Um Curso de Álgebra Linear - Coelho e Lourenço

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Aos nossos pais, 
Geraldo e Ma ri na 
José e Aparecida 
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SuMÁRIO 
Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 
1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
1.1 Nún1eros..... . ........ . .. . .. . ............................... 17 
1.2 Corpos...................................................... 20 
1.3 Resolução de Sistemas Lineares .. .. .. . . .. . . .. . .. .. .. . . . .. 23 
1.4 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 
2. Espaços Vf'toriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 
2.1 Espaços Vetoriais.......................................... 39 
2.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 
2.3 Espaços Vetoriais Finitamente Gerados................ 51 
2.4 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 
2.5 :Métodos Práticos para Completamento de Base . . . . . . . . 67 
2.6 Somas Diretas.............................................. 71 
2.7 Espaços Quocientes........................................ 74 
~: ~g.~ Apêndiee ..... ;-... ~ .... ·-·" ~ ~~· . ...:t.· ••• . • . • . . . • • • . . . . . . . . . . . . . . . 76 
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a. I OIIC ~ao l)(lslco~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 
3.2 N1ícko c n Imagem de uma 1\·u.ttHfonnação Linear... 85 
a.u I omodismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 
3.11 1\'lnt.l'izcs ele .rlhmsformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911 
3.G O Espuço L(U. V') ......................................... 101 
I• uwiounis Lincar~s ............................................. 109 
1.1 O gHpaço Dual ............................................. 109 
1.2 O Espaço Bidual ......... . ................................. 117 
.3 lliperplano!"i ................................................ 119 
.d Anuladores ................................................. 124 
-.5 'l'rnnspostas de 'Transformações .......................... 127 
'· li'ot Illll:i Canonicas ............................................... 133 
(i. I Operadores Diagonalizáveis ............................... 134 
ú.2 Subespaços T-invariantes ................................. 146 
5.H Polinômios 1-.Iinimais de operadores e o Teorema de 
Cayley-Hamilton ........................................... 148 
5.~1 Espaços vetoriais T-cíclicos ....... .' ....................... 153 
Ci.& Operadores Nllpot.entes ................................... 158 
• 
lj,O Formas de Jordan ......................................... 166 
li, l~Hpaços com Produto Interno .................................. 173 
h. I Produto Interno ........................................... 173 
li.2 Ortogonalidade ............................................ 184 
fl.3 Subespaço Ortogonal ........................ ~ ............. 191 
fi.~t A Melhor Aproximação ................................... 194 
fi.ó Transformações qu~ Preservam Produtos Internos ...... 201 
7. Adjuntos ......................................... . .............. 207 
7 . I ft\mcionais Lineares e Adjuntos ........................... 207 
1:2 Autoadjuntos .............................................. 218 
7.:1 Operadores Unitários ...................................... 222 
7A Operadores N ormaü; ....................................... 225 
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M. Fot'tnas Bilineares ................................ . .... · .. . ....... 231 . 
1- ., • /11 I .._ 
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Leonardo
Realce
Sutndt n • 1 J 
8.1 Fonnus Biliucnrcs .......................................... 231 
8.2 Forma.'i Simétricas ................... : ..................... 23!) 
8.3 Formas QuadráUcas ....................................... 242 
8.4 Reconhcdmento de Quádricas ............................ 246 
Bibliografia .......................................................... 25 7 
Índice Remissivo .................................................... 259 
Sobre os Autor<'s ........................ • ............................ 263 
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PREFÁCIO 
Os conceitos envolvidos em Álgebra Linear constituem atual-
mente ferramentas bastante úteis nas várias áreas da Matemática, 
quer seja explorando apenas os seus aspectos mais algébricos, quer 
seja levando em conta os aspectos geométricos e topológicos embu-
tidos na teoria. Com isto, ela se torna bastante útil na resolução de 
sistemas de equações lineares, equações diferenciais, aproximações, 
interpolação, reconhecimento de quádricas, apenas para citar alguns 
problemas matemáticos. Conceitos básicos de Álgebra Linear são 
normalmente ensinados em praticamente todos os cursos de gra-
duação nas áreas de Ciências Exatas e um aprofundamento deles 
é essencial em muitos desses cursos. especialmente os de Matemática 
e Física. 
Este texto foi desenvolvido ao longo dos últimos anos a partir 
de nossa experiência em lecionar disciplinas de Álgebra Linear I e 
li nos cursos de graduação e pós-graduação na Univen;idade de São 
Paulo. Nosso objetivo ao escrevê-lo não foi o de suprir um texto 
element-ar d.e.. Álgebr~ Ljn,ear, ~sim, um texto para um segundo 
'.) f Á <\. I _ ··- .. -~ • t',. 
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pn.rn posterior uliliznçi\o. Nost c cspírit o, ucrcdit amos 
qu.. l• po Cl s rvir· como livro-texto lauto de uma H<'g,unda disci-
pJinn 1111 .Aigehl'n Lincur em cursos d<' grnclua.ção, como também de 
1111111 di ~olpliuu de pt~s-grnchmçno. Algum; tópicos tratados aqui não 
llltll Hlltahnente ministrados <'111 di~ciplina.o..; de graduação como, por 
P ('lllplo, ll fonun de .Jordan, mru:; são csscnciai~ em cur:so:s de pó::;-
J',I ~tduo •ãu. Assim também como muitos resultados provados no texto 
JHII n 13 <'hntmLClos espaços vetoriais de dim~nsão finita podem ser 
~'''""I nlizndo~ para cspaçm; wtoriais arbitrários. As demonstrações 
dt' lnis g uemliznçõ~ são deixadas, via de regra, como exercícios para 
''fi ll'itorcs. Orgnni:tamos o texto de tal forma que possa servir a estes 
doi ptltJlicmHllvo. 
O uos:;o enfoque aqui é principalrrH'nte algébrico, sem, porém. 
ru· a segundo plano os aspectos geométricos. Esta escolha se ba.-
Bt In pt•iucipalmcnte em nossa convicção de que, com bto, é possível 
Jc•ssnl'tnl' melhor os conceitos formais que norteiam a teoria. Tivemos 
11 lut ·nçfw ele fazer um texto autossuficiente para um aluno univer-
Hilário du lÍH'H. de Exatas que tenha uma ('Crta maturidade matemá-
li(·u.E nos .. 'm expectativa é que. ao final de sua leitura, o aluno tenha 
t'o11dit;oc.•s de• utilizar bem a ferramenta Álgebra Linear. 
Ao contrário das disciplinas básicru:; de Álgebra Linear nas 
quuis siio c."'tudados os chamados espaços vetoriais sobre o conjunto 
dos n•1mcros reais, o que estudaremos aqui são espaços vetoriais so-
bJ tUrw t•strutura algébrica mais geral chamada de corpo. o que 
uu.:ltti, por exemplo, além do conjunto de números ~cais, o conjunto 
do uúuleros complexos. Iremos no Capítulo 1 relembrar estes con-
< "h i'lS c também outros qn<' s<>rão úteis ao longo do texto como, por 
t'Xf'lltplo, resolução de sistemas lineares, matrizes e determinantes. 
O Capítulo 2 será dedicado à introdução dos conceitos de 
t•Hpuc•u vetorial e de base que scrviTão de alicerce ao que virá a seguir. 
No~ Capítulos 3, 4 e 5 estudaremos certas funções entre espaços ve-
101 inis chamadas de transformações lineares, primeiramente de uma 
utntuJin• mais geral e depois particularizatl(lo os seus domínios e con: 
t 1 nclruuínios. . ... ~~ ... ~..... ., ............. 
No Capít.ulo 6 iremos definrr 'rio::; CHpaços vetoríais os chama- ·.-........ ,v. • • • 
... 
dos produt.os iutm·nos c cou1 isto go11cralizar resultados usuais sobre o 
<.'~paço cuclidlano lR 3 . No Capítulo 7 voltaremos a estudar as trans-
formações lineares, mas agora levando-se em conta produtos internos 
nos espaços do domínio e contradomínio. Por fim, o Capítulo 8 será 
dedicado às formas bilineares, voltado principalmente para o reco-
nlwcimento de quádricas. 
Gostaríamos de deixar aqui registrado os nossos agradecimen-
tos aos vários alunos de nossos cursos que leram versões preliminares 
deste texto c nos auxiliaram muito ao .apontarem imprecisões e su-
gerirem melhorias. De forma particulaT, agTadecemos a Daniela M. 
S. Vieira pela especial ajuda com que nos auxiliou nesta tarefa. 
Dezembro de 2000 
Nesta segunda edição, além de uma revisão geral, fizemos 
várias modificações pontuais ao longo do texto c de forma mais sig-
nificativa no Capítulo 5. Gostaríamos de agradecer comentários de 
vários colegas que muito nos ajudaram a preparar esta nova edição, 
de forma particular ao Vitor ue Oliveira FerreiTa por suas valiosas 
sugestões. 
Novembro de 2004 
Nesta reimpressão da segunda edição, foram feitos apenas 
acertos pontuais decorrentes de erros de digitação. 
Agosto de 2010 
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1 
PRELIMINARES 
Neste capít nlo recordamos algum; fato~ e estabelecemos algu-
mas notações que serão utilizadas ao longo do livro. Assumiremos, 
no entanto, que o leitor esteja familiarizado com o material exposto 
aqui e, em particular, não faremos as demonstrações dos resultados 
aqui enunciados. Indicamos os textos [AR]. [HK], (N] e [PC] para 
maiores detalhes. 
1.1 NÚMEROS 
1.1.1 Comecemos discutindo os vários conjuntos numéricos que serão 
utilizados ao longo do texto. 
Números Naturais N = {1 , 2. ···L No = {O ~ 1. 2. · · · }. 
Números Inteiros Z = {- · · . -2, - 1,0: 1, 2, · · · }. 
Números Racionais Q = {~ : p, q E Z c q =1- 0}. 
N~ervs Reai8 -0 coujiiDto dos.nV-lP..crG.S._reais será denotado por R. 
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nll'á·ln Ít•Cilro ut o t rn livros de mullise mnt cmftticn. Tln-
<'ottt 11 ldcin Intuitiva mnmlmcnt.e ussodn.d~t n. <•st.P con-
h HH>R nt.ili:~.ar nntnrnlul<'ntc H.H opcraçoe:; de soma e multi-
pli n !lO usuais nestes conjuntos. Quando quisermos indicar os sub-
' 1 Jtjllnlns de Z, Q c IR cxchtindo-lw o número O, indican•mos por 
Z '" , Q • o R • , re.-;pcctivamentc. 
1.1 .2 Nú~mHos CoMPLExos 
I lo resto dcltta Heção iremos nos concentrar no conjunto dos 
lllllllP-ro complexos. 
O conjunto dos númems romple:ros é o conjunto 
C = {a+ bi: a, b E lR} 
IH Unido das operações a seguir. Se z = a + bi , w 
d •11uiruos n sua soma por 
c+ di E C, 
z + w = (a t- bi) +(c+ di) = (a+ c)+ (b + d)i 
u produto por 
z · w = (a+ bi) ·(c + di)= (ac - bd) + (bc -1 ad)i. 
&'Vf' que, nesta operação, i 2 = i· i = -1. O elemento i é chamado 
d(• inwgwârio pum. Em geral, se z = a + bi. com a, b.,E lR, denotamos 
u • l'(;(z) (a par·le real dez) e b = im(z) (a parte imaginár·ia de z). 
/\R tm, ,. = re( z ) + im (z )i. 
Muitas vcJ~:cs, é conveniente representar os númPros complexos 
w v111CLri('nmentc como pontos de um plano. 1\Iunimos o plano lR :l 
elo Jllllllcirn usual com os eixos cartesianos e identificamos o número 
eomplo.'\:o z = a+ bi com o ponto (a.b) E JR 2. De modo alternativo, 
pod •mos usar coordenada...-, polares (-', portanLo, para (a, b) E lR 2 , 
lc'l' mos que a - r cos B e b = r sen 8. oud(-' r(: a distância da origem 
do plono no ponto (a, b) e 8 indica o angulo formado cntrP o <'ixo O.r .. - ..... . . ...._ " ........ ~... . 
c· 11 l ct a que pa..'5sa pela origem do 11hi'nà é por (a, b). _. · -- .. .. ·" ..... • · ~ "" · 
. . . " .. 
I 1 dun i.1t111 r~B • I V 
L<·mhrrullos que o móclulo de nm níunero complexo z é definido 
eomo srttdo 
A representação polar de um número complexo não nulo z será então 
z = T c os () + i T sen () = r ei0 , onde r = I z 1-
b ............. . (a,b)-z=a+bi 
a 
Dado z = a + bi, o conjugado complexo de z é definido como 
sendo z := a- bi. Na forma polar, se z = r ei6 então z = T e-iB. 
Considerar o conjugado de um número complexo cor-responde, geo-
metricamente, a refleti-lo em relação ao eixo real Ox. 
1.1.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
O próximo teorema será de fundamental importância quando 
discutirmos raízes de certos polinômios no Capítulo 5. Não daremos 
a sua demonstração aqui, mas ela pode ser encontrada facilmente em 
livros de álgebra. 
