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Avelino Alves Filho, prof. Dr. 
1 
Elementos Finitos 
A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1 ª Edição 
2 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1 ª Edição 
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Avelino Alves Filho 
Elementos Finitos 
A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
1ª Edição 
[!Jér1ca Saraiva 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1 ª Edição 
4 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação {CIP) 
{Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Alves Filho, Avelino 
Elementos finitos: a base da tecnologia CAE: análise não linear/ Avelino Alves Filho 
1. ed. -- São Paulo: Érica, 2012. 
Bibliografia. 
ISBN 978-85-365-1972-2 
1. Engenharia auxiliada por computador 2. Método dos elementos finitos 
I. Título. 
12-03459 Editado também como livro impresso 
Índice para catálogo sistemático: 
1. Elementos finitos : Método : Análise não linear : Engenharia 
2. Método dos elementos finitos : Análise não linear : Engenharia 
Copyright© 2012 da Editora Érica Ltda. 
620.00151535 
620.00151535 
CDD-620.00151535 
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Coordenação Editorial: 
Capa: 
Editoração e Finalização: 
Rosana Arruda da Silva 
Maurício S. de França 
Adriana Aguíar Santoro 
Carla de Olíveíra Moraís 
Grazíele Karina Líbomi 
Rosana Ap. A. dos Santos 
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Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Línear - Avelino Alves Fílho - 1 ª Edíção 
Dedicatória 
Aos meus filhos Gabriela e Pedro, e ao meu netinho Benício; 
' A minha mulher Silvana; 
' A memória do meu querido pai Avelino, fonte de exemplos; 
' As minhas queridas mãe e irmã, Lídia e Carmen Lídia. 
5 
"Em tudo vos tenho mostrado que assim, 
trabalhando, convém acudir os fracos e 
lembrar-se das palavras do Senhor Jesus, 
porquanto ele mesmo disse: , 
E maior felicidade dar que receber!" 
Atos dos Apóstolos 20, 35 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
6 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Agradecimentos 
Ao professor Nikolaj Lebedev, que desempenhou papel fundamental na minha formação profissional, esteja onde esti-
ver. Mostrou-me os caminhos e não atalhos. 
Ao professor doutor Carlos Alberto Nunes Dias, da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, pelo apoio amigo 
' e orientação de sempre. A memória deste grande ser humano, esteja onde estiver. Pelo que fez e pelas suas atitudes só 
pode estar em um lugar bom. 
Aos colaboradores do NCE. Em particular ao Sr. Eduardo Camargo pelo apoio na condução das multitarefas do nosso 
dia a dia, na Engenharia e nos Treinamentos do NCE, e a Sra. Daniela de Sousa pelo apoio nos nossos Programas de 
Treinamento em CAE. 
, 
Aos profissionais da Editora Erica pela dedicação, compreensão, boa vontade e respeito ao autor, na realização dos 
trabalhos deste livro. O meu contato com os profissionais desta editora, desde o primeiro livro nesta área, só tem me 
trazido satisfação. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
7 
Sumário 
Capítulo 1 - Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos 
Elementos Finitos .................................................................................................................................... 17 
1.1 O M'lllldo é não Linear ..... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........................................ ....... ....... ..... 17 
1.2 Por que a Rigidez da Estrutura Varia? .. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ......................................................................... 24 
1.3 Não Linearidades Associadas ao Material ... .............. ..................... ......................................................................... 27 
1.4 Não Linearidades Associadas a Alterações de Propriedades Físicas e Grandes Defonnações .................... ....... ..... 28 
1.5 Não Linearidades Associadas a Alterações de Geometria - Grandes Deslocamentos ................................. ....... ..... 30 
1.6 Não Linearidades Associadas à Mudança das Condições de Contorno: O Problema de Contato ............... ....... ..... 32 
1. 7 Primeira Ideia de como Atualizar a Rigidez: Entenda o que Vem Adiante .................................................. ....... ..... 3 3 
1.8 Já que o Mundo é não Linear, por que Muitas Vezes o Tratamos como Linear? ......................................... ............ 3 8 
Capítulo 2 - Solução de Problemas Básicos não Lineares ........................................................................................ 43 
2. 1 Introdução ................ .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ....... ....... ........................................................... 43 
2.2 O Problema Básico da Plasticidade -Alteração da Matriz de Rigidez da Estrutura com o Carregamento ........ ..... 44 
2.3 O Problema Básico da não Linearidade Geométrica: Quando as Grandes Deflexões Alteram a Equação 
de Equilíbrio ao longo do Carregamento e a Rigidez Varia ........................................................................ ....... ..... 5 5 
2.4 Quando a não Linearidade Geométrica Vem Acompanhada de Instabilidade da Estrutura - Os Deslocamentos 
Aumentam sem o Aumento da Carga ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..................................................................57 
2.5 Nos Problemas com Muitos Graus de Liberdade, em que não há Solução Analítica, como Detenninar 
a Evolução dos Deslocamentos em Função da Carga? Preparo da Abordagem dos Casos Gerais ............. ....... ..... 63 
2.6 O Problema Básico do Contato: Quando as Condições de Contorno Definidas no Início 
da Análise se Alteram - Como o Software Entende Isso no Meio do Processo de Análise? ....................... ....... ..... 65 
2. 7 Exercício -Aplicação Numérica de GAP /Contato ..... ....... ....... ....... .................................................................... ..... 68 
Capítulo 3 - Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos 
Unidimensionais - Generalizações ......................................................................................................... 85 
3.1 Introdução ................. ....... ....... .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ........................................................... 85 
3.2 Entenda o Acoplamento entre Cargas Axiais e Flexão a partir do Elemento de Viga: Matriz de Rigidez 
Geométrica - Generalizando ... .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............................................................. ....... ..... 90 
3.3 Uma Aplicação Prática da Teoria Utilizando a Ferramenta Computacional: Grandes Deflexões em Viga ....... ..... 97 
3.4 Mais uma Aplicação Prática da Teoria Utilizando a Ferramenta Computacional: Grandes Deflexões em 
Placa - Matriz de Rigidez Geométrica .. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................................... 108 
3.5 Mais uma Aplicação Importante: A Instabilidade Estrutural ("Flambagem") - Método do Autovalor ........ ....... ... 118 
3.6 Aplicação Prática do Método do Autovalor: Flambagem de Coluna Simples ............................................. .......... 121 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
8 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
3. 7 O Estudo das Grandes Deformações - Primeira Abordagem ... ....... ....... ................................................................ 126 
3.8 Por que Utilizar Diferentes Tipos de Tensões? A Tensão de Cauchy e a 1 ª Tensão de Piola-Kirchhoff ............... 130 
3.9 Uma Aplicação das Grandes Deformações - Materiais Hiperelásticos: A Elasticidade da Borracha .................... 138 
3.1 O Observações Finais ao Estudo das Grandes Deformações: Sistema Corrotacional - Uma Ideia Inicial ............. 149 
Capítulo 4 - Formulação Geral do Método dos Elementos Finitos para Análise não Linear: 
Introdução da Notação Tensorial ........................................................................................................ 151 
4.1 Introdução ...................................... ....... .............. ...... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... ..................................... 151 
4.2 A Caminho da Formulação Geral do Método - O Tensor Gradiente de Deformação e a 
Abordagem Lagrangiana ................ ....... ....... ....... ...... .. ...... ....... ....... ....... ................................................................ 205 
4.2.1 Conceitos Iniciais .............................. ....... ...... .. ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... .. ................................ ... 205 
4.2.2 Generalização do Tensor Gradiente de Deformação ..... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ............................. 214 
4.2.3 Teorema da Decomposição Polar de Cauchy ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ....... ....... ............... 218 
4 .3 Formulação Geral do Método dos Elementos Finitos ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...................... 220 
Capítulo 5 - Complementos sobre Plasticidade e Contato ..................................................................................... 231 
5. 1 Introdução ..................................................................................................... .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... . 231 
5 .2 Introdução aos Tópicos de Plasticidade .......................................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............... 231 
