Fluidos: Massa específica, pressão e princípios

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Tópico 2: Fluidos
• Massa específica e pressão.
• Fluidos em repouso. Pressão hidrostática.
• Princípio de Pascal.
• Princípio de Arquimedes.
• Fluidos (ideiais) em movimento.
• Equação de Bernoulli.
Sólido: corpo rígido-volume e forma bem definidos (Segunda Lei de Newton-
massa e força).
Fluido: substância que pode escoar e não oferece resistência à uma tensão de 
cisalhamento (massa específica e pressão).
Líquidos: volume bem definido mas forma não.
Gases: nem volume nem forma bem definidos.
Massa específica ρ
Elemento de fluido com massa e volume . 
A massa específica é definida como: 
Δm ΔV
ρ ρ =
Δm
ΔV
Formalmente: ρ = lim
ΔV→0
Δm
ΔV
No caso de massa específica uniforme (tem o mesmo valor em todos 
os pontos do fluido) : ρ =
m
V
m, V
Unidade de massa específica no SI: kg/m3
F
A
= G
Δx
L
G : módulo de cisalhamento
Pressão p
Formalmente: p = lim
ΔA→0
ΔF
ΔA
A pressão do fluido sobre o pistão é definida como: 
p =
ΔF
ΔA
No caso da força ser uniforme em uma superfície plana de área (e perpendicular
à área), a pressão é dada por: . Note que na definição da pressão aparece 
o módulo da força. Desta forma a pressão é uma grandeza escalar.
A
p =
F
A
Observa-se experimentalmente que, em um dado ponto do fluido em repouso, a 
pressão tem o mesmo valor, independente da orientação do sensor.
Unidade de pressão no SI: ou Pa (pascal). Temos também:
N/m2
1 atm = 1,01 × 105 Pa = 760 Torr
Fluidos em repouso:
O volume do cilindro é: .
A massa de fluido contida no cilindro é: .
As forças e são: .
V = (y1 − y2)A
m = ρV = ρ(y1 − y2)A
F1 F2 F1 = p1A, F2 = p2A
F2 = F1 + mg
p2A = p1A + mg = p1A + ρ(y1 − y2)Ag
p2 = p1 + ρg(y1 − y2)
Fazendo y1 = 0, p1 = p0; y2 = − h, p2 = p
p = p0 + ρghPressão a uma profundidade :h
A pressão atmosférica é p0
p0 p0
p0p0
A pressão em um ponto de um fluido em equilíbrio estático depende 
da profundidade do ponto, mas não da dimensão horizontal do fluido 
ou do recipiente.
Na equação , é a pressão total ou absoluta.
Pressão manométrica: .
p = p0 + ρgh p
(p − p0) = ρgh
Como varia a pressão atmosférica com a 
altitude (acima da superfície do fluido)?
p2 = p1 + ρg(y1 − y2)
y1 = 0, p1 = p0; y2 = d, p2 = p; ρ = ρarVamos fazer 
p = p0 − ρargd
Medidores de pressão
p2 = p1 + ρg(y1 − y2)Lembramos que: 
Barômetro de mercúrio: medidas da pressão atmosférica p0
Fazendo temos:y1 = 0, p1 = p0; y2 = h, p2 ∼ 0
0 = p0 + ρg(0 − h) → p0 = ρgh
Manômetro de tubo aberto: medidas da pressão manométrica pm
Fazendo temos:y1 = 0, p1 = p0; y2 = − h, p2 = p
p = p0 + ρg(0 − (−h)) → pm = p − p0 = ρgh
p0 = ρgh
pm = p − p0 = ρgh
Paradoxo hidrostático
Curso de Física Básica – Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor – H. Moysés Nussenzveig 
Para recipientes com formas diferentes, mas com mesma área da
base e mesma altura de líquido, a força exercida sobre a base é a 
mesma, embora o peso do líquido seja diferente. Esse resultado
segue da igualdade das pressões exercidas sobre o fundo do 
recipiente, que só depende da altura h .
Colocando o recipiente em uma balança, a força resultante sobre o 
prato é a soma das forças que atuam no recipiente.
Isso explica o paradoxo hidrostático. Apenas em (c) a força sobre a 
base é igual ao peso do líquido.
O princípio de Pascal
Exemplos: tubo de pasta de dentes, manobra 
de Heimlich, macaco hidráulico.
Uma variação da pressão aplicada a um fluido incompressível contido 
em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do 
fluido e às paredes do recipiente.
A pressão é: . Adicionando mais 
bolas de chumbo, a pressão aumenta de . 
Desta forma, como não mudam: 
p p = pext + ρgh
pext Δpext
ρ, g, h
p′ = (pext + Δpext) + ρgh
Definindo temos: Δp = p′ − p
p = pext + ρgh
p′ = (pext + Δpext) + ρgh Δp = Δpext{
Como não depende de , deve ser a mesma para todos os pontos do fluido.Δp h
Fluido incompressível: constante.ρ =
Macaco hidráulico
Pelo princípio de Pascal: Δp =
Fe
Ae
=
Fs
As
→ Fs = ( AsAe ) Fe
carga externa
Se temos que . Vamos assumir agora que o pistão de 
entrada é deslocado de e, o de saída, de . O volume de fluido
deslocado é: . Se .