TEOREMA. Todo polinômio com coeficientes em C possm raízes 
complexas. 
Um conjunto que satisfaz a propriedade do teorema acima é 
dito algebricamente fechado. Não é difícil ver que os conjuntos Q e 
R não são algebricamente fechados , isto é, existem polinômios em Q 
e em R que não possuem raízes nestes conjuntos. 
1.1.4 EXERCÍCIO 
(1) Verifique que as seguintes propriedades valem para todos z, 
.. • ... ; Yil......,.....E C : .. J~~ .. • .,. ._ ... ~·~·,, ...... ~ ......... ---~ .... ~ .... ... ~~·· 
. '" ....... -.~-'"·"P.~ -.... 
(u) 
(h) t +! c$ 2rtJ (z), z- z - 2i im (z). 
(c) l!l = lzl z · z = lzl2 • 
(d) z + 111 = ~ + w (.! 2. w = z . w. 
(o) lz · wl = lzl · I wl. 
'(f) lz + wl2 = lzl2 + lwl 2 + 2 rc (z · w). 
(g) I/'(! (z)l < lzl: lim (z)l < lzl. 
(h) iz ·I wl ·$ lzl + lwl. 
(i) llzl-lu·ll < lz+ wj. 
(j) z-1 = z-1 
1.2 COHPOS 
1.2.1 Como dh;scmos na introdução, um dos objetivos drstas notas 
e 'I • ·• uvolvcr o conceito de espaço vetorial sobrr corpos arbitrários. 
I 1Ht(l !.nulo, começamos com a seguinte definição. 
Dt:WlNIÇAO. Um conjunto nao vazio lK é um corpo se em 1K pu-
cl rmos definir uua.":i operações. denotada .. <.; por -1 (adição) c . (multi-
pllc'rwãCJ), satisfazendo as seguintes propriedades: 
(A l) 11 + ú = b t- a, \/ a, b E IK (propriedade comutativa). 
(A2) o·l (b l c)= (a+b)+c, \/ a,b,c E lK (pmpriedade associativa). 
(A:~) Existe um elemento em lK, denotado por O e.chamado de Ple-
mcnlo neutro da adição, que satisfaz O+ a = a+O = a, \/a. E lK. 
(A4) Parn cada a E IK. existr nm elemento em lK, denotado por 
-a c chamado de oposto de a (ou inverso aditivo de a) tal que 
n + (-a) = (-a)+ a= O. 
(f\11) u · b b ·a, \/ a. b E lK (propriedade comutativa). 
(~12) ft • (b ·c:)= (a· b) ·c, 'r:/ o, b. c E OC (propr·iedade associativa). 
(~1!1) mxiste um elemento em li{' denotado por 1 e chamado de el~- .•. • ... 
- fi' • .... • .. <# ~ "".. ~_.... ..._ t:"' -.1• 
tncnto nr•1Ltro da multiphcar;ão, tal que l·a = a·l = a. \/a E, 1K. · . . . . . .. r • 1 
.. , · .. . 
,\ .. .. 
(~f 1) I 1u'n cndn "l,~n nlo nfio mtlo a. E IK, exiHtc um elemento em 
K, denotado por a - 1 c chamadode inver·so multiplicatwo de 
o, tal que a· a- 1 = a- 1 ·a = 1. 
(D) (a + b) ·c= a· c+ b ·c, 'V a, b, c E OC (propriedade distributiva). 
Como é usual , vamos muitas vezes simplificar a notação do 
produto indicando simplesmente ab para o produto a · b. 
1.2.2 EXEMPLOS 
(a) São exemplos de corpos: Q. R c C. O conjunto Z não é corpo, 
pois a propriedade (NI4) não é batisfeita para este conjunto. 
(b) Seja Q ( J2) o conjunto formado pelos elementos a+ bvÍ2 com 
a,b E Q. Dados a + bvÍ2 E Q(J2) e c + dvÍ2 E Q(J2), defina 
a soma c o produto, respectivamente, como: 
• (a+bJ2) + (c+dJ2) = (a+c)+(b + d)J2 E Q(J2). 
• (a+bJ2) · (c+ dJ2) = (ac , 2bd) + (ad+bc)J2 E Q ( J2). 
Deixamos a cargo do leitor a verificação de que Q ( J2) é um 
corpo. Em particular, determine o inverso de um elemento 
a+ bJ2 =I= O em Q ( J2). 
(c) Vamos olhar algmlS conjuntos finitos que são corpos. Sejam 
um inteiro positivo não nulo e defina as seguintes operações no 
conjunto Zm = {0, I , ··· , m · 1}: 
• a+ b = c, onde c é o resto da divisão de a+ b por m. 
• ã · b = d: onde d é o resto da divisão de a· b por m. 
Por exemplo, se rn = 6, teremos que Zm = {0, T, 2, 3, 4, 5} com 
_ ~ : .. • .. ~ li.'f seguintes·imbelas de-opeP~~ .. , ...-.w-.--·r· -..... ,. 
• -t - ... ~ '-r"'-~ ... 
·-~ . -~: '. ' '.. . 
(ff"ll1 2 IJ ·-=-. 4' 5 - (f lf õ õ õ o o 
1 õ l 2 3 4 5 
~ 
f-=- · 
õ 2 4 o 2 4 
3 o 3 o 3 o 3 
4 o 4 2 o 4 2 
5 o 5 4 3 2 1 
oliRiderc ng<)ra a E Z c faça. a divisão de a por m, isto é. 
crcvn a = bm +r com O< r < m. Denotaremos a= r. Ob-
BPt'Ve qnc estH notação é compatível com as operações definidas 
w·imo. Como consequência, cada elemento de Z m pode ser 
't"pt'l'l:wntado de infinitas maneiras. Por exemplo, o elemento 
O pode :ser escrito como O = m = 2m = ... = pm = · · ·, ou, 
tullis geralmente, a= a+ pm, com p E Z. Afirmamos que as 
opcruçoes acima definidas em Z m satisfazem as propriedades 
(Al) fl (A4), (Ml) a (M3) e (D). Deixamos a cargo do leitor 
tnl verificação. Observe que nem sempre a propriedade (!v14) é 
sn.tisfeila (para m - 6, por exemplo, os elementos 2, 3 e 4 não 
têm inversos) . 
· Nn realidade, vale que: Z m é um corpo se e somente sem for 
\llrl número primo. Por um lado, se m não for primo, isto é, 
t} m = pq com 1 < p, q < m, então o produto p · q = Õ. 
Ht~ Z rn fosse um corpo, então ou p ou q deveria ser nulo (veja 
l~xcrcício 1.2.3{2)), o que contradiz o fato de 1 < p, q < m. 
I ,o r outro lado, suponha que m seja um prin10 e seja a E Z m, 
a :/:- b. Observe que mdc(a, m) = 1. O teorema de Bézout (ver. 
por exemplo, [PC]) nos garante que existem r, s E Z tais que 
w' r ms = 1. Se dividirmos e:;ta expressão por rn chegaremos 
u ã · 7' = I. Isto mostra que a tem inverso, e o resultado está 
provado. Em particular, Z 5 , Z 7 , Z 43 são exemplos de corpos, 
· enquanto Z ·•• Z 45, Z 3600 não são. 
I .2.3 J~XERCÍCIOS 
( I) 
• ,.. f!:_'• • .... ,,. ~,..... ó 
üa A um conjunto com umá ôperãção. + que seja associativa, · -· ' ·· "- - · ; 
' . 
,; .... 
• 23 
qtu I' nho 11111 oi ltlClllo ucut,ro, tnl que todo clcm~nto tenha 
um opofilo com rcla<1ão ao elemento neutro (um tal conjunto é 
chamado dr grnpo). Mostre que: 
(a) O elemento neutro é único. 
(b) O oposto de um dado elemento é único. 
(c) Vale a lei do cancelamento, isto é, se a~ b = a + c então 
b = c. 
Se a operação + em um tal conjunto for também comutativa, 
então dizemos que A é um grupo abeliano. 
(2) Seja lK um corpo. Então o conjunto lK com a operação de 
adição e o conjunto lK * = lK \{O} com a operação de multi-
plicação são grupos abelianos. Portanto, os elementos O, 1 são 
únicos, assim como são únicos o oposto (-a) e o inverso mtll-
tiplicativo a 1 de cada elemento a E lK *. Mostre que em lK 
valem: 
(a) a· O= O, para todo a E lK. 
(b) Se a · b = O com a, b E lK então ou a = O ou b = O. 
(c) Se a E lK, -a= ( - 1) ·a . 
(3) Seja lK um corpo. Definimos a característica car lK de lK da 
seguinte maneira: (i) se a soma 1+1+· · ·+1 for sempre diferente 
de zero, então car lK = O; (ii) se a soma 1 + 1 + · · · + 1 - O, 
m 
para algum m > 2, então car lK é o menor número m com esta 
propriedade. 
(a) Mostre que se car 1K = m "# O, então m é um número 
primo. 
(b) Exiba corpos com características iguais a O e outros com 
características distintas de O. 
1.3 RESOLUÇAO DE SISTE11AS LINEARES 
1.3.1 Sabemos que muitos problemas práticos podem ser equaciona-
···;~•.,., dos am·termos ·de sistemas li~. Na re<\lidade.1. muito do que 
J J • (ltll ( '11r "U dr A /qt br 11 J IIH 111 
Ht•ÍOIIl 1K Hlll CUI'JH! c 
(I) 
fLm!Xt + · · · + amnXn = 0 
i I ema de equações lineares homogêneas com coeficientes aij em 
IK ,"i I,· · · , m, j = 1, · · · , n, e incógnitas x 1, · · · , Xn· Resolver esse 
RI '1110. é encontrar n elementos a 1 , · · · , an E 1K taLc; que 
U111n possível estratégia para resolver esse sistema é por meio 
d prvccsso de escalonamento. O que buscamos é, após efetuarmos 
( c• t f\..'i operações nestas equações, chegar a um outro sistema que 
~n mnia fácil de resolver e que tenha o mesmo conjunto de soluções. 
111 os d<~ formalizarmos, vamos exemplificar esse procedimento. 
I .~(.2 1!/XgMPLO 
Considere o sistema linear 
{ = 
3xl 2x2 + 4x4 o (1) 
6x1 + 4x2 X3 + X4 o (2) 
" 3xl + 2x2 ::z:3 + 5x4 - o (3) 
Substituindo-se a equação (2) pela soma da equação (2) com 
duns vezes a equação ( 1), teremos 
{ -
3xl 2x2 + Ox3 + 4x4 o (1') 
Ox1 + Ox2 X3 + 9x4 o (2') 
3xl + 2x2 X3 + 5x4 - o (3') 
Agora, substituindo-se a equação (3') pela soma das equações 
(1') e (3') subtraída da eq~aÇão (2'), chegamos ao seguinte· 
.. ~ I • 
•.. •' . ,\..., 
{ 0Xt 
0Xt 
+ 
+ 
o 
o 
o 
(1") 
(2") 
(3") 
Por fim , multiplicando-se a equação (1") por 1/3, c a equação 
(2") por -1~ teremos ao final o sistema 
+ o 
o 
Este último sistema está na forma escalonada. Observe que, 
dados valores x2, x 4 E 1R, teremos uma solução do sistema ori-
. a1 d d 2 4 9 A . ' . gm a a por Xt = 3 x2 - 3X4 1 X2, X3 = x 4 , x 4 • S vanaVClS 
x1,X3 são ditas variáveis dependentes das variáveis x 2,x4 . Não 
é difícil verificar que as soluções do sistema inicial c deste último 
sistema são as mesmas. 
1.3.3 Por meio de certas operações, exemplificadas acima, dado um 
sistema de equações lineares homogêneas (I), chegamos a um sistema 
mais simples de ser resolvido. As operações usadas são as seguintes: 
( el) Troca de posições de duas equações. 
( e2) Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo. 
( e3) Substituição de uma equação pela soma desta equação com 
alguma outra. 
Estas operações são chamadas de operações elementar-es. 
Dizemos que dois sistemas de equações a n incógnitas sao 
equivalentes se tiverem as mesmas soluções. Deixamos ao leitor 
verificar que ao efetuarmos operações elementares em um sistema 
linear iremos produzir um outro sistema equivalente (ver Exercício 
1.3.5(2)). A ideia, é claro, é produzir por meio destas operações ele-
mentares um sistema equivalente mais simples, como feito no 
.exemp16 acima.'· ~- ~ - ·,.-.- . .:to-.... 
t I"Y~ .. ~~ ...... ... ... • o4: -~ '-'~ ... 
'''' • I ''' ( •,, ,., dr Á l11rbm 1 tnt:m 
(!I) 
~{' I ft c hnmuclo ele c.>~calonado se existirem 1 < l 1 < l2 < · · · < l1. < n 
tnl qn ·bit, :/:O, para cacln i.= 1, · · · , r c Úij = O se 1 < j < lt. 
A seguinte proposição é de fácil verificação. 