5.3 Critérios de Escoamento ........................................................................ ....... ....... ....... ...... .. ...... ............................. 233 
5 .3 .1 Critério de Von Mises para Materiais Dúcteis ............................ ....... ....... ....... .............. ....... ....... ....... ........ 23 3 
5 .3 .2 Critério de Tresca - Tensão de Cisalhamento Máxima ...................... ....... ....... .............. ....... ....... ....... ....... . 238 
5 .3 .3 Representação Geométrica dos Critérios ................................................................ ....... ....... ....... ....... ....... . 238 
5.3.4 Tensão Efetiva e Deformação Efetiva ................................................................................... ....... ....... ....... . 240 
5 .4 Relações Plásticas de Tensão e Deformação .. .................................................................................. ....... ....... ....... . 240 
5 .5 Lei da Decomposição ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... .. ............................................................ ....... ....... ....... . 241 
5.6 Equações entre Deformações e Tensões na Plasticidade - Regra de Escoamento .................... ....... ....... ....... ....... . 243 
5.6.1 Equações de Levy-Mises - Sólido Plástico Ideal ......................................................................... ....... ....... . 243 
5.6.2 Equações de Prandtl-Reuss - Sólido Elastoplástico ........ ....... .................................................................... . 245 
5.7 Lei de Encru.amento ........... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................... 247 
5.8 Uma Aplicação Prática Numérica Utilizando a Ferramenta Computacional - Não Linearidade 
Envolvendo Plasticidade .... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............................................... ....... . 249 
5 .9 Alguns Comentários Adicionais sobre Contato .... ....... ....... ....... ....... .................................................................... . 253 
5.9. 1 Introdução ...................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ................................. ....... . 253 
5 .9 .2 Conceitos Associados ao Conta.to ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .................................. 254 
5.9.3 Uma Aplicação Prática Numérica Utilizando a Ferramenta Computacional - Aplicação de Contato ........ 255 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
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Capítulo 6 - Uma Introdução a Alguns Problemas não Lineares Dinâmicos ....................................................... 261 
6. 1 Introdução ................. .............. .............. ....... ....... ....... ....... .............. .............. ......................................................... 261 
6.2 Integração Direta - Métodos Explícitos - Diferença Central ... .................................................................... ....... ... 263 
6.3 Integração Direta - Métodos Implícitos ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................................... 27 5 
Capítulo 7 - Introdução aos Métodos Iterativos ......................................................................................................279 
7. 1 Introdução ................. ....... ....... .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ......................................................... 279 
7 .2 Um pouco dos Recursos Computacionais .... ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................................... 281 
7.3 O Método de Newton-Raphson ............ ....... ....... ....... ....... .............. ....................................................................... 282 
7.4 Aplicação Numérica do Método de Newton-Raphson ...... ....... ....... .................................................................... ... 289 
7 .5 Sugestões para Estudos de Outros Métodos ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................................... 293 
Apêndice A - Modelos em Cores - Revisão dos Conceitos Estudados no Livro .................................................... 297 
Bibliografia ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 313 
, 
lndice Remissivo ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 315 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
10 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
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Prefácio 
Este trabalho corresponde à continuidade natural dos conceitos estudados nos livros Elementos Finitos - A Base da 
Tecnologia CAE e Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE/ Análise Dinâmica. A partir deles, entraremos no , 
fascinante e imprevisível mundo da análise não linear estática e dinâmica. E o mundo no qual as respostas são obtidas 
por tentativas e iterações e sujeitas à ocorrência de instabilidades. 
A estrutura conceitua! do presente texto aproveita, a partir de exemplos simples, o entendimento geral do problema não 
linear, para posteriormente, de forma segura, imergir nas generalizações do método. 
Um dos pontos mais importantes e que contribui comprovadamente para o sucesso e progresso no uso dos recursos de 
CAE, e que tive a oportunidade de verificar nestes anos trabalhando nessa área, está relacionado aos conceitos fundamen-
tais obrigatórios na utilização da tecnologia CAE. A base conceitua! é fundamental para o aprendizado do método dos 
elementos finitos e consequentemente para o manuseio de programas. Justifica-se, portanto, a filosofia de abordagem: 
Se o engenheiro não sabe modelar o problema sem ter o computador, ele não deve fazê-lo tendo o computador. 
Se no estudo das análises lineares estática e dinâmica isso é verdade, com muito mais propriedade podemos aplicar essa 
filosofia no estudo da análise não linear. Vivemos hoje no mundo da terceirização. Sem exagero, muitos usuários ''ter-
ceirizam'' com os softwares a execução dos seus modelos. Devemos ''terceirizar'' e deixar para os softwares as rotinas 
numéricas. O entendimento do problema fisico é responsabilidade do usuário. Sem ele, sem nenhum exagero, qualquer 
análise não linear toma-se uma temeridade. Este é então o foco deste trabalho. Oferecer esse conhecimento que sirva 
como alicerce para o uso da ferramenta computacional. 
Com vistas a superar essas dificuldades, ao longo do texto introduzimos não só as técnicas matriciais envolvidas na aná-
lise não linear, como os processos incrementais e iterativos, mas também oferecemos uma revisão dos conceitos-chave 
dos fenômenos a serem tratados, sem os quais o entendimento do método dos elementos finitos em análise não linear 
ficaria comprometido. 
Espero que este trabalho possa contribuir para a formação daqueles que iniciam seus estudos nas aplicações do método 
dos elementos finitos não lineares e para aqueles que queiram fazer uma revisão dos seus conceitos. 
Avelino Alves Filho 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
12 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
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Apresentação 
Este livro aborda o método dos elementos finitos em análise não linear com uma visão equilibrada entre os fenômenos 
fisicos e os recursos da matemática aplicada, aliando o rigor científico exigido a uma linguagem clara e precisa. 
Do ponto de vista didático podemos enxergar a divisão deste livro em duas partes: 
Primeira Parte: Capítulos 1 e 2 
O estudo do método dos elementos finitos em análise não linear se inicia pela apresentação dos diversos tipos de não 
linearidades no capítulo 1. Aproveitando a apresentação do capítulo 1, o capítulo 2 introduz diversos exercícios de modo 
que o leitor possa manualmente entender e verificar como controlar os problemas das grandes deflexões, plasticidade e 
contato entre partes de uma estrutura. 
Segunda Parte: Capítulos 3 a 7 
São estudados os diversos conceitos aplicados aos casos mais gerais de elementos finitos. A aplicação da não linearidade 
geométrica é feita a partir do elemento de viga para posteriores generalizações. São tratadas as questões referentes às 
instabilidades e aplicações de grandes deformações em materiais. A formulação geral do método é tratada com o apoio 
do estudo dos tensores. Esse estudo em particular é visto sempre pelos leitores como algo intratável pela linguagem 
compacta que é normalmente introduzida sem muita cerimônia. Para facilitar a vida do leitor, partimos do caso contro-
lado da aplicação unidimensional na qual o conceito é bem visível, alçando voos maiores até o caso tridimensional. Aí 
surge o entendimento do porquê da utilização da notação tensorial ou indicia!. Desta forma, mostramos ao leitor que ela 
é incluída para facilitar a sua vida e não complicá-la. O problema é que muitas vezes este tema é introduzido pelo seu 
final, como se fosse uma coisa óbvia, e realmente não é. 
Exercícios ao Longo do Texto: Aplicações de Solução Manual e Computacional 
Este livro de análise não linear é sem dúvida um dos temas mais desafiadores de elementos finitos. Para facilitar, procu-
ramos seguir exatamente a mesma linha ou a mesma ''lógica'' dos dois livros anteriores. Colocamos, ao longo do texto, 
exercícios cuja solução é manual ou uma aplicação numérica computacional, portanto exercícios para que o usuário de 
um software qualquer possa encaminhar a solução do mesmo problema à plataforma com que ele trabalha, qualquer que 
ela seja. 