As > Ae Fs > Fe
de ds
V = Aede = Asds → ds = ( AeAs ) de As > Ae → ds < de
O trabalho realizado pelo pistão de saída é: W = Fsds =
As
Ae
Fe
Ae
As
de = Fede
Trabalho realizado pelo pistão de saída ao 
levantar uma carga
Trabalho realizado sobre o pistão de entrada
pela força aplicada.
Com um macaco hidráulico, uma força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser 
transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor.
Princípio de Arquimedes
p2 − p1 = ρgh → p2A − p1A = ρghA
O volume do cilindro é . Assim:V = Ah
p2A − p1A = ρVg
A massa de fluido deslocada pelo fluido é . Com isso temos:mf = ρV
A pressão em 2 é: p2 = p1 + ρgh
Organizando e multiplicando pela área do cilindro:A
p2A − p1A = ρVg → F2 − F1 = mf g → FE = mf g
onde é o módulo da força de empuxo. Esse é o princípio de Arquimedes:FE
Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido, uma 
força de empuxo exercida pelo fluido age sobre o corpo. Essa força é 
dirigida para cima e tem módulo igual ao peso de fluido deslocado pelo 
corpo .
⃗F E
mf g
Curso de Física Básica – Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor – H. Moysés Nussenzveig 
Flutuação
Quando um corpo flutua em um fluido, o módulo da força de empuxo 
que atua sobre o corpo é igual ao módulo da força gravitacional a que o 
corpo está submetido.
FE
Curso de Física Básica – Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor – H. Moysés Nussenzveig 
Assim: FE = Fg
Quando um corpo flutua em um fluido, o módulo da força gravitacional 
a que o corpo está submetido é igual ao peso do fluido deslocado 
pelo corpo.
Fg
mf g
Fg = mf g
Peso aparente
Determinar o peso de um corpo fora e dentro d’água. O peso aparente é a 
diferença do peso real e do módulo da força de empuxo:
Pap = P − FE
Fluidos ideais em movimento
Descrição matemática simples. Os requisitos a respeito do escoamento de um fluido ideal 
são:
Escoamento laminar: a velocidade do fluido em um dado ponto não varia com o tempo,
nem em módulo e nem em orientação.
Escoamento incompressível: a massa específica tem o mesmo valor em todos os 
pontos do fluido e em qualquer instante de tempo.
Escoamento não-viscoso: não há resistencia ao escoamento (viscosidade -> atrito).
Escoamento irrotacional: uma partícula em movimento no fluido não apresenta 
rotação em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa.
Escoamento laminar
Escoamento turbulento
Equação de continuidade
Linhas de fluxo ou linhas de corrente: trajetória seguida por um elemento de fluido. 
A velocidade do fluido em um dado ponto é tangente à linha de fluxo no ponto. Desta 
forma duas linhas de fluxo nunca se cruzam.
ΔV
ΔV
ΔV = AΔx = AvΔt
ΔV = A1v1Δt = A2v2Δt
A1v1 = A2v2Chegamos assim à equação de continuidade:
RV = Av = constante
Rm = ρRV = ρAv = constante
Vazão:
Vazão mássica:
No SI: m3/s
No SI: kg/s
Tubo de fluxo.
Como duas linhas de fluxo nunca se cruzam, não há fluido 
entrando ou saindo pelas paredes do tubo.
Escoamento de um fluido em um tubo cilíndrico. 
No instante de tempo , o elemento de fluido está 
prestes a atravessar a linha de referência. No 
instante de tempo , o elemento de fluido 
está a uma distância da linha de 
referência.
t
t + Δt
Δx = vΔt
Equação de Bernoulli
ΔV
ΔV
p1 +
1
2
ρv21 + ρgy1 = p2 +
1
2
ρv22 + ρgy2
p +
1
2
ρv2 + ρgy = constante
W = ΔK =
1
2
Δmv22 −
1
2
Δmv21 =
1
2
ρΔV(v22 − v
2
1)
Δm
Δm
Wg = − Δmg(y2 − y1) = − ρΔVg(y2 − y1)
FΔx = pAΔx = pΔV
Wp = − p2ΔV + p1ΔV = − (p2 − p1)ΔV
Teorema do trabalho e energia cinética:
Trabalho realizado pela força gravitacional:
Trabalho realizado pelas forças de pressão:
W = Wg + Wp = ΔK → − ρgΔV(y2 − y1) − (p2 − p1)ΔV =
1
2
ρΔV(v22 − v
2
1)
Simplificando e organizando: p1 +
1
2
ρv21 + ρgy1 = p2 +
1
2
ρv22 + ρgy2
trabalho realizado pelo sistema: −p2ΔV
trabalho realizado sobreo sistema: p1ΔV
O trabalho total é:W
Casos particulares:
y1 = y2 → p1 +
1
2
ρv21 = p2 +
1
2
ρv22
v1 = v2 = 0 → p1 + ρgy1 = p2 + ρgy2 → p1 = p2 + ρg(y2 − y1)
Fluido em repouso:
p1 − p2 =
1
2
ρ(v22 − v
2
1)