Didática da Matemática

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Números naturais e operações 
matemáticas
Rafaella Cuzzuol Nunes
Introdução
Os números estão presentes em todas as atividades do dia a dia. O conceito de número foi o ponto de partida
para o estudo da aritmética, e a história nos revela que as diferentes civilizações buscaram variadas formas de
trabalhar com um conjunto de objetos. Podemos então nos perguntar: qual o significado de número? Como eles
surgiram? Ou, ainda, por que eles são representados da forma como conhecemos?
Buscando responder essas perguntas, neste tema, estudaremos sobre a evolução histórica dos números,
descrevendo suas características, e daremos ênfase aos números naturais, compreendendo suas operações
matemáticas, principalmente nos campos aditivo e multiplicativo.
Ao final desta aula, você será capaz de:
• reconhecer os números naturais e seu processo de aquisição, estudando a evolução histórica dos 
números e as características de contagem;
• identificar a estrutura das operações matemáticas, compreendendo seus diferentes significados.
Números naturais
Em todo momento utilizamos os números para as mais diversas atividades. Antigamente, antes do surgimento
dos números, as contagens eram feitas de forma rudimentar, utilizando-se objetos como pedras.
De acordo com Dias e Moretti (2012, p. 32), “a ideia primitiva do número desenvolveu-se tendo como apoio o
conceito de cardinalidade, ou seja, em um primeiro momento o número cardinal buscava apenas responder à
quantidade de elementos de um determinado conjunto por meio da correspondência biunívoca”.
Para entendermos o conceito de correspondência biunívoca, citemos o exemplo de Leite e Castanheira (2014, p.
23): “no pastoreio, cada ovelha era representada por uma pedrinha que seu dono guardava em um recipiente”.
Ao fim do dia, o pastor verificava se estava faltando ou sobrando alguma ovelha em seu rebanho a partir da
relação de um para um: cada pedrinha correspondia a uma ovelha.
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Foi assim que cada povo passou a representar quantidades através de símbolos próprios. Os egípicios, por
exemplo, representavam os algarismos de 1 a 9 utilizando traços verticais. Observe:
Figura 1 - Representação dos algarismos de 1 a 9 pelos egípcios
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
Já os romanos utilizavam uma combinação de símbolos, os chamados algarismos romanos. Veja:
Figura 2 - Representação dos algarismos de 1 a 10 pelos romanos
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
E nós, os brasileiros, como representamos os números? Utilizamos o sistema numérico indo-arábico, também
conhecido como sistema decimal de numeração, por ser constituído por 10 símbolos. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10.
Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é representado por N, iniciando pelo número zero e crescendo infinitamente: N
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .....}.
Quando o conjunto dos números naturais for não nulo (excluindo-se o zero), fazemos a representação da
seguinte forma: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, .......}.
SAIBA MAIS
Conhecer os sistemas de numeração criados na antiguidade é extremamente importante para
os professores de Matemática. Para enriquecer o aprendizado sobre o tema, leia o artigo
“Sistema de Numeração Decimal: saberes docentes e saberes de estudantes do 3º ano do
Ensino Fundamental”.
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Figura 3 - Representação do sistema numérico indo-arábico
Fonte: Tatiana53, Shutterstock, 2018.
Sobre esse assunto, é importante destacar que é todo agrupamento de objetos com as mesmas conjunto
características. Por exemplo:
A = {a, e, i, o, u}, em que A é o conjunto formado pelas vogais do alfabeto;
B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}, em que B é o conjunto formado por números ímpares maiores do que 2 e menores do
que 16.
Além disso, considerando n um número natural:
• todo número natural tem o seu sucessor n + 1;
• o número que vem antes do número natural diferente de zero é chamado antecessor;
• dois ou mais números que seguem são chamados de consecutivos;
• o conjunto dos números naturais é infinito.
FIQUE ATENTO
Lembre-se de que o conjunto dos números naturais é infinito, o qual começa pelo número zero
e é acrescido sempre de uma unidade. Além disso, cada elemento n desse conjunto dos
números naturais possui sempre seus respectivos sucessor e antecessor.