Assim, vamos aos detalhes: 
Capítulo 1: é uma introdução e não tem exercícios, pois apresenta os fenômenos de não linearidades a serem estudados 
no livro todo. 
Capítulo 2: nele já começam os exercícios, a saber: 
• Exercício de plasticidade 
• Exercício de não linearidade geométrica 
• Exercício de não linearidade geométrica com instabilidade 
• Aplicação numérica de GAP - exercício computacional 
• Exercício de aplicação numérica de GAP - exercício numérico de solução completa manual 
• Exercício de aplicação numérica de contato com solução manual - Quadro III 
• Aplicação numérica de contato com solução computacional - Quadro IV 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
14 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Capítulo 3: tem uma parte teórica mais geral, pois introduz conceitos mais pesados do método, após o capítulo 2 ter de-
senvolvido a teoria básica praticamente somente com exercícios, para introduzir este tema tão complexo de modo mais 
agradável ao leitor. A rigor, tudo que foi feito no capítulo 2 agora é efetuado de maneira mais formal. 
)( Aplicação numérica de não linearidadegeométrica com ferramenta computacional - vigas 
)( Mais uma aplicação numérica de não linearidade geométrica com ferramenta computacional - placas 
)( Mais uma aplicação computacional - aplicação prática numérica de um vagão: caso real 
)( Exercício de não linearidade geométrica com solução manual 
Capítulo 4: aborda uma das partes mais complexas da não linearidade, pois envolve a linguagem tensorial. Os exercí-
cios presentes neste capítulo são de verificação computacional. 
)( Aplicação numérica de estado uniaxial de tensões e de ferramenta computacional - Quadro X 
)( Aplicação numérica de estado biaxial de tensões e de ferramenta computacional - Quadro X 
)( Aplicação numérica de estado triaxial de tensões e de ferramenta computacional - Quadro X 
)( Exercício de tensor gradiente de deformação - solução completa manual 
)( Exercício de tensor gradiente de deformação - solução completa manual de interpretação do significado do tensor 
)( Exercício de tensor gradiente de deformação - solução completa manual de interpretação do significado do tensor 
bidimensional 
)( Exercício de tensor gradiente de deformação e teorema de decomposição de Cauchy 
Capítulo 5: aborda a plasticidade, que já foi estudada com exemplos simples no capítulo 2. 
)( Aplicação numérica de plasticidade com ferramenta computacional 
)( Aplicação numérica de contato com ferramenta computacional 
Capítulo 6: apresenta a dinâmica não linear. 
)( Exercício de análise dinâmica não linear com solução manual - método explícito 
)( Exercício de análise dinâmica não linear com solução computacional - método explícito 
)( Exercício de análise dinâmica não linear com solução computacional - método implícito e comparação com o mé-
todo explícito 
Capítulo 7: descreve os métodos iterativos. 
)( Exercício numérico manual do método de Newton-Raphson 
Apêndice: Alguns exemplos práticos - modelos em cores - revisão dos conceitos estudados no livro. 
No apêndice, a título de ilustração, são mostrados alguns modelos em elementos finitos de casos práticos, com o objetivo 
de motivar o leitor a enxergar nas aplicações representadas o uso da teoria. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
15 
Sobre o Autor 
Avelino Alves Filho, nascido em Santos, é engenheiro, mestre e doutor em Engenharia pela Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo. Foi professor dos cursos de pós-graduação do Programa de Educação Continuada em En-
genharia (PECE) da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, na área de Elementos Finitos durante 17 anos. Já 
publicou 12 livros na área de Ciências Físicas. 
, 
E diretor geral do Núcleo de Cálculos Especiais (NCE, www.nce.com.br), empresa de treinamento, implantação de tec-
nologia CAE e fornecedora de serviços na área de CAE. 
Possui grande vivência em transferência de conceitos do método dos elementos finitos, em função de sua experiência 
prática durante 37 anos em projetos de engenharia utilizando o método, aliada a uma eficiente estrutura didática, unindo 
a visão conceitua! ao software aplicativo e aos projetos piloto para empresas. 
Utilizando esta filosofia de abordagem, implantou a tecnologia CAE e desenvolveu programas de treinamento nas se-
guintes empresas: Petrobrás, Volkswagen Caminhões, Metrô de São Paulo, DaimlerChrysler (Mercedes-Benz), MWM 
Motores Diesel, Embraer, Tupy Fundições, Grupo Maxion, OPP Petroquímica, Ford Brasil, Pirelli Pneus, Samsung, 
Nokia, Indústrias Villares etc. 
Tem grande experiência em serviços de análise estrutural, aplicando os recursos do método dos elementos finitos na 
simulação do comportamento de navios, ônibus, caminhões, chassi de veículos, vagões, carros de metrô, estruturas 
metálicas e componentes mecânicos em geral. Tem prestado serviços nessa área, por intermédio do NCE, para as em-
presas Volkswagen Caminhões, Metrô de São Paulo, Bombardier, DaimlerChrysler (Mercedes-Benz), MWM Motores 
Diesel, Grupo Maxion, OPP Petroquímica, Dana Industrial, Motores Cummins, Eaton do Brasil e Inglaterra, Ford Brasil, 
ZF do Brasil etc. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
16 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
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• 
1 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos 
não Lineares em Análise Estrutural 
pelo Método dos Elementos Finitos 
Estabelecer a base para a análise não linear a partir de exemplos simples. 
Construir os primeiros modelos para a discretização de problemas não lineares. 
1.1 O Mundo é não Linear 
No estudo das análises estruturais estática e dinâmica, normalmente é focalizada a atenção na concepção dos modelos 
de cálculo lineares que permitem determinar os deslocamentos, as deformações e as tensões atuantes nos elementos de 
uma estrutura e nos componentes mecânicos em geral. O conhecimento dessas respostas é fundamental para a avaliação 
da resistência mecânica da estrutura. 
Na análise estática, a carga não variava com o tempo, ou variava tão lentamente, que estávamos apenas interessados no 
seu valor máximo, ou seja, o tempo de duração do fenômeno era irrelevante. Assim, as forças de inércia eram descon-
sideradas. Do ponto de vista energético, sabemos que as forças atuantes na estrutura, ao deslocarem os seus pontos de 
aplicação, realizam trabalhos que contabilizam em última instância a energia transferida à estrutura por meio delas. Em 
uma análise estática toda essa energia é transferida à estrutura e armazenada como energia de deformação, ou seja, as 
forças externas F atuando na estrutura são equilibradas internamente pelas forças elásticas (k · u ), em que u representa o 
deslocamento. Por isso escrevemos que F = k · u. Este é o sentido fisico desta equação. Em um sistema de um simples 
grau de liberdade, a manipulação desta expressão é simples, é a fisica básica, matematicamente representada por uma 
simples equação algébrica. Para muitos graus de liberdade, necessitamos estabelecer uma administração mais eficiente. 
Surge então a necessidade de dispor da ferramenta matricial como apoio aos trabalhos no computador, e a expressão 
anterior é então apresentada matricialmente como {F} = [KJ · {U}, um sistema de equações algébricas lineares. Porém, 
em ambos os casos, o significado fisico é o mesmo. A Figura 1.1 sintetiza essa ideia. 
Na análise dinâmica, a carga variava rapidamente com o tempo. A rapidez com que a carga era aplicada, nesse caso, 
era muito importante. Ou seja, não bastava conhecer o valor máximo da carga atuante, mas a duração da aplicação dela. 
Mas sabemos que a questão da rapidez é relativa. A referência tomada para se estabelecer o quão rápido ou lento é o 
carregamento é a definição das características dinâmicas básicas da estrutura, contabilizadas por intermédio das suas 
frequências naturais ou, em termos de tempo, pelos seus períodos naturais. Assim, na análise dinâmica, as forças de 
inércia eram consideradas e definiam a principal característica do problema dinâmico. Do ponto de vista energético, 
sabemos que as forças atuantes, ao deslocarem os seus pontos de aplicação, realizam trabalhos que contabilizam em 
última análise a energia transferida à estrutura por meio delas. Em uma análise dinâmica, toda essa energia é transferida 
à estrutura, porém ela é armazenada não somente como energia de deformação. Entram em jogo a energia cinética, asso-
ciada aos movimentos, e a parcela referente ao amortecimento. Ou seja, as forças externas F(t) atuando na estrutura são 
equilibradas internamente não somente pelas forças elásticas (k.u), mas entram em cena as parcelas das forças de inércia 
m · ü e de amortecimento c.u, sendo ü eu, respectivamente, as representações da aceleração e da velocidade. Por isso 
escrevemos que m · ü + c · u + k · u = F(t). Este é o sentido fisicodesta equação. Em um sistema de um simples grau de 
liberdade, a manipulação desta expressão é "simples" , é a fisica básica das vibrações que utiliza o recurso matemático 
das equações diferenciais lineares. A equação anterior é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda 
ordem a coeficientes constantes. Lembre-se, é linear, e sabemos como resolvê-la. Ocupamo-nos da solução dela no 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
18 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
livro de dinâmica. Para muitos graus de liberdade, necessitamos estabelecer, de novo, uma administração mais eficiente. 
Então surge a necessidade de dispor da ferramenta matricial como apoio aos trabalhos no computador, e a expressão 
anterior é apresentada matricialmente como {M] · {Ü} + {C] · {Ú} + {KJ · {U} = { F(t) }, um sistema de equações dife-
renciais lineares não homogêneas de segunda ordem. Porém, em ambos os casos, o significado físico é o mesmo. A 
Figura 1.2 sintetiza essa ideia da análise dinâmica linear. 
> ... 
' ' , e , 
, _ .,L ,L. 
Modelo 
Montage1n de elementos 
Matriz de rigidez de cada elemento i 
[K]e i 
-----' ' ' 
Matriz de rigidez da estrutura a parti r dos seus elementos 
[KJ = L [K}e i 
Sistema de equações 
\ 
\ 
1 
I 
I 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
\ 
\ 
\ 
' ' ' ---------------------~ 
{F} = {K} . {U} (Equilíbrio entre forças externas e internas) 
Condições de contorno 
Restrições e forças aplicadas 
Cálculo dos desloca1nentos 
{U} = [KJ- 1 · {F} 
e 
Reações de apoio 
Forças interna nos elementos 
Tensões 
Biblioteca de 
elementos 
z 
l: 
X 
z 
Força externa = Força interna 
"-.. / 
F=K·U 
'J 
X 
/sixo de 
referência 
Força externa 
X 
Força interna 
Eixos de 
referência locais 
do elen1ento 
~ 
/ 
I 
\ 
\ 
/ 
', "Chapa" 
' 
/ 
/ 
/ 
' ---- .... ' / ' ' / ' ,, .. ,,,,/ i ~\ 
[K]e i ~ ~&/ ,.,z_/ I 
/ \ / 
/ / 
/ ' / 
/ ' / / ....... __ .... 
Jf 
Elementos 
,/_,---f ~'-: 
1 -...e' ·,,' 
---- - - - - - - - 1 Gr--. ---... \ ,,,,, -- ..... --- \ / / ' 
,... ' / I \ 
Viga ,_ ,,,,-- 1 ' __ _ _ .,... I \ 
I \ 
- -- - ------- I \ -----· , \ 
- - _ 1 1 
Elementos 
-Rigidez-
- ..., .... 1 1 
......... ..._ 1 1 
........ . , , 
1 1 
\ I 
\ I 
\ I 
\ I 
' / ' / -- / 
Mola 
/ 
Figura 1. 1. Análise estática linear. E o mundo da proporcionalidade entre efeitos e causas e da adição dos efeitos e das causas. 
Nas análises lineares, após o cálculo da estrutura ter sido efetuado para diferentes carregamentos isolados, a resposta à ação 
conjunta deles, cada um afetado por um diferente fator de carga, é obtida pelo simples procedimento de combinação linear das 
respostas obtidas. Esta é a grande facilidade do mundo linear. Na análise não linear; como veremos, essa facilidade não existe. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 19 
Nos estudos anteriores, estáticos e dinâmicos, estavam presentes os conceitos-chave do método dos elementos finitos, 
aos quais destinamos a atenção para entendê-los e, com critério, aplicá-los na prática. Esses conceitos envolviam as téc-
nicas de discretização de sistemas contínuos, interpolação de deslocamentos,formulação do elemento finito traduzida 
pela sua função de interpolação ou função de forma, que objetivava, em última análise, a partir do conceito fisico de 
rigidez do elemento, determinar a rigidez da estrutura. Este era o passaporte para compreender o comportamento do 
todo, a partir do entendimento do comportamento de cada uma de suas partes! Vimos que os softwares de elementos 
finitos oferecem uma biblioteca de elementos do programa com diversos elementos, cada qual tentando representar 
um diferente comportamento físico conhecido da mecânica estrutural (placas, cascas, membranas, sólidos, vigas etc.). 
Esse comportamento é descrito por intermédio de funções matemáticas que, em última instância, contabilizam a rigidez 
daquele elemento individual, por intermédio da sua matriz de rigidez [k]e. Ao montarmos o modelo da estrutura, subdi-
vidindo a estrutura em elementos, determinamos a matriz de rigidez da estrutura [KJ a partir da matriz de rigidez de cada 
elemento. Na análise dinâmica, adicionalmente, entram em cena as matrizes de massa [M] e amortecimento [C]. As 
Figuras 1.1 e 1.2 resumem os passos principais da montagem dos problemas estáticos e dinâmicos até agora estudados. 
Em todas essas abordagens, uma hipótese foi tomada como o alicerce de todo o conhecimento desenvolvido até então. 
Consideramos que os fenômenos estudados são lineares, ou seja, para nós o mundo era linear. Veremos agora que nem 
sempre essa hipótese é realística. Falemos um pouco mais sobre os sistemas lineares e em que circunstâncias o mundo , 
que nos rodeia foge desse comportamento. E importante identificar isso nas aplicações da engenharia, pois assumir essa 
hipótese da linearidade, em alguns casos, pode ser um tanto caro para o desenvolvimento dos projetos, e em outros, 
muito inconveniente para o bolso e para a segurança. 
Os engenheiros têm uma visão bastante prática a respeito da linearidade em estruturas. O conceito mais imediato en-
volve a relação entre forças atuantes na estrutura e os correspondentes deslocamentos observados devido à ação delas. 
Aliás, toda a "energia" gasta nos primeiros estudos de elementos finitos era para determinar o campo de deslocamentos 
na estrutura, a partir do conhecimento da sua rigidez. Em uma estrutura que apresente comportamento linear, ao dobrar a 
intensidade da carga atuante nela, os deslocamentos seguem a mesma proporção, ou seja, dobram. Se triplicarmos a car-
ga, os deslocamentos triplicam e assim sucessivamente. Vale o mesmo raciocínio para os demais efeitos que avaliamos , 
como resposta da análise, tais como deformações, tensões etc. Este é o mundo linear. E o mundo da proporcionalidade 
entre efeitos e causas. Se a excitação é multiplicada por um certo fator numérico, a resposta também o será. E também 
é o mundo da adição dos efeitos e das causas. A resposta a duas excitações simultâneas presentes no sistema pode ser 
obtida pela soma das respostas a cada uma das excitações calculadas separadamente. Se não corresponde à realidade , 
com exatidão, em alguns casos, dentro da precisão aceitável na engenharia, pode ser considerada uma boa solução. E 
o caso prático, por exemplo, abordado no estudo da análise estática para pequenas deflexões em estruturas no regime 
elástico, sem a presença de instabilidades. Já falamos um pouco disso nos livros anteriores, mas vamos discutir com 
mais propriedade essas questões neste livro. Evidentemente, esses fenômenos, olhados em princípio pela relação mais , 
direta da relação causa-efeito, têm uma descrição formal matemática. E a linguagem da engenharia. Os engenheiros 
sempre procuram extrair dessa linguagem, expressa por intermédio de equações, o sentido fisico mais direto que elas 
representam. 
