Metodologia do Ensino da Matemática

Prévia do material em texto

Unidade 2
Ensino dos Números e 
Sistemas de Numeração 
Metodologia 
do Ensino da 
Matemática
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
EDNEI STRAPASSAN
AUTORIA
Ednei Strapassan
Sou formado em Administração Pública, Matemática e Pedagogia, 
especialista em Ensino da Matemática, Educação Especial e Educação a 
Distância e Novas Tecnologias, com experiência em ensino da matemática 
nos níveis fundamental e médio nos setores públicos e privados e 
produção de conteúdo para EAD. Sou apaixonado pelo que faço e pela 
educação como um todo e gosto muito de transmitir minha experiência 
e conhecimentos àqueles que buscam uma nova formação ou ainda, 
uma complementação. Por isso fui convidado pela Editora Telesapiens a 
integrar seu elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder 
auxiliar você nesta fase de muito estudo e trabalho. Pode contar comigo!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
OBJETIVO:
para o início do 
desenvolvimento 
de uma nova 
competência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando necessária 
observações ou 
complementações 
para o seu 
conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas 
e links para 
aprofundamento do 
seu conhecimento;
REFLITA:
se houver a 
necessidade de 
chamar a atenção 
sobre algo a ser 
refletido ou discutido 
sobre;
ACESSE: 
se for preciso acessar 
um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das 
últimas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de 
autoaprendizagem 
for aplicada;
TESTANDO:
quando uma 
competência for 
concluída e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Número e suas funções ............................................................................10
O número............................................................................................................................................... 10
A Contagem e a Notação ........................................................................................................... 11
A Escrita numérica e a Resolução de problemas ................................................... 13
Sistemas de numeração ...........................................................................16
A organização dos números .................................................................................................... 16
O sistema de numeração decimal ...................................................................................... 17
Números naturais ........................................................................................25
Os números inteiros .....................................................................................................................26
Os números racionais ...................................................................................................................27
Os números irracionais ..............................................................................................................28
Números fracionários e decimais .........................................................31
As representações ..........................................................................................................................32
Os números decimais ................................................................................................................. 38
7
UNIDADE
02
Metodologia do Ensino da Matemática
8
INTRODUÇÃO
Você sabia que os primeiros métodos de contagem e controle de 
quantidades conhecidos eram feitos com ossos, pedaços de madeira 
e pedras? Pois é, ao longo do tempo esses meios de controle foram 
evoluindo naturalmente conforme as civilizações se desenvolviam e 
aumentavam as proporções do que precisavam contar. Essa evolução 
acompanhou o homem através dos tempos, sendo organizada de acordo 
com a época e particularidade existente. Só depois foi sendo codificada e 
até mesmo universalmente utilizada da mesma maneira.
E aí, legal né? Ao longo desta unidade letiva você vai mergulhar 
neste universo histórico e ao mesmo tempo tão atual que é a origem e 
modos de representação do número!
Metodologia do Ensino da Matemática
9
OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vinda (o). Nosso propósito é auxiliar você no 
desenvolvimento das seguintes objetivos de aprendizagem até o término 
desta etapa de estudos:
1. Ensinar a origem dos números, suas funções, modos de contagem, 
a escrita numérica e a resolução de problemas. 
2. Fazer o aluno aprender os sistemas de numeração, sua evolução 
histórica, características, agrupamentos e trocas. 
3. Transmitir, de modo eficaz, o conhecimento sobre os números 
naturais e as ideias presentes nas operações aritméticas e nos 
algoritmos. 
4. Identificar os números fracionários e decimais, seus conceitos e 
suas operações, aplicando técnicas de ensino para isto. 
Então? Preparado para uma viagem sem volta rumo ao conhecimento? 
Ao trabalho! 
Metodologia do Ensino da Matemática
10
Número e suas funções
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo você terá conhecido e será capaz 
de compreender a história do número, bem como dos 
métodos de contagem, dos modos de notação, da escrita 
numérica e ainda os métodos de resolução de problemas. 
E aí? Motivado para desenvolver esta competência? Então 
vamos lá. Avante!
O número
Na Matemática o número é o elemento com maior relevância, afinal 
sem ele não poderiam existir os cálculos, as estimativas e as contagens, 
por exemplo. Justamente pelo fato de ser um conceito fundamental, o 
número sempre é utilizado de maneira corriqueira sem que ao menos 
exista curiosidade sobre sua origem e evolução. O fato é que ele possui 
uma longa história, existindo evidências arqueológicas que demonstram 
que o homem já era capaz de realizar contas há pelo menos 50.000 
anos. Podemos considerar que a Matemática teria nascido junto ao 
número, afinal, um precisa do outro para existir. Isso fica evidente pelo 
fato de que tanto as atividades práticas realizadas pelo homem quanto 
os conceitos abstratos da Matemática, como uma ciência, foram e 
continuam sendo determinantes na evolução de seus conceitos. Em certo 
momento da história, não existia o conceito de “número”, a necessidade 
de contar objetos originou o número natural e em todas as civilizações 
houve a criação de algum tipo de linguagem escrita para representá-lo, 
por meio de desenvolvimento de símbolos para representação e para 
realizar operações. Esses símbolos são os algarismos, que representam 
quantidades e tem sido aprimorado quanto a sua forma escrita ao longo 
do tempo. Mas antes de registrar as quantidades por meio dos algarismos 
e depois de números, o ser humano utilizava diversas formas distintas 
para isso. Uma das mais conhecidas e que tem certo destaque é a que 
Metodologia do Ensino da Matemática
11
se refere ao controle de quantidades, sejam de coisas, de pessoas ou 
mesmo de animais. 
Nesse último caso, o homem precisava controlar as quantidades de 
seus animais, por exemplo, então ele criava técnicas primitivas para isso, 
para ficar mais claro vamos exemplificar de maneira pratica. Um criador 
de ovelhas tinha que controlar a quantidade de animais que possuía logo 
ele tinha que ter uma técnica para isso, seja com um pedaço de madeira 
ou osso em que fazia traços que representavam cada um dos animais 
ou ainda com pedras colocadas em uma bolsa de couro ou algo do 
gênero, em que cada uma delas era equivalente a um animale assim ele 
conseguia conferir quando quisesse a quantidade que estava visualizando. 
