Laboratório 8

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Medianeira Engenharia Elétrica 
Prof. Diogo Marujo 
 
Sistemas de Controle II – Laboratório 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Brendha Tiemi Kobassigawa 
Bruna Pontes Cechinel 
Maísa Ribeiro 
Najla Abou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medianeira 
1. PARTE 1: Compensadores no Domínio da Frequência 
1.1 A função de transferência em malha aberta de um determinado sistema 
é apresentada a seguir: 
𝐺(𝑠) =
𝜃(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
=
5
𝑠(𝑠 + 1)
 
Deseja-se que o sistema possua erro estacionário igual a 0,02 para entradas do 
tipo rampa e margem de fase maior ou igual a 50 graus. 
𝐾𝑣 =
1
𝑒(∞)
=
1
0.02
= 50𝑠−1 
𝑀𝐹 ≥ 50° 
a) O sistema em malha fechada com realimentação negativa e unitária, 
atende as especificações? 
Não atende as espcificações, como mostra a constante de erro e a MF na Figura 
1. 
𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑠
5
𝑠(𝑠 + 1)
= 𝟓𝒔−𝟏 
Figura 1 – Diagrama de Bode 𝐺(𝑠) em malha fechada 
 
 
b) Caso os requisitos não sejam atendidos na letra a), projete um 
compensador para atender aos requisitos. 
Utilizando o compensador de Atraso de Fase: 
i. Definir K: 
𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑠𝐾
𝑇𝑠 + 1
𝛽𝑇𝑠 + 1
5
𝑠(𝑠 + 1)
= 50 
𝑲 = 𝟏𝟎 
ii. Diagrama de Bode de 𝐺1(𝑠). 
𝐺1(𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠) =
50
𝑠(𝑠 + 1)
 
A Figura 2 mostra que 𝐺1(𝑠) não atende aos requisitos. 
Figura 2 – Diagrama de Bode de 𝐺1(𝑠) 
 
iii. Encontrar a frequência 𝜔𝑐 e 𝐴𝑇𝑑𝐵: 
⦨𝐺1(𝑗𝜔) = −180° + 𝑀𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 + 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑎 = −180° + 50° + 7° = −123° 
A Figura 3 mostra que: 
𝝎𝒄 = 𝟎. 𝟔𝟒𝟏𝒓𝒂𝒅/𝒔 
𝑨𝑻𝒅𝑩 = −𝟑𝟔. 𝟑𝒅𝑩 
Figura 3 – Valores de 𝜔𝑐 e 𝐴𝑇𝑑𝐵 
 
iv. Determinar 𝛽, os zeros, polos e 𝐾𝑐. 
−20 log(𝛽) = 𝐴𝑇𝑑𝐵 
𝛽 = 10
−36.3
−20 = 𝟔𝟓. 𝟑𝟏𝟑𝟏 
𝑧 =
𝜔𝑐
10
=
0.641
10
= 𝟎. 𝟎𝟔𝟒𝟏 
𝑝 =
𝑧
𝛽
=
0.0641
65.3131
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟗𝟖𝟏 
𝐾𝑐 =
𝐾
𝛽
=
10
65.3131
= 𝟎. 𝟏𝟓𝟑𝟏 
v. Verificar o compensador. 
𝑮𝒄(𝒔) = 𝟎. 𝟏𝟓𝟑𝟏
𝒔 + 𝟎. 𝟎𝟔𝟒𝟏
𝒔 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟗𝟖𝟏
 
𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑠0.1531
𝑠 + 0.0641
𝑠 + 0.000981
5
𝑠(𝑠 + 1)
 
𝑲𝒗 = 𝟓𝟎 
Na Figura 4 pode-se concluir que o compensador projetado atende aos 
requisitos. 
Figura 4 – Diagrama de Bode para o sistema compensado 
 
c) Trace os diagramas de Bode sobrepostos de 𝐺, 𝐺1, 𝐺𝑐 𝑒 𝐺𝑐𝐺 e também as 
respostas temporais. Discuta sobre os efeitos da compensação. 
Nas Figuras 5 e 6 é possível observar que a resposta compensada se torna mais 
lenta, pois foi diminuída a frequência de ganho 𝜔𝑐. 
Figura 5 – Diagrama de Bode 
 