PnOPOSIÇÂO. rJdo sistema linear com m equações e com coefi-
f'll'?liC8 r.m um r01po é equivalente a um sistema escalonado com 
t w cquaçoes. 
mufatizamos que, ao se efetuar um escalonamento de um sis-
t fllllflliHCB.r, utiliza-se fortemente as operações c propriedades defini-
doi ft.C! de corpo. Em particular, é importante que os elementos te-
nhrun inversos multiplicativos. Na realidade, não é difícil ver que 
• • t t;C:!n lonn.mento feito acima depende apenas dos coeficientes das 
f'CJIIU r C1 por ÍSS01 podemos fazê-lo por meio do escalonamento 
dt wnt rizcs. É o que faremos na próxima seção. 
l ,!l , O seguinte resultado decorrefacilmente das observações feitas 
' ' •i 1un, mns será ba.c;tante útil ao longo do texto. 
Plcc.:>t'()SJÇAO. Se o número de equações em um sistema linear ho-
mngrur.n com coefirtentes em um co1po for menor do que o número 
dt ,'llltlS inr6gnitas, então tal sistema terá uma sol'ltção não trivial. 
I ,:l.ú mxgRCÍCIOS 
( I) Rm~olver os sistema::, abaixo: 
-5y = Õ 
(a) { 
3x 
2x -4y = õ 
(h) { (2 + 3J2)xl 
(1 - vl2)x1 
(r) { 
1 X 
2i X 
+iy 
-y 
=0 
=0 
em 
, . Â • 
= 0 
= 0 
. . 
em Ql(J2). 
·, , ... 
,\_, 
Jlnlunímu • tl7 
(2) Mosln~ qucJ c fet,unr operações elementares em um sistema linear 
produ1. um sistema linear equivalente. 
(3) Mostre que todo sistema linear com coeficientes em um corpo 
6 cqui valente a um sistema escalonado. 
(4) Mostre que se o número de equações em um sistema linear 
homogêneo com coeficientes em um corpo for menor do que o 
número de suas incógnitas, então tal sistema. terá uma solução 
não trivial. 
1.4 !vlATRIZES 
1.4.1 lremos, nesta seção, recordar os principais fatos sobre as ma-
trizes que serão utilizadas ao longo deste texto. Para detalhes, m-
dicamos [HK]. Ao longo desta seção, lK denotará um corpo. 
Sejam m, n dois inteiros positivos. Uma matriz m po1· n A 
sobre lK (> dada por m x n valores ai1 E lK , com 1 < i < m, 1 < J < n 
agrupados em m linha.({ e n colunas, e será reprcscuLada como: 
No conjunto Mmxn(lK) de todas as matrizes m x n sobre lK podemos 
definir as seguintes operações: 
A. Soma de matrizes Se A = (aij )i,j, B = (bij )i,j E M mxn(OC ), então 
a soma A+ B é a matriz C= (ci1 )i,J E Mmxn(OC), tal que, para 
cada par (i, j), temos cl1 = az1 + bz1 , isto é, 
an aln bu bln 
A+B + -
aml amn bml bmn 
au + bu aln + bln 
. •""""-~;-.....~ . -.-....... , 
a1nT+ bm.1 l4nn + .b .. m n. - .L,.. ,J-1 -· ,.\ . -~ .. .. -... ~ '"""'""-"""'" 
. -- . -~r-... ... ... , .. . ~ .... 
I )pj HlllQ, n cnr r, J, 1,-.jl or o \'tt•iflcuçw do qn ( 0111 t st.n opc:rnçii.o, 
M 11,1xfl(K) 611 n1 'lHJ)O nb liuuo, isto é, snlisfnz ns propriedades {AI) 
(A•I) d (1.2. 1). 
H, /111tlliplir.(lç(Io z10r esr(lla.r 8<• A (aij) 1,j E Mmxn(IK) e À E IK, 
pod lHOS ddiuir o ·produto de À por A corno sendo a matriz B = 
(biJ)f,J e M mxn{IK) tnl que, para cada par {i,j). temos bij = Àa,i: 
~\ ;\ À 
l , l,:l PHODU'I'O DE MATRIZES 
S jmn A=- (atJ)t,J E Mmxn(IK) C B = (bij)i,j E Mnxp(IK), 
lf)t" .'-, com o uúm<!ro de colunas de A igual ao número de linhru; 
•1c /J. Podemos definir o produto de A por B como sendo a matriz 
' • (r.ij)i ,j E Mmxp(IK) tal qnc 
. 
ti 
f!ij = L aabLi, para i= 1! · · · !m, e j = 1,· · · .p, 
l 1 
an aln bu blp 
A B -
aml arnn bnl bnp 
.. 
n n 
L: allbll L: a11blp 
l=l l = l 
1l ti 
L: amlbll L: amtbtp 
l= l l=1 
Nno é difícil verificar que e::;ta operação é associativa . Ela 
t n un-sc mais interessante, no entanto, quando tivermos as matrizes 
A • (ai;kJ e B = (bijkJ quadrada.'!, isto é, matrizes onde o número 
dP liuhns coincide com o número de colunas ou, em outras palavras, 
qunnclo A, B E Mnxn(IK), para a11!nfli 'n::> 1 (conjunto que também 
'o 
,. .. ' . 
Sf rft UCliOI.udo pot• 1\1L,, (JK)). Nost e cnso, u operaçiio de multiplicação 
de mnt.rizt.>s tem um elemento unidade que será a matriz 
1 o o 
o 1 o 
fdll = 
o o 1 
Em geral, tal operação uã.o É> nem comutativa, nem possui in-
versos multiplicativos. Deixamos a cargo do leitor exibir exemplos 
de matrizes que c:out.rarirun estas ült.imas propriedades. 
1.4.:3 MATRIZES THANSPOSTAS 
Dada uma matriz A = ( llij k.i E M m xn (IK), definimos a sua 
transposta como sendo a matriz A 1 = ( bi; )t,; E Ml n x m (IK) tal que 
b;j = aJi para cada par (i.j). Por exemplo, se 
A=( 
então 
-2 
4 
1 
o 
A I -- ( -2~ ~-1 ) 
/I E M3x2(1R ). 
1.4.4 FUNÇÃO TRAÇO 
SPja A= (a11 );,1 E M n(IK) uma matriz quadrada. Definimos 
o traço (7· A de A como sendo a soma dos elementos de sua diagonal 
principal, isto é, 
Por exemplo: 
li 
tr A - L aii· 
i - 1 
fT ( -~ ~ ~ ) 
-2 11 1 
• ._......, ,,._~.,..,.i 
=1. 
~-r"....._ ....... ,_. 
. -~·.... ... ..... · . 
vmo obs< 1M1111os nn Sc'çiio I.:J acima, parn :-;c C'scalonar um 
-
NÍHt •' 11 1(1 elo CC(lliHjÕ(·slincnres homogênea.l'.!, efetuamos certas operaçoes 
c hnm dn.s oltmumt.~rcs em scuH coeficientes. Na realidade, podemos 
pt'll lU' 1111 mal r iz tio.'! CO(}tc1Cnl.es deste sistema lineaT e efetuar as 
111 18lllU8 OlH'l'nÇÕ<'H diretamente nas linha..'i cle-l)ta matriz. Mais espcci-
flt·lllllt'lllo, R<~ja. 
(/) 
• 1111 i t •mn de equações lhwares homogêneas com coeficientes 
, n. A matriz dos roefirientes de (I) 
E Mmxn(OC). 
B "luro que uma solução do sistema (I) será então uma matriz 
(nl)iti E MnxdOC) t.al que 
Cltl o 
amn o 
<\m1 i so, o processo de resolução de um sistema ljnear homogêneo 
t'OIII confidentes em um corpo se redu~ basicamente a escalonar a 
lllllll'iz ele seus coeficientes. Em geral, podemos escalonar qualquer 
lllill •·iz utilizando as operações elementares descritas em (1.3.3) em 
Vamos exemplificar tal processo de escalonamento. 
I •~ ·~~~ t PLO 
Considere a matriz 
( 
3 -2 o 4 ) A - 6 4· - 1 1 • • . . -- ~. ' ' . .... -.............. ~t- ..... . ..... . ... 
- 3 2 -1 5 ' 
" ... 
- _ .... . . ... - . ..,'\.. 
•t - . 
• [Jj. 
Vmuo c;fflturu• sue •" ivnmcut • as seguintes operaçõe.-.; nas linhas 
de .A: (J) snbsUt,ui-sc u segunda linha. da. matriz pela soma. da 
scguudn liulm com duas vezes a primeira linha; (2) na matriz 
rc.c;ulhmic, suhstittú-se a terceira linha pela soma da primeira 
linha com a. terceira linha subtraída da segunda linha: (3) na 
matriz resultante, multiplica-se a primeira linha por l / 3 e a 
segunda por -1. Chega-se com isso à matriz ( escal(ml-\da) 
o 
1 
o 
DEFINIÇÃO. Dada uma matriz A E M m Y n (IK) definimos o sell posto 
como sendo o número de linhas não nulas em sua forma escalonada. 
1.4.6 MATRizgs INVERTÍVEIS 
Como observado acima. nem sempre existe a inversa de uma 
matriz. As matrizes que possuem inversas são bastante importantes 
em nosso estudo. Uma matriz A = (ai;) i ,j E M n (:JK) é invertfvel se 
existir wna matriz B = (bti )i,j E M n (IK) tal que A· B = B ·A = f dn, 
isto é, tal que, para cada i,j = 1, · · · , n, 
se 1 = J 
se i =/= j 
É comum muitas vezes considerar o subconjunto de M n (IK) formado 
por todas as matrizes invertíveis. Neste subconjunto, é claro, os ele-
mentos possuem inversos multiplicativos, mas nem sempre a soma 
de matrizes invC'rtíveis é invertível (exiba um exemplo para mostrar 
esta afirmação). 
Se A E MI n (IK) for uma matriz invertível. então utilizando-
se das operações elementares sobre as suas linhas, pode-sE' ch<'gar à 
matriz identidade I dn. Agora, se efetuarmos esta mesma seqnência 
de operações começando em I dn chegarf'mos à matriz inv<"'rsa A - l. 
V~oft ~exemplifiear.&~te, proce~.Q_ .. .;L-.,. • 
l '""'~-'":! .. ·--~- ·· ,;.,... .. ...... ~~~ ... 
.1 J • t 1m ( 'm Hll dt 1/qr lm1 /,num 
rruint C' mntl'lz 3x3: 
Vrunc•s eft!Luar operações elementares em A para transformá-la na 
lltUiriz lduut.idnclc /d3 c, simultanPamente. as mesmas operações em 
I cla pnrn H<' conseguir a matriz A- 1. 
u 
1 o 1 o o ) ( 1 1 o 1 o n ~ 2 1 I. o 1 o rv o 2 1 o 1 , o 1 o o 1 o -1 1 -1 o 
N( 
I 1 o 1 o o ) ( 1 1 o 1 o o ) 2 •. o o o 2 1 o o o 1 1 rv 1 rv o o 3 - 1 1 1 o o 1 2 1 2 2 2 -3 3 3 
o 
I o . 1 o -n ( 1 o o 
2 1 1 
) 3 -3 3 1 o 1 1 rv o 1 o 1 I 1 3 3 3 3 - 3 o 1 2 1 o o 1 2 1 2 -3 3 -3 3 3 
c 1111 isto, a matriz 
( 
2 1 
-n 3 - 3 1 1 3 3 2 1 - 3 3 
será n matriz inversa A- 1 de A. Observamos que se tentarmos efe-
t IlM C'Stas operações a uma matriz não invertívcL então não con-
"' guirínmos chegar à matriz identidade. .. 
il}Xl~HCÍCIO 
.Justifique o procedimento acima para se conseguir a matriz 
inversa de uma matriz invertívcl. 
Para se verificar se uma dada matriz A E M n (IK ) é invertível 
t)U niio, é comum utilizar-se do chamado determinante. Vamos recor-
dnr agora a sua definição. 
.. ... ~f • •• ~ 
F'm cmos u dcfiniçao de determinante de uma matrizA em 
Ml,t(IK) de maneira indutiva sobre n > 1. Se n = 1, então a matriz 
A E M 1 (IK) é dada por um único elemento a = a 11 . Definimos, 
neste caso, det A = a. Vamos supor agora que n > 1 e que det B 
esteja definido para todas as matrizes B E M m (lK ) com m < n e 
seja A E Mn(lK). Para cada par (i,j), defina a matriz Aij formada 
a partir de A retirando-se a sua i-ésima linha e a sua j-ésima coluna. 
É claro que Aij E Mn_1 (1K) e, portanto, já está definido det Aij· 
Defina agora o determinante de A como sendo 
n 
~ +1 det A = L...J ( -1)1 a1j · det Alj· 
j=l 
Observe que det A E 1K . 
1.4.8 EXEMPLOS 
(a) Seja A = ( : ! ) E M 2 (1K ). Pela definição acima, temos 
que ~et A= a det Au - b detA12· Como An = (d) e A12 =(c), 
segue então que det A = ad - bc. 