Mas com a quantidade de animais aumentando, os traços se tornavam 
muito numerosos, a bolsa com pedras ia ficando pesada demais e sem 
condições de ser transportada, então o ser humano precisou desenvolver 
outra forma de contar, controlar e registrar quantidades.
A Contagem e a Notação
A contagem pode acontecer de formas diversas. Ela pode ser 
realizada verbalmente, ou seja, falando cada um dos números em voz alta, 
sendo geralmente utilizada na contagem de objetos presentes ou mesmo 
de coisas concretas, podendo ainda ser por meio de marcações, nas 
quais é registrada uma marca específica para cada objeto e em seguida 
contando o total de marcas que foram feitas. Pode ainda ser realizada 
com auxílio dos dedos, principalmente quando são contadas quantidades 
pequenas e pouco volume. Existem ainda alguns objetos e dispositivos 
que podem ser utilizados para facilitar o ato da contagem, entre eles 
podem ser citados os contadores de mão ou os ábacos. Podemos definir 
o termo “contagem”  como a ação de determinar um número ou  uma 
quantidade de elementos em um conjunto de objetos.
 • “Contagem” representa observar, analisar, avaliar e contar alguma 
quantidade especifica de algum tipo de objeto determinando 
quantos são, e assim registrar de modo a controlar a quantidade.
Metodologia do Ensino da Matemática
12
Voltando ao nosso exemplo do pastor e suas ovelhas, para 
conseguir contar a quantidade de animais que possuía, o pastor utilizava 
as pedrinhas, nas quais cada uma delas correspondia a uma ovelha. Esse 
tipo de técnica, que direta ou indiretamente deu origem aos números, é 
conhecida como ação realizada a partir da correspondência biunívoca, 
sendo ainda desenvolvida e aprimorada ao longo do tempo. Justamente 
pelo fato de que em determinado momento a quantidade de pedras 
ficava grande demais para ser controlada e principalmente contada, então 
desenvolveu-se um tipo de conceito que pudesse simplificar a contagem 
e o cálculo, que é a base. 
A questão principal é: como organizar um monte de pedras 
(chamadas de calculus, em latim) de modo que possam representar, 
claramente, uma quantidade conhecida? Simples, fazendo uma 
organização dentro de outra organização. Assim como fica sendo possível 
fazer certa correspondência dentro de outra correspondência, quer dizer, 
o pastor conta as suas ovelhas fazendo um monte de pedras, no qual 
cada pedra é correspondente a uma ovelha. 
Mas para diferenciar essa nova maneira de correspondência da 
maneira anterior, de modo a distinguir cada pedra utilizada para contar 
as unidades em grupos de seis, poderia ser fazendo um traço no chão. E 
ao lado desse traço ficavam as pedras correspondentes à contagem das 
unidades de ovelhas.
Esse tipo de correspondência de outra correspondência, que 
inclusive na contagem tem a possibilidade de se repetir infinitas vezes, 
é chamada de base. Esse nome é relacionado ao grupo que formado na 
primeira correspondência, para o caso dos seis elementos, o que deve ser 
considerado sempre é que se for feito traço novo à esquerda este será a 
base. Essa base pode ainda ser cinco, quatro, sete, dez ou doze, sendo 
ainda a sua escolha feita de maneira simples e livre. Historicamente, a 
evolução existente relacionada a esse conceito serviu como base para a 
invenção e o desenvolvimento do ábaco.
Esse tipo de registro, organização e controle pode ser nomeado de 
“notação”, a notação pode ser definida como o ato e o efeito de anotar, 
assinalar, tomar nota, ou mesmo apontar. No caso específico da notação 
Metodologia do Ensino da Matemática
13
matemática, esta é considerada a linguagem simbólica formal regida por 
suas próprias convenções, os símbolos conseguem permitir que sejam 
representados os conceitos, as operações e ainda todos os tipos de 
possíveis entidades matemáticas.
A Escrita numérica e a Resolução de 
problemas
Podemos considerar que os primeiros registros escritos tiveram 
início à medida que o modo de viver de uma sociedade foi tornando-se 
mais complexo. Pelos negócios, por meio do comércio e da agricultura 
começaram a utilizar quantidades cada vez maiores e que exigem 
controles mais eficientes e com mais precisão.
EXEMPLO: 
No comércio e nas diversas atividades relacionadas a ele existe a 
venda, a troca, (chamada também de escambo) e o aluguel, todos 
eles precisam de uma maneira eficaz de controle e registros.
Esses tipos de controle que utilizam objetos foram se tornando 
mais trabalhosos e até impossíveis, então surgiu a necessidade de uma 
representação escrita de quantidades. 
Os números são expressos por meio de uma linguagem com 
características próprias, atualmente, universalmente é adotado e utilizado 
o sistema de numeração chamado indo-arábico. Diversas civilizações 
criaram diferentes sistemas de numeração para representar tanto os 
números inteiros quanto os não inteiros, sendo eles por meio de marcas 
em ossos, em pedras ou madeira e constituindo assim as primeiras 
representações gráficas conhecidas.
Partindo desse senso numérico, podemos chegar ao conceito inicial 
do numeral concreto, concebido de maneira que possa ser utilizado por 
meio de objetos para controlar quantidades. Dessa forma, tanto o registro 
quanto o controle das quantidades são realizados por meio da associação 
dos objetos como as pedras, conchas, madeira ou mesmo pedaços de 
ossos.
Metodologia do Ensino da Matemática
14
Nos sistemas de numeração existe uma linguagem matemática que 
é o resultado do processo de desenvolvimento e construção realizada 
por diferentes civilizações. Cada povo em cada diferente situação de seu 
cotidiano utilizou os sistemas numéricos que foram capazes de auxiliar e 
ainda facilitar tanto a escrita quanto os cálculos.
