09-insumo-produto-modelos-inter-regionais

Prévia do material em texto

Insumo-Produto:
Modelos Inter-regionais
Alexandre Porsse • Vinícius Vale
 Professor do Departamento de Economia e do Programa de Pós-Graduação em Desenvolvimento 
Econômico (PPGDE) da Universidade Federal do Paraná (UFPR) e Pesquisador do Núcleo de Estudos 
em Desenvolvimento Urbano e Regional (NEDUR)
Material desenvolvido para a disciplina Economia Regional e Urbana do Curso de Ciências 
Econômicas da Universidade Federal do Paraná (UFPR). Os professores autorizam o uso 
desse material em outros cursos desde que devidamente citados os créditos.
Agosto/2020
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Modelo regional versus modelo inter-regional
• Modelo inter-regional de insumo-produto
• Exemplo numérico
• Multiplicadores
• Índices de ligação
2
Tópicos
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Modelo regional:
o Região desconectada do restante do país
o Não reconhece as inter-relações entre as regiões
o Efeitos econômicos subestimados
• Modelo inter-regional:
o Capta as ligações inter-regionais
o Efeito econômico total é maior 
3
Modelos regionais e inter-regionais
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 4
Modelo inter-regional
Importações (ML) Importações (MM) M
IIL (TL) IIL (TM) T
Produção Total (XL) Produção Total (XM)
Região L Região M
Sistema inter-regional de insumo-produto
IIL (TL) IIL (TM)
Valor Adicionado (WL) Valor Adicionado (WM)
Demanda Total
(XL)
Demanda Total
(XM)
Importações (ML) Importações (MM)
Demanda Final
(YLL)
Demanda Final
(YLM)
Demanda Final
(YML)
Demanda Final
(YMM)
Setores
Região L
Setores
Região M
Setores
Região L
Setores
Região M
Insumos 
Intermediários
(ZLL)
Insumos 
Intermediários
(ZLM)
Insumos 
Intermediários
(ZML)
Insumos 
Intermediários
(ZMM)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Para apresentar a estrutura básica do modelo inter-regional de insumo-
produto, suponha uma economia com:
o 2 (duas) regiões: L e M
o 3 (três) setores produtivos em L
o 2 (dois) setores produtivos em M
5
Modelo inter-regional
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 6
Modelo inter-regional
Sistema inter-regional - setor x setor
L L L M M
1 2 3 1 2
L 1 150 500 50 25 75 200 1000
L 2 200 100 400 200 100 1000 2000
L 3 300 500 50 60 40 50 1000
M 1 75 100 60 200 250 515 1200
M 2 50 25 25 150 100 450 800
225 775 415 565 235
1000 2000 1000 1200 800
Matriz IP
VA
PT
DF DT
Fonte: Miller e Blair (2009) – Many-Region Models: The Interregional Approach.
*Ver arquivo Excel.
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Dessa maneira, os fluxos monetários interindustriais (consumo 
intermediário) são representados pela matriz (𝐙):
𝐙 = 𝐙
LL 𝐙LM
𝐙ML 𝐙MM
em que 𝐙LL e 𝐙MM são as matrizes com os fluxos intra-regionais e 𝐙LM
e 𝐙ML as matrizes com os fluxos inter-regionais.
• Essa matrizes de fluxos intra-regionais e inter-regionais mostram os fluxos 
entre as indústrias de ambas as regiões (cada fluxo 𝑧ij):
𝐙 =
𝑧11
LL 𝑧12
LL 𝑧13
LL 𝑧11
LM 𝑧12
LM
𝑧21
LL z22
LL 𝑧23
LL 𝑧21
LM 𝑧22
LM
𝑧31
LL
𝑧11
ML
𝑧21
ML
𝑧32
LL
𝑧12
ML
𝑧22
ML
𝑧33
LL
𝑧13
ML
𝑧23
ML
𝑧31
LM 𝑧32
LM
𝑧11
MM 𝑧12
MM
𝑧21
MM 𝑧22
MM
7
Modelo inter-regional
(1)
(2)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• A produção total (produto) de cada um dos setores em cada uma da 
regiões é dada por:
𝑥1
L = 𝑧11
LL + 𝑧12
LL + 𝑧13
LL + 𝑧11
LM + 𝑧12
LM + 𝑦1
L
𝑥2
L = 𝑧21
LL + 𝑧22
LL + 𝑧23
LL + 𝑧21
LM + 𝑧22
LM + 𝑦2
L
𝑥3
L = 𝑧31
LL + 𝑧32
LL + 𝑧33
LL + 𝑧31
LM + 𝑧32
LM + 𝑦3
L
𝑥1
M = 𝑧11
ML + 𝑧12
ML + 𝑧13
ML + 𝑧11
MM + 𝑧12
MM + 𝑦1
M
𝑥2
M = 𝑧21
ML + 𝑧22
ML + 𝑧23
ML + 𝑧21
MM + 𝑧22
MM + 𝑦2
M
em que 𝑧ij
LL e 𝑧ij
MM são as vendas interindustriais dentro das regiões 
(intra-regional), 𝑧ij
LM e 𝑧ij
ML são as vendas interindustriais entre as 
regiões (inter-regional) e 𝑦i
L e 𝑦i
M são as vendas para os agentes de 
demanda final.
8
Modelo inter-regional
(3)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Assim como no modelo regional de insumo-produto, assumindo que cada 
um dos setores produz bens e serviços segundo uma “receita” fixa, 
podemos definir os coeficientes técnicos.
• Os coeficientes de insumo regional são dados por:
𝑎ij
LL =
𝑧ij
LL
𝑥j
L e 𝑎ij
MM =
𝑧ij
MM
𝑥j
M
• Os coeficientes de comércio inter-regional são dados por:
𝑎ij
ML =
𝑧ij
ML
𝑥j
L e 𝑎ij
LM =
𝑧ij
LM
𝑥j
M
o Esses coeficientes técnicos também são fixos no modelo inter-regional 
(os setores usam insumos em proporções fixas).
9
Modelo inter-regional
(4)
(5)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Utilizando os coeficientes de insumo regional e de comércio inter-regional, 
equações (4) e (5), podemos reescrever as equações de produção (3) 
como:
𝑥1
L = 𝑎11
LL𝑥1
L + 𝑎12
LL𝑥2
L + 𝑎13
LL𝑥3
L + 𝑎11
LM𝑥1
M + 𝑎12
LM𝑥2
M + 𝑦1
L
𝑥2
L = 𝑎21
LL𝑥1
L + 𝑎22
LL𝑥2
L + 𝑎23
LL𝑥3
L + 𝑎21
LM𝑥1
M + 𝑎22
LM𝑥2
M + 𝑦2
L
𝑥3
L = 𝑎31
LL𝑥1
L + 𝑎32
LL𝑥2
L + 𝑎33
LL𝑥3
L + 𝑎31
LM𝑥1
M + 𝑎32
LM𝑥2
M + 𝑦3
L
𝑥1
M = 𝑎11
ML𝑥1
L + 𝑎12
ML𝑥2
L + 𝑎13
ML𝑥3
L + 𝑎11
MM𝑥1
M + 𝑎12
MM𝑥2
M + 𝑦1
M
𝑥2
M = 𝑎21
ML𝑥1
L + 𝑎22
ML𝑥2
L + 𝑎23
ML𝑥3
L + 𝑎21
MM𝑥1
M + 𝑎22
MM𝑥2
M + 𝑦2
M
10
Modelo inter-regional
(6)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Isolando as demandas (𝑦i
L, 𝑦i
M) e colocando em evidência o produto (𝑥i
L, 
𝑥i
M), temos:
1 − 𝑎11
LL 𝑥1
L − 𝑎12
LL𝑥2
L − 𝑎13
LL𝑥3
L − 𝑎11
LM𝑥1
M − 𝑎12
LM𝑥2
M = 𝑦1
L
−𝑎21
LL𝑥1
L + 1 − 𝑎22
LL 𝑥2
L − 𝑎23
LL𝑥3
L − 𝑎21
LM𝑥1
M − 𝑎22
LM𝑥2
M = 𝑦2
L
−𝑎31
LL𝑥1
L − 𝑎32
LL𝑥2
L + 1 − 𝑎33
LL 𝑥3
L − 𝑎31
LM𝑥1
M − 𝑎32
LM𝑥2
M = 𝑦3
L
−𝑎11
ML𝑥1
L − 𝑎12
ML𝑥2
L − 𝑎13
ML𝑥3
L + 1 − 𝑎11
MM 𝑥1
M − 𝑎12
MM𝑥2
M = 𝑦1
M
−𝑎21
ML𝑥1
L − 𝑎22
ML𝑥2
L − 𝑎23
ML𝑥3
L − 𝑎21
MM𝑥1
M + 1 − 𝑎22
MM 𝑥2
M = 𝑦2
M
• Ou em termos matriciais:
(𝐈 − 𝐀)𝐱 = 𝐲
em que 𝐈 é a matriz identidade, 𝐀 a matriz de coeficientes técnicos, 𝐱 o 
vetor de produto e 𝐲 o vetor de demanda final.
11
Modelo inter-regional
(7)
(8)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Matriz de identidade:
𝐈 =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 0
1 0
0 1
ou 𝐈 =
𝐈 𝟎
𝟎 𝐈
• Matriz de coeficientes técnicos:
𝐀 =
𝑎11
LL 𝑎12
LL 𝑎13
LL 𝑎11
LM 𝑎12
LM
𝑎21
LL 𝑎22
LL 𝑎23
LL 𝑎21
LM 𝑎22
LM
𝑎31
LL
𝑎11
ML
𝑎21
ML
𝑎32
LL
𝑎12
ML
𝑎22
ML
𝑎33
LL
𝑎13
ML
𝑎23
ML
𝑎31
LM 𝑎32
LM
𝑎11
MM 𝑎12
MM
𝑎21
MM 𝑎22
MM
ou 𝐀 = 𝐀
LL 𝐀LM
𝐀ML 𝐀MM
12
Modelo inter-regional
(9)
(10)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Vetor de produção:
𝐱 =
𝑥1
L
𝑥2
L
𝑥3
L
𝑥1
M
𝑥2
M
ou 𝐱 = 𝐱
L
𝐱M
• Vetor de demanda final:
𝐲 =
𝑦1
L
𝑦2
L
𝑦3
L
𝑦1
M
𝑦2
M
ou 𝐲 =
𝐲L
𝐲M
13
Modelo inter-regional
(11)
(12)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Ou seja, podemos reescrever a equação (8), (𝐈 − 𝐀)𝐱 = 𝐲, como:
𝐈 𝟎
𝟎 𝐈
− 𝐀
LL 𝐀LM
𝐀ML 𝐀MM
𝐱L
𝐱M
=
𝐲L
𝐲M
• Rearranjando, temos a equação básica do modelo de insumo-produto 
inter-regional:
𝐱L
𝐱M
=
𝐈 𝟎
𝟎 𝐈
− 𝐀
LL 𝐀LM
𝐀ML 𝐀MM
−𝟏 𝐲L
𝐲M
𝐱L
𝐱M
= 𝐁
LL 𝐁LM
𝐁ML 𝐁MM
𝐲L
𝐲M
em que 𝐈 − 𝐀 −1 = 𝐁 é a matriz inversa de Leontief.
14
Modelo inter-regional
(13)
(15)
(14)
𝐱 = 𝐈 − 𝐀 −1𝐲
𝐱 = 𝐁𝐲
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Quais são as vantagens e desvantagens do modelointer-regional de 
insumo-produto?
𝐱 = 𝐈 − 𝐀 −1𝐲
𝐱 = 𝐁𝐲
𝐱L
𝐱M
= 𝐁
LL 𝐁LM
𝐁ML 𝐁MM
𝐲L
𝐲M
• Vantagem: captura a magnitude de efeitos sobre cada setor em cada uma 
das regiões.
• Desvantagem: aumento da necessidade de dados e a hipótese 
necessária de relações de comércio constantes.
15
Modelo inter-regional
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Suponha um aumento na demanda por automóveis da FIAT produzidos 
em Minas Gerais (MG).
• Efeito spillover inter-regional:
• Efeito spillover inter-regional:
• Efeito feedback:
• O modelo inter-regional permite isolar a magnitude destes efeitos!
16
Modelo inter-regional
Aumento da produção 
da FIAT em MG
Aumento da produção 
de componentes em SP
Aumento da produção 
de componentes em SP
Aumento da produção 
de alumínio em MG
Aumento da produção 
da FIAT em MG
Aumento da produção 
de componentes em SP
Aumento da produção 
de alumínio em MG
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Para ver isso, podemos, a partir da equação (13), definir 𝐘𝐋 e 𝐘𝐌 da 
seguinte maneira:
𝐈 − 𝐀LL 𝐗L − 𝐀LM𝐗M = 𝐘𝐋
−𝐀ML𝐗𝐋 + 𝐈 − 𝐀MM 𝐗M = 𝐘𝐌
• Suponha que 𝐗L, 𝐗M, 𝐘L e 𝐘𝐌 represente Δ𝐗L, Δ𝐗M, Δ𝐘L e Δ𝐘𝐌.
• Se temos Δ𝐘L e Δ𝐘𝐌 (variações na demanda final nas duas regiões), 
podemos encontrar as variações na produção das duas regiões.
• Entretanto, se assumirmos Δ𝐘𝐌 = 0, podemos calcular o impacto de 
variações na demanda final da região L (Δ𝐘L) sobre as duas regiões.
17
Modelo inter-regional
(16)
(17)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Se 𝐘𝐌 = 0, temos:
−𝐀ML𝐗𝐋 + 𝐈 − 𝐀MM 𝐗M = 0
• Rearranjando, temos:
𝐈 − 𝐀MM 𝐗M = 𝐀ML𝐗𝐋
• Isolando 𝐗M:
𝐗M = 𝐈 − 𝐀MM
−𝟏
𝐀ML𝐗𝐋
• Substituindo (20) em (16):
𝐈 − 𝐀LL 𝐗L −𝐀LM 𝐈 − 𝐀MM
−𝟏
𝐀ML𝐗𝐋 = 𝐘𝐋
18
Modelo inter-regional
Resultado do modelo 
para uma região
Demanda adicional 
devido as relações de 
comércio: feedback
(18)
(19)
(20)
(21)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Os componentes da equação (21),
𝐈 − 𝐀LL 𝐗L −𝐀LM 𝐈 − 𝐀MM
−𝟏
𝐀ML𝐗𝐋 = 𝐘𝐋
podem ser interpretados como:
o 𝐀ML𝐗𝐋 - captura a magnitude dos fluxos de M para L dado o aumento 
do produto em L;
o 𝐈 − 𝐀MM
−𝟏
𝐀ML𝐗𝐋 - traduz os fluxos em requisitos diretos e indiretos 
em M para produzir os insumos necessários;
o 𝐀LM 𝐈 − 𝐀MM
−𝟏
𝐀ML𝐗𝐋 - indica a magnitude das vendas adicionais de L 
para M necessárias para a produção total em M.
19
Modelo inter-regional
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Portanto, resumidamente temos que:
o O modelo regional considera:
𝐗L − 𝐀LL𝐗L = 𝐘𝐋
ou em termos de produto:
𝐗L = 𝐈 − 𝐀LL
−𝟏
𝐘𝐋
o Enquanto o modelo inter-regional considera:
𝐗L − 𝐀LL𝐗L − 𝐀LM 𝐈 − 𝐀MM
−𝟏
𝐀ML𝐗𝐋 = 𝐘𝐋
ou em termos de produto:
𝐗L = 𝐈 − 𝐀LL − 𝐀LM𝐁MM𝐀ML
−𝟏
𝐘𝐋
20
Modelo inter-regional
(22)
(23)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 21
Exemplo numérico*
Sistema inter-regional - setor x setor
L L L M M
1 2 3 1 2
L 1 150 500 50 25 75 200 1000
L 2 200 100 400 200 100 1000 2000
L 3 300 500 50 60 40 50 1000
M 1 75 100 60 200 250 515 1200
M 2 50 25 25 150 100 450 800
225 775 415 565 235
1000 2000 1000 1200 800
Matriz IP
VA
PT
DF DT
Fonte: Miller e Blair (2009) – Many-Region Models: The Interregional Approach.
*Ver arquivo Excel.