(b) Seja A= ( :~~ :~: 
a31 a32 
a13 ) 
a 23 . Pela definição, 
a33 
Como 
det A= au det An - a12 det A12 + a13 det A13 
Au = 
A 13 = ( a21 
a31 )· 
teremos, como no item (a), que 
..... ~.~,.,...";,.-· 
-r~-·, .. ~ 
det An = a22a33- a23a32, 
det A12 = a21 a33 - a23a31 
d:el! Al:r =- ·<~Jjls2);:"-. tl22A3L· 
e 
... - ,~ ......... ~(· -~ ..... ri 
·'I . t ,, ( 'UIIf(J ,,, 
])aÍ 
dei · = Ott clel A11 - a12 dei A12 + a13 dei. Ata = 
= an(n22C1:4:J- a23a32) - at2(a21n33- a23a31)+ 
·I a1 :l ( a.21 a .32 - a22a31) 
= au a22D33 +a 12a23a31 + a13a21 aa2-
- a13022a31 - a12a21a:rJ- Ut1a23a:n -
" E m.cil ver que, rcordcnando os termos acima, teremos que det A 
t} igual a 
- a12(a21a3a - a23a31) + a22(ana33 - a13a31) -
- a32(aua2a - a1aa21) = 
a12 det A12 + a22 det A22 - a32 det A~{2 = 
3 
L ( 1 )i+2 a.i2det Ai2. 
j 1 
Portanto, podemos escrever det A também, por exemplo, como 
n soma 
3 
det A = L ( - l)i+2 aJ2det Ai2 . 
j=l 
Uma conta similar também nos mostra que 
OuSJmVAÇÃO 
3 
det A = I:: ( - 1)1+3 a3jdet A3j · 
j=l 
Na definição de determinante dada acima,~ soma foi feita uti-
lizando os elementos da primeira linha e determinantes de ma-
trizes menores. Por outro lado, no exemplo (b) acima, vimos 
qne det A pode ser escrita utilizando-se os elementos da se-
gunda coluna (e as matrizes A12,j = 1, 2, 3) ou mesmo ele-
mentos da terceira linha (e as matrizes A 3J,j =-- 1, 2, 3). Na 
realidade, isto é um fato mais geral. Se A E MI u (1K ), então 
fixada uma linha i de A qualquer, teremos 
n 
dct A = 2:(.-l)l+iaii · det Aii .. . 
j=l 
. : 
l'n lunÍIIll/ rs • :J!J 
, IIXflcln lllllíl t'l)hllul J d · ;\ qualquer, teremos 
n 
det A = 2)-l)i+iaij · det Aii· 
i=l 
A demonstração deste fato não é essencial ao que seguirá e, 
portanto, será omitida. Desafiamos o leitor a mostrar isto. No 
entanto, usaremos estas observações em cálculos práticos ao 
longo do texto para simplificá-los. ~bserve que, em geral, para 
se fazer o cálculo do determinante de uma matriz, o melhor é 
escolher uma linha, ou coluna, com o maior número possível de 
zeros. 
1.4.9 O próximo resultado nos dá um critério para se decidir quando 
uma matriz é invertível ou não. 
TEOREMA. Uma matriz A E M n (IK) é invertível se e somente se 
det A# O. 
1.4.10 MATRIZES ADJUNTAS 
Dada uma matriz A = (aij) E Mn(IK), denote por ad(A) a 
sua matriz adjunta, isto é, a matriz ad(A) = (bij) tal que, para cada 
. . b ( l)i+i+l d t A d A ' . t ·· par ~,J, ij = - e ij, on e ij e, como acima, a ma nz 
em M n-I (IK) formada a partir de A retirando-se sua linha i e sua 
coluna j. Os elementos bij são chamados de co fatores (em i, j) de A. 
Pelo que vimos em (1.4.8), para cada i = 1, · · · , n, 
n 
det A = L ai i · bij. 
Ji=l 
Deixamos como exercício ao leitor verificar que, se i# l, então 
Com isto, segue que 
(*} 
. . ~ 
n 
L aii · bzj =O 
j=l 
n 
~ 
j=l 
aij · btj = 8il 
- .. , ,.,....... <t. 
- ...,.c.·'t.(; ... ~--,· ~;. .. ... ,. 
' .. -~1r, ......... ., . . ., .,... 11 
... 
• p •tiHulv, A· ari(A) = ml(.A) ·A = (dr.t. A) l rl, •. 
1.41 . 11 MA'l'fU:Ú~s DADAS POlt BLOCOS 
MniLAs vezes, é conveniente olharmos as matrizes como sendo 
f'vr ' u tucln.~ por blocos de outras matrizes menores. Por exemplo, a 
11 ut triz 
3 - 2 1 o 4 
- 1 2 3 7r -1 
A= o 1 1 3 2 E Ms(lR) 
I o o o o . r 1 o o o o 1 
pudo ser escrita como 
A - ( ~ I~) 
ou elo 
/J = ( -! -: :) E M3(R), C _ ( ; -~ ) EM3x2(R), 
fl inclica a matriz nula de M 2x3 (JR) e I d2 é a matriz identidade de 
M 2(1R ). 
I A . 12 EXERCÍCIOS 
{ I ) Sejam A, E E Mmxn(IK). Mostre que 
(a) (A+ B)t = At + Bt. 
(b) (A. Bt)t = B. AL. 
(c) Se n = m, então (A· B)t = Bt. At. 
(2) Sejam A , B E M n (.!K) e .-\ E 1K. Mostre que: 
(a) det (A · B) = det A · det B. 
(b) det A= detAt. 
(c) det (.-\A)= Àndet A :- ·· ~ -· ...... - .. -:.-.. ... : ~- ~,_ .. _. ~ 
t' , ..... . . ... 
. 
' 
• 'r 
('l) Sl'juut t \, Jj E Ml ,~(11<) umtJ'izes invcrLívcis. Mo:;tre que 
( n) dr.l (A- 1 ) ( det A) 1 . 
(h) A- 1 é invertível e (A- 1 ) - 1 = A. 
(c) A· B é invertível e (A· B)- 1 = B-1 . A-1. 
(4) Seja A = ( ~ ~ ) E M n(OC ), onde B e C são matrize:; 
quadradas. Mostre que det A = det B · det C . . 
(5) Seja A E Mn(IK). Mostre que existem matrizes E1,E2,E3 
em Mn(IK) tais que os produtos E1A, E2A e E3A equivalem a 
efetuar as operações elementares descritas em (1.3.3) sobre as 
linhas da matriz A. 
. -~ .. . \ ... ..... . . ~ •: .. " 
·. 
r 
f, 
... .. . . 
2 
ESPAÇOS VETORIAIS 
Neste capítulo definiremos espaços vetoriais e estudaremos al-
gumas de suas propriedades básicas como existência de bases. 
coordenada/:), somas diretas, entre outra..c;. A notação OC , por sua 
vez, designará, a menos de menção ao contrário, um corpo qualquer. 
2.1 ESPAÇOS VETORIAIS 
2.1.1 DEFII'\IÇÃO. Um conjunto não vazio V é um espaço veto-
rial sobre (um corpo) OC se em seus elementos, denominados vrtores, 
estiverem definidas as seguintes duac; operações: 
(A) A cada par u. v de vetores de V corrcsponde um vetor u +v E V, 
chamado de soma de u e v. de modo que: 
(Al) u +v= v+ u, \:1 u. v E V (propriedade comutativa). 
(A2) (u +v)+ w = u +(v+ w), V 'lt, v, w E V (propriedade associa-
_" ~ ..,... tiva). 
·--
W • llm ( 'w 110 ''' /1/' bm /mau 
(J\3) \f uru v tur, dc•Hominnclo uator nulo e donotudo pur 
O, tul qu_ 0+ o = u, V v E V. 
(Ad) n (:acla vutor u E V exista um vetor em V, denotado por -v, 
t.nl que li+ (-·v)= O. 
(~I) A cncla par Cl' E K. e v E V, corresponde um vetor a · v E V, 
<ll'llotHinudo ]Jrod7Lto por escalar· de a por u de modo que: 
(~ll) (n/3) · v ::- a({3 · v), V a, fJ E OC c V v E V (propriedade 
m;sociati va). 
( l2) 1 · u =v, V v E V (onde 1 é o elemento identidade de OC ). 
Além disso, vamos impor que as operações dadas em (A) c (M) se 
dil;tribuam, isto é, que valham as ::;eguinte::; propriedades: 
(I) J) O' • ( 11. + v) = a · u + a · v, V a E OC e V u, v E V. 
(D2) (o T {3) ·v= o· v+ fJ ·v, V a, f) E OC e V v E: V. 
2.1.2 OBSERVAÇÕES 
(a) Algumas vezes usaremos a expressão 1K -espaço vetorial para 
indicar um espaço vetorial V sobre 1K. Outra..c; vezes, omitiremos 
Robre qual corpo OC estaremos trabalhando quando isso ficar 
claro a partir da notação utilizada. 
(b) Seja V um espaço vetorial sobre K.. Observe que o conjunto V .. 
com a operação de soma de vetores é um grupo abeliano (ver 
Exercício 1.2.3(1)). Portanto, o vetor nulo é único, assim como 
é único o vetor oposto a cada elemento de V. 
2. 1.3 EXEMPLOS 
. (u) Todo corpo é um espaço vetorial sobre si mesmo. De fato, ::;e 1K 
é um corpo, então as duas operações internas emlK podem ser 
vistas como a soma de vetores e a multiplicação por escalares. 
Não é difícil ver que as propriedades na definição de espaço 
vetorial estão :::;atisfeitas -para e;tas operações. 
. . . ., . I .. , ,....,.~ . 
v: lar a • 11 
(b) IJ• 111110., lnnll •iro mnl g nll l1 cousiclern.da acima, para cada 
" ~ I , o co11j unto 
IK n = 1K X • • . X K = { (a 1 ' . . . ' an) : ai E li{ ' v i = 1 ' . . . ' 'fl} 
n 
tem uma estrutura de espaço vetorial sobre lK ba..c;tante natural 
com as operaçoes: 
• (a1, · · · ,an) + (bb · · · ,bn) = (al + b1, · · · ,an + bn), 
V ( a1, · · · , an), (b1, · · · , bn) E OC n. 
•a· (a1,··· ,an) = (aa1,··· ,aan), 
V a E: IK, e V (a1. · · · ,an) E :ocn. 
(verifique que tais operações satisfazem as propriedades definido-
ras de espaço vetorial). 
Com isso, .IR. n é um espaço vetorial sobre .IR. , C n é um espaço 
vetorial sobre C, (Z 5 )n é um espaço vetorial sobre Z 5 . 
(c) O conjnnto C 2 é um espaço vetorial sobre 1R.. Basta definirmos 
as operações: 
• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) E C 2 , V (a, b), (c, d) E C 2 . 
• a· (a,b) = (aa,ab), a E JR c (a,b) E C 2 . 
Verifique aqui as propriedades definidoras de espaço vetorial e 
generalize o resultado para C n como espaço vetorial sobre IR . 
Pelo que vimos acima, C 2 pode ser visto como um espaço ve-
torial sobre IR ou sobre C. Apesar de ser o mesmo conjunto 
de vetores, estes dois exemplos determinam espaços vetoriais 
distintos. Isso deverá ficar claro mais adiante quando discu-
tirmos o conceito de base. Mas gostaríamos de enfatizar aqui 
que é essencial ter claro sobre qual corpo de escalares o espaço 
vetorial está sendo considerado. 
(d) O corpo IR é um espaço vetorial sobre Q de uma maneira bas-
tante natural (deixamos ao leitor a tarefa de definir as op<'rações 
e verificar as propriedades correspondentes). Generalize esta 
.. ~ ~ , õbserV3.\ã:o. · .,.. .. ~ ~.... .._. • ......,..... ~.:.. ....... ~.~--.- -~-· · ,.-
... ~ ... ,....... .. -t -~~~ 
. .... ~ s. .... , .... """. 
l:l • l '" { 'ru <NU dt ftltJt bm I lllttll 
6 tllll .IK- puço vctorinl <'Olll as operações usuais de soma de 
polinômios c multiplicação por escalar. Especificamente, ::;ejam 
Jl(x) = a"a··'1 +···+ao c q(T) = bmxm + · · · + bo dois elementos 
tml 'P(K ). Sem perda de generalidade, podemos a."isumir que 
n < m. Definimos então a soma 
(p+q)(x) = bmxm + · · · bn+l·z;n+l + (an + bn)Xn +···+(ao +bo). 
Além clissd, se cY E 1K, o produto por escalar de n por p(x) será, 
por dcfiniç.to, o polinômio 
Pnra cada rn > O, o conjunto 
t,ambém é um lK -espaço vetorial (com as mesmas operações 
acima). 
{f) O conjunto M mxn(IK) das matrizes m x n com coeficientes 
em 1K é um li{ -espaço vetorial com as operações de sorna de 
matrizes e multiplicação por escalares definidas em (1.4.1 ). 
