, 
é necessário que o Banco Central tenha reservas internacionais 
suficientes para estabelecer as operações de compra e venda de 
moeda, mesmo em períodos de crises.
Matemática Financeira
42
VOCÊ SABIA?
O coeficiente de Pass-Through está relacionado ao câmbio, 
à inflação, aos juros e, portanto, ao crescimento econômico. 
Basicamente, ele fornece o tamanho do repasse das 
variações cambiais para os preços, indicando o quanto 
um aumento ou declínio na taxa de câmbio faz a inflação 
crescer ou decrescer. É uma estimativa precária, nem 
sempre muito confiável, mas que tem uma função crucial 
para a tomada de decisões pelo Banco Central. Baseando-
se nesse coeficiente, o Banco Central projeta a inflação 
futura; por consequência, esse parâmetro permite que a 
instituição aumente ou diminua as taxas de juros.
RESUMINDO:
Gostou do que mostramos? Aprendeu mesmo tudinho? 
Agora, só para termos certeza de que você realmente 
entendeu o tema de estudo deste capítulo, vamos 
resumir o que vimos. Você deve ter aprendido que a taxa 
de desvalorização da moeda avalia o quanto o nosso 
dinheiro se desvalorizou conforme o tempo, indicando um 
acréscimo ou decréscimo em nosso poder de compra. 
Descobrimos, também, que essa taxa depende unicamente 
do valor associado à inflação do período analisado. Ainda 
nesse contexto econômico, aprendemos mais sobre a taxa 
de câmbio, que se caracteriza por apresentar a relação 
entre as moedas correntes de dois ou mais países. Além 
disso, ela disponibiliza informação sobre as transações 
comerciais e possibilita relações de troca entre as nações. 
Essa taxa pode ser classificada em taxa de câmbio fixa, taxa 
de câmbio flutuante e taxa de câmbio atrelada.
Matemática Financeira
43
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 12. ed. 
São Paulo: Atlas, 2012.
BAUER, U. R. Matemática Financeira Fundamental. São Paulo: 
Atlas, 2003.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D.  Matemática Financeira 
Aplicada. Curitiba: Intersaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, N. P.; SERENATO, V. S.  Matemática Financeira e 
análise financeira para todos os níveis: soluções algébricas e soluções 
na HP-12C. 2. ed. Curitiba: Juruá, 2011. 
FARIA, R. G. Matemática Comercial e Financeira: com exercícios e 
cálculos em Excel e HP-12C. São Paulo: Ática, 2007.
LAPPONI, J. C. Matemática Financeira: uma abordagem moderna. 
2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Financeira. São Paulo: 
Atlas, 2007.
MORAES, M. F. Plano Real, 20 anos - Moeda trouxe novo ciclo 
de desenvolvimento econômico. Vestibular UOL, 2018. Disponível em: 
https://vestibular.uol.com.br/resumo-das-disciplinas/atualidades/
plano-real-20-anos-moeda-trouxe-novo-ciclo-de-desenvolvimento-
economico.htm. Acesso em: 14 fev. 2020.
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 9. ed. 
São Paulo: Elsevier, 2011.
Matemática Financeira
	Índices de atualização e inflação
	Índices de atualização
	Índices de inflação
	Variações de índices
	Correção monetária
	Taxas de juros: nominal, efetiva, real e aparente
	Taxa de juros
	Taxa de juros nominal x Taxa de juros efetiva
	Taxa de juros aparente x Taxa de juros real
	Taxa de desvalorização da moeda