MCFE4 - Aula 9 - Introdução à Cinemática dos Fluidos

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Mecânica dos FluidosMecânica dos Fluidos
MCFE4MCFE4
2/20252/2025
Introdução aos Introdução aos 
fluidos em fluidos em 
movimentomovimento
3IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Introdução
Leonardo Da Vinci
4IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Introdução
A Grande Onda de Kanagawa
(Hokusai)
5IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Introdução
6IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
Escoamento unidimensional
A velocidade é uma função de r apenas
7IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
Escoamento bidimensional
A velocidade é uma função de x e de r
8IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
Escoamento 1D Escoamento 2D
9IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
Escoamento Adimensional
A velocidade é constante através em qualquer seção do 
escoamento.
10IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
Classificação do escoamento com base no espaço e no tempo: 
Escoamento uniforme em regime permanente
Um fluido ideal mantém a mesma velocidade no tempo em 
cada ponto ao longo do escoamento
11IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
Classificação do escoamento com base no espaço e no tempo: 
Escoamento uniforme em regime permanente
Em uma seção transversal onde ocorre o escoamento uniforme 
a velocidade é constante através de qualquer seção normal ao 
escoamento.
12IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
Classificação do escoamento com base no espaço e no tempo: 
Escoamento uniforme transitório
Em cada instante de tempo a velocidade do fluido ideal é a 
mesma em todos os pontos, mas ela muda com o tempo.
13IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Escoamentos Viscosos e Não Viscosos
Escoamentos ViscosoEscoamentos não Viscoso
14IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
Classificação do escoamento em relação aos seus efeitos viscosos: 
15IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
Classificação do escoamento em relação aos seus efeitos viscosos: 
16IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tipos de escoamentos de fluidos
17IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Experimento de Reynolds
18IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Experimento de Reynolds
19IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Experimento de Reynolds
20IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Experimento de Reynolds
N
º 
d
e 
R
e 
A
u
m
en
ta
n
d
o
21IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Número de Reynolds
Sendo:
ρ = massa específica
V = velocidade média
D = dimensão característica do escoamento
µ = viscosidade dinâmica
22IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Número de Reynolds
Regimes de escoamento para Água escoando no interior de tubos:
Re 2400 Escoamento Turbulento
24IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Número de Reynolds
Sendo:
V = velocidade média
D = dimensão característica do escoamento
ν = viscosidade cinemática
25IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Número de Reynolds
Escoamentos sobre um cilindro:
(a) ReD = 1,54;
(b) ReD = 26;
(c) ReD = 2000;
(d) ReD = 10000.
(a)
(b)
(c)
(d)
26IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Número de Reynolds
Reynolds Baixo
Reynolds Alto
Cinemática do Cinemática do 
movimentomovimento
de fluidosde fluidos
28IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Introdução
Cinemática (do grego κινημα, movimento) é 
o estudo da geometria do escoamento, 
descrevendo a posição, velocidade e 
aceleração de um sistema de partículas de 
fluido.
29IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Introdução
Um sistema é uma quantidade específica de fluido 
contida em uma região do espaço, separada do fluido ao 
redor.
30IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Duas maneiras de descrever o movimento dos fluidos
Euleriano
● Usa o conceito de campo.
● Especificação completa:
➔ Pressão (x,y,z,t),
➔ Massa específica (x,y,z,t),
➔ Velocidade (x,y,z,t).
● Informações sobre o escoamento em 
pontos fixos no espaço.
Lagrangeano
● Segue as partículas fluidas.
● Especificação da partícula:
➔ Pressão (t)
➔ Massa específica (t),
➔ Velocidade (t),
➔ Posição (x,y,z).
● Informações sobre o que acontece 
com a partícula ao longo do tempo.
31IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Duas maneiras de descrever o movimento dos fluidos
32IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
33IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
Mas, como seguir uma partícula no fluido?
34IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
35IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
Referencial Euleriano: fixo no espaço, 
define o campo de velocidades.
36IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
Campo de Velocidade. Definido como:
37IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
Esse campo indica a velocidade de uma partícula fluida 
que está passando através do ponto x, y e z, no instante de 
tempo t, em um referencial Euleriano;
38IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
O Campo de Velocidade pode ser expandido em coordenadas cartesianas:
Onde u, v, w são os componentes x, y, z da velocidade e i, j, k são os 
vetores unitários que definem os sentidos positivos nos eixos x, y, z.
39IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
Diversos campos (escalares ou vetoriais):
40IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
Se as propriedades (η) em cada ponto em um campo de 
escoamento não variam com o tempo (t), diz-se que o 
escoamento está em Regime Permanente e então,
41IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
Assim, em Regime Permanente:
42IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Descrição do movimento dos fluidos
3D e regime transiente:
3D e regime permanente:
2D e regime permanente:
1D e regime permanente:
43IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Escoamento 1D, regime permanente
A velocidade axial é função de ‘r’
44IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Escoamento 2D em regime permanente
O campo de velocidade varia no plano definido por 
(x,y) e não varia na direção z
45IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Escoamento 3D, regime permanente
Escoamento em 
rotação na vizinhança 
da parede de um disco 
estacionário. A 
velocidade varia nas
direções x, y e z.
46IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
Um campo de velocidade de um escoamento é dado por:
Onde Vo e l são constante. Determine o local no campo de 
escoamento onde a velocidade é igual a Vo e construa um esboço 
do campo de velocidade no primeiro quadrante (x ≥ 0 e y ≥ 0).
47IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
48IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
Para termos V = V0:
Esta é a equação de uma circunferência (lugar geométrico dos pontos 
que estão a uma distância l da origem).
49IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
A direção do vetor velocidade é tal que:
50IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
Ilustração do campo:
51IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
ExemploUm campo de velocidade de um escoamento é dado por:
Onde x, y e z. São medidos em metros. Determine a velocidade do 
fluido na origem (x = y = z = 0) e no eixo y, (x = z = 0).
52IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
a) Velocidade na origem, x = y = z = 0:
53IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
b) Velocidade no eixo y, x = z = 0:
54IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exercício 1
Um campo de escoamento bidimensional 
para um fluido pode ser descrito por V = 
[(2x + 1)i - (y + 3x)j] m/s, onde x e y estão 
em metros. Determine a magnitude da 
velocidade de uma partícula localizada em 
(2 m, 3 m), e sua direção medida no sentido 
anti-horário a partir do eixo x.
56IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exercício 2
Um campo de escoamento bidimensional 
para um líquido pode ser descrito por V = 
[(5y² - x)i + (3x + y)j] m/s, onde x e y estão 
em metros. Determine a magnitude da 
velocidade de uma partícula localizada em 
(5 m, -2 m), e sua direção medida no 
sentido anti-horário a partir do eixo x.
58IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linhas de Trajetória
A linha de trajetória para uma partícula de fluido 
define o “caminho” pelo qual a partícula trafega por 
um período de tempo.
59IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linhas de Trajetória
Trajetória traçada por uma partícula de fluido em 
movimento (conceito Lagrangeano).
60IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linhas de Trajetória
Equações da trajetória:
61IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
Os componentes de velocidade de uma partícula no 
campo de escoamento são definidos por u = 3 m/s 
e v = (6t) m/s, onde t está em segundos. Desenhe a 
linha de trajetória para a partícula se ela for liberada 
da origem quando t = 0.
62IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
A linha de trajetória descreve o local da partícula em diversos momentos. Como a partícula 
está em (0,0) quando t=0, então:
Eliminando o tempo entre essas duas equações, obtemos nosso resultado:
63IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
linha de trajetória
65IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linhas de corrente
Linha que é desenhada através do fluido de tal maneira 
que indique a direção da velocidade das partículas nele 
localizadas em determinado instante de tempo.
66IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linhas de corrente
Linha tangente em todos os pontos ao vetor velocidade 
em um dado instante
67IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tubo de corrente
Para alguns tipos de análise, é conveniente considerar um 
grupo de linhas de corrente que cercam uma região de 
escoamento →tubo de corrente.
Sem escoamento 
através das paredes do 
tubo de corrente
Linha de corrente 
individual
68IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Tubo de corrente
Em um campo de escoamento incompressível, um tubo 
de corrente (a) diminui de diâmetro à medida que o 
escoamento acelera ou converge e (b) aumenta de 
diâmetro à medida que o escoamento desacelera ou 
diverge.
72IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linhas de corrente
Bidimensionalmente no plano (x,y): 
73IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Linhas de corrente e trajetória
● Se o regime de escoamento for permanente, a 
trajetória coincide com as linhas de corrente.
● Para regimes transitórios, nenhum destes tipos de 
linha são necessariamente coincidentes.
74IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exemplo
Determinar as linhas de corrente para o escoamento 
bidimensional em regime permanente descrito por:
75IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Solução
Verifica-se que:
e, 
Assim,
76IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Solução
Separando as variáveis e integrando os termos:
Resolvendo,
77IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Solução
Podemos reescrever C1 como ln(C), onde C > 0, resultando na 
seguinte equação:
Assim,
78IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Solução
Determinando a constante de integração para valores de (x, y)
Pode-se traçar diversas linhas de correntes para diferentes valores 
de C.
79IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Solução
Traçado das linhas de correntes para diversos valores de C:
80IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exercício 3
Um campo de velocidade é definido 
por u = (8y) m/s e v = (6x) m/s, onde 
x e y estão em metros. Determine a 
equação da linha de corrente que 
passa pelo ponto (1 m, 2 m). 
82IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exercício 4
Um campo de escoamento para um fluido é 
descrito por u = (2 + y) m/s e v = (2y) m/s, 
onde y está em metros. Determine a 
equação da linha de corrente que passa pelo 
ponto (3 m, 2 m) e encontre a velocidade de 
uma partícula localizada neste ponto. 
84IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exercício 5
Um campo de escoamento é descrito por u 
= (x² + 5) m/s e v = (-6xy) m/s. Determine a 
equação da linha de corrente que passa pelo 
ponto (5 m, 1 m) e encontre a velocidade de 
uma partícula localizada neste ponto. 
86IFSP – Campus São Carlos – Engenharia Aeronáutica
Exercício 6
As partículas viajam dentro de um campo 
de escoamento definido por V = (2y² i + 4j) 
m/s, onde x e y estão em metros. Determine 
a equação da linha de corrente passando 
pelo ponto (1 m, 2 m) e encontre a 
velocidade de uma partícula localizada 
neste ponto. 
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