(g) Considere o seguinte sü;tema linear homogêneo 
• 
Oml•tl + · · · + GmnXn =O 
onde Ctij E 1K para 1 < i < me 1 < j < n . Uma solução de 
(*)é uma n-upla (a1, · · · ,an) E lK.n que satü.,faz as equações 
deste sistema. Observe que o conjw1to das soluções de ( *) é 
um 1K -espaço vetorial com as operações usuais de 1K n. 
:.!.lA ESPAÇOS DE FUNÇÕES 
Sejam X um conjunto qualquer não vazio e F( X, lK) o con-
j 11111 o de todas as funções f : X --t IK . Defina as segtúntes operações 
, .• u .1'(X,1K): -- - -·-· ...... 
.. 
• J)lll'fl f, !J e J-;"(X,K ), de11ua 11 funçiio I+ g : X --. 1K dadu por 
(f+ g)(x) = !(:1:) + g(:t) para. cada x E X. 
• para f E :F( X, IK) e a E OC, defina a função a· f : X -+ OC 
dada por (a· f)(x) = cr.f(x) para cada x E X. 
Com estas operações, o conjunto :F(X, OC) 0 um espaço veto-
rial sobre OC , onde a função nula é o vetor nulo desse espaço. Tal 
conjunto é denominado espaço de funções. Enfatizamos que X É' 
um conjunto qualquer e que a estrutura de OC -espaço vetorial em 
:F(X, OC) depende essencialmente das operações do contradomínio OC 
das funções. No caso particular em que X= N, chamamos tal espaço 
de espaço de sequênczas, vamos denotá-lo por OC N c representaremos 
os seus elementos por ( x n) nEN. 
Os espaços a seguir são exemplos de subconjuntos do espaço 
de funções ou do espaço de sequências: 
(a) Considere X = lK = C. O conjunto das funções polinomiais 
é um subconjunto de :F( C, C) P é um eHpaço vetorial com as 
operações descritas acima. 
(b) Considere X o intervalo [a, b] em R e OC = C. O conjunto 
C([a, b], C)= {f: [a, b] ~C : f é uma função contínua } 
é um subconjunto de :F([a. b], C) e é por si só um espaço vetorial 
sobre C com as operações descritas acima. 
(c) Considere X = N e OC = <C ou lR . O seguinte subconjunto de 
ocN 
co = { x = (xn)nEN E OC N : (xn)nEN converge a zero } 
é um espaço vetorial sobre OC com as operações definidas acima. 
Lembramos que uma sequência (xn)nEN converge a zero se, para 
cada f > O, existir no = no(f) E N tal que lxnl < E para todo 
n > n0 . 
(d) Considere X= N e OC =<C ou IR. O subconjunto de lK N 
J I • ti 111 ( 'uHw rir Á lrJt llttl I t tlf (H 
Ltllll ll 'hllaõ qllc mun cquêncio (:~:u)ueN é liwittulu so oxistir 
1.1 > O tuf que lxnl < AI parn todo n E N. 
ugot~o <'ITl din.ule, quando usarmos a notação 1K N estaremos sempre 
11111imlo que K =C ou 1R. 
2.l.ú EXI•'ItC'ÍCIOS 
(I) Sejn. V um· espaço vetorial sobre um corpo .1K . 
(a) Moslre que O· v= O para todo vetor v E V e que a· O= O 
para todo a E 1K . 
(b) :Mostrf' que se a· v = O, com a E OC e v E V, então ou 
a= O ou v= O. 
(:.n Mostre que os conjuntos considerados nos exemplos (2.1.3) e 
(2.1.4) são espaços vetoriais. 
(a) Mostre que Q(v'2) é um espaço vetorial sobre Q (ver (1.2.2)). 
(d) Sejam OC um corpo e OC 1 C OC um subconjunto não vazio de 
IK tal que com as operações de OC é um corpo (neste caso, 
di1.emos que OC 1 é um subcorpo de OC ). Mostre que OC é um 
c:spaço vetorial sobre 1K 1 • Mais geralmente, mostre que se V 
for um espaço vetorial sobre .IK, então será um espaço vetorial 
sohrc OC'. 
(6) St,ja S = {(x,y ,z) E R 3 : x+y+z = O} um plano do JR 3 
pnssando pela origem. Mostre que S é um llt -espaço vetorial. 
(O) Descreva o 1R -espaço vetorial das soluções do seguinte sistema 
linear: 
{ 
x+y+2z =O 
2x + 2y + 5z + 3w = O 
4x + 4y + lOz + 3w = O. 
(7) Suponha que estejam definidas as seguintes operações no cem 
junto V = {(a, b) E 1R 2 :a, b > 0}: 
• (a,b) ED (c,d) = (ac.bdf, 'i {a,b).(o,d)•E v.~· · · 
. ... .. 
• 6 
• o(a., b) = (a0 , ll'), V n E R c V (a, b) E V. 
Prove que V, munido dessas operações, é um IR -espaço vetorial. 
(8) Seja p um número primo. Quantos elementos tem o Z p-espaço 
vetorial (Z p)m, com m > 1 ? 
2.2 BASES 
2.2.1 Iremos discutir nesta seção um dos conceitos mais importantes 
envolvendo a estrutura de espaço vetorial, qual seja, o de base. Come-
cemos com a seguinte definição. 
DEFINIÇÃO. Seja V um espaço vetorial sobre OC. 
( 1) Um vetor v E V é uma combinação linear dos vetores 
VI • · · · , Vn E V se existirem escalares a1, · · · , O'n E OC tais que 
n 
v- O'} V)+ ... + anVn = LO:iVi· 
i=l 
(2) Seja B um subconjunto de V. Dizemos que B é um conjunto 
gerador de V (ou que B gera V) se todo elemento de V for uma 
combinação linear de um mímero finito de elementos de B. 
2.2.2 OBSERVAÇÕES 
(a) Por convenção, diremos que o conjunto vazio gera o espaço 
vetorial {O}. 
(h) Observe que todo espaço vetorial possui um conjunto gerador. 
(c) Seja B um conjunto gerador de um espaço vetorial V. Todo 
subconjunto de V que contenha B é um conjunto gerador. 
( d) Scj am V um OC -espaço vetorial e { v1, v2, · · · , Vn } C V. O su h-
conjunto de V formado por todas as combinações lineares de 
v1 , · · · , Vn é também um OC -espaço vetorial. Deixamos ao leitor 
a verificação de tal afirmação. Denotaremos tal espaço vetorial 
.. -~ ,... . ....... .. 
U1 • u,,, ( '11uw rir f lqr lwn /,uu rn 
. 
(n) u11 iclcn lR 8 Gomo ospnço vetorial sobre R. Observe que o 
conjunto {(1,0,0), (0, 1,0), (0,0, 1)} <'conjunto gerador de IR:J 
puis bP (a, b1 c) E R 3 , cnt.ão 
(a, b, c)= a( I, O, O)+ b(O, 1, O)+ c( O, O, 1) com a, b, c E lR. 
Vcnfique também que os conjw1tos abaixo são geradores de lR 3 . 
• {( l, O, 1), ( l, 1, 0). ( 1' 1' 1) , ( - 1, o, O), ( - 1, - 1, O) I ( - 1, -1' - 1 )} o 
• {(a,b,c): a,b,c E Z}. 
~ 
(b) ScjH 'P(R) o conjunto dos polinômios com coeficientes em lR. O 
conjunto {1 , x, x 2 , · · · , xn, · · ·} é um conjunto gerador de 'P(JR) 
visto como espaço vetorial sobre lR. Também é um conjw1to 
gcrndor do mcsnw espaço vetorial : 
• {2, 1 + x, 1 + x2, ... , 1 + .r'~, ... }. 
(e) Considere o subconj1mto B = { (1, 0), (0, 1)} do C-espaço veto-
rial C 2 . É claro que B é gerador de C 2 ,pois se ( n:. /3) E C 2 , 
então (o:,{J) = n:(LO) + t:J(O, 1), com o.,{3 E C. 
No entanto, { (1. 0), (0, 1)} não é conjunto gerador de C 2 se con-
Aidcrarmos C 2 como espaço vetorial sobre lR. Observe que não 
é possível se escrever, por exemplo, o elemento (i, O) como uma 
combinação linear a( L O) + b(O, 1) com a, b E lR. Um conjunto 
gerador de C 2 sobre lR é, por exemplo: {(1, 0) , (i. O). (0, 1), (0, i)} 
pois se (a+ bi. r+ di) E C 2 com a,b, c, d ~ lR, teremos então 
que 
(a+ bi, c+ d'i) = a(l, O)+ b(i., O)+ c( O, 1) + d(O, i). 
Por isso, é importante dizer sobre qual corpo OC estamos con-
siderando o espaço vetorial. 
(11) O conjunto {1, J2} é um conjunto gerador do espaço vetorial 
Q ( /2) sobre Q . 
. 
.... :.. tJII ... ,. .....,...._...... ...... .... ,,. -~ ~ ... :-
... .. 
(I) Sojo K um corpo. Mostre que o conjunto { 1} é um conjunto 
gt'rndor do li< -espaço vetorial lK . 
(2) Most,r<' que, para cada número inteiro n > 3, é possível encon-
trar um conjunto gerador de ~ 3 com n elementos. Mostre 
tn.mbém que não existe nenhum conjunto gerador de IR 3 com 
menos de 3 elementos. 
(3) É possível encontrar um conjunto gerador de P(R) com um 
número finito de elementos? 
( 4.) Qual é o menor n(rmero de elementos em um conjunto gerador 
de C 2 se o considerarmos como espaço vetorial sobre (a) C; 
(b) R ; e (c) Q ? 
(5) Qual é o menor número de elementos que deve conter um con-
junto gerador de R visto como espaço vetorial sobre Q? Tente 
exibir um tal conjunto. 
( 6) Mostre que todo espaço vetorial tem um conjunto gerador. 
(7) Mostre que se A é um conjunto gerador de um espaço vetorial 
V e que se B é um conjunto que contém A, então B é um 
conjunto gerador de V. 
2.2.5 Em geral, um espaço vetorial possui muitos conjuntos geradores 
e muitas ~ezes é importante termos um conjunto gerador que seja o 
menor possível. A situação ideal é que exista um conjunto gerador 
onde cada elemento de V se escreva de maneira única como com-
binação linear dos elementos deste conjunto gerador. Por trás dessa 
unicidade está o importante conceito de conjunto linearmente inde-
pendente, que discutiremos a seguir. 
DEFINIÇÃO. Sejam V um espaço vetorial sobre lK e B um subcon-
junto de V. 
(a) Dizemos que B é linearmente independente (ou l.i.) se 
a1v1 + ··· +anVn =O, para Vi E B e ai E lK, ·i= 1,··· ,n, 
.. :: ,J.mplicà ~que-rxr:::::z .... · =-an ..;2 ~ • .)..~..,.~-· ~~ •••• ~ 
•.. a,~ ... ·-v.~~~~ "" ·- 'i •' 
{t>) 
~.2.6 ÚUS I~HVAÇÕES 
(n) Por rm•vcnção, o conjunto vazio é um conjunto linearmente 
i ndcpondcnte. 
(b) Todo conjunto contendo o vetor nulo é l.d .. 
(c) D(•ve ficar claro ao leitor que as definições acima dependem 
do corpo base do espaço vetorial considerado (ver Exemplo 
2.2. 7{ a) abaixo). 
{<1) Todo espaço vetorial não nulo possui um conjunto l.i. não vazio. 
Basta considerar, por exemplo, um conjunto que consiste de um 
tí.nico vetor não nulo. 
(c) Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é 
linearmente independente. 
2.2. 7 EXEMPLOS 
(n) Soja B = {(1, O), (i, O), (0, 1), (0, i)} Ç C 2 . Se considerarmos 
C 2 como espaço vetorial sobre C então B é linearmente depen-
dente, pois {0, O) = 1 · {1, O) + i( i, O) +O· {0, 1) + 0(0, i). No 
entanto, se considerarmos C 2 como espaço vetorial sobre 1R , 
<mtão B é linearmente independente (mostre isto!). 
(b) Seja co o IK-espaço vetorial definido em {2. 1.4(c)) e considere, 
para cada k E N, a sequência ek := (0, · · · , 1, O,···) que tem 1 
na k-ésima posição e O nas demais. Então B = { ek : k E N} é 
um subconjunto infinito linearmente independente de co. 
(c·) O conjunto { senx,cosx} é linearmente independente no lR. -es-
paço vetorial C([O, 27r], lR ). De fato, se {sen.T,cosx} fosse linear-
mente dependente, então existiriam n, {3 E 1R, ao menos um de-
les não nulo, tais que asenx + {3cosx = O para todo x E [0, 21r}, 
o que é uma contradição ........ - -· --~, .. ,.,; 
. . . . . 
(d) 11 idf'r '' l'un•,v s j~ : In, b] - C duHuidns por / 11 (t) - tn, 
pnru n = O, 1,2,···. O co11jnnto B - {in: n = 0, 1,2, ···} é 
tttrl subconjunto Li. infinito em C([a, b], C). 
2.2.8 DgFINIÇÃO. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo JK.. 
Dizemos que um subconjunto B de V é uma base de V se 
(i) B for um conjunto gerador de V; e 
(ii) B for linearmente independente. 
2.2.9 OBSERVAÇÕES 
(a) Segue das convenções 2.2.2(a) e 2.2.6(a) que o conjunto vazio 
é uma base do espaço vetorial {O}. 
(b) Em contextos onde são consideradas simultaneamente as es-
truturas algébricas e topológicas (por exemplo, em textos de 
análise funcional) a base definida acima é chamada de base 
algébrica ou de base de Hamel. 
2.2.10 EXERCÍCIOS 
(1) Mostre que o conjunto 
{(1,o, ... ,o),(0,1,o, ... ,o), ... ,(o,o, ... ,1)} 
é uma base de JK. n sobre JK.. Esta base é chamada de base 
canônica de IK n. 
(2) Mostre que o conjunto {l ,x, .. · ,x11 , .. ·}é uma base do JK.-
espaço vetorial P (IK ) . Esta base é chamada de base canônica 
de P(IK ). 
(3) Ache uma base de Mmxn(C) como espaço vetorial sobre CC. 
Quantos elementos tem? E se considerarmos M mxn(C) como 
espaço vetorial sobre IR ? 
(4) (a) Mostre que os conjuntos {(1, 0),(0,1)}, {(i,0),(2,-3)} e 
{ (i, i), ( -1, 2i)} são bases de CC 2 sobre C. 
(b) Mostre que {(1, 0), (i, 0) , (0,1), (0, i)} é uma base de C 2 
sotlí·e"'R~ . ..1 , . ..... 
f) 
C 2 oi u c C t 0111 2 dowcnt.os e 
tem 4 Plcrnculos. 
(ú) !\lustP cltto {{z1,z2 ),(w1,w2)} C C 2 é l.d. se c !:iOmente se 
Z1W2 = Z2Wt. 
{G) Ho lK = Z 1 , o subconjunto {(i, T, õ), (I, õ, I), (õ, I, T)} de lK 3 
'11? lV '7J '7 ó .< • . C t'C ~ = a.. l:i · 
(7) Sob que condições impostas ao escalara E C os vetores (0, 1, a~ 
(o, O, 1) c (1 +a, l,n) formam uma base de C 3 ? 
(8) Seja. w·~Jv}, u2) c C 3, onde Vl =( I, O, i) e ll2 = (l+i,1, - 1). 
(a) Mostre que { Vt, v2 } é 1m1a ba."e de ltV. 
(b) Mostre que w 1 = (1, 1, O) c w2 = (1, i, 1 +i) estão em vV 
c que {w11 w2 } é base de lV. 
{9) Seja V - F(IR, C) o C-espaço vetorial de toda." a.'3 funções de 
R em C. Prove que {!11 /2, h} é Li. em V onde !1 , /2, h são 
dndas por !l(;r:) = 1, h(x) = cz:r =ros :r+i sem ~r. c !3(.1;) -e l.J 
para. cada l' E R . 
(10) Scjn. V um espaço vetorial sobre IR e considere no conjunto 
V c = { ( u, v) : u, v E V} as seguintes operaçÕ<'s de adição c 
multiplicação por um número complexo: 
• (u1,v1)+(u2,v2) = (u1 +n2,v1 +v2), para Lodos (u1,ot), 
(u2, v2) em Vc. 
' 
• (a+itJ)(u,v) = (a:u-{3v,f3u+cw), para t.odo (u.v) < Vc 
c todo a + Bi E C . 
(a) Mostre que Vc é um espaço vetorial sobre C. 
(b) Seja { v1, v2, · · · , Vn} C V um subconjunto Li.. Most r· que 
{ (v1, 0). (v2., 0) , .. · , (v1l, O)} e {(0, vl), (0, v2) ... · , (O, 11.,)) 
são subconjuntos Li. em Vc. 
(I I) Para um <C -espaço vetorial V , denotaremos por VR o con j uu'ír, 
V olhado como IR -espaço vctç>ri~lL 11ostte qu<V.Sn{ V-1 1 11~, • ~ , 11!1)· • 
~ 
·'• 
.. 
• d 
rol' lllll sulu cmjulll,ô lillt'lll' llii;III.U ind 'P 'll(lcut.e Clll V, cuLão 
{t1t, 'U2,''' ,ou} o {vt,'IJ21 ''' ,u,t}U{i·ut,iV2,··· ,ivn } sãosub-
<'oujnllt.os lincn.nnontc independentes em VR. 
( 12) Mostre que um subconjunto B de um espaço vetorial V é Li. 
se e somente se cada subconjunto finito de B for l.i. 
(13) Seja B um subconjunto de um espaço vetorial V. Mostre que 
B é l.d. se e somente se existir v E B que pode ser escrito como 
combinação linear dos elementos de B \ {v}. 
2.3 ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERA-
DOS 
2.3.1 Vamos mostrar nesta seção que todo espaço vetorial não nulo 
V que possua um conjunto gerador finito tem uma base. Na rea-
lidade, vale que todo espaço vetorial não nulo possui uma base e a 
demonstração desse fato geral será dada no apêndice deste capítulo. 
Comecemos com a seguinte definição. 
2.3.2 DEFINIÇÃO. Dizemos que um espaço vetorial V sobre lK é 
finitamente gerado se possuir um conjunto gerador finito. 
2.3.3 EXERCÍCIO 
Mostre que o conjtmto IR considerado como espaço vetorial 
sobre IR é finitamente gerado (exiba um conjuntogerador) en-
quanto IR , considerado como espaço vetorial sobre Q , não é 
finitamente gerado. 
2.3.4 PROPOSIÇÃO. Seja V um lK -espaço vetorial finitamente ge-
rado não nulo e assuma que { v1 , · · · , Vm} .seja um conjunto gerador 
de V. Então todo conjunto linearmente independente de vetores em 
V tem no máximo m elementos. 
DEMONSTRAÇÃO. Vamos provar que todo conjunto de elementos de 
V que contenha mais do que m vetores é linearmente dependente. 
P'ara .. ~tahto, ·· s~ja-;t~ ~ ·{111, • · · , t.t-'J~ \li-()om. n > r/'4. . Qbs~rve.;tue~ -r 
r ) 
tlm) (I mn .-. Hlj uni J • rador d ~', ui üo ex i t m es· 
tois quu, put'n cadn j = 1, · · · , n, 
m 
llj = OijVI + · · · f O'mjUm =L CY,j lJi. 
i=l 
As.~itn, 5(' >-.. 1• ·· • • , Àn são eHcalares quaisquer em IK. teremos 
n 
Vamos analisar a situação em que L ÀjCtij 
j = l 
ri = 1, · · · , m. Para tanto, considere o sistema 
O. para cada 
nns .incógnitas >-.. 1 , • • • , Àn c com coefic_:~enteb O:ij E IK. Como o 
numero de equações de ( *) é estritamente menor do que o m'imcro 
I incógnita.'i. segue que ( *) tem uma solução não nula. isto é, 
' n 
t ist.mu "Yt, · · · , ~tn E :OC, não todos nulos, tais que L rjO:ij = O 
J = l 
poru i= 1, ... . m. Portanto. "Y1u1 + ... +rnlln =O com "Yt .... ·"Yn 
amo todos nulos, o que implica que { u 1. · · · . 'lln} é linearmente de-
p ·ndt•ntc. Segue o resultado. O 
" 
2.:u:> COROLÁRIO. Seja V um OC -espaço uctorwl finitam,mtc gr.mdo 
?WD nt1lo. Então duas bases quaisquer de V têm o mesmo número de 
clcm.cntos. 
Dg~tONSTRAÇÃO. Sejam B e B' duas bases de V. Como V é finit.n,. 
met1te gerado, decorre da Proposição 2.3.4 que B c B' são finitas 
(pois sfw Li.) com, digamos. rn e m' elementos. respectivauH'ntc. 
Cun idernndo B como conjunto gerador de V e B' lincarment e .iudCP-
p ndoutc segue da proposição acima que. m' ~ ·m~Por o\atr{J ift cr, ...::.. 
1 ~ 
... 
, utun co1~ 1H1lo gcl'udor e 8 linearmente indepen-
dm 1t 1 t.ormnos quo 111 < w'. Dní segue que m =- m'. O 
2.:l.O Observe que se V não for finitamente gerado, então qualquer 
husc de V possui infinitos elementos. Neste caso é possível mostrar 
que as bases são equivalentes como conjuntos, isto é, podemos mostrar 
que duas bases de V têm sempre a mesma cardinalidade. No entanto, 
não faremos aqui esta distinção. Os resultados acima justificam a 
seguinte definição. 
DEFINIÇÃO. Seja V um espaço vetorial sobre JK. Se V admite 
uma base finita, então chamamos de dimensão de V o número de 
elementos de tal base. Caso contrário dizemos que a dimensão de V 
é infinita. 
Observe que ainda não analisamos a questão da existência de 
bases para um dado espaço vetorial V sobre lK . O que podemos falar 
por enquanto é que se V possui alguma base, então a dimensão está 
bem definida. Neste caso, denotamos a dimensão de V sobre JK por 
dimoc V. 
Da Observação 2.2.9(a) segue que dimJK. {O} =O. 
2.3.7 EXEMPLOS 
(a) dimoc lK n = n. 
(b) d'imc cn = n, dimJR c n = 2n. 
(c) di'm!K P (JK ) = oo (uma base tem infinitos elementos) e 
dimK Pm(K) = m + 1. 
(d) dimc Mmxn(C) = mn, dimJR Mmxn(C) = 2mn. 
(e) dimoc Co= oo (ver Exemplo 2.1.4(c)). 
2.3.8 Obviamente, todo espaço vetorial que admite uma base finita 
é finitamente gerado. Vamos mostrar o inverso deste resultado, isto 
é, q~·mdo · e~J}~b ·vétorial não"R~nitameute...gerado adlJlÍte uma 
' ~- . -..,. ,..... 
t w t 'ur ,.,, fi, i lt1t '''u I wun 
ltnHt (flui tu). 
dn ulth• l pr 
>nnJ.J\rtio. Seja V um CSTJ(lÇO de dimensão 11 > 1 c seja B um 
ultconjunlo tlc V com n elementos. As segtnntes aji1maçÕC'S são 
cquivnlc1n lt!.'i: 
(a) B é uma ba.11c. 
(b) 8 é linearmente mdependente. 
(r:) B é um conjunto gerador de V. 
2.3.9 PROPOSIÇAO. Seja V um espaço vetorial sobre lK e conBidere 
13 = { v1, · · · , vm} um conjunto l. i. em V. Se existir v E V que não 
cja combinação linear dos elementos de B, então { v1 , · · · , Vm, v} é 
lin armcntt mdependente. 
])bMONSTRAÇÃO. Sejam a1, · · · , frm, O'm+I escalares tais que 
Om+l =F O, então podemos escrever 
Q} 
v=- Vt - · · · 
o que é uma contradição com a nossa hipótese de 11 não ser uma 
C"Ombinação linear de elementos de B. Então frm+l =O e, portnnt.o, 
OtVt + · · · + frmVm =O. Como o conjunto B é Li. , segue cnt.iio que.! 
n 1 = · · · = am = O, uma contradição com a hipótese sobru os (\i 'a. 
v 
Put•t.nnto { Vt: · · · • Vm, v} é l.i. O 
2.:t lO TEOREMA. Todo espaço vetorial finitamente gcmdo ntio nulo 
JtOS, ui uma base. 
l)gMONSTRAÇÃO. Seja V um espaço vetorial finitamente gm·oclolm, 
uulo sobre 1K. Então V possui um conjunto gerador finito, di nru >. 
('Olll 1r1 elementos, m > 1. Seja agora v1 E V um vetor 11 , n:alo. 
Entiio 8 1 = {vi} é linearmente independente. Se 8 1 gct·m· V, ·ulno . 
B1 (~ uma base de V. Caso contrário, exic:;te u2 E V que nu • um 
múltiplo de v1. Pela Proposição 2.3. Q., ~ ~. {uh 'V2 }•é'l~ ..... 
,. 
I 
I 
I 
• 6u 
132 ~P.J' r I · pr11 u V, 0111 fio sc·r6 umn bnsc uc V. Caso contrário, 
ist ua E V t.nl que { Vt, u2, V3} é l.i. Repetindo este procedimento, 
du'gorcmos ou a nmn base de V ou construiremos conjuntos Li. em 
V urbitrariamcntc grandes. O segundo caso não é possível pois como 
mostramos em (2.3.4), todo conjunto Li. neste espaço vetorial deve 
possuir no máximo m elementos. O 
Usando-se a mesma ideia da demonstração acima, podemos 
mostrar o seguinte resultado. Incent.ivamos o leitor a escrever tal 
demonstração. 
TEOREMA. Seja V um espaço vetorial finitamente ge1·ado e seJa 8 
um conjunto linearmente independente em V. Então existe 11ma. baBe 
de V contendo B. 