Figura 6 – Resposta a entrada em rampa 
 
 
1.2 Considere agora a função de transferência em malha aberta de um 
determinado sistema é apresentada a seguir: 
𝐺(𝑠) =
40
(𝑠 + 1)²(𝑠 + 10)
 
Considerando a operação do sistema em malha fechada, com realimentação 
negativa e unitária, pede-se projetar um compensador de modo a reduzir o erro 
estacionário em 10 vezes, e manter a margem de fase (ou resultar em uma 
margem de fase maior que a antes da compensação). 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
𝐺(𝑠) = lim
𝑠→0
40
(𝑠 + 1)²(𝑠 + 10)
= 𝟒𝒔−𝟏 
𝑒(∞) =
1
1 + 𝐾𝑝
=
1
5
= 0.2 
Logo, o erro deve ser de 0.02, a nova constante de erro 𝐾𝑝 = 49 e, como mostra 
a Figura 7, 𝑀𝐹 ≥ 50.8°. 
Figura 7 – Diagrama de Bode de 𝐺(𝑠) 
 
Utilizando um compensador de Atraso de Fase: 
i. Definir K. 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) = lim
𝑠→0
𝐾
𝑇𝑠 + 1
𝛽𝑇𝑠 + 1
40
(𝑠 + 1)²(𝑠 + 10)
= 49 
𝑲 = 𝟏𝟐. 𝟐𝟓 
ii. Diagrama de Bode de 𝐺1(𝑠). 
𝐺1(𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠) =
490
(𝑠 + 1)²(𝑠 + 10)
 
A Figura 8 mostra que 𝐺1(𝑠) não atende aos requisitos. 
Figura 8 – Diagrama de Bode de 𝐺1(𝑠) 
 
iii. Encontrar a frequência 𝜔𝑐 e 𝐴𝑇𝑑𝐵: 
⦨𝐺1(𝑗𝜔) = −180° + 𝑀𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 + 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑎 = −180° + 50.8° + 7.2° = −122° 
A Figura 9 mostra que: 
𝝎𝒄 = 𝟏. 𝟓𝟑𝒓𝒂𝒅/𝒔 
𝑨𝑻𝒅𝑩 = −𝟐𝟑. 𝟐𝒅𝑩 
Figura 9 – Valores de 𝜔𝑐 e 𝐴𝑇𝑑𝐵 
 
iv. Determinar 𝛽, os zeros, polos e 𝐾𝑐. 
−20 log(𝛽) = 𝐴𝑇𝑑𝐵 
𝛽 = 10
−23.2
−20 = 𝟏𝟒. 𝟒𝟓𝟒𝟒 
𝑧 =
𝜔𝑐
10
=
0.641
10
= 𝟎. 𝟏𝟓𝟑 
𝑝 =
𝑧
𝛽
=
0.153
14.4544
= 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟔 
𝐾𝑐 =
𝐾
𝛽
=
12.25
14.4544
= 𝟎. 𝟖𝟒𝟕𝟓 
v. Verificar o compensador 
𝑮𝒄(𝒔) = 𝟎. 𝟖𝟒𝟕𝟓
𝒔 + 𝟎. 𝟏𝟓𝟑
𝒔 + 𝟎. 𝟖𝟒𝟕𝟓
 
 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
𝐺𝑐(𝑠)𝐺(𝑠) = lim
𝑠→0
0.8475
𝑠 + 0.153
𝑠 + 0.8475
40
(𝑠 + 1)²(𝑠 + 10)
 
𝑲𝒑 = 𝟒𝟗 
Na Figura 11 pode-se concluir que o compensador projetado atende aos 
requisitos. 
Figura 11 – Diagrama de Bode do sistema compensado 
 
Referências: 
CASTRUCCI, P. L; BITTAR, A., SALES, R. M., “Controle automático,” 2. ed. - 
Rio de Janeiro, LTC, 2018. 
OGATA, K., “Engenharia de controle moderno,” 5 ed. Pearson Education – Br, 
2011. ISBN 9788576058106. 
NISE, N. “Engenharia de Sistemas de Controle,” 6 ed. LTC, 2013. ISBN 
9788521621362 
	1. PARTE 1: Compensadores no Domínio da Frequência
	1.1 A função de transferência em malha aberta de um determinado sistema é apresentada a seguir:
	1.2 Considere agora a função de transferência em malha aberta de um determinado sistema é apresentada a seguir:
	Referências: