Laboratório 10

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Medianeira Engenharia Elétrica 
Prof. Diogo Marujo 
 
Sistemas de Controle II – Laboratório 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
Brendha Tiemi Kobassigawa 
Bruna Pontes Cechinel 
Maísa Ribeiro 
Najla Abou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medianeira 
2021 
1. PARTE 1: Matriz de Funções de Transferência, autovalores e 
autovetores 
1.1 Considere o sistema representado por variáveis de estado abaixo: 
[
𝑥1̇
𝑥2̇
] = [
0 1
−9 −7
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
0
1
] [𝑟(𝑡)] 
[𝑦(𝑡)] = [1 2] [
𝑥1
𝑥2
] + [0][𝑟(𝑡)] 
a) Determine a matriz de função de transferência do sistema acima. 
𝐺(𝑠) = [𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵] + 𝐷 
𝑠𝐼 − 𝐴 = 𝑠 [
1 0
0 1
] − [
0 1
−9 −7
] = [
𝑠 −1
9 𝑠 + 7
] 
(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 =
1
𝑠(𝑠 + 7) − (−9)
[
𝑠 + 7 1
−9 𝑠
] = [
𝑠 + 7
𝑠2 + 7𝑠 + 9
1
𝑠2 + 7𝑠 + 9
−
9
𝑠2 + 7𝑠 + 9
𝑠
𝑠2 + 7𝑠 + 9
] 
𝐺(𝑠) = ([1 2] [
𝑠 + 7
𝑠2 + 7𝑠 + 9
1
𝑠2 + 7𝑠 + 9
−
9
𝑠2 + 7𝑠 + 9
𝑠
𝑠2 + 7𝑠 + 9
] [
0
1
]) + [0] 
𝑮(𝒔) =
𝟐𝒔 + 𝟏
𝒔𝟐 + 𝟕𝒔 + 𝟗
 
b) Com base nos procedimentos apresentado em sala, calcule os 
autovalores e autovetores (normalizados). Apresente os resultados na 
forma da matriz modal e da matriz de autovalores. 
det(𝐴 − 𝐼𝜆) = 0 
det ([
0 1
−9 −7
] − [
1 0
0 1
] 𝜆) = det ([
−𝜆 1
−9 −7 − 𝜆
]) = 0 
det(𝐴 − 𝐼𝜆) = −𝜆(−7 − 𝜆) − (−9) = 𝜆2 + 7𝜆 + 9 = 0 
𝝀𝟏,𝟐 =
−𝟕 ± √𝟏𝟑
𝟐
→ {
𝝀𝟏 ≅ −𝟏. 𝟔𝟗𝟕𝟐
𝝀𝟐 ≅ −𝟓. 𝟑𝟎𝟐𝟖
 
𝚲 = [
𝝀𝟏 𝟎
𝟎 𝝀𝟐
] =
[
 
 
 
 −𝟕 + √𝟏𝟑
𝟐
𝟎
𝟎
−𝟕 − √𝟏𝟑
𝟐 ]
 
 
 
 
 
(𝐴 − 𝐼𝜆1)𝑣 = ([
0 1
−9 −7
] − [
1 0
0 1
] (
−7 + √13
2
)) [
𝑣1
𝑣2
] = 0 
(𝐴 − 𝐼𝜆1)𝑣 =
{
 
 
 
 7 − √13
2
𝑣1 + 𝑣2 = 0
−9𝑣1 + (
−7 − √13
2
)𝑣2 = 0
 
𝑣1 = [
1
−7 + √13
2
] 
𝒗𝟏(𝒏𝒐𝒓𝒎) = [
𝟎. 𝟓𝟎𝟕𝟔
−𝟎. 𝟖𝟔𝟏𝟔
] 
(𝐴 − 𝐼𝜆2)𝑣 = ([
0 1
−9 −7
] − [
1 0
0 1
] (
−7 − √13
2
)) [
𝑣1
𝑣2
] = 0 
(𝐴 − 𝐼𝜆2)𝑣 =
{
 
 
 
 7 + √13
2
𝑣1 + 𝑣2 = 0
−9𝑣1 + (
−7 + √13
2
)𝑣2 = 0
 
𝑣2 = [
1
−7 − √13
2
] 
𝒗𝟐(𝒏𝒐𝒓𝒎) = [
𝟎. 𝟏𝟖𝟓𝟑
−𝟎. 𝟗𝟖𝟐𝟕
] 
𝑽 = [𝒗𝟏 𝒗𝟐] = [
𝟏 𝟏
−𝟕 + √𝟏𝟑
𝟐
−𝟕 − √𝟏𝟑
𝟐
] 
c) Para conferir o resultado dos autovalores, compare o valor dos polos da 
FT do item A com os autovalores. 
𝑠1,2 =
−7 ± √13
2
 