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 22
Exemplo numérico
Matriz de coeficientes técnicos
L L L M M
1 2 3 1 2
1 0,150 0,250 0,050 0,021 0,094
2 0,200 0,050 0,400 0,167 0,125
3 0,300 0,250 0,050 0,050 0,050
1 0,075 0,050 0,060 0,167 0,313
2 0,050 0,013 0,025 0,125 0,125
A
𝑎ij
LL =
𝑧ij
LL
𝑥j
L
𝑎12
LL =
𝑧12
LL
𝑥2
L =
500
2000
= 0,250
Exemplo:
Sistema inter-regional - setor x setor
L L L M M
1 2 3 1 2
L 1 150 500 50 25 75 200 1000
L 2 200 100 400 200 100 1000 2000
L 3 300 500 50 60 40 50 1000
M 1 75 100 60 200 250 515 1200
M 2 50 25 25 150 100 450 800
225 775 415 565 235
1000 2000 1000 1200 800
Matriz IP
VA
PT
DF DT
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• A partir da matriz A, a podemos calcular a matriz inversa de Leontief
𝐈 − 𝐀 −1:
23
Exemplo numérico
Matriz inversa de Leontief
L L L M M
1 2 3 1 2
1 1,423 0,465 0,291 0,192 0,304
2 0,635 1,424 0,671 0,409 0,456
3 0,638 0,537 1,336 0,250 0,311
1 0,267 0,200 0,197 1,341 0,547
2 0,147 0,091 0,093 0,215 1,254
(I-A)-1
𝐁LL 𝐁LM
𝐁ML 𝐁MM
=
𝐈 𝟎
𝟎 𝐈
− 𝐀
LL 𝐀LM
𝐀ML 𝐀MM
−𝟏
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Se considerarmos apenas o 𝐀LL, como no modelo regional, temos a 
seguinte matriz inversa de Leontief 𝐈 − 𝐀LL
−1
:
• Quão diferente são os resultados dos modelos (regional e inter-regional) 
dado variações na demanda final da região L?
24
Exemplo numérico
Matriz inversa de Leontief - região L
L L L
1 2 3
1 1,365 0,425 0,251
2 0,527 1,348 0,595
3 0,570 0,489 1,289
(I-ALL)-1
Matriz de coeficientes técnicos - região L
L L L
1 2 3
1 0,150 0,250 0,050
2 0,200 0,050 0,400
3 0,300 0,250 0,050
ALL
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 25
Modelo regional versus inter-regional
Modelo inter-regional
Y X
1 100 1 142,34
2 0 2 63,46
3 0 3 63,83
1 0 1 26,72
2 0 2 14,68
Modelo regional
YL XL
1 100 1 136,51
2 0 2 52,73
3 0 3 56,98
O modelo regional 
subestima o produto total 
da região L. O erro é de 
8,68% do valor verdadeiro 
(modelo inter-regional).
Erro
8,68%
∆𝐱𝐋 = 𝐈 − 𝐀𝐋𝐋
−1
∆𝐲𝐋
෍
𝑖=1
3
𝑥i
L = 246,23
෍
𝑖=1
3
𝑥i
L = 269,63
∆𝐱 = 𝐈 − 𝐀 −1∆𝐲
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• O multiplicador total de produção no modelo inter-regional é dado por:
oRegião L:
𝑂j
L = 𝑂j
LL + 𝑂j
ML
𝑂j
L =෍
𝑖=1
𝑛
𝑏ij
LL +෍
𝑖=1
𝑛
𝑏ij
ML
oRegião M:
𝑂j
M = 𝑂j
MM + 𝑂j
LM
𝑂j
M =෍
𝑖=1
𝑛
𝑏ij
MM +෍
𝑖=1
𝑛
𝑏ij
LM
26
Decomposição regional do 
multiplicador
(24)
(25)
(26)
(27)
Efeito
intra-regional
Efeito
inter-regional
Efeito
intra-regional
Efeito
inter-regional
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 27
Exemplo numérico
Matriz inversa de Leontief
L L L M M
1 2 3 1 2
1 1,423 0,465 0,291 0,192 0,304
2 0,635 1,424 0,671 0,409 0,456
3 0,638 0,537 1,336 0,250 0,311
1 0,267 0,200 0,197 1,341 0,547
2 0,147 0,091 0,093 0,215 1,254
Total 3,110 2,717 2,588 2,407 2,872
(I-A)-1
Multiplicador de produção da Região L (setor 1):
Efeito
intra-regional
Efeito
inter-regional
Exemplo:
𝑂1
L =෍
𝑖=1
𝑛
𝑏i1
LL +෍
𝑖=1
𝑛
𝑏i1
ML
𝑂1
LL =෍
𝑖=1
𝑛
𝑏i1
LL = 1,423 + 0,635 + 0,638 = 2,696
Efeito
intra-regional
Efeito
inter-regional
𝑂1
L = 𝑂1
LL + 𝑂1
ML
𝑂1
ML =෍
𝑖=1
𝑛
𝑏i1
ML = 0,267 + 0,147 = 0,414
𝑂1
L = 2,696 + 0,414 = 3,110
Multiplicadores 
de produção
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Multiplicador total de produção (região L):
𝑂j
L = 𝑂j
LL + 𝑂j
ML
• Decomposição simples:
𝑂j
L
𝑂j
L
=
σ𝑖=1
𝑛 𝑏ij
LL
𝑂j
L
+
σ𝑖=1
𝑛 𝑏ij
ML
𝑂j
L
⇒ 1 = 𝑜j
LL + 𝑜j
ML
• Decomposição líquida:
𝑂j
L − 1
𝑂j
L − 1
=
σ𝑖=1
𝑛 𝑏ij
LL − 1
𝑂j
L − 1
+
σ𝑖=1
𝑛 𝑏ij
ML
𝑂j
L − 1
⇒ 1 = 𝑜𝑙j
LL + 𝑜𝑙j
ML
• Similarmente, podemos decompor o multiplicador para região M.
