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Professor_Antonio_Lafayette-calculo2

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1 Funções de múltiplas variáveis
1.1 Funções e gráficos
1.1.1 Funções
O conceito de função de múltiplas variáveis é análogo ao de função de uma variável.
Isto é, consta de três partes, a saber:
1. O conjunto onde a função é definida - o domínio -, que denotaremos pela letra
maiúscula Dn. n representará o número de variávies independentes da função con-
siderada;
2. O conjunto onde a função toma valores - o contradomínio -, que denotaremos, de
maneira geral, pela letra K;
3. A regra f(x1,x2, ...,xn) que leva os elementos pertencentes ao domínio ao contrado-
mínio.
Como vimos, existem duas condições que devem ser satisfeitas por essa regra:
1. Não pode haver exceção, isto é, para todo elemento, em geral (x1,x2, ...,xn), per-
tencente ao domínio, existe f(x1,x2, ...,xn) pertencente ao contradomínio;
2. Não pode haver ambiguidade, isto é, dado dois elementos pertencentes ao domínio,
por exemplo, (x1, ...,xn) e (y1, ...,yn), se (x1, ...,xn) = (y1, ...,yn), então f(x1, ...,xn) =
f(y1, ...,yn), em que f(x1, ...,xn) e f(y1, ...,yn) pertencem a K.
Teremos, portanto, já definida as três partes que constituem a função, a sua representação
simbólica:
f :Dn ⊂ V n→K (1.1)
em que V n e K são, respectivamente, um espaço vetorial de dimensão n (n pertence aos
números naturais) e um corpo. Estaremos preocupados com funções de n variáveis reais
a valores reais. Dessa forma, teremos V n = Rn e K = R. R sendo, neste caso, o conjunto
dos números reais. Temos, então, a seguinte representação simbólica das nossas funções:
f :Dn ⊂ Rn→ R (1.2)
Consideremos, por exemplo, as equações
z = x2−y2
e
z =
√
4− (x2 +y2)
elas exprimem z como função de x e y. Em ambos os casos, z é a variável dependente -
dependente de x e y -, e x e y são as variáveis independentes. Podemos lançar a seguinte
pergunta:
• Quais os domínios máximos de definição de cada uma das duas funções acima dadas?
Nos dois casos acima (tanto para z = x2− y2 como para z =
√
4− (x2 +y2)), vemos que
as funções estão definidas num subconjunto D2 do espaço vetorial R2. Quais são, pois, os
domínios D2 dessas duas funções?
No primeiro exemplo (z = x2− y2), x e y podem assumir todos os valores reais -
verifique! -. No segundo caso
(
z =
√
4− (x2 +y2)
)
, devemos impor a restrição x2 +y2≤ 4.
Em outras palavras, podemos tomar como domínio da função do primeiro exemplo o
conjunto de todos os pontos (x,y) do plano, ao passo que, no segundo caso, o domínio
máximo da função é o círculo
{
(x,y) ∈R2 : x2 +y2 ≤ 4
}
(1.3)
É claro que, dada uma função com certo domínio Dn - no caso dos dois exemplos acima,
foi D2 -, podemos sempre restringir esse domínio. No entanto, se considerarmos uma
função dada por uma fórmula e não especificarmos seu domínio, entenderemos tratar-se
do maior conjunto para o qual a fórmula faz sentido.
Em geral, os resultados que se estabelecem para as funções de duas variáveis se es-
tendem para as funções de mais variáveis independentes, com o mesmo procedimento
realizado para o caso de duas variáveis. Por essa razão, vamos fixar mais a nossa atenção
nas funções de duas variáveis e considerar funções de três ou mais variáveis quando houver
necessidade de focalizar alguma propriedade ou resultados particularmente pertinentes a
essas funções - de três ou mais variáveis -.
No contexto de funções de duas variáveis, podemos fazer a visualização geométrica
dessas funções, porque podemos representar os pontos
(x,y,z) = (x,y,f(x,y))
no espaço R3, obtendo, assim, o gráfico da função z = f(x,y)
1.1.2 Gráficos
Da mesma forma que nos estudos das funções de uma variável, a noção de gráfico
desempenha um papel importante no estudo de funções de várias variáveis. Isso ocorre,
particularmente, para as funções de duas variáveis, pois podemos representar o gráfico
como uma superfície no espaço tridimensional R3.
Definição
O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y) é o conjunto de todos os pontos
(x,y,z) = (x,y,f(x,y)) ∈ R3, tais que (x,y) ∈D2 e z = f(x,y).
Simbolicamente, escrevemos
graf(f) =
{
(x,y,z) ∈ R3 : (x,y) ∈D2 , z = f(x,y)
}
(1.4)
Se f é uma função de n variáveis reais a valores reais - f : Dn ⊂ Rn → R -, o seu
gráfico é o conjunto de pontos do espaço Rn+1 dado por
graf(f) =
{
(x1,x2, ...,xn,f(x1,x2, ...,xn)) ∈ Rn+1 : (x1,x2, ...,xn) ∈Dn
}
(1.5)
Exemplo - 1
Considere a função z = f(x,y) =
√
4− (x2 +y2). O domínio dessa função é
D2(z) =
{
(x,y) ∈ R2 : x2 +y2 ≤ 4
}
.
- 2 - 1 0 1 2
- 2
- 1
0
1
2
Figura 1.1: domínio do exemplo 1 - D2(z).
O seu gráfico é o conjunto
graf(z) =
{
(x,y,z) ∈ R3 : (x,y) ∈D2(z) , z =
√
4−x2−y2
}
e, geometricamente, representa o hemisfério superior da esfera de centro na origem e raio
2 conforme figura 1.2 abaixo
- 2
- 1
0
1
2
- 2
- 1
0
1
2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 1.2: gráfico do exemplo 1
1.1.3 Curvas de nível
Para uma função de duas variáveis é praticamente impossível obter um esboço do
gráfico apenas criando uma tabela com os valores da função em diversos pontos de seu
domínio. Para contornar essa dificuldade, vamos determinar os conjuntos de pontos do
domínio da função, nos quais a função permanece constante. Esses conjuntos de pontos
são chamados curvas de níveis da função e são definidos a seguir
Definição
Seja k um número real. Uma curva de nível Ck, de uma função z= f(x,y), é o conjunto
de todos os pontos (x,y) ∈D2(f), tais que f(x,y) = k. Simbolicamente, escrevemos
Ck = {(x,y) ∈D2(f) : f(x,y) = k}
Exemplo
Para a função z =
√
4−x2−y2, algumas curvas de níveis são:
C0 : 0 =
√
4−x2−y2 ou x2 +y2 = 4; C1 : 1 =
√
4−x2−y2 ou x2 +y2 = 3;
C 1
2
: 12 =
√
4−x2−y2 ou x2 +y2 = 154 ; C 32 :
3
2 =
√
4−x2−y2 ou x2 +y2 = 74
Para k = 2, a curva de nível é dada por 2 =
√
4−x2−y2 ou x= y = 0. Nesse caso, a
curva de nível se reduz a um ponto e é chamada curva degenerada. Para k < 0 e k > 2,
as curvas de nível Ck são conjuntos vazios.
EXERCÍCIOS DA LISTA
1. Para função do exemplo acima, determine as curvas de níveis para k = 0, k = 1,
k = 12 e k =
3
2 e ilustre a seção da superfície correspondente à curva de nível C 32
2. As equações a seguir representam planos. Esboçar o gráfico e identificar as possíveis
funções de duas variáveis que definem cada plano.
a) z = 2;
b) x= 3;
c) y = 1;
d) y = x.
3. Determine e represente graficamente os domínios máximos D2 para os quais as
funções f :D2 ⊂ R2→ R podem ser definidas, conhecendo-se as seguintes regras de
correspondências:
a) f(x,y) = 3x2 + 1;
b) f(x,y) = 3x
2−1
x2 +y2 + 1 ;
c) f(x,y) = 3x
2 +y2
x2 +y2 ;
d) f(x,y) = x
3
x−y ;
e) f(x,y) = 2x
2 +y
x2−y ;
f) f(x,y) = 2y
2 +x√
x2−y
;
g) f(x,y) = ln
(
x−y
y−1
)
;
h) f(x,y) =
√
x+y
x−y ;
i) f(x,y) = xy√
x2−y2
.
1.2 Limite e Continuidade de funções de múltiplas
variáveis
Quando estudamos funções de duas variáveis, seus domínios são conjuntos de pontos
(x,y) do plano - no nosso caso, plano real R2 , que podem ser o plano todo ou conjuntos
mais restritos, como retângulos, círculos, elipses, semiplanos, etc. . Quando lidamos com
esses domínios mais restritos, muitas vezes é necessário distinguir entre pontos internos e
pontos de fronteira do conjunto, por isso mesmo é interessante estabelecer esses e outros
conceitos correlatos que surgirão no decorrer do curso. Apesar da importância dessa
discussão, nossa prioridade serão os aspectos operacionais das definições e não no rigor
de sua definição.
1.2.1 Revisão de limite, continuidade e derivada para funções
de uma variável real a valores reais - f : X⊂ R→ R -.
Limite de funções de uma variável
Seja X ⊂ R um conjunto de números reais, f : X→ R uma função real cujo domínio
é X, e a ∈ X′ um ponto de acumulação do conjunto X. Diz-se que o número real L é o
limite de f(x) quando x tende para a (x→ a). Escrevemos limx→a f(x) = L quando,
para todo � > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que se tem |f(x)−L| < �
sempre que x ∈ X e 0< |x−a|< δ.
Simbolicamente, escrevemos:
lim
x→af(x) = L.≡ .∀� > 0, ∃ δ > 0; x ∈ X, 0< |x−a|< δ⇒ |f(x)−L|< �
.
De maneira informal: limx→a = L