2.3.11 OBSERVAÇÕES 
(a) Seja V um espaço vetorial não nulo finitamente gerado. A ideia 
da demonstração acima de que V possui uma base foi esten-
der um conjlmto Li. até chegarmos a uma base. Uma outra 
maneira de se mostrar o mesmo resultado é o seguinte. Seja 
81 = { v1, · · · , Vn} um conjunto gerador finito de V. Se 8 1 é 
Li. então é, de fato, uma base de V e conseguimos o resul-
tado. Caso contrário, 8 1 é l.d. c, portanto, existem escalares 
n 
-\1 , · · · , Àn E lK não todos nulos tais que E Àivi = O. Sem 
i=l 
perda de generalidade podemos supor que -\1 f:. O e, portanto, 
n 
v1 ~ L :/'' Vi- Isto é, v1 é combinação linear de v2, · · · , Vn, o 
Í = 2 I 
que implica que 8 2 = {v2 , • • · , vn} é um conjrmto gerador de V. 
Se 8 2 for Li. , então é uma base de V, caso contrário podemos 
repetir o argumento acima para 8 2 para conseguir um conjunto 
83 Ç 82 , com n - 2 elementos e que gere V. Obviamente, este 
processo de redução tem que acabar em uma base de V. 
(b) Como observamos anteriormente, vale que todo espaço veto-
rial possui uma base. A demonstração do resultado geral de-
pende essencialmente do chamado Lema de Zorn. Apesar do 
resultado garantir a existência de uma tal base, nem sempre é 
. , : .J>ossível e:1tibi-la explicitame~ ,..fe.ntG COD})truir 1 por exemplo, . .. -· .... ~ ·-
t w ( tmm tlt l lqt l1t11 J HH m 
ol 1 Q. Ob rv <1u ~ uma tnl 
2.3.12 Ú prt.xftuo rcsultnclo nos dá uma caracterização de quando um 
uboonjunlo <e nm espaço vctoriHl finitamente gerado é uma base. 
Obs 'r v ~mos que um resultado similar vale sem a condição de que o 
spuço scjn finibunente gerado (ver Exercício 2.3.14(3)). 
1 ROPOSIÇÃO . SP.ja l,.r' um lK -espaço vetorial de dimensão n > 1 e 
cja l3 C V. As segumtes afirmações são equivalentes: 
(n) B é uma base de V; 
(b) Cada elemento de V se escreve de maneira úntca como com-
binação linear de elementos de B. 
l)EMONSTRAÇÃ~. {a)=> (b). Vamos supor que B = {v1,··· ,vn} 
Heja uma base de V. Em particular, B gera V e, portanto, todo 
Pl~nuJnto de v se escreve como combinaçã.o linear de v1 , · · · , Vn· Para 
n 11 
mostrar a unicidade, suponha que v = L nív, e v = L /3i'V;. Então 
t=l t =- 1 
fi n n 
E Oi u; = L f3i'vt ou L ( at - {3i)vi = O. Como B é Li .. segue que 
I J t=l i=l 
o - f:Ja = O para todo i = 1, · · · . n. Logo: a:l = f3n pa!a todo i, de 
ond segue a unicidade requerida. 
(b) => {a). Asswna agora que cada elemento de V seescreve de 
murwira única como combinação linear de elementos de B. Em par-
t i<•uln.r, B gera V. Para mostrarmos que B é uma bnsc, faltn. veri-
fil'nl' que B é Li.. Sejam v1, · · · , Vn E B c À1, · · · , Àn E lK tnis que 
" n 
}.: ÂiVi = O. Como O = L Ovi, segue pela condiçào de unicidacle 
1 I i=l 
dada no item {b) que Ài =O para cada i = 1, · · · ! n. Portunto, 8 é 
uma base. D 
2.3.l:J COORDENADAS 
A proposição acima traz consigo algumas consequêm!i . l 111 
antes. Seja V um espaço vetorial de dimensão n ~ 1 •br 
K c seja. B = { v1 , · • · , vn} uma base de V. Vamos fixar n ordem dos 
l'l~mcutos de B e por isso costumamos chamá-la de base orr1cnadn tÍt• 
V, A proposição acima afirma q~ ~ <!~do~ .. ll .E •. \1., existofn uuimcÍl · 
i .. 
... 
I 
\ 
• a7 
, 
" 111 tmiurtdo.· f.11, • • • 1 ~,. E lK lítis qtm v = E ai Ui. Devido a 
i 1 
c. t,n uuicidadt}, t.~ romum dm;crcvennos o elemento u por meio destes 
vnlorcs 0'~8 1 isto é, escrevemos (v]B :- (0:'1, · · · , an)B e dizemos que 
o 1 , • • • 1 Ctn são as coordenadas de v com relação à base {ordenada} 
B. É claro que tais coordenadas dependem da base B escolhida e da 
ordem de seus elementos, por isso é sempre importante deixar claro 
na notação qual base estamos considerando. 
EXEMPLOS (a) Considere V = C 2 con1o C-espaço vetorial e ~eja 
v= (i,2 +i) E C 2 . Considere a base B = {(l,i),(i,O)} (verifique 
que é de fato uma C-base). Então as roordenadas de v em B serão: 
[v]B = (a1, a2)B, onde a1, a2 E C satisfazem: 
e portanto 
Segueentãoque0'1 = 1-2iea2 = 3+i. Logo, (v]B = (1-2i,3+i)B. 
(h) Con::;idere agora C 2 como 1R -espaço vetorial e seja 
C = {(1, 1), (i, 0), (1, ·i), (0, 1)} uma lR-base de C 2. As coordenadas 
de v= (i,2 +i) na base C serão dadas por [v]c = (a1,a2,o:3,o:4)c 
onde a1, a2, a3, 0:4 E 1R satisfazem: 
(i, 2 +i) = a 1 (1, 1) + a2(i, O) + a 3(1, i) + a4 (0, 1) 
Logo 
Como a1 , a2, a3, a 4 E 1R, concluímos que a 1 + a3 = O, a2 = 1 e 
a1 + a4 = 2 e 0'3 = 1. Portanto a1 = - 0:3 = -1, 0:2 = 1 e n4 = 3. 
Logo [v]c = ( - 1, 1, 1, 3)c 
OBSERVAÇÃO 
Considere V = IK n como espaço vetorial sobre lK . Os elementos 
··~:_. .:-: ... de lK n são n .. uplas (a-t, · , .. _, ~~ CQ:m QS ai ~s em lK. Levan~o-se 
• _ .. ,' ·~.. rl 
(tq 1 ••• ,n~a)=o,(J,O,··· ,O)+···+an(O,··· , 0,1), 
i. to 6, llJ ,: • • • , o rl RÕ.o u.s coordenadas de (a 1. · · • , an) com relação 
n hl\S(~ ((~U\Ônica.) Can ; {(1,0,··· , 0).··· ,(0,··· ,0,1)} de 
1K n no Ht'ulido du.do acima. A rigor. deveríamos escrever 
(nt, · · · , an)can em vez de simplesmente (at, · · · , a11 ). 
2.:1.1~1 EXEHCÍCIOS 
(1) Seja B ={(i, 1 - i, 2), (2, 1, -i), (5- 27,4, -1- i)} um subcon-
junto dé C 3 . 
(n.) B é li~ conjunto Li.? 
(b) Decida se (3 +i, 4, 2) pertence ao subespaço gerado por B. 
(Considere C 3 como espaço vetorial sobre C c sobre IR). 
(2) Seja V um espaço de dimensão n ? l. Mostre que: 
(a) todo conjunto de vetores com mais do que n elementos é 
linearmente dependente. 
(b) nenhum conjunto com menos do que n elemeutos pode 
gerar V. 
(a) Seja V um espaço vetorial sobre lK de dimensão não necessa-
riamente finita e seja B um conjunto Li. em V. Mostr<' que se 
existir um elemento v E V que não seja combinação lim'ar de 
clrmentos de B, então 8' = B U {v} é Li.. 
(tl) Prove a Proposição 2.3.12 sem a hipótese de que a dint<'UHU.O 
de V seja finita. 
(fi) Mostre que o conjunto S das soluções do sistema lincu.r ho-
mogêneo: 
{ 
5:r + y + 2z - 3w = O 
6x + y - 3z + 2w = O 
3:r + y + 12z - l3w = O 
é um R-espaço vetorial e e~a. uma. base de S .. '· 
. ' 
r . -
(a) Mostre que B { 1, 2 +:r:, 3J: - a:2 , x - x3 } é base de V. 
(b) Escreva as coordenadas de p( x) = 1 + x + x 2 + .r3 <'om 
relação à base B. 
2.4 SUBESPAÇOS 
2.4.1 DEFINIÇÃO. Seja V um e::;paço vetorial sobre um corpo lK. 
Um subconjunto W de V é um sv.bespaço IJPtorial de V se a restrição 
das operações de V a vF torna es::;e ronjunto um JK -espaço vetorial. 
2.4.2 EXEMPLOS 
(a) O subconjunto de um espaço vclorial V formado apena.':3 pelo 
elemento nulo é um subespaço v<>torial de V. O próprio V corno 
subconjunto dr V é também um subespaço vetorial. Estes dois 
subespaços são chamados de triviais. 
(b) Considere C como espaço vetorial sobre Q. Então Q Ç IR Ç C 
é uma cadeia de subespaços de C. Observe que se con~iderar­
mos C como rspaço vetorial sobre IR, então Q não é subespaço 
vetorial de C (pois a multiplicação de um elemento real por 
um elemento de Q nem sempre é racional). Generalize esta 
observação. 
(c) Usando a notação dada em {2.1.4) segue que C([a, b], C) é um 
subespaço vetorial de F([a. b], C). 
( d) Seja V o ::;ubcoujunto de IR 4 formado pelos vetore:-; que ::;ão 
combinações lineares dos elementos {(1,0. -2,3). (1, 1, 1, 1)}. 
Então V f. um subespaço de 1R 4 • 
(e) Seja V um ehpaço vetorial sobre um corpo lK c ::;eja v E V. O 
conjunto lK v := { nv : a E lK} é um subespaço vetorial de V. 
2.4.3 O resultado seguinte é bastante útil para decidir se nm dado 
subco'njtmto dê'uin êspaço vetori~'Ou não wrLsub~paço vcto~lal. ~ ... 
(J(I • I "' f ",.,, tlt Al'l''"" /tmut 
'rjarn V um rlJPaço u toríal obro K c! l\' ç; \f 7Jm 
(a) O E H' ; 
((!) .'lt' À ~ IK e v E lV então À · v E W. 
DB~tONSTRAÇÀO. Deixada a cargo do leitor. o 
2.<1.4 OBSERVAÇÕES 
Seja V um espaço vetorial não nulo sobre li{ . 
(a) Se lV Ç V é um subespaço próprio de V com dimensão 
finita. então climx W < dimK V. De fato. se H' = {0}. 
não há nada a mostrar. Considere então lV f= {O} e seja 
B = { w 1. · · · . Wn} uma base de lV. Em particular, B 
é um conjunto linearmente independente de V. Como 
H' f= V, então existe v E V. v f/- lV, o que implica que v 
não {> gerado pelo::; elementos de B. Vimos em (2.3.9) 
que { w1 : · · · , Wn: v} é linearmente independente. Logo 
dimK lV < dimK V, como queríamos. 
(b) Se W 1 e lV2 são dois subespaços de V então téunbém serão 
subespaços de V os conjuntos 
Deixamos ao leitor a demonstra.çào deste fato (use a Pro-
posição 2.4.3). Em geraL lV1 U lV2 não é um subespaço 
vetorial de V. 
2.4.5 PROPOSIÇÃO. Sejam v um espaço 'l.lctorial e rv. c H'2 dois 
subespaços vetoriais de V, ambos de dimensão finita. Então 
DI-..MONSTRAÇAO. Vamos supor inicialmente que lV1 n lV2 ~ {O} 
(\ ~cJa B = { w1 : · · · • wn} uma base de ·n'"1..DJY2· Como ~V1 n H 2 
. .. .... . ............ . 
... 
• 61 
1b · pnçn v ·lvl'lul I anl o d H'1 aonuJ cl • ll12, podemos esteudcl' B a 
I 
bn: 1 do H', t do '\IV~, por (2.3.10). 
Sqjllln cnti'io B' = {w1 , · · · , Wr1, Vt, · · · , Vr} uma base de W1 e 
B" = { Wt, · · · , W 11 1 u, , · · · , u8 } uma hasc de ltV2, ambas contendo 
o conjunto B. O resultado estará provado se mostrarmos que o con-
junto C= {w, 1 • • • , Wn, u,, · · · : Vr, u, · · · , u.~} é uma base de l·F1 +H'2. 
Vamos mostrar em primeiro lugar que C gera t'F1 + ~~r2· Para tanto, 
seja v E Wt + W2. Então v = T1 + ~r2, com a·1 E W1 c ..z:2 E W2. 
Ul:lando as ba.<;cs B' c B" temos que 
11 r· n s 
x1 = L ÀiWi + L "YjVj c J'2 = L aiwi + L Ptl.Lf 
i=l j=l i=l l=l 
com A/s, "fJ 's, oi 's c fh ·s em lK. Daí 
V= X1 + .r.2 ::- (t À~Wi + t ""fj'llj ) + (t D'iWi + t /3(1.LL) 
t=l J=l t=L 1=1 
n r s 
L (Ai + oi)wi + L "Yj'Uj + L !3tut 
i 1 J=l 1=1 
e. portanto. C gera lV1 + W2. 
Para mostrar que C é linearmente independente. considere a soma 
n r .'1 
(I) 
onde os a~s, os f3js e os 1fs estão em 1K. Assim, 
s TI r 
l=I i=l j=l 
pois é, ao mesmo tempo, combinação lin<'ar de elementos de B' e de 
Plementos de B" . Portanto, existem À,, · · · , Àn E 1K tais que 
s n s n 
L ""ftUt =L À(Wi, isto é, L "YJUl + L ( -Ài)'Wi = o. 
l=l 1-l 1=1 i=1 
Como { u1 , · · · , u . .,, w 1 , · · · , wn} é linearmente independente, teremos 
que "'rl =O, V l = 1~ · · · . s e Ài =O, V i = 1, · · · , n. Em particular, a 
equação (I) acima se reduz a 
n r 
L OíWi +L {JjVj = o. 
{=1 , :!':::J'f'" ' ,...,_•-:-• .. ·• • •• r .... . 
I ,, ( 
1
!11/HI tlr A ''I',,,., I "" '" 
fnt • d Qll' {Wlt'", IJ,0 1Jt,'" ,v,.} 6l.i., tarmos 
( • I, • · · , u, I' qtiPfJJ = O, V j = 1, · · · , r. Concluímos 
lní qu {w1 ···· ,wn,Ut,··· ,or,tll,··· ,u8 } é linearmente indcpcn-
dcnt -., port auto, umn bnso de lV, + H'2 · 
No <.'i\SO ('lU que lV, n lV2 = {0}. S<'jam Bl (' 82 bases de 
ll'1 e H'2, rcspcctivament c. De maneira análoga à acima, mostra-se 
QU JJ1 U /J2 <~uma base de lVt + H'2 (deixamos ao leitor completar 
u cl talhos desta última parte). Com isto, a dcmon~tração estará 
omuplcht. O 
2.<1.6 0 ESPAÇO SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Considere o conjuntoS das funções de F(R .IR) que ~ão soluções 
do equação diferencial linear homogênea de ordem n com coeficientes 
'oustnntcs 
\. 
onde a0 , a 1 , • · · , an-l E R. E~tamos interessados em mostrar que 
$ l! mn sube~paço de V. Obsen·amos inicialmente qn<' y E S se e 
omontc se y t<'m derivada até ordem 11 ú, para qualquer f. E R. vale 
a rcluçiio 
Vamos agora mostrar que S é mn subespaço de V. A função 
id •11t icmncnte nula. isto é, a função y( t) = 0: 'r/ t E R . pertence a S 
pois yCt~>(t) =O, 'r/tE 1R c 'r/ n E N. " 
Se consideramos y, z E S então 
(y+z)Cn) (t) + G.n-1 (y+ z)<n-t) (t) + · · · + a1 (y+ z )' (t) +ao(Y -t z)(t.) = 
= (y<n>(t) + an-tY(n-l)(t) + · · · + a1y'(t) + aoy(t))+ 
+(z(n)(t) + an- lZ(n- l)(t) + · · · + a1z'(t) + aoz(t.)) = O 
· pntn todo tE lR c a..-.sim y + z E S. 
Se consideramos y E S c À E R , então 
. ... 
.. . . 
·. 
• (j;) 
• ,~\ [y(n) (tj I tl1,-ll/tn-t)(l) ·I· .. ·+ a 11/ (I) + aoy(t)] = À· O = O 
lHi l''~ todo I E IR o, portanto, Ày também é solução. AHHim, por 
(2.'1.3), Sé um snbeHpaço de F(JR.,IR.). 
Dada a equação d iferencial linear homogênea (I), observamos 
que a função y( t.) = ckt. com k E .IR , é uma solução de (I) se e somente 
Hc k for uma raiz real da equação 
(I I) 
De fato, vamos supor que y(t) -= ét é uma solução da C'quação 
(I). (Note que isto é possível, uma vez que a função cxpoucucial 
tem derivada de todas as ordens). Como y' ( t) = kPkt, y" ( t) 
k 2ét: ... , y(n)(t) - k_rtekt, substituindo C'm (I) vamos ter qne 
isto é, 
Como a função y( t) = ekt =/= O, 'V l E IR, segue que 
Portanto, y(t) = Pkt é solução de (I) # k é uma raiz real de (H). 
A equação (II) é denominada f'lJIU.tçiio caTacterísiica associada 
à equação (I). 
OBSERVAÇÃO 
Deixamos ao leitor mostrar que se k1 , k2 , · · · , kn são números 
reais dois a dois distintos, então { c'-'11 , · · · , ek"' t} é nm subcon-
junto Li. de F(R. R). 
O nosso interesse não é ensinar métodos para achar solw~ões 
d<> equações diferenciais. mas sim olhar um pouco a estrutura do 
conjunto das soluções da equação (I). Vamos a seguir mostrar que 
o subespaço S formado por todas a.s soluções de (I) tem d im('m;ão 
n. Para Lanio, pr('cisamos nos valer do seguinte teorema, cuja. de-
monstração fog~ <loS' nossos objet~" .... ' ~ .... --?-••• w •• p .... 
-- • ,.., J • ,., ~ ... . . . -.r:--...: '-'• '<"" ~ 
,. I I , 111 ( .,, "" ri f { ll}t ,,,,, I Hlfllf 
dnd d ,lu 1 s - . ~.U.) Consid 1 
. 
y (t&) t) + lln- lY(n-l) (t) + · · · + n1y'(l) + aoy(t) = O (!) 
mult' ao, CJ 1, • • • ! al&-t E 1R. Dados Ao, At. · · · , An-2· An-t E IR. 
f ris/e turw tí:riica solução y: lR ~ .IR da equação (I) verificando 
v(o) = Ao. y'(O) = At. y"(O) = A2. · · · .y<n t)(O) = A"-1· 
Clu1mamos as condições y(k)(O) = Ak, k = O.··· . n- 1. de 
oondiçõr.s iniciais da equação (I). A unicidade garante-nos que se 
duns soluç~ erificam as mesmas condições iniciai.c;; então elas são 
i •unis. 
Vamos construir n soluções que formarão uma base do subes-
pnço dn."1 soluções de (I). 
Considerando as condições iniciais Ao = 1. A1 = A2 = · · · = 
,iln- 1 =O e aplicando o T.E.U., existe y1 :IR ~ 1R. a única solução de 
(J) que verifica as condições y1 (0) = 1. y~(O) = .. · = y~n- t)(O) =O. 
Também con~idcrando Ao = O. A1 = 1~ A2 = A3 = · · · = 
An- t =O e aplicando o T.E.U .. existe Y2 : IR ~ lR, a única solução 
' I (I) que verifica Y2(0) = 0: y~(O) = 1: .y~(O) = · · · = y~n-l)(O) =O. 
Se dermos continuidade a este proce~so a cada n-upla de con-
diçfx!s iniciais dadas, sendo n - 1 zeros e o número 1 ua i-ésima 
; onclição, c aplicando o T .E. U., existe Yi+ 1 : IR ~ lR . a única solução 
ô (J) que verifica a...:; condições .lJi+l (O) = y~+I (O) = · · · = y~~~ l) (O) = 
0, v~2 1 (O) = 1, y~it-~ 1 > (O) = O = · · · = Yi:;t> (O) = O. Construímos 
li.':! im um conjunto Li. com n elementos {y1 , · · · , Yn} C S (verifique 
qu' de fato é Li.). Afirmamos que tal conjunto gE!ra S. De fato, para 
cnlla y E: S vamos mostrar que y é combinação linear das funções 
Yt 1 ••• ,Yn· Considere os n números y(O),y'(O), · · · ,y<n-l)(O) E lR e 
umu solução x de (I) dada por 
:r:(t) = y(O)y1 (t) + · · · + y<n- l) (O)yn (t). V t E lR, 
i:;to é, ::r:(t) é a combinação linear de Yt. · · · , Yn com coeficientes 
y(o), · · · . y<n-l}(O). Agora~ 
x(O) = y(O)yt (O)+ · · · ... -+ :t/n~(O)ytl.(O) ;;= y(O) 
.. . . 
... ..... .. -
jú 'J'IIJ VJ(O) • O, prn·n j • 2, • • · , '1l Zll (O) = 1 e 
x'(O) = y(O)y~ {O)+ y'(O)y~(t) + · · · + y<n- l){O}y:,(o) = y'(O) 
já quf' Y2(0) = 1 e v;(o) = O para j = 1, 3, · · · , n. Sucessivam<'Jlte, 
chega-se a x(L) (O) = y<O (O) para l - 1, · · · , n - 1. Logo x c y são 
soluções e verificam as mesmas < <mdi<.;õcs iniciais. Segue novamente 
pelo T.E.U. que elas coincidem e. conspquentemente. y é combinação 
linear de y1 , · · · , Yn. Acabamos de mostrar o seguinte resultado. 
PROPOSIÇÃO. O espaço veto1·wl formado pelas sol·uções de 11ma 
equação diferencial linear homogênea de ordem n com coefitienles 
constantes tem dimensão 11. 
EXEMPLO 
Vamos determinar uma ba..c:;e para o subespaço das soluções 
v"' - 4y" - 37y' + 40y = o. 
Consideremos primeiramente a equação característica associada 
a ( * ), isto é, k:i- 1k2 - 37k + 40 =O. Não é difícil ver que as 
raízes desta equação são 1, -5 c 8. Assim é, e-st e e8t são 
soluções da equação ( *) e o conjunto { e1 , e-5t, e8t} é linear-
mente independente fornecendo, consequenterncnte, uma base 
para o espaço das soluções de ( * ). 
ÜBSERV 1\ ÇÃ O 
Suponhamos que a equação característica associada a uma equa-
ção diferencial linear homogênea a coeficientes constantes seja 
p(.r) = (x-kl)n 1 (x-k2)n 2 • • • (x-kr)nr onde n1 > 1 para todo 
i = 1, · · · , r c kt =f:. ki, se i =J. j. Deixamos ao leitor verificar 
que 
é um conjunto l.i. no espaço das soluções da equação dada. Na 
realidade, como este conjunto possui n elementos, seguirá da 
... ~ proposiçã:6· m!ima que B é da.,!a.to .uma base deste espaço. 
- , -._ ......... ""' ( ... "'f' 
(,f, • (1,,, ( '111 •w rir ,,,, lm1 I ,, m 
2. 
(I) \'•·•'il1qu; u· S o tini l'illbPspuço V(•f.orinl do espaço vetorial V 
Elnhn.l n l'OIJ>O lK mu qucstáo nos seguintes casos: 
(a) V C(R,R) c S-= {! E C(R,R): j
0
1 !(x)2dx = O}; 
IK ...:. IR. 
(h) V ;. R" e S = {(a1 ,a2, ... ,a.) E JRn : a,.a
2 
= O}; 
IK- R. 
(c) V - F(lR ,lR) e S = {f E V; f(O) = /(1)}, 1K = JR. 
(d) 8 · [ {( au a
12
) EV:ai1 =aji, i,j=1,2}; a21 a22 
V =M2(C), 1K =C. 
(2) Sejam W1 e W2 subespaços de um IK-espaço vetorial V. 
(a) Dê um exemplo mostrando que W
1 
U W
2 
pode não ser 
subespaço de V. 
(b) Prove que W1 u W2 é um subespaço de V se e somente se 
W1 c W2 ou W2 c wJ. 
(3) Sejam V = Mn(C) e W ={A E V .. : trA = 0}. Prove que W é 
tun subespaço de V e ache uma base e a dimensã.o W. 
(•l) Seja U um subespaço vetorial de um espaço vetorial V finita-
mente gerado sobre 1K . MostTe que se dimoc U = dirnii< V, 
então U = V. 
(ü) Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V sobre 1K 
tais que w1 n w2 = {0}. 
(a) Mostre que se 8 1 e 8 2 são conjuntos l.i. em W1 e W2, 
respectivamente, então B1 U 82 é l.i. em V. 
(b) Mostre que se 8 1 e 8 2 são bases de W1 e W2 , respectiva-
mente, então 8 1 U 82 é uma ba...,e de W1 + W2. 
(O) Seja W = { ( au 
a21 
(a) Mostre que W é um ~.vctorffil ·svbre R: 
... .. 
... . . " ....... 
I' JW o~ \ lin tat • ü7. 
(b) D ·I Illllll llJHll IJns de• l~'. 
(t1) Soja ll'1 = {(aij)i,j E M2(C) : a21 = -at2}· Prove que 
1V1 é um subespaço de V sobre IR c ache uma base de W1