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Campo aditivo e seus diferentes significados
As operações matemáticas no campo aditivo são aquelas que envolvem a adição e a subtração. A adição (+),
conhecida popularmente como soma, é uma das quatro operações da aritmética utilizada com o objetivo de
juntar duas ou mais quantidades. Além disso, as principais propriedades da adição são: a comutativa, a
associativa e elemento neutro da adição.
De acordo com Leite e Castanheira (2014), essas propriedades são definidas como:
• propriedade comutativa: na adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera o 
resultado. Seja a e b dois números naturais quaisquer, temos que a + b = b + a;
• propriedade associativa: na adição de três ou mais números naturais, podemos associar as quantidades 
em ordens diferentes. Sejam a, b e c três números quaisquer, temos que (a + b) + c = a + (b + c);
• propriedade elemento neutro da adição: o zero é chamado elemento neutro da adição. Dessa forma, na 
adição de um número natural com o zero, a soma será sempre igual a esse número natural. Seja a um 
número natural, logo, a + 0 = 0 + a = a.
Figura 4 - Representação dos números naturais e suas operações matemáticas
A subtração (-) é outra operação fundamental da Matemática. Esta é utilizada quando desejamos retirar uma
quantidade de outra.
Ainda com relação às propriedades da subtração, devemos considerar também que a subtração não é
comutativa, não é associativa e não possui elemento neutro.
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FIQUE ATENTO
Quanto às propriedades da subtração, devemos atentar para o fato de que: a subtração não é
comutativa (dados e dois números naturais, – ≠ – ); não é associativa (dados , e a b a b b a a b c
três números naturais, ( – ) – ≠ – ( – ); e não possui elemento neutro, pois se – = ,a b c a b c a 0 a
mas – = ( não pertence ao conjunto dos números naturais).0 a -a -a
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Problemas do campo aditivo
No campo aditivo, a complexidade dos problemas não está apenas nas operações de adição e subtração. Há
outros fatores que tornam os problemas mais difíceis, por exemplo, a forma como o problema é proposto e a sua
interpretação. Podemos classificar os problemas no campo aditivo a partir de algumas características. Conheça-
as.
a) Problemas que dão a ideia de que uma quantidade aumentou ou diminuiu. Ocorre uma transformação positiva
ou negativa, transmitindo uma ideia de acrescentar da adição ou de retirar da subtração.
b) Problemas em que duas ou mais quantidades se combinam para formar uma nova quantidade. Transmite a
ideia de juntar da adição e de separar da subtração.
c) Problemas que comparam duas medidas. Nesses tipos de problemas não há transformações.
Agora que já estudamos sobre o campo aditivo e seus significados, podemos estudar sobre as operações no
campo multiplicativo.
Campo multiplicativo e seus diferentes 
significados
De acordo com Leite e Castanheira (2014, p. 54): “A operação de multiplicação está associada a situações em que
desejamos adicionar determinado número de parcelas iguais, ou, então, saber o modo como podemos dividir
essas parcelas ou ainda saber a proporção entre duas grandezas”.
Também a multiplicação possui algumas propriedades: a comutativa, a associativa, o elemento neutro da
multiplicação e a distributiva. Acompanhe:
• propriedade comutativa: na multiplicação de dois números naturais, a ordem dos fatores não altera o 
valor do produto, ou seja, sendo a e b dois números naturais quaisquer, temos que a x b = b x a;
• propriedade associativa: na multiplicação de três ou mais números naturais, podemos associar as 
quantidades de diferentes formas, pois o produto não se altera. Sejam a, b e c três números naturais 
quaisquer, temos que (a x b) x c = a x (b x c);
• propriedade elemento neutroda multiplicação: o 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. Dessa 
forma, na multiplicação de um número natural com o 1, a multiplicação será sempre igual a esse número 
natural. Seja a um número natural, logo, a x 1 = 1 x a = a;
• propriedade distributiva: essa propriedade diz que o produto de um número natural por uma soma é 
EXEMPLO
(a) Paula deu um pacote com 10 balas para cada um de seus filhos: Luiza e Pedro. Luiza comeu
5 balas do pacote. Quantas restam? Resposta: 10 – 5 = x, logo, x = 5 (número de balas que
restam para Luiza). (b) Pedro comeu 3 balas de seu pacote, deu algumas para seu colega e
ainda restam 4 balas. Quantas balas ele deu a seu colega? Resposta: 3 + x + 4 = 10. 7 + x = 10,
logo, x = 3 (número de balas que restam para Pedro).
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• propriedade distributiva: essa propriedade diz que o produto de um número natural por uma soma é 
igual à soma dos produtos desse número em cada uma das parcelas. Logo, dados a, b e c três números 
naturais, temos que a x (b + c) = a x b + a x c.
A divisão, outra operação fundamental da Matemática, está associada às situações em que queremos repartir
quantidades em partes iguais ou saber quantas vezes uma determinada quantidade cabe na outra.
Com relação às propriedades da divisão, devemos considerar que a divisão não é comutativa, não é associativa e
não apresenta elemento neutro de divisão.
Problemas do campo multiplicativo
Os problemas do campo multiplicativo são classificados segundo as ideias que eles envolvem, diferentemente da
tradicional separação em “problemas de multiplicação” e “problemas de divisão”. Assim, podem ser organizados
em três grupos: problemas de proporcionalidade, problemas de configuração retangular e os problemas de
análise combinatória (LEITE; CASTANHEIRA, 2014). Entenda!
a) Nos problemas que envolvem proporcionalidade, existe a relação fixa entre duas variáveis.
b) Para os problemas de configuração retangular, utiliza-se a análise dimensional (como cálculo de áreas).
c) Já os problemas de análise combinatória envolvem a combinação de diferentes elementos entre si.
Fechamento
Estudamos neste tema sobre os números naturais e as operações matemáticas. Aprendemos um pouco sobre o
surgimento dos números e sua importância para as atividades diárias, como realizar um pagamento, verificar as
horas, medir a temperatura e tantas outras utilidades.
Referências
DIAS, M. da S.; MORETTI, V. D. – elementos lógico-históricos para atividade de ensino.Números e operações 
Curitiba: Intersaberes, 2012.
LEITE, Á. E.; CASTANHEIRA, N. P. . Curitiba: Intersaberes, 2014.Teoria dos números e teoria dos conjuntos
SILVA, R. C. Sistema de Numeração Decimal: saberes de docentes e saberes de estudantes do 3º ano de Ensino
Fundamental. In: XXII EPENN – Encontro de Pesquisa Educacional do Norte e Nordeste. 28 a 31 de outubro de
2014, UFRN. Disponível em: <Anais... http://www.ledum.ufc.br/arquivos/produtos/trabalhos
/Trabalho_SND_Saberes_Docentes_Saberes_Estudantes.pdf>. Acesso em: 29/11/2018.
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http://www.ledum.ufc.br/arquivos/produtos/trabalhos/Trabalho_SND_Saberes_Docentes_Saberes_Estudantes.pdf
http://www.ledum.ufc.br/arquivos/produtos/trabalhos/Trabalho_SND_Saberes_Docentes_Saberes_Estudantes.pdf
http://www.ledum.ufc.br/arquivos/produtos/trabalhos/Trabalho_SND_Saberes_Docentes_Saberes_Estudantes.pdf
	Introdução
	Números naturais
	Representação dos algarismos de 1 a 9 pelos egípcios
	Representação dos algarismos de 1 a 10 pelos romanos
	Conjunto dos números naturais
	Representação do sistema numérico indo-arábico
	Campo aditivo e seus diferentes significados
	Representação dos números naturais e suas operações matemáticas
	Problemas do campo aditivo
	Campo multiplicativo e seus diferentes significados
	Problemas do campo multiplicativo
	Fechamento
	Referências