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20 Elementos Finitos -A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Massa 
----. m 
1 grau de liberdade 
Mola 
~ k 
c 
/ 
A1nortecedor 
N graus de liberdade 
.... 
35 ~~~~~~~~~~~~~~~~ 
30 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,--r-T--r-T-,-- r-, -r-,--r- , --r- , --r-
25 i - -:- -+--:--f - -:- - t --: -: - : --: - ! - -: - : - -:- -
20
. J __ L_J __ L _l , __ L_ J L-J--L-J __ L _J __ L _ 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
15 
.l_ _.1 __ 1__ 1 I __ L _J L_.J __ L_ .J __ L_ .1 __ 1__ 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 .l_ --' L '-- L - .L _.J ___ .J __ L_ .1 __ 1_ 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 __ I - 1 __ 1. - - -- _ J _ L_ J. _ 
1 1 1 1 1 1 
§' Ü - 1 - 1 - - - I - 1 - I - 1 1 1 1 ~ : 
S -5 - 1- - - - .&-- - -1 -- - I--
.._, 1 1 1 1 1 1 1 
- -1 0 - - t- - - 1-- + -- --1---1 - - ~ --1--
u I l i 1 1111 I l i 
~ -15 - -1-- -1--+-- -+-- -t-- ... - ~-- -.--1--
........ 1 l i 1 1 111 1 1 1 1 -20 - -r- - 1--1"- - -~- -1-- 4 -- ;-- "1"--1--
1 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 -25 - - r- - -1-- T --1 - r -,--r -,--r -, --r-- , --1--
1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 -30 - -r - -r-T-, - r -,--r--i--r , --r-- , --r-
1 11 1 1 1 11 11 1 1 1 1 -35 - -r - --1--T--1 - r - , --r- ,--r-,--r-'T--1--
1 1 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 40 - --r- --r -r- , -r- , -- r-, --r-,--r -,--r -
-4 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 5 - 1--. -1--1-- , --1-- 1 - 1--1 - 1--, - . --I - . --1--
--------------------- '---------------, ' 
F(t) 
\ 
/ 
I 
1 
1 
\ 
\ 
-/ 
\ 
\ 
\ 
\ 
1 
1 
I 
F(t) 
.., Força externa 
\ 
1 
1 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I Força externa 
1 ---------
I 
I 
I 
// I 
// 1 
/ K · u , 
/ 1 
I ,/ 1 / 1 
1 o 
\ C·U F d 1 , Força elástica --_, • ._ orça e 1 
\ amortecimento : 
\ 1 
\ 1 
\ 1 
Diagrama de 
corpo livre 
\ 1 
\ I 
1 
' Resultante 1 1 1 
..---'\ 
/ 
N graus de 
liberdade 
1 ,/ 1 1 J 
1 1 
: F(t) - e · u - k · u = m · ü : 
1 1 
/ 1 
/ ~ 1 / I 
I I 
/ J 
I / 
:/ [ m · ü +e· U + k · u = F(t) 1 ,/ 
\ I 
\ I 
\ I 
' ' I ,__ / ---- -------- / -------------------------~ 
.,,.--------------------------------------------- .... 
/ ' 
/ ' 
I \ 
\ 
I \ 
I \ 
1 •• O 1 
: [M]- {U}+[C]- {U}+[K]-{U} ={F(t)} : 
1 / 
\ I 
\ I 
\ I 
\ I 
\ I 
\ I 
1 1 
\ Sistema de equações diferenciais lineares : 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
: A solução deste sistema linear \ 
J é efetuada em duas etapas \ 
1 1 
I \ 
/ 1 
I \ 
I \ 
-50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 / 1 
/ 1 
,' 1 ª -Cálculo de modos e frequências naturais \ 
/ 1 
// det ([K] - Â-i [M]) = O e ([K] - Â.i [M] · {<!>}={O} , 
/ 1 
Tetnpo (seg.) 0,4s 
/ / /" Determinação das características básicas de estrutura : 
--------- 1 --/- 1 
// 1 
/ 
; I 
/ I 
I / 
I I 
/ 2ª - Cálculo da resposta dinâmica por combinação linear dos modos - A superposição modal. / 
: Resposta dinâmica = ( 12 modo) · Y 1 + (22 modo) · Y 2 + (32 modo) · Y 3 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . / \ I 
\ I 
\ / 
\ / 
' / .... -- - - -- - --- -- ,..,, .... __ -------- ------ .,..., ------------- ---- ----------------------
Figura 1.2. Análise dinâmica linear. A análise modal utilizada para determinar os modos e frequências naturais de vibração 
da estrutura reflete o comportamento dinâmico básico dela e constitui uma indicação de como a estrutura responderá ao 
carregamento dinâmico agente sobre ela. A chave para a determinação da resposta dinâmica está fundamentada na 
hipótese da superposição modal. Ela considera a combinação linear dos modos naturais de vibração da estrutura para obter 
a resposta dinâmica. Cada modo é multiplicado por um 11peso" ou fator de participação, e a partir do conhecimento dos modos, 
frequências e desses fatores, o problema dinâmico linear está resolvido. Então, a questão central da análise dinâmica linear é a 
determinação dos fatores de participação de cada modo na resposta para a execução da superposição linear dos modos. 
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Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 21 
Tudo aquilo que discutimos no parágrafo anterior, e que pudéssemos ser testemunhas oculares na prática do trabalho de 
uma estrutura, a qual seria passível de medições, instrumentações etc., seria descrito provavelmente de outra forma por 
um matemático, com a maior pureza e rigor da linguagem matemática, embora o fenômeno objeto de análise fosse o 
mesmo, e "sem que a estrutura soubesse" sequer que está sendo alvo dessa análise. Se perguntássemos a um matemático 
o que é um sistema linear, talvez ele nos respondesse muito à vontade que é aquele que pode ser matematicamente 
expresso por uma equação diferencial linear a coeficientes constantes. Um colega mais rigoroso ainda diria que os 
coeficientes da equação diferencial linear poderiam ser até variáveis, como, por exemplo, com o tempo, e a equação não 
deixaria de ser linear por isso. 
Voltemos ao exemplo simples da mola, que normalmente é o ponto de partida do estudo da análise linear, fundamental 
para o entendimento das estruturas lineares. A mola será fundamental também para darmos início ao entendimento das 
aplicações do mundo não linear. 
O ponto central era a relação entre forças nodais e deslocamentos nodais para cada elemento individual. Essa ideia 
fundamental está relacionada ao conceito de rigidez. A constante elástica da mola, que é a medida quantitativa da rigidez 
dela, é expressa por intermédio da relação entre a força aplicada e o deslocamento medido na extremidade da mola, 
como indica a Figura 1.3. A constante elástica da mola pode ser entendida como um coeficiente de rigidez, pois é o 
coeficiente que relaciona força e deslocamento na relação F = k · d. A situação mais simples e que foi de grande interesse 
prático correspondeu ao caso em que essa relação era linear. 
, 
E importante relembrarmos um aspecto conceitua! que estará sempre presente no cálculo dos deslocamentos da es-
trutura, tanto para a análise linear que já estudamos, quanto para a análise não linear que estamos agora iniciando. A 
determinação de K, ou o conhecimento da rigidez da estrutura, constitui a tarefa fundamental da análise. Se consi-
derarmos que no caso particular da mola a sua rigidez é expressa pela constante elástica k, essa ideia toma-se clara. Por 
exemplo, se a constante elástica da mola vale J 00 Kgflmm, o significado fisico dela é que é preciso aplicar uma força de 
100 Kgfpara obter um deslocamento de 1mm. Ou seja, a rigidez da mola fornece a/orça para se obter um desloca-
mento unitário e, como consequência, a possibilidade de calcular a sua deformação. 
Assim, ao conhecer a rigidez da estrutura, a relação força x deslocamento já está previamente definida. Se soubermos 
o valor de força para proporcionar um deslocamento unitário, saberemos para qualquer outro valor de deslocamento, 
dentro do âmbito linear. Assim, a partir do conhecimento de K, o deslocamento U decorre imediatamente. Na análise 
linear, isso é verdade, pois a rigidez da estrutura não se altera à medida que o carregamento se manifesta. Ou seja, K é 
constante. 
Ao pensarmos na montagem de um modelo discretizado em elementos finitos, o primeiro passo consiste em subdividir 
a estrutura em uma montagem de elementos, de sorte que a rigidez do conjunto possa ser adequadamente contabiliza-
da. Terminada essa tarefa, podemos dizer que o ''problema já foi resolvido no âmbito dos deslocamentos unitários" à 
semelhança do raciocínio da mola. Se a rigidez foi bem representada, o cálculo dos deslocamentos, que decorre imedia-
tamente, será representativo do problema fisico; caso contrário, não. Assim, no mundo linear, quando o analista acabou 
de ''fazer a malha e aplicou as condições de contorno", o problema já está resolvido, no âmbito dos deslocamentos 
unitários, e nesse mundo proporcional, para qualquer valor do campo de deslocamentos. O gráfico representativo da 
relação entre a intensidade da força F e do deslocamento U é uma reta e matematicamente representado por uma fun-
ção linear. A inclinação da curva F x U sempre se mantém, e esta é a característica do mundo linear. Tudo é previsível 
a partir da determinação da rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada um dos seus elementos. Um bom analista, 
sabendo dentro de que limites essa hipótese é aceitável, tira grande proveito da análise linear. Quem estabelece esses 
limites e até que ponto se deve acreditar nos números obtidos da análise é o analista, nunca o software. Na análise não 
linear isso é ainda mais pertinente. 
As Expressões 1.1 representam matematicamente o que acabamos de relembrar. Para um mesmo valor de K em (a), 
aumentos de F resultam aumentos proporcionais de U, pois K é constante. Em (b) a linearidade entre F e U é garantida 
porque K é constante.Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
22 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Ou seja, o grande responsável pela hipótese do comportamento linear da estrutura é a garanâa de que a sua rigidez 
sempre se mantém inalterada durante todo o processo de carregamento dela, independente dos deslocamentos. Se 
isso não for verdade, a linearidade não pode ser garantida. E mais que isso, esse comportamento previsível, proporcio-
nal, deixará de existir. 
Força 
Reta - - - _ _ Função linear 
' ' --3 F. ---------------------. . 
2-F 
F 
o 
1 1 
u 2-U 3-U 
1 
1 
K: 
F = O 
U = O 1 
F K 
u 1 1 
1 
2-F liJii 
K: 
2-U 
3-F 
3-U 
F 2F 3F 
tg a = U = 2u = 3U = K = Constante 
K 
Comportamento linear~ K Constante! 
Deslocamento 
~------------------------------------------1 
Figura 1.3. Comportamento de uma mola linear. O conhecimento da rigidez da mola, por intermédio da sua constante k, 
permite determinar os deslocamentos para os diversos incrementas de carga. Em uma estrutura que apresente 
comportamento linear, ao dobrar a intensidade da carga atuante nela, os deslocamentos seguem a mesma 
proporção, ou seja, dobram. Se triplicarmos a carga, os deslocamentos triplicam e assim sucessivamente. 
Matematicamente, a representação entre F e U deixa de ser indicada graficamente por uma reta. Para o caso de uma 
simples mola não linear, o gráfico indicativo da relação F x U seria representado, por exemplo, pela curva da Figura 
1.4, cuja inclinação varia ponto a ponto à medida que o carregamento é aplicado, e essa inclinação é uma quantificação 
da rigidez da mola. Uma ideia prática poderia ser visualizada em um conjunto de molas em que, à medida que a estru-
tura se deforma, mais molas trabalham no conjunto, aumentando a rigidez da estrutura à medida que os incrementos de 
carga vão sendo aplicados, como indica a Figura 1.4. Poderíamos imaginar esse conjunto sendo representado por uma 
só mola, com a característica que nos diversos trechos de aplicação da carga a sua rigidez fosse diferente da rigidez do 
trecho anterior. Ou seja, na mecânica estrutural, um problema é não linear quando a rigidez da estrutura depende 
dos deslocamentos. Não há quem não tenha tomado em mãos um pequeno elástico e provocado a sua deformação. Nos 
' primeiros aumentos de carga, o elástico deforma-se facilmente, ele se apresenta ''pouco rígido". A medida que aplica-
mos incrementos de força, o elástico não se deforma na mesma proporção; sentimos claramente que ele se toma "mais 
rígido". Os deslocamentos observados em sua extremidade não crescem na mesma proporção dos aumentos de carga. 
Falando de outra forma, a rigidez da estrutura é dependente do estágio do carregamento em que ela se encontra. Este 
é apenas um caso das inúmeras manifestações do comportamento não linear das estruturas. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 23 
Como a rigidez depende dos deslocamentos, e esses deslocamentos não são conhecidos, pois são as incógnitas do pro-
blema, como avaliar as mudanças de rigidez da estrutura? Esta é a questão central da análise não linear em estruturas. 
Vamos ter de desenvolver técnicas numéricas voltadas para esse fim. Olhando para o futuro, os conceitos de métodos 
incrementais e métodos iterativos estarão presentes como os maiores protagonistas desta nova caminhada. 
Força 
/ 
/ ,, 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
a3 
Móvel 
1 K 
K 
1 
K 
Força 
K 
1 1 , K: 
-------)-· ª1 --_':: _________ - Deslocamento 
tg ª 1 = K1 
tg ª2 = K2 
tg a3 = K3 
Força 
------, ___ _ 
-í 
r--------------------------------------------1 1 
: Comportamento não linear~ K variável!!!! : 
1 '--------------------------------------------~ 
---
Conjunto de 
7 molas 
constituintes da 
estrutura. 
' A medida que a 
força é aplicada 
e o carro se . 
move, mais 
molas trabalham 
e a rigidez do 
conjunto aumenta 
Deslocamento 
Representação do 
s istema de molas por 
intermédio de un1a 
mola equivalente de 
rigidez variável. 
A rigidez da estrutura 
aumenta à medida 
que o campo de 
deslocamento 
au111enta 
Deslocan1ento 
Figura 1.4. Comportamento não linear de um sistema de várias molas. O conhecimento da rigidez do conjunto, por intermédio 
da sua constante k, nesse caso variável, permite determinar os deslocamentos para os diversos incrementas de carga. Diferentemente 
do que ocorre em uma estrutura linear, em uma estrutura que apresente comportamento não linear, ao dobrar a intensidade da carga 
atuante nela, os deslocamentos não seguem na mesma proporção, ou seja, não dobram. Se triplicarmos a carga, os deslocamentos não 
triplicam e assim sucessivamente. Neste caso simples, podemos imaginar o conjunto representado por uma só mola, que apresenta 
rigidez variável à medida que a carga vai sendo aplicada na estrutura, ou seja, à medida que os deslocamentos vão se manifestando, a 
rigidez da estrutura se altera. Em outras palavras, a rigidez depende dos deslocamentos, o que não ocorre em um problema linear. 
K=f_ (b) 
u 
(1.1) 
Uma questão é clara. A não linearidade manifesta-se em decorrência da variação da rigidez da estrutura à medida que 
o carregamento atua. Surgem então as questões fundamentais da análise não linear. 
Primeiramente, por que a rigidez da estrutura varia? E, em segundo lugar, como quantificar a variação da rigidez 
dela? 
Ao observar o gráfico não linear da Figura 1.4, poderíamos argumentar de forma simples: este comportamento poderia 
ser representado por inúmeros trechos lineares, utilizando todo o conhecimento até agora desenvolvido da análise linear 
sequencialmente. Assim, o comportamento não linear manifestado ao longo do carregamento da estrutura poderia ser 
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24 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
dividido em trechos lineares, e em cada trecho teríamos uma rigidez diferente. Essa ideia é conceitualmente correta, e é 
o grande motivador do que faremos adiante. Porém, as coisas não são tão imediatas assim. Estamos admitindo, ou "com-
binando com a estrutura", que a curva não linear entre carga e deflexão é conhecida. Esta é a grande questão da análise 
não linear. Essa curva é a resposta do problema, não é conhecida a priori, estamos buscando por intermédio do processo 
de análise não linear, é a incógnita do problema, portanto é desconhecida. Só podemos determinar esses deslocamentos 
e, como consequência, essa curva carga x deflexão, se soubermos como a rigidez varia à medida que o carregamento 
se manifesta. Mas essa informação não é conhecida. Só conhecemos a rigidez da estrutura no estágio inicial da análise. 
Daí para frente, estamos diante de um fenômeno em que o comportamento linear, proporcional, não existe mais. Então, 
a análise não linear apresenta a característica da "imprevisibilidade". 
Assim, a determinação de K, ou o conhecimento da rigidez da estrutura durante uma análise não linear, constitui no-
vamente a tare/ a fundamental da análise, porém essa rigidez varia com o carregamento. 
Vale ressaltar que na quase totalidade dos problemas a serem analisados pelo método dos elementos finitos, à seme-
lhança do que ocorreu nas análises lineares estática e dinâmica, as soluções analíticas não são conhecidas, ou seja, não 
dispomos da solução exata dos problemas. O problema só pode ser resolvido por intermédio da discretização do sistema 
contínuo, objeto de análise. Para problemas discretos com milhares de graus de liberdade, ao contrário de uma sim-
ples mola, a variação da rigidez do sistema estrutural não pode ser expressa analiticamente. Esta é a questão prática 
mais importante e constitui a maior dificuldade. Conhecemosa rigidez da estrutura, obtida a partir do conhecimento da 
rigidez de cada um dos seus elementos, válida somente para o estágio inicial das cargas aplicadas e dos consequentes 
deslocamentos. 
' A medida que a carga aumenta, os deslocamentos não aumentam na mesma proporção das cargas, o que indica que a 
rigidez não se mantém constante. Ou seja, aquela rigidez da estrutura, obtida pelo processo de montagem, tal como 
estudado no livro sobre análise linear ao efetuar a "malha" de elementos finitos, só vale nos primeiros estágios em que 
a estrutura se deforma. Ela não pode ser utilizada para prever deslocamentos, deformações e tensões ao longo de toda a 
história do carregamento. Ela deve ser atualizada, ou melhor, corrigida. A questão central é como fazer essa atualização 
ou correção da rigidez a partir do conhecimento do valor inicial dela, obtido assim que acabamos de montar o modelo e 
aplicar as condições de contorno. Esse valor inicial da rigidez sofrerá contínua alteração. Este é o grande desafio agora. 
Resumindo as ideias anteriormente discutidas: 
Análise não Linear de Estruturas 
)( A rigidez varia ao longo do carregamento. 
, 
)( E necessário saber porque a rigidez varia, ou seja, quem são os parâmetros relacionados a essa variação. 
, 
E necessário saber quantificar essa variação de rigidez. 
1.2 Por que a Rigidez da Estrutura Varia? 
Ao montarmos um modelo em elementos finitos, a tarefa fundamental da análise consiste em determinar a matriz de rigi-
dez da estrutura a partir da matriz de rigidez de cada um dos seus elementos. Já sabemos que a escolha do tipo e tamanho 
de cada elemento constituinte do conjunto estrutural influi na definição da rigidez dos diversos trechos da estrutura e, 
como consequência, na rigidez da estrutura inteira. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 25 
Já sabemos também que, para a definição dos elementos finitos constituintes do modelo, devemos definir primeira-
mente as características do material de cada elemento. Por exemplo, nas análises lineares mais simples, devemos 
fornecer o módulo de elasticidade E do material e o coeficiente de Poisson (v). Assim, dois elementos idênticos em 
termos de geometria, e que apresentem diferentes módulos de elasticidade, deformam-se diferentemente para as mes-
mas intensidades de cargas aplicadas neles. Vigas idênticas de aço e alumínio deformam-se diferentemente para as 
mesmas cargas aplicadas. A viga de alumínio sofre maiores deflexões devido ao seu menor módulo de elasticidade 
(Eaço = 21000 Kgflmm2; Ealumínio = 7000 Kgflmm2). 
, 
Além do material, outra característica define a rigidez de um dado elemento. E a sua propriedade física. Esse importante 
parâmetro é definido ao acessarmos a biblioteca de elementos do software. Por exemplo, ao definirmos a propriedade 
fisica de um elemento de treliça, devemos fornecer a área da seção transversal da barra (A). Com o módulo de elas-
ticidade do material (E), com a seção transversal da barra (A) e com o comprimento dela (L) definido ao posicionar 
o elemento no modelo entre dois nós, define-se a sua rigidez axial contabilizada na matriz de rigidez pelo parâmetro 
(E· A)/L. Da mesma forma ocorre com um elemento de viga. De posse do comprimento da viga, define-se a sua rigidez 
à flexão contabilizada na sua matriz de rigidez pelos parâmetros (E · I)/L3 nas duas direções principais, assim como a 
rigidez à torção pelo parâmetro (G · J)/L e a rigidez axial já conhecida por (E· A)/L. Esses parâmetros já são conhecidos 
do estudo da análise linear. Para definirmos a rigidez de um trecho de chapa por intermédio de um elemento, devemos 
fornecer a propriedade fisica associada ao elemento por intermédio da sua espessura, o material por intermédio do mó-
dulo de elasticidade do material, bem como as dimensões do "elemento de chapa". A definição dos elementos sólidos já 
estudados segue a mesma lógica. 
Assim, a rigidez dos elementos e, consequentemente, da estrutura, depende das características do material, das pro-
priedades físicas e de caracterísâcas geométricas. 
Em uma aplicação, quando as características do material se alteram à medida que o carregamento atua, as rigidezes 
expressas nas matrizes de rigidez dos elementos e da estrutura também se alteram. Isso então dá origem a um compor-
tamento não linear da estrutura, ou do ponto de vista do modelo, do conjunto de elementos que representa a estrutura. 
Quando as propriedades fisicas se alteram, isso também é uma fonte de não linearidades. 
Da mesma forma, alterações na geometria podem ser outra fonte de geração de não linearidades. 
Veremos a seguir uma ideia inicial de como identificar essas alterações nos diversos problemas fisicos que fazem parte 
do dia a dia das análises estruturais, e que necessitam de uma abordagem não linear para descrevê-los adequadamente. 
Os capítulos seguintes tratam essas questões com ferramentas matemáticas adequadas. A Figura 1.5 resume as ideias 
anteriormente introduzidas. Assim, em uma primeira abordagem, temos as seguintes fontes de não linearidades, apro-
fundadas nos capítulos seguintes, complementadas com alguns outros conceitos e aplicações de análise não linear: 
Análise não linear 
Alteração das características do material 
durante a evolução do carregamento 
Alteração de propriedades fisicas 
Alteração de geometria 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
26 
Define Material - JSOTROPJC 
ID 1 Title AÇO 
I 
1 
1 
1 
1 
/ 
I 
/ 
1 
1 
\ 
\ 
\ 
,, 
/ 
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,, 
\ 
,, 
,,,' ,, 
Elementos Finitos -A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
----- -- --,, -,, ' / Modelo em ' / ' I \ 
e lementos 1 
\ I 
' fi nitos / ' ,, ' ,, - ,, --- -----i--
~--- ----- -y __________ , 
A rigidez do conjunto é 
determinada a partir do 
conhecimento da rig idez 
: de cada elemento 1 _____________________ ! 