O método da escrita dos números é o resultado histórico e cultural 
da necessidade de controlar quantidades. Cada uma das situações-
problema criadas pelo ato de contagem e de medida são fonte histórica 
e do cotidiano que geram a necessidade dos distintos controles da 
quantidade. 
Figura 1 - Números
Fonte: Freepik 
Os registros, controles e cálculos criam a necessidade de resolver 
determinadas situações, muitas vezes consideradas problemas. Esses 
problemas precisam de soluções, que consistem no uso de métodos 
e formas ordenadas, para que possam encontrar soluções específicas. 
Algumas técnicas utilizadas na busca da resolução de problemas são 
utilizadas em áreas diversas. 
No caso específico da  Matemática, a resolução de problemas é 
considerada ponto principal no ensino, afinal de contas, não faria nenhum 
sentido aprender os diversos conceitos matemáticos se não fosse para 
Metodologia do Ensino da Matemática
15
aplicar na resolução de problemas do cotidiano ou mesmo de problemas 
existentes em alguma área específica. 
IMPORTANTE:
O que seria um problema? Considera-se como problema 
qualquer situação em que ainda não se conhece o caminho 
para a solução. 
Assim, problema pode ser qualquer tarefa que precise de uma 
situação problemática que de início não se saiba fazer, mas que existe 
certo interesse em resolver, sem a existência de métodos ou mesmo 
regras definidas ou conhecidas, nem mesmo com a mínima percepção 
da existência de um método específico que conduza à solução correta.
RESUMINDO:
E então, gostou do que lhe mostramos? Entendeu e 
aprendeu tudo mesmo? Agora, só para termos certeza de 
que você realmente entendeu o tema de estudo deste 
capítulo, vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter 
aprendido que na Matemática o número é considerado 
o elemento de maior relevância, afinal de contas sem a 
existência dele não seria possível existirem os cálculos, 
estimativas e contagens por exemplo. 
Pelo fato de ser fundamental, o número sempre é utilizado 
corriqueiramente sem que exista curiosidade sobre sua 
origem e evolução, que são fatosde uma longa história, 
com evidências arqueológicas demonstrando que o 
homem já realizava contas há 50.000 anos, pelo menos.
Com os números são realizadas as contagens, que podem 
ser feitas verbalmente, por meio de marcações ou mesmo 
com os registros. Essas contagens e controles podem ser 
considerados o início da resolução de problemas, que 
na  Matemática é tida como ponto principal no ensino, 
pois não faz sentido aprender conceitos matemáticos e 
não os aplicar. 
Metodologia do Ensino da Matemática
16
Sistemas de numeração
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo você terá conhecido e será capaz 
de identificar e compreender os sistemas de numeração, 
sua evolução histórica,  características, agrupamentos e 
trocas. E aí? Motivado para desenvolver esta competência? 
Então vamos lá. Avante!
Como o próprio nome diz, sistema de numeração é uma forma de 
organizar os números, de modo que eles possam ser representados de 
forma consistente, com uma quantidade significativa de números, dando 
ainda a cada um dos números uma representação única, de modo que 
reflita nas estruturas algébricas e também aritméticas dos números. 
Dessa forma foram criados e desenvolvidos os símbolos e as regras 
dando origem então aos diferentes sistemas de numeração.
A organização dos números
As primeiras formas de registros e inscrições estabeleciam uma 
relação biunívoca de uma marca para cada objeto contado, o modelo de 
numeral representado por um traço, no qual o número era representado 
por uma sucessão repetitiva de traços ou mesmo de marcas. Essa forma 
de linguagem numérica com registro e escrita pode ser considerada a 
primeira representação abstrata de quantidade.
Esse tipo de registro por meio de infindáveis marcas se tornava 
cansativa e trabalhosa para escrever os números, o que criou a 
necessidade de representar as quantidades com um menor número 
possível de símbolos, levando ao início da contagem por agrupamentos, 
que é aquela em que um único símbolo equivale a muitos. 
Esse tipo de contagem por agrupamentos deu origem aos 
sistemas de numeração, as complexidades existentes nesses sistemas 
demonstram uma forma de organização social e também certo caráter 
prático e científico que determinadas sociedades atribuíam aos números.
Metodologia do Ensino da Matemática
17
Com o desenvolvimento das civilizações e do comércio de uma 
forma em geral, os controles de quantidades tornaram-se mais complexos, 
e as necessidades diversas passaram a exigir representações específicas 
para as quantidades não inteiras.
Com a utilização dos números, o sistema permite a realização de 
cálculos de maneira mais rápida, além de diminuir a quantidade dos 
símbolos. Pelo fato de ter sido criado por hindus e amplamente divulgado 
por árabes, ficou conhecido como sistema indo-arábico.
Com isso pode ser percebido que até chegar ao sistema atual de 
numeração passaram-se milhares de anos, além do fato que a humanidade 
utilizou diversas formas para contar, a partir de diferentes necessidades.
SAIBA MAIS:
Quer se aprofundar neste tema? Recomendamos o acesso 
à seguinte fonte de consulta e aprofundamento: Artigo: 
“Conheça a história dos números” (DENISE MORAES), 
acessível aqui. 
O sistema de numeração decimal
 O sistema numeração decimal é chamado de “base 10” por 
utilizar dez algarismos ou símbolos diferentes para representar todos os 
números. Assim, a base decimal da numeração é formada pelo conjunto 
dos algarismos utilizados para representar uma quantidade.
Composto pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, é um sistema 
posicional, quer dizer, a posição dos algarismos nos números altera o seu 
valor. Por exemplo, considerando o número 93:
É formado pela soma de 90 + 3, ou seja, existe nove grupos de 10 
unidades e mais 3 unidades.
Da mesma forma, considerando o número 321, ele pode ser 
decomposto em 100 + 100 + 100 + 20 + 1, ou seja, temos 3 grupos de 100 
unidades, 2 grupos de 10 unidades e 1 unidade.
Metodologia do Ensino da Matemática
https://memoria.ebc.com.br/infantil/voce-sabia/2015/05/conheca-historia-dos-numeros
18
Esse é o sistema de numeração utilizado atualmente, sendo 
concebido pelos hindus e espalhado no ocidente pelos árabes, é 
chamado de sistema de numeração indo-arábico.
