Aula 08 EDO 2012

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JU´LIO DE MESQUITA FILHO”
UNESP - Campus de Ilha Solteira - Departamento de Matema´tica
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS - 2012.
Aula 08 (20/03) Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de Segunda Ordem
Modelam grande nu´mero de problemas f´ısicos
Mecaˆnica dos Fluidos Conduc¸a˜o de Calor
Movimento Oscilato´rio Eletro-magnetismo
Equac¸o˜es Homogeˆneas com Coeficientes Constantes
d2y
dt2
= f(x, y,
dy
dt
)
f conhecida, t tempo.
Como ja´ vimos, se f e´ linear (em y e y
′
) a equac¸a˜o e´ chamada de linear, ou seja,
f(x, y,
dy
dt
) = g(t)− p(t) dy
dt
− q(t) y ,
Outra maneira de escrever:
y
′′
+ p(t) y
′
+ q(t) y = g(t) ,
ou ainda,
P (t) y
′′
+Q(t) y
′
+R(t) y = G(t) .
Vamos supor que p, q e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em t.
Um problema de valor inicial, no caso de equac¸o˜es de segunda ordem, envolve uma equac¸a˜o com
duas restric¸o˜es:
y(t0) = y0 e y
′
(t0) = y
′
0 , com y0, y
′
0 ∈ R .
Grosso modo, sa˜o necessa´rios dois processos de integrac¸a˜o para encontrar a soluc¸a˜o.
Quando g(t) = 0, para todo t, dizemos que a equac¸a˜o e´ homogeˆnea. Se g(t) 6= 0, a equac¸a˜o e´
homogeˆnea.
1
Em geral g e´ o ”forcing ”(ou termo forc¸ante) e corresponde a forc¸as externas agindo no sistema
f´ısico, por exemplo, as equac¸o˜es
d2y
dt2
+
m g
L
θ = 0 e
d2y
dt2
+
m g
L
θ = f(t)
modelam respectivamente o movimento do peˆndulo simples e do peˆndulo forc¸ado.
Portanto a equac¸a˜o homogeˆnea tem a forma
P (t) y
′′
+Q(t) y
′
+R(t) y = 0 ,
e vamos comec¸ar considerando o caso mais simples P (t) = a, Q(t) = b e R(t) = c, sendo a, b, c ∈ R,
ou seja,
a y
′′
+ b y
′
+ c y = 0 , (1)
Vamos procurar soluc¸o˜es do tipo y(t) = er t, sendo r um paraˆmetro a ser determinado. Neste
caso devemos ter
y
′
(t) = r er t e y
′′
(t) = r2 er t
Assim
a r2 er t + b r er t + c er t = 0 ,
isto e´,
[a r2 + b r + c] er t = 0 ,
Como er t 6= 0, para todo t ∈ I, segue que para que y(t) = er t seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o devemos
ter
a r2 + b r + c = 0 , (2)
chamada de equac¸a˜o caracter´ıstica da equac¸a˜o diferencial (ordem2coefcte).
r e´ raiz de (2) =⇒ y(t) = er t e´ soluc¸a˜o de (1)
2
Estas duas raizes podem ser

reais distintas
reais iguais
complexas (conjugadas)
Suponhamos que as raizes sa˜o reais distintas, r1 e r2 com r1 6= r2. Enta˜o
y1(t) = e
r1 t e y2(t) = e
r2 t
sa˜o duas soluc¸o˜es de (1), e a combinac¸a˜o linear
y(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t) = c1 e
r1 t + c2 e
r2 t , c1, c2 ∈ R ,
tambe´m e´ soluc¸a˜o de (1) (mostrar!).
As condic¸o˜es iniciais y(t0) = y0 e y
′
(t0) = y
′
0 permitem a determinac¸a˜o das
constantes c1, c2 , e consequentemente a determinac¸a˜o da soluc¸a˜o do PVI
Exemplo Determine a soluc¸a˜o do Problema de Valor Inicial

y
′′
+ 5 y
′
+ 6 y = 0
y(0) = 2 , y
′
(0) = 3 .
Exemplo Determine a soluc¸a˜o do Problema de Valor Inicial

y
′′ − y = 0
y(0) = 2 , y
′
(0) = −1 .
3
Observac¸a˜o A equac¸a˜o a y
′′
+b y
′
+c y = 0 pode ser vista na forma matricial. Considere a mudanc¸a

u = y
′
u
′
= y
′′
= − b
a
y
′ − c
a
y .
Se
X =
[
y
y
′
]
,
enta˜o
X
′
=
[
y
y
′
]′
==
[
y
′
y
′′
]
=
[
0 1
−c/a −b/a
] [
y
y
′
]
,
ou seja
X
′
= A X .
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