28
Decomposição regional do 
multiplicador
(28)
(29)
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 29
Exemplo numérico
Multiplicadores totais
Região L 1 2 3
Intra-regional 2,696 2,426 2,298
Inter-regional 0,414 0,291 0,290
Total 3,110 2,717 2,588
Decomposição simples
Região L 1 2 3
Intra-regional 86,7%89,3% 88,8%
Inter-regional 13,3% 10,7% 11,2%
Total 100% 100% 100%
Decomposição líquida
Região L 1 2 3
Intra-regional 80,4% 83,1% 81,7%
Inter-regional 19,6% 16,9% 18,3%
Total 100% 100% 100%
𝑂1
L
𝑂1
L =
𝑂1
LL
𝑂1
L +
𝑂1
ML
𝑂1
L
3,110
3,110
=
2,696
3,110
+
0,414
3,110
1 = 0,867 + 0,133
Decomposição simples
1 = 𝑜1
LL + 𝑜1
ML
Decomposição líquida
𝑂1
L − 1
𝑂1
L − 1
=
𝑂1
LL − 1
𝑂1
L − 1
+
𝑂1
ML
𝑂1
L − 1
1 = 𝑜𝑙1
LL + 𝑜𝑙1
ML
3,110 − 1
3,110 − 1
=
2,696 − 1
3,110 − 1
+
0,414
3,110 − 1
1 = 0,804 + 0,196
Multiplicador da Região L (setor 1):Exemplo:
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 30
Exemplo numérico
Multiplicadores totais
Região L 1 2 3
Intra-regional 2,696 2,426 2,298
Inter-regional 0,414 0,291 0,290
Total 3,110 2,717 2,588
Decomposição simples
Região L 1 2 3
Intra-regional 86,7% 89,3% 88,8%
Inter-regional 13,3% 10,7% 11,2%
Total 100% 100% 100%
Decomposição líquida
Região L 1 2 3
Intra-regional 80,4% 83,1% 81,7%
Inter-regional 19,6% 16,9% 18,3%
Total 100% 100% 100%
Multiplicadores totais
Região M 1 2
Intra-regional 1,556 1,801
Inter-regional 0,851 1,071
Total 2,407 2,872
Decomposição simples
Região M 1 2
Intra-regional 64,6% 62,7%
Inter-regional 35,4% 37,3%
Total 100% 100%
Decomposição líquida
Região M 1 2
Intra-regional 39,5% 42,8%
Inter-regional 60,5% 57,2%
Total 100% 100%
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Por que determinados setores têm impacto acima da média sobre outros 
setores?
• Rasmussen (1952) e Hirschman (1958) utilizam dois índices para mostrar 
tais diferenças:
o Linkages para trás (poder de dispersão) – Uj: determina o quanto um 
setor demanda dos demais setores da economia.
o Linkages para frente (sensibilidade da dispersão) – Ui: determina o 
quanto este setor é demandado pelos demais setores da economia.
31
Índices de ligação
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• A base de cálculo dos índices é feita com informações da matriz inversa 
de Leontief (B):
o 𝑏ij – elementos da matriz inversa de Leontief;
o 𝑏.j = σi=1
𝑛 𝑏ij – soma dos elementos de B nas colunas;
o 𝑏i. = σj=1
𝑛 𝑏ij – soma dos elementos de B nas linhas;
o 𝑏.. = σi=1
𝑛 σj=1
𝑛 𝑏ij – soma de todos os elementos de B;
o 𝑛 – número de setores;
o ൗ
𝑏.j
𝑛 – valor médio dos elementos na coluna j;
o Τ𝑏i. 𝑛 – valor médio dos elementos na linha i;
o 𝐵∗ = ൗ𝑏.. 𝑛2 - média dos elementos da matriz inversa de Leontief (B).
32
Índices de ligação
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Os índices são dados por:
o Índice de ligação para trás:
𝑈j =
ൗ𝑏.j 𝑛
𝐵∗
Se Uj > 1 – indica que uma mudança unitária na demanda final do setor j
cria um aumento acima da média na economia, ou seja, o setor j gera uma 
resposta dos outros setores acima da média.
o Índice de ligação para frente:
𝑈i =
ൗ𝑏i. 𝑛
𝐵∗
Se Ui > 1 – indica que uma mudança unitária na demanda final de todos os 
setores cria um aumento acima da média no setor i. O setor i tem uma 
dependência acima da média da produção dos outros setores.
33
Índices de ligação
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale
• Se
𝑈j =
ൗ
𝑏.j
𝑛
𝐵∗
> 1 e 𝑈i =
ൗ𝑏i. 𝑛
𝐵∗
> 1
então o setor é considerado um setor-chave na economia!
• Setores-chave: setores que contribuem acima da média para o 
crescimento da economia.
34
Índices de ligação
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 35
Índices de ligação
Matriz inversa de Leontief
L L L M M
1 2 3 1 2 Bi. Bi./n
1 1,423 0,465 0,291 0,192 0,304 2,675 0,535
2 0,635 1,424 0,671 0,409 0,456 3,594 0,719
3 0,638 0,537 1,336 0,250 0,311 3,072 0,614
1 0,267 0,200 0,197 1,341 0,547 2,552 0,510
2 0,147 0,091 0,093 0,215 1,254 1,799 0,360
B.j 3,110 2,717 2,588 2,407 2,872
B.j/n 0,622 0,543 0,518 0,481 0,574
n2 25
B.. 13,694
B* 0,548
(I-A)-1
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 36
Índices de ligação
P/Frente Média P/Trás Média P/Frente P/Trás
Bi. Bi./n B.j B.j/n Ui Uj
2,675 0,535 3,110 0,622 0,977 1,136 Não
3,594 0,719 2,717 0,543 1,312 0,992 Não
3,072 0,614 2,588 0,518 1,122 0,945 Não
2,552 0,510 2,407 0,481 0,932 0,879 Não
1,799 0,360 2,872 0,574 0,657 1,049 Não
Setor-Chave
Multiplicador Índice de ligação
Lembre-se:
o Índice de ligação para frente:
o Índice de ligação para trás:
B* 0,548
𝑈j =
ൗ𝑏.j 𝑛
𝐵∗
𝑈i =
ൗ𝑏i. 𝑛
𝐵∗
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 37
Referências
Básica:
• MILLER, R. E.; BLAIR, P. D. Input-Output Analysis: Foundations and 
Extensions. Prentice-Hall, 2009.
• GUILHOTO, J. J. M. Análise de Insumo-produto: teoria e fundamentos. 
2011. (MPRA Paper No. 32566)
Complementar:
• HADDAD, E. Modelos Aplicados de Equilíbrio Geral – EAE 5918. 
Núcleo de Economia Regional e Urbana da Universidade de São Paulo, 
2019.
• HADDAD, E.; VALE, V. A. Curso de Métodos de Análise Regional e 
Inter-regional. Núcleo de Economia Regional e Urbana da Universidade 
de São Paulo. Programa de Extensão Nereides, 2017.
https://mpra.ub.uni-muenchen.de/32566/
http://www.usp.br/nereus/?p=4052
http://www.usp.br/nereus/?p=5784
Economia Regional e Urbana – SE314 – Prof. Alexandre Porsse e Prof. Vinícius Vale 38
Contato
• Professores:
Prof. Alexandre Alves Porsse:
porsse@gmail.com
Prof. Vinícius de Almeida Vale:
vinicius.a.vale@gmail.com
mailto:porsse@gmail.com
mailto:vinicius.a.vale@gmail.com