𝜆1,2 =
−7 ± √13
2
 
 
2. PARTE 2: Decomposição em Variáveis Modais 
2.1 Um sistema é representado pela seguinte equação diferencial: 
�̈� + 7�̇�(𝑡) + 12𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡) 
Considere que 𝑢(𝑡) é um degrau de amplitude 3 e que as condições 
iniciais são nulas. 
a) Utilizando o conceito de decomposição em variáveis modais, determine a 
resposta 𝑦(𝑡) do sistema. 
i. Forma canônica da E.D.: 
[𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − �̇�(0)] + 7[𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0)] + 12𝑌(𝑠) = 3𝑈(𝑠) 
𝑌(𝑠)(𝑠2 + 7𝑠 + 12) = 3𝑈(𝑠) 
�̈� + 7�̇� + 12𝑌 = 3𝑈 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 7
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 12𝑦(𝑡) = 3𝑢(𝑡) 
𝑥1 = 𝑦(𝑡) 𝑥1̇ =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑥2 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 𝑥2̇ =
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
 
𝑥2 = 𝑥1̇ 
𝑥2̇ + 7𝑥1̇ + 12𝑥1 = 3𝑢(𝑡) 
𝑥2̇ = −7𝑥2 − 12𝑥1 + 3𝑢(𝑡) 
[
𝑥1̇
𝑥2̇
] = [
0 1
−12 −7
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
0
3
] [𝑢(𝑡)] 
[𝑦] = [1 0] [
𝑥1
𝑥2
] + [0][𝑢(𝑡)] 
ii. Cálculo dos autovalores e autovetores: 
det(𝐴 − 𝐼𝜆) = 0 
det ([
0 1
−12 −7
] − [
1 0
0 1
] 𝜆) = det ([
−𝜆 1
−12 −7 − 𝜆
]) = 0 
det(𝐴 − 𝐼𝜆) = −𝜆(−7 − 𝜆) − (−12) = 𝜆2 + 7𝜆 + 12 = 0 
𝜆1 = −3
𝜆2 = −4
 
Λ = [
−3 0
0 −4
] 
(𝐴 − 𝐼𝜆1)𝑣 = ([
0 1
−7 −12
] − [
1 0
0 1
] (−3)) [
𝑣1
𝑣2
] = 0 
(𝐴 − 𝐼𝜆1)𝑣 = {
3𝑣1 + 𝑣2 = 0
−7𝑣1 − 9𝑣2 = 0
 
𝑣1 = [
1
−3
] 
(𝐴 − 𝐼𝜆2)𝑣 = ([
0 1
−7 −12
] − [
1 0
0 1
] (−4)) [
𝑣1
𝑣2
] = 0 
(𝐴 − 𝐼𝜆2)𝑣 = {
4𝑣1 + 𝑣2 = 0
−7𝑣1 − 8𝑣2 = 0
 
𝑣2 = [
1
−4
] 
𝑉 = [𝑣1 𝑣2] = [
1 1
−3 −4
] 
iii. Desacoplamento das variáveis: 
ż = Λz + V−1𝐵𝑢(𝑡) 
[
𝑧1̇
𝑧2̇
] = [
−3 0
0 −4
] [
𝑧1
𝑧2
] + [
4 1
−3 −1
] [
0
3
] [𝑢(𝑡)] 
𝑧1̇ = −3𝑧1 + 3𝑢(𝑡)
𝑧2̇ = −4𝑧2 − 3𝑢(𝑡)
 
𝑠𝑍1 = −3𝑍1(𝑠) + 3𝑈(𝑠)
𝑠𝑍2 = −4𝑍2(𝑠) − 3𝑈(𝑠)
 
𝑍1(𝑠)(𝑠 + 3) =
3
𝑠
𝑍2(𝑠)(𝑠 + 4) = −
3
𝑠
 
𝑍1(𝑠) =
3
𝑠(𝑠 + 3)
𝑍2(𝑠) = −
3
𝑠(𝑠 + 4)
 
Aplicando Laplace em 𝑍1(𝑠) 𝑒 𝑍2(𝑠): 
𝑧1(𝑡) = (1 − 𝑒
−3𝑡)𝑢(𝑡)
𝑧2 =
1
4
(−3 + 𝑒−4𝑡)𝑢(𝑡)
 
Calculando a saída: 
𝑦 = CVz + D𝑢(𝑡) 
[𝑦] = [1 0] [
1 1
−3 −4
] [
(1 − 𝑒−3𝑡)
1
4
(−3 + 𝑒−4𝑡)
] + [0][𝑢(𝑡)] 
[𝑦] = [
1 1
0 0
] [
(1 − 𝑒−3𝑡)
1
4
(−3 + 𝑒−4𝑡)
] 
𝑦(𝑡) = 1 − 𝑒−3𝑡 +
1
4
(−3 + 𝑒−4𝑡) 
𝒚(𝒕) =
𝟏
𝟒
(𝟏 − 𝒆−𝟒𝒕) − 𝒆−𝟑𝒕 
b) Para conferir a resposta, sobreponha a resposta obtida no item A com a 
resposta do sistema utilizando o comando 𝑙𝑠𝑖𝑚(𝑠𝑦𝑠, 𝑢, 𝑡). Dica: help lsim. 
A Figura 1 mostra a resposta pelo Matlab. 
Figura 1 – Resposta pela função lsim