Laboratório 9

Prévia do material em texto

Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Medianeira Engenharia Elétrica 
Prof. Diogo Marujo 
 
Sistemas de Controle II – Laboratório 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Brendha Tiemi Kobassigawa 
Bruna Pontes Cechinel 
Maísa Ribeiro 
Najla Abou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medianeira 
2021 
1. PARTE 1: Modelagem no espaço de estados 
1.1 Considere o sistema representado por variáveis de estado abaixo: 
[
𝑥1̇
𝑥2̇
] = [
0 1
−9 −7
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
0
1
] [𝑟(𝑡)] 
[𝑦(𝑡)] = [1 2] [
𝑥1
𝑥2
] + [0][𝑟(𝑡)] 
Represente o sistema por variáveis de estado. Dica: Digite no workspace 
do Matlab help ss para saber como modelar. Em seguida, resposta as questões 
abaixo. 
𝐴 = [
0 1
−9 −7
] 
𝐵 = [
0
1
] 
𝐶 = [1 2] 
𝐷 = [0] 
a) Avalie a resposta do sistema para uma entrada 𝑟(𝑡) igual ao degrau 
unitário (considerando condições iniciais nulas). 
Figura 1 – Resposta ao degrau 
 
b) Monte o diagrama o de simulação do sistema no simulink, conforme 
mostrado na figura abaixo. Compare com a resposta com àquela do item 
A. 
 
Figura 2 – Resposta ao degrau através do simulink 
 
1.2 Repita o exercício anterior considerando o seguinte sistema: 
[
𝑥1̇
𝑥2̇
] = [
0 1
−25 −4
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
1 1
0 1
] [
𝑢1
𝑢2
] 
[
𝑦1
𝑦2
] = [
1 0
0 1
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
0 0
0 0
] [
𝑢1
𝑢2
] 
𝐴 = [
0 1
−25 −4
] 
𝐵 = [
1 1
0 1
] 
𝐶 = [
1 0
0 1
] 
𝐷 = [
0 0
0 0
] 
Dica: Como agora o sistema é MIMO, neste caso, com duas entradas e 
duas saídas, será necessário utilizar um bloco “mux” na entrada do bloco space-
state do simulink e um bloco “demux” na saída. Simule com 𝑈1 = 𝑈2 =
𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 e depois com amplitudes diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Resposta ao degrau 
 
Figura 4 – Resposta ao degrau através do simulink 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Resposta ao degrau através do simulink 
 
 
2. PARTE 2: Forma Canônica Controlável – Variáveis de Fase 
2.1 Considere a função de transferência abaixo: 
𝐺(𝑠) =
2𝑠 + 1
𝑠2 + 7𝑠 + 9
 
a) Represente a sistema na forma canônica controlável. 
 FT1: 
𝑋1(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
1
𝑠2+7𝑠+9
 
𝑋1(𝑠)(𝑠
2 + 7𝑠 + 9) = 𝑅(𝑠) 
𝑥1̈ + 7𝑥1̇ + 9𝑥1 = 𝑟 
𝑑2𝑥1
𝑑𝑡2
+ 7
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
+ 9𝑥1(𝑡) = 𝑟(𝑡) 
𝑥1 = 𝑥1(𝑡) 𝑥1̇ =
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
 
𝑥2 =
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
 𝑥2̇ =
𝑑2𝑥1
𝑑𝑡2
 
𝑥1̇ = 𝑥2 
𝑥2̇ + 7𝑥2 + 9𝑥1 = 𝑟(𝑡) 
𝑥2̇ = −7𝑥2 − 9𝑥1 + 𝑟(𝑡) 
[
𝒙�̇�
𝒙�̇�
] = [
𝟎 𝟏
−𝟕 −𝟗
] [
𝒙𝟏
𝒙𝟐
] + [
𝟎
𝟏
] [𝒓(𝒕)] 
 FT2: 
𝐶(𝑠)
𝑋1(𝑠)
= 2𝑠 + 1 
𝐶(𝑠) = (2s + 1)𝑋1(𝑠) 
𝑐(𝑡) = 2𝑥1̇ + 𝑥1 
𝑦 = 𝑐(𝑡) = 2𝑥2 + 𝑥1 
[𝒚] = [𝒄(𝒕)] = [𝟐 𝟏] [
𝒙𝟏
𝒙𝟐
] + [𝟎][𝒓(𝒕)] 
b) A partir do resultado do item A, monte o diagrama de simulação abaixo, 
simulando o sistema para uma entrada degrau unitário e condições 
iniciais nulas. 
 
Figura 6 – Resposta ao degrau para o método alternativo 
 
Obs: Essa é a uma forma alternativa de montar o diagrama de simulação, 
mas àquela com o bloco space-state contínua válida. 
	1. PARTE 1: Modelagem no espaço de estados
	1.1 Considere o sistema representado por variáveis de estado abaixo:
	1.2 Repita o exercício anterior considerando o seguinte sistema:
	2. PARTE 2: Forma Canônica Controlável – Variáveis de Fase
	2.1 Considere a função de transferência abaixo: