Matriz

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M A T R I Z
→ Matriz é uma tabela de elementos formado
por n linhas e n colunas.
 Matriz quadrada: Quando tem o mesmo nu-
mero de colunas e linhas.
 Matriz retangular: Quando tem numero di-
ferente de colunas e linhas.
1 2 3
1 a11 a12 a13
2 a21 a22 a23
3 a31 a32 a33
→ Diagonais de Matrizes
 A diagonal principal é aquela que começa
da esquerda para a direita e a secundaria co-
meça da direita para a esquerda.
 Matrizes retanguladores não tem diagonais.
⁕OBS: O traço de uma matriz quadrado é a
soma dos elementos da diagonal princiapl.
→ Matriz transposta: Inverte-se linhas e colu-
nas.
→ Matriz simetrica: matriz quadrada que é
igual a sua transposta.
→ Matriz antisimetrica: matriz quadrada que a
sua transposta é igual a sua matriz oposta.
→ Matriz oposta: quando todos os elementos
tem o sinal oposto ao da matriz original.
→ Igualdade de matrizes
 Duas matrizes de mesma ordem são iguais
quando os elementos correspondentes forem
iguais.
→ Multiplicação por um numero
 Usamos a distributividade. Multiplica o nu-
mero por cada elemento da matriz.
→ Adição ou subtração
 Somamos ou subtraimos os elementos corres-
pondentes. Só é possivel somar ou subtrair ma-
trizes de mesma ordem.
→ Multiplicação de Matrizes
 Para multiplicar 2 matrizes o nº de colunas
da 1ª deve ser igual ao nº de linhas da 2ª.
 O resultado será uma matriz com nº de linhas
igual ao da 1ª e o nº de colunas será igual ao da
2ª.
→ Matriz identidade: matriz quadrada cujo os
elementos da matriz principal são iguais a 1 e os
demais elementos são 0.
→ Matriz Inversa:
 Existe apenas uma matriz inversa para ca-
da matriz original;
 Nem todas as matrizes podem possuir uma
matriz inversa. Ela será invertível apenas
aij a: elemento i: linha j: coluna
  Matriz Transposta
Amxn ◦ Bnxp = Cmxp
A-1 ◦ A = A ◦ A-1 = In
quando os produtos de matrizes quadradas
resultarem em uma matriz identidade (In);
 A matriz inversa de uma inversa corres-
ponde a própria matriz anterior, ou seja, a
matriz original: A = (A-1)-1;
 A matriz transposta de uma inversa tam-
bém é inversa: (At) -1 = (A-1)t;
 A matriz inversa de uma matriz transposta
corresponde à transposta da inversa: (A-
1At)-1;
 A matriz inversa de uma matriz identida-
de será sempre idêntica à matriz identidade:
I-1 = I
D E T E R M I N A N T E S
Regra de Sarrus
Usada apenas para matrizes de ordem 1, 2
e 3.
Multiplica os elementos da diagonal princi-
pal e da diagonal secundaria.
O resultado da diagonal secundaria deve
ser multiplicado por -1.
No caso de uma matriz de ordem 3, deve-
mos copiar as 2 primeiras colunas a direta
da matriz, fazendo a multiplicação de 3 dia-
gonais principais e 3 secundarias.
→ Teorema de Laplace
Usado para calcular determinante de matri-
zes de ordem 4 para cima.
Menor complementar(Dij): É o determinante
de uma matriz quadrada, eliminando-se a li-
nha e a coluna as quais o elemento pertence.
→Teorema de Laplace: Escolhe-se uma fila
qualquer. O determinante será a soma entre ca-
da elemento multiplicado pelo seu cofator.
⁕OBS: Recomenda-se pegar a linha ou co-
luna com mais 0.
 Propriedades Determinantes:
 Fila nula: o determinante sempre vai ser 0.
 Troca de filas paralelas: depois de invertar
as filas, det(A’) = - det(A)
 Multiplicação de uma fila por um numero
real: quando uma fila de uma matriz A é mul-
tiplicada por um nº k diferente de 0, obtenco-
se uma matri A’, então det(A’) = k * det(A)
 Filas paralelas iguais(proporcionais): nes-
ses casos, det=0
 Matriz transposta: det(A) = det(At)
 Teorema de Binet: det(A*B) = det(A) *
det(B)
→ Teorema de Jacob
 Se a uma determinada fila somarmos ou-
tra(s) fila(s) multiplicada por um numero, o
determinante não se altera.
Cofator Cij = ◦ Dij