Suas principais características são possuir símbolos diferentes 
que representam quantidades de 1 a 9 e um símbolo específico para 
representar ausência de quantidade, que é o zero. Por ser um sistema 
posicional, ainda que tenha poucos símbolos, ele permite que sejam 
representados todos os números.
Os símbolos ou algarismos de 1 a 9 podem representar quantidades, 
já no caso de uma quantidade não existente, é utilizado o zero para 
representá-la.
Da mesma forma que a sua definição é decimal por conter apenas 
10 símbolos e com eles podendo ser representados todos os números 
possíveis, dependendo do posicionamento e da ordem dos algarismos o 
valor do número em questão é modificado.
Ainda, no sistema de numeração decimal os agrupamentos são 
separados de 10 em 10 unidades.
Essas quantidades que são agrupadas de 10 em 10 recebem 
algumas denominações específicas, que são:
 • 10 unidades = 1 dezena
 • 10 dezenas = 1 centena
 • 10 centenas = 1 unidade de milhar e assim por diante.
O sistema de numeração decimal tem ainda como característica 
que cada algarismo representa uma ordem, começando da direita para a 
esquerda e a cada três ordens, existe uma classe.
A classe das unidades é formada pelas ordens das centenas, 
dezenas e das unidades. 
Sendo que as unidades são representadas por números simples 
de 1 a 9. 
Metodologia do Ensino da Matemática
19
As  dezenas  são representadas por números duplos: 
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 e 90; tendo, desta forma, cada número seu 
valor maior que o número anterior 10 vezes. 
Da mesma maneira a classe das centenas é formada por números 
triplos, e tem seu valor, portanto, maior que o número anterior cem vezes.
A classe dos milhares é formada pelas ordens unidades de milhar, 
dezenas de milhar, centenas de milhar. 
Por exemplo: 1.000 (um mil) e 120.000 (cento e vinte mil).
A classe dos milhões é formada pelas ordens das unidades de 
milhões, das dezenas de milhões e das centenas de milhões.
A classe dos bilhões é formada pelas ordens das unidades de 
bilhões, das dezenas de bilhões e das centenas de bilhões.
Para os casos das demais classes, que são dos trilhões, quatrilhões, 
entre outras, seguem-se essa mesma ordem e mesmo padrão.
A leitura de números muito grandes, é realizada com uma divisão 
dos algarismos do número em classes, em blocos de 3 ordens, em 
seguida é colocado um ponto para separar as classes, sempre tendo por 
base começar da direita para a esquerda.
Por exemplo:
a. 49128
Em primeiro lugar, são separados os blocos de 3 algarismos da 
direita para a esquerda e colocado um ponto para separar o número: 
49.128
Nesse exemplo é possível perceber que o 49 pertence à classe dos 
milhares e o 128 à classe das unidades simples. 
Dessa forma, o número será lido como: 
Quarenta e nove mil cento e vinte e oito.
Metodologia do Ensino da Matemática
20
b. 12345678
Ao separar os blocos de 3 algarismos teremos: 12.345.678
O número então será lido como: doze milhões trezentos e quarenta 
e cinco mil seiscentos e setenta e oito.
Assim, a cada três conjuntos de unidade teremos então uma classe.
Quadro 1 - Classes
Fonte: Elaborado pelo autor (2020).
Ao escrevermos um número, o valor de cada algarismo depende da 
posição que ele ocupa.
EXEMPLOS:
57 →. Os algarismos utilizados foram 5 e 7, então dizemos que seus 
valores absolutos são 5 e 7.
Valor absoluto é o valor do algarismo isolado.
O valor do algarismo 5, nesse exemplo, são cinquenta unidades, 
logo, seu valor relativo é 50, e do 7 são 7 unidades, logo seu valor 
relativo é 7.
Valor relativo é o valor do algarismo de acordo com a posição na 
qual ele se encontra.
Metodologia do Ensino da Matemática21
Figura 2 – Valor absoluto e relativo
1 5 7 Valor absoluto: 7 
Valor relativo: 7
Valor absoluto: 5 
Valor relativo: 50
Valor absoluto: 1 
Valor relativo: 100
Fonte: Elaborado pelo autor (2020).
As potências de base 10 são aquelas potências que correspondem 
a sucessivas multiplicações por 10, a partir da unidade, conforme a seguir: 
100 = 1 
101 = 10 
102 = 100 
103 = 1000 
10n correspondente a n zeros após a unidade. 
10n+1 = 10 X 10n
As potências de são aquelas que correspondem a sucessivas 
multiplicações por , partindo do próprio : 
Metodologia do Ensino da Matemática
22
Os números decimais podem ser classificados de três formas 
distintas: 
 • Decimais finitos ou exatos.
 • Decimais infinitos e periódicos.
 • Decimais infinitos não periódicos.
Assim, um número decimal é chamado de finito ou exato quando 
tem um número finito de dígitos e quando é representado por uma soma 
com uma quantidade também finita de parcelas.
EXEMPLOS:
5 X + 7 X = 0,5 + 0,07 = 0,57
12 X + 5 X = 1,2 + 0,05 = 1,25
2 X + 25 X = 0,2 + 0,25 = 0,45
Temos ainda que todo número decimal finito pode representar uma 
fração decimal. E toda fração decimal corresponde a um número decimal 
finito.
Por exemplo:
523.135 = 5 X 102 + 2 X 10 + 3 X 100 + 1/10 + 3/102 + 5/103 =
(5X105 + 2X104 + 3X103 + 1X102 + 3X10 +5X100)/103
523.135 / 1000
Um número decimal infinito pode eventualmente ser periódico, isso 
é, apresentar na sua parte fracionária, depois de certo número finito de 
termos, um conjunto de algarismos, não totalmente nulos e chamado 
de período com uma propriedade de repetição, ou seja, a sequência 
de dígitos é composta exclusivamente por uma repetição sucessiva 
desse mesmo conjunto. O número decimal periódico pode ainda ser 
denominado dízima periódica.
Em alguns casos e lugares um número decimal exato é considerado 
periódico, sendo este então com período zero:
Metodologia do Ensino da Matemática
23
EXEMPLO: 7 = 7,00000000
A quantidade de casas decimais do período pode ser quaisquer 
números inteiros positivos.
Por exemplo:
a) Um período com uma casa decimal apenas:
2101 + 2x100 + 7/10 + 7/102 + 7/103 + 7/104 ... = 25,777777...
b) Um período com 3 casas decimais...
3x101 + 0x100 123/103 + 123/106 + 123/109
30,123123123
No caso do número decimal infinito e não periódico não existe 
este tipo de repetição, ou seja, a sequência de dígitos não é composta por 
uma repetição sucessiva de um mesmo conjunto.
Por exemplo:
0,101001000100001....
Podendo ser escrito como soma de potências de 1/10:
1/101 + 1/103 + 1/106 +1/1010... = 0,101001000100001... 
Pode ser percebido assim que não existe um bloco de algarismos se 
repetindo na parte fracionária do número e assim não existe um período.
Metodologia do Ensino da Matemática
24
RESUMINDO:
E então, gostou do que foi mostrado? Aprendeu tudo 
mesmo? Então, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. 
Você deve ter aprendido que sistema de numeração  é 
uma maneira de organizar os números, de modo que eles 
possam ser representados de forma consistente, com uma 
quantidade significativa de números e representação única. 
Os primeiros registros e inscrições estabeleciam uma 
relação biunívoca de uma marca para cada objeto contado, 
no qual, o número era representado por uma sucessão 
repetitiva de traços ou mesmo de marcas, se tornou 
cansativo e até mesmo complicado, fazendo então com 
que surgissem outras maneiras de registrar as quantidades 
com símbolos específicos para cada valor.
Com a utilização desses registros com números, fica 
possível a realização de cálculos de maneira mais rápida, 
além de diminuir a quantidade dos símbolos. Com isso, 
pode-se perceber que até chegar ao sistema atual de 
numeração passaram milhares de anos, além do fato que a 
humanidade utilizou diversas formas para contar, a partir de 
diferentes necessidades.
O sistema decimal é composto de dez algarismos, é 
posicional e de base 10, ou seja, dependendo da posição 
de cada número seu valor muda. 
Metodologia do Ensino da Matemática
25
Números naturais
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo você será capaz de reconhecer 
os números naturais e as ideias presentes nas operações e 
nos algoritmos. E então? Motivado para desenvolver esta 
competência? Então vamos lá. Avante!
Ainda que a utilização dos algarismos e números tenha alguns 
milênios, foi somente com o surgimento e utilização do sistema indo-
arábico que o algarismo zero começou a ser utilizado afim de possibilitar 
principalmente as necessidades relacionadas aos valores posicionais na 
representação das numerações escritas. 
Assim, por exemplo, para representar 14 e 104, é essencial e de 
fundamental importância o papel zero, para que se possa distinguir uma 
representação da outra. 
Nos dias atuais, o conjunto dos números naturais é representado 
pela letra N, no qual N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } 
REFLITA:
O conjunto dos números naturais é um conjunto infinito e 
também ordenado, pelo fato de que considerando dois 
números naturais quaisquer, sempre é possível afirmar se 
eles são iguais ou ainda, se um é maior ou mesmo menor 
que o outro.
Em N, podemos dizer que um número natural b é o sucessor de a, se: 
b = a + 1. 
Também podemos afirmar que o antecessor de um número natural 
b, para o caso de b ≠ 0, é o número b – 1.
Metodologia do Ensino da Matemática
26
O conjunto dos números naturais é infinito e também ordenado, 
podendo ainda serem utilizados para efetuar várias operações, como 
adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. 
Os números inteiros 
Como realizamos e qual será o resultado a subtração 1 – 2? 
Por um longo tempo, esse tipo de problema foi considerado sem 
solução, pelo fato de que só se admitia a subtração a – b entre dois 
números naturais se a fosse maior ou igual a b.
Com esse tipo de situação criou-se a necessidade de analisar a 
possibilidade de trabalhar com números com valores negativos, a fim de 
explicar as relações que os números naturais não conseguiam representar.
Algumas situações presentes no cotidiano das pessoas como, as 
que envolvam a medida de temperatura, as indicações de profundidade 
ou altitudes, saldos bancários, ou os resultados financeiros contribuem 
para que se possa compreender de maneira eficiente significados dos 
números inteiros, especificamente os números inteiros negativos. 
O conjunto dos números inteiros são representados pela letra Z:
Z = {... , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... } 
Considerando o conjunto dos números inteiros, pode ser percebido 
que um número qualquer, quanto mais afastado estiver do zero menor ele 
será, e ainda qualquer número negativo é menor que o zero ou mesmo 
que um número positivo. 
Tal como o conjunto N, o conjunto Z também é ordenado, uma vez 
que, dados dois números inteiros quaisquer, é sempre possível dizer se 
são iguais ou se um é menor ou maior que o outro. 
Podemos destacar os seguintes subconjuntos de Z: 
Z * = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } É o conjunto dos números inteiros não nulos. 
Z + = { 0, 1, 2, 3, ...} É o conjunto dos números inteiros não negativos. 
Z - = { ..., -3, -2, -1, 0 } É o conjunto dos números inteiros não positivos.
Metodologia do Ensino da Matemática
27
Z * + = { 1, 2, 3, ... } É o conjunto dos números inteiros positivos. 
Z -* = { ..., -3, -2, -1 } É o conjunto dos números inteiros negativos.
Os números racionais
Podemos dizer que os números racionais são aqueles que podem 
ser expressos na forma de fração e seu surgimento é diretamente 
relacionado à noção de medida. 
 Independentemente do que esteja sendo medido, medir significa 
“comparar duas grandezas do mesmo tipo”, podendo ainda serem dois 
comprimentos, duas superfícies ou mesmo duas massas. 
Considerando a passagem do tempo, ao longo da história, em 
determinado momento, tornou-senecessária a capacidade de representar 
as partes de alguma coisa. 
Por exemplo, partes ou pedaços de um terreno, as fatias de um 
bolo, a quantidade de cada ingrediente em uma receita etc. Justamente 
por essas necessidades foram criadas e desenvolvidas as frações. 
Pelo fato de incluir os números chamados de “fracionários” aos já 
existentes, foi criado o conjunto dos números racionais, cujo qual indica 
uma razão, que é a divisão entre dois números inteiros.
Figura 3 - Frações
Fonte: Freepik 
Metodologia do Ensino da Matemática
28
O conjunto dos números racionais é composto pelos números 
naturais, números inteiros e os números que são representados pelos 
decimais, isso é, um número racional é todo e qualquer número que pode 
ser descrito na forma a, com a e b sendo inteiros e ainda, sendo b ≠ 0.
O conjunto dos números racionais é indicado por Q.
Os números irracionais 
Como os números racionais são aqueles que podem ser expressos 
na forma de fração, aqueles que não podem ser expressos dessa forma 
são chamados de irracionais. 
Os números irracionais mais conhecidos são: o número PI (π) que 
é a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência, o 
número de Euler (e) e a raiz quadrada de dois (√2). 
VOCÊ SABIA?
Os valores de PI, do número de Euler e da raiz quadrada de 
dois são: π=3,141592653589 
 e=2,718281828459
 √2= 1,4142135623 
No caso da raiz quadrada de 2, se for realizada a tentativa do cálculo 
de tal raiz, não será possível fazê-lo, pois o número encontrado possui 
infinitas casas decimais e de maneira distinta das dízimas, estas não são 
periódicas, bem como não podendo ser expressas em forma de fração, 
sendo essa a principal característica dos números irracionais. 
Além de ser impossível representar essas frações como uma 
razão entre dois números inteiros quaisquer e primos entre si, é possível 
demonstrar, no entanto, a parte decimal que pode ser representada como 
a soma infinita das frações, cujos denominadores podem ser potências de 
dez, conforme a seguir:
Metodologia do Ensino da Matemática
29
Logo, esses números não estão incluídos no conjunto dos números 
racionais  representados por (Q), pelo fato de não existir a possibilidade 
de serem expressos na forma de fração. Então, foi criado outro conjunto 
numérico para esses números considerados especiais, chamado então 
de “conjunto dos números irracionais” que é representado por (I).
Estes números irracionais podem ainda ser classificados como 
algébricos e transcendentes.
IMPORTANTE:
Um  número irracional algébrico  é todo número que é 
solução de uma equação polinomial, cujos coeficientes são 
números inteiros. E um número irracional transcendente é 
todo número que não é solução de uma equação polinomial. 
Conforme citamos anteriormente, as constantes mais famosas e de 
maior importância são o número PI (π), que é a razão entre o diâmetro e 
o perímetro de qualquer tipo de circunferência, e o chamado número de 
Euler, representado pela letra e que é a base dos logaritmos naturais.
Embora os conjuntos dos números racionais e irracionais sejam 
totalmente distintos e um não contenha o outro, ambos são subconjuntos 
de outro conjunto, que é chamado de conjunto dos números 
reais representados por R. 
Assim, podemos chegar à outra definição para números decimais, 
que é:
Números decimais são números não inteiros, pertencentes ao 
conjunto dos números reais R. 
Essa definição consegue incluir todos os casos que possam envolver 
os números decimais que sejam pertencentes aos reais e ainda, cada um 
desses possíveis casos tem peculiaridades e que exigem atenção para 
suas particularidades.
Metodologia do Ensino da Matemática
30
Importante também perceber que todos os números racionais são 
algébricos e todo número transcendente é irracional, ainda que nem todo 
número irracional seja transcendente.
Quando a raiz quadrada de um número natural é um quadrado 
perfeito ele é um número irracional. Assim, √120 é um número irracional, 
pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não existe um número 
natural que ao ser multiplicado por ele mesmo tenha como resultado o 
120, já a √121 é um número natural, pois 112 = 121.
RESUMINDO:
E então, gostou do que foi mostrado? Aprendeu tudo 
mesmo? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir o que foi visto. Você aprendeu que o 
conjunto dos números naturais é um conjunto infinito e 
também ordenado, pelo fato de que considerando dois 
números naturais quaisquer, sempre é possível afirmar se 
eles são iguais ou ainda, se um é maior ou mesmo menor 
que o outro. 
Vimos também que para realizar operações do tipo 2–3 
criou-se a necessidade de analisar a possibilidade de 
trabalhar com números com valores negativos, a fim 
de explicar as relações que os números naturais não 
conseguiam representar. 
Também pode-se dizer que os números racionais são 
aqueles que podem ser expressos na forma de fração, seu 
surgimento é diretamente relacionado à noção de medida 
e ainda, aqueles que não podem ser expressos na forma 
de fração são chamados de números irracionais, sendo 
entre os números irracionais o mais conhecido o número 
PI (π) que é a razão entre o perímetro e o diâmetro de 
qualquer circunferência, o número de Euler (e) que é a base 
dos logaritmos naturais e a raiz quadrada de dois (√2). 
Metodologia do Ensino da Matemática
31
Números fracionários e decimais
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo você será capaz de identificar 
os números fracionários e decimais, seus conceitos e 
suas operações. E então? Motivado para desenvolver esta 
competência? Então vamos lá. Avante!
O conceito de número fracionário teve origem a partir da 
necessidade de considerar uma ou mais partes de um objeto chamado 
de todo. Sendo representado de uma maneira geral na forma  a/b, na 
qual b representa o denominador que é o que indica em quantas partes 
iguais a unidade foi dividida e a que é o numerador indicando quantas 
dessas partes estão sendo consideradas, ainda com a condição de que 
denominador deve sempre ser diferente de zero.
A palavra “fração” tem seu significado associado ao ato de quebrar, 
assim como, “denominador” e “numerador” significam respectivamente, 
dar nomes e contar. 
Para realizar a leitura de uma fração, inicia-se pelo numerador e em 
seguida passa para o termo que se refere ao denominador.
Historicamente existem alguns fatos interessantes a respeito 
dos símbolos, como o fato da barra que separa os dois valores, que 
foi introduzida pelos árabes no século XIII, vindo da representação 
numerador-denominador, que já era utilizada na Índia. 
Já o símbolo que indica porcentagem (%), teve sua origem a partir 
de uma figura semelhante a ele e que teria sido encontrada em um 
manuscrito italiano anônimo de 1425, no qual haviam diversas gravações 
de frações com denominador 100. A primeira vírgula apareceu em um 
texto contábil na Itália e indicava uma divisão de um número por uma 
potência de 10 e somente depois começou a ser utilizada para separar 
uma parte inteira de uma parte decimal em um número. 
Metodologia do Ensino da Matemática
32
O traço diagonal teria surgido devido a uma necessidade da 
imprensa, que para publicar uma fração precisava montar tipos mais 
elaborados de objetos. A definição diz que os números fracionários são os 
números que representam uma ou mais partes de uma unidade que foi 
dividida em partes iguais.
Figura 4 - Frações
Fonte: Freepik
Tomando como exemplo, as pizzas grandes normalmente são 
divididas em 8 ou em 10 partes. Considerando 10 partes, cada um desses 
pedaços representa uma parte em dez partes da pizza. Logo, 1 de 10 é 
chamado de número fracionário e é representado por . 
Bem como se, por exemplo, fosse necessário considerar a metade 
dessa mesma pizza, o número fracionário que a representaria é 5 de 10 
ou então.
As representações
Os números fracionários são representados por dois números 
inteiros (termos da fração) separados por um traço horizontal (traço de 
fração). O número de cima (numerador) pode ser qualquer número inteiro 
e o número de baixo (denominador) deverá ser diferente de zero. 
Metodologia do Ensino da Matemática
33
Existem alguns tipos de fração, que são:
 • Fração Própria – onde o numerador é menor que o denominador. 
Exemplo:  .
 • Fração Imprópria – onde o numerador é maior que o denominador. 
Exemplo:  .
 • Fração Mista ou Numeral Misto – é constituída por uma parte 
inteira e outra fracionária. Exemplo:  .
 • Frações Equivalentes – onde as frações mantêm a mesma 
proporção de outra fração: Exemplo: .
 • Fração Irredutível – é aquela que não pode ser simplificada. Exemplo: 
.
 • Fração Decimal – onde o denominador é uma potência de base 10 
(podendo ser 10, 100, 1.000,...). Exemplo:  . 
Interessante observar que nem todo número escrito na forma de 
fração é um número fracionário, isso de deve ao fato de que definição 
dos números fracionários diz que são números que representam uma ou 
mais partes de um todo. Dessa forma, se considerarmos, por exemplo, 
o número  , que aparece escrito na forma de fração e não será um 
número fracionário, pois representa o número 6, que não é parte de um 
todo. Da mesma forma o número   que está escrito na forma de fração, 
também não é considerado um número fracionário, pois o numerador não 
é um número inteiro.
Os números fracionários cujos denominadores sejam entre os 
números 2 a 9 são lidos e escritos, como segue:
Metodologia do Ensino da Matemática
34
Quadro 2 – Frações e leitura
Fonte: Elaborado pelo autor (2020).
Na leitura das frações cujo denominador seja maior que 10, ela será feita 
da mesma maneira que os números cardinais, seguidos da palavra “avos”.
Já para números múltiplos de 10, compreendidos entre o 10 e o 90, 
a leitura será feita também da maneira dos numerais ordinais. Assim como 
para os múltiplos de 100, estando entre 100 e 900, e ainda para alguns 
números como undécimo e duodécimo.
Por exemplo, se o denominador for 3, a fração será 
lido três undécimos ou ainda três onze avos.
Metodologia do Ensino da Matemática
35
Quadro 3 – Denominador/leitura
Metodologia do Ensino da Matemática
36
Fonte: Elaborado pelo autor (2020).
Mais alguns exemplos:
 = cinco décimos (ou dez avos)
 = trinta sexagésimos (ou sessenta avos)
 = trinta sessenta e dois avos
Metodologia do Ensino da Matemática
37
 = vinte e cinco centésimos (ou cem avos)
 = vinte e cinco seiscentos e vinte e oito avos
 = vinte e cinco milésimos (ou mil avos)
 = vinte e cinco mil e vinte avos
 = cinco mil seiscentos e trinta e oito décimo milésimo
Um número fracionário pode, ainda, ser representado em forma 
decimal ou percentual, conforme apresentado a seguir:
 corresponde a 0,25 ou 25%, pois 1 dividido por 4 é igual a 0,25 
e 0,25 × 100 = 25%.
 corresponde a 0,75 ou 75%, pois 3 dividido por 4 é igual a 0,75
e 0,75 × 100 = 75%.
 corresponde também a 0,75 ou 75%, pois 15 dividido por 20 é 
igual a 0,75 (a expressão pode ser simplificada para , dividindo cada 
termo por 5).
Um número fracionário pode também ser representado por uma 
notação científica, com potência de base 10, conforme o quadro a seguir.
Quadro 4 – Forma fracionária e leitura
Metodologia do Ensino da Matemática
38
Fonte: Elaborado pelo autor (2020).
Os números decimais
Números decimais são aqueles numerais que utilizam a vírgula para 
indicar que o algarismo seguinte pertence à ordem das décimas, ou das 
chamadas casas decimais. 
Figura 5 – Números decimais
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2020).
Os números decimais de maneira geral sejam finitos, infinitos ou 
periódicos podem ser escritos na forma de fração. Um número decimal 
qualquer é igual à fração obtida ao escrever como numerador um número 
sem vírgula e como denominador, uma unidade seguida de zeros de 
acordo com quantas forem as casas decimais.
Metodologia do Ensino da Matemática
39
Para transformar uma fração decimal em um número decimal é 
necessário um procedimento bem simples, observe estas igualdades 
existentes entre algumas frações decimais e alguns números decimais:
Logo, dessa maneira, pode ser concluído que para transformar uma 
fração decimal em um número decimal, basta colocar no numerador das 
casas decimais a mesma quantidade de zeros existentes no denominador.
Por isso os números decimais têm sua origem justamente nas 
frações decimais, por exemplo, temos a fração 1/2 que é equivalente à 
fração 5/10 e que ambas equivalem ao número decimal 0,5.
Metodologia do Ensino da Matemática
40
 • Casa decimal: Trata-se da posição em que um algarismo ocupa 
depois da vírgula em um número decimal. 
Isso pode ser verificado no exemplo a seguir:
O número decimal 12,34563 tem 5 casas decimais, se for verificado 
que esses 5 algarismos, o 3,4,5,6, e o 3 novamente estão depois da 
vírgula, formando então os números: 0,3; 0,04; 0,005; 0,0006 e 0,00003 
respectivamente.
As operações com números decimais são simples de serem 
realizadas, com algumas regras específicas para cada uma delas.
Nas operações de adição ou de subtração, pode ser utilizado o 
algoritmo de cada operação, porém deve ser observado que uma parte 
inteira deve ser somada ou então subtraída apenas com outra parte 
inteira, assim como a parte decimal deve ser operada somente com outra 
parte também decimal. 
A regra principal é simples: recomenda-se que seja feito o algoritmo 
da operação de modo que coloque sempre a vírgula embaixo de outra 
vírgula.
Dessa forma, segue um exemplo:
Separando as ordens, temos:
Observando o algoritmo da operação, nota-se que a regra acima 
está sendo obedecida, porém, não existe um  número  na ordem dos 
milésimos, neste exemplo, para se operar com o número 6.
Metodologia do Ensino da Matemática
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
41
Neste caso, quando não tem casa decimal para operar, deve-se 
adicionar um ou mais zeros.
Da mesma forma, se fosse à esquerda da vírgula também 
poderíamos adicionar o zero, conforme exemplo abaixo:
 Para a multiplicação e a divisão também existem algumas regras 
especificas.
Para o caso de multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000, 
ou ainda qualquer outra potência de 10, só é deslocar a vírgula uma casa 
decimal para a direita, conforme o número de zeros no multiplicador. 
Isso é a chamada regra prática e é bem simples.
EXEMPLOS:
0,56 X 100 = 56 
12,00 X 100 = 1200 
350,33 X 10 = 3503,3
Da mesma maneira, na divisão por qualquer uma das potências de 
10, é só deslocar a vírgula, porém nesse caso ela será deslocada uma 
casa decimal para a esquerda para cada zero do divisor.
EXEMPLOS:
1.200.000 ÷ 100.000 = 12
5,55 ÷ 10 = 0,555
123,45 ÷ 100 = 1,2345
Metodologia do Ensino da Matemática
42
Já no caso da multiplicação ordinária, para realizarmos a operação 
com dois números com vírgula, fazemos a multiplicação de modo a não 
considerar a vírgula, ou seja, somente os números como se fossem todos 
inteiros.
Quando obtido o produto, basta contar quantas casas decimais 
existem depois da vírgula nos dois números decimais juntos e deslocar a 
vírgula na mesma quantidade de casas.
EXEMPLOS:
1,25 X 0,56 = 0,7000
2,3 X 3,98 = 9,154
9,99 X 9,99 = 99,8001
Todos os números decimais racionais podem ser representados por 
uma fração especifica, de acordo com seu valor.
Para representar, por exemplo, os números 1,25 e 0,56 fazemos 
desta maneira:
1,25 = 
0,56 = 
Realizando a multiplicação dessas frações, temos:
Voltando para a forma de número decimal, temos:
Da mesma maneira, temos: 
2,34 = 
0,123 = 
0,5 = 
Metodologia do Ensino da Matemática
43
RESUMINDO:
E então, gostou do que lhe foi mostrado? Aprendeu tudo 
mesmo? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudoo que vimos. 
O conceito de número fracionário tem sua origem associada 
à necessidade de considerar uma ou mais partes de um 
objeto chamado de todo. É representado de uma maneira 
geral na forma  a/b, na qual b representa o denominador 
que é o que indica em quantas partes iguais a unidade foi 
dividida e a que é o numerador, indicando quantas dessas 
partes estão sendo consideradas, ainda com a condição de 
que denominador deve sempre ser diferente de zero.
A palavra “fração” tem seu significado associado ao ato 
de quebrar, assim como, “denominador” e “numerador” 
significam respectivamente, dar nomes e contar. Para 
realizar a leitura de uma fração, inicia-se pelo numerador 
e em seguida passa para o termo que se refere ao 
denominador.
Os números fracionários são representados por dois 
números inteiros que são os termos da fração separados 
por um traço horizontal que é o traço de fração. O número 
de cima, numerador, pode ser qualquer número inteiro e 
o número de baixo, denominador, deverá ser diferente de 
zero. 
Números decimais  são  aqueles numerais  que utilizam a 
vírgula para indicar que o algarismo seguinte pertence à 
ordem das décimas, ou das chamadas casas decimais 
e para que possam ser realizadas operações com elas é 
necessário levar em consideração algumas regras simples. 
Metodologia do Ensino da Matemática
44
REFERÊNCIAS
BOYER, C. B.  História da matemática. São Paulo: Ed. Edgard 
Blucher, 1996.
MORAES, D. Conheça a história dos números, 2015. Disponível 
em: https://memoria.ebc.com.br/infantil/voce-sabia/2015/05/conheca-
historia-dos-números. Acesso em: 10 fev 2022. 
HOWARD E. Introdução à história da matemática. Campinas, 
Editora Unicamp, 2004.
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do 
método matemático. [s.l.]: Ed. Interciência Ltda., 1995.
 VIANNA, C. R. História da Matemática, Educação Matemática: 
entre o Nada e o Tudo. Rio Claro: EDUNESP, 2010.
Metodologia do Ensino da Matemática
	_GoBack
	Número e suas funções
	O número
	A Contagem e a Notação
	A Escrita numérica e a Resolução de problemas
	Sistemas de numeração
	A organização dos números
	O sistema de numeração decimal
	Números naturais
	Os números inteiros 
	Os números racionais
	Os números irracionais 
	Números fracionários e decimais
	As representações
	Os números decimais