\ 
\ 
' ~~ ---------------------------------------, 
: A definição da rigidez de cada ele1nento exige 
: a definição de dois parâmetros fundan1entais 1 1 _ ___________________ ,,,,,-____________________ I 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ '' 
/ ' ,, " ' , Propriedade 
/ ' 
Material ,, ,, " '' , 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ ' Element / Property Type 
/ ' , 
/ ' 
/ ' 
/ ' [] Parabolíc Elements 
/ 
/ Líne Elemen ts Plane Elements 
/ 
/ 
/ 
/ 
" 
Ü Rod é) Shear Panei 
ô Tube Q Membrane 
(1 Curved Tube ô Bendíng Only 
Colar 55 1 Palette ••• j Layer 1 1 Type ••• 1 
-----------, O Bar IÔ I Plate 
(.1 Beam 0 Lamínate 
General Function References Nonlínear Creep 
Stiffness 
Electrícal/Optical 
Limit Stress 
Phase 
Escolha do 
tipo de 
elemento 
na biblioteca 
de elementos 
do software. 
Geon1etria e 
formulação 
do elemento 
6 Línk O Plane Strain 
0 Curved Beam O Axisymmetríc Shell 
Youngs Modulus, E 
Shear Modulus, G 
21000 
8076 
Poísson's Ratio, nu o 3 , 
Thermal 
Expansion Coeff, a O, 
l Tensíon 
l Compressíon 
l Shear 
o, 
O, 
ô Spríng/Damper ô PlotOnly 
Ô DOF Spring 
Volume Elements 
Ü Gap 
o, 0 PlotOnly O Axisymmetric 
() Solid 
-------~ Mass Density 
Damping, 2.C/Co 
[±,97E-10I l 
Other Elements 
':) Mass 
Conduc:tivity, k O, 
Speáfic Heat, Cp o, 
Heat Generation Factor o , 
o, 
Reference Temp O, 
() Mass Matrix 
Ô Rigid 
0 Stiffness Matrix 
(l Slide Une 
() Weld/Fastener 
-------------------------------------------------------------------- , 
: Se as características do material de cada elemento se alteram durante a análise, ou : 
: as propriedades do elemento também se alteram, então a rigidez de cada elemento : 
: se altera, e a rigidez da estrutura não se mantém constante. Este é um dos motivos : 
: da existência da análise não linear. Veremos outros adiante. : 
l--------------------------------------------------------------------
Figura 1.5. Aorigem de alguns comportamentos não lineares em análise estrutural. Ao montarmos o modelo em 
elementos finitos de uma estrutura, necessitamos definir o material a ser utilizado em cada elemento. Do ponto de 
vista prático, ao utilizarmos o software de análise ,cada diferente tipo de elemento é especificado na biblioteca de 
elementos do software e as propriedades do elemento devem ser fornecidas. O comportamento não linear da estrutura 
decorre do fato de que a sua rigidez altera-se à medida que o carregamento vai sendo aplicado. Isso pode ser, por exemplo, 
decorrência das mudanças dos parâmetros de definição do material durante a análise, ou das alterações de propriedade física 
dos elementos. Além disso, outros fatos podem ser geradores de não linearidades, como veremos e equacionaremos adiante. 
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Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 27 
1.3 Não Linearidades Associadas ao Material 
Nos estudos de análise linear, normalmente são revisadas as equações que envolvem deformações e deslocamentos, que 
são relações essencialmente geométricas. Em seguida, revisamos as relações entre os efeitos observados - as deforma-
ções - e suas causas - as tensões. Para isso, foi considerada a propriedade do material. Ela estava presente na equação 
constitutiva. Considerando somente materiais elásticos isotrópicos, que apresentam propriedades elásticas iguais nas 
diferentes direções, vimos que bastam apenas dois coeficientes para descrever as relações entre tensões e deformações: 
o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson. 
Em particular, alguns materiais, como, por exemplo, o aço, para pequenas deformações, apresentam comportamento 
linear entre tensões e deformações. Essa relação pode ser observada no gráfico obtido a partir de um ensaio de tração de 
um corpo de prova de aço, representado na Figura 1.6(a). Ou seja, se o material trabalha na estrutura apenas até o limite 
de proporcionalidade, de O a P, o módulo de elasticidade se mantém constante. Durante todo o processo de análise, a 
matriz de rigidez não é afetada pela propriedade do material. Se as outras causas de não linearidades citadas anterior-
mente também não estiverem presentes, a análise pode ser tratada como linear. Um pouco acima do limite de propor-
cionalidade temos o limite de escoamento do material, representado pelo ponto E, em que o corpo de prova liberado da 
carga atuante apresenta uma deformação permanente de 0,2%, como convencionado. 
Para propósitos práticos consideram-se os pontos P e E coincidentes. Se a estrutura se deforma de sorte que algumas re-
giões dela, ou a sua totalidade, passam a trabalhar acima do limite de escoamento do material, o módulo de elasticidade 
do material se modifica em função do estágio em que o carregamento se encontra. O gráfico da Figura 1.6(c) mostra que 
após o limite de escoamento ser ultrapassado, os valores do módulo de elasticidade vão se alterando, e são dados nume-
ricamente pelas tangentes à curva. Em uma estrutura em que as tensões se distribuem de modo não uniforme, podemos 
ter regiões que estão no regime elástico e outras no regime plástico. Os elementos representativos dessas regiões devem 
ter seus módulos de elasticidade constantemente atualizados durante a análise. A rigidez de cada trecho da estrutura pode 
variar durante a análise e, como consequência, a rigidez da estrutura inteira. 
O procedimento de cálculo deve atualizar a matriz de rigidez da estrutura durante a análise, que é então não linear, pois 
a rigidez não se mantém constante. Isso indica em primeira instância que a atualização da rigidez precisa ser feita por 
etapas, já que para os diversos incrementos ou aumentos de carga a rigidez da estrutura varia. Por este motivo vamos 
estudar adiante um conceito-chave da análise por elementos finitos não linear: a análise incremental. A correção da 
rigidez da estrutura é feita nos diferentes "trechos" em que a carga vai sendo aplicada. Ou seja, ao aplicarmos, por exem-
plo, uma carga de 5000 Kgf em uma estrutura, pensamos que ela pode ser aplicada em 20 intervalos de 250 Kgf, e em 
cada um desses intervalos efetua-se a correção da rigidez. A escolha do número de intervalos é uma questão conceituai 
importante em análise não linear e está vinculada ao conhecimento da natureza fisica do problema por parte do analista. 
E como fazer isso? Veremos adiante. Como dissemos antes, a rigidez da estrutura varia e não temos solução analítica 
conhecida nos modelos discretizados, então entra outra estratégia importantíssima utilizada na análise não linear: o 
problema não é resolvido dentro de um incremento de carga de uma só vez; são necessárias algumas repetições, ou ite-
rações, até conseguir atingir o equilíbrio da estrutura naquele "trecho" de carga. São os métodos iterativos introduzidos 
para esse fim. Vamos estudar essa estratégia também adiante. 
crp 
p 
I 
I 
I 
I 
I 
o 
1/ 
1 
I 
I 
I 
I 
/ cr 1 - limite de escoamento 
I 
I 
<Jp 
tga = 8 = E = constante p 
/: crp - limite de proporcionalidade 
/ 1 
/ 1 
1 
1 a 
1 
1 
1 
tp t 
(a) 
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28 
(J 
/1 
1 ... 
/, E2 
~l // 
I / 
I / 
E 
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I I ,... .,-
1 I ,... .t.: 
I I 
1 I 
1 I 
1 I 
Elástico 
/ 1 ---
1 
1 
... 1 
(b) 
-- E3 
Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
a, 
1 ª1 --ª2 
1 / -I / ,... ,... ,... .-- ,... 
1 / - .a.3 
I / ,...,...,... ----- 0,4 
/ .,..----- ---- -------· 
I / ,... ,... - ,... -- - - - - - -
.::..~~-;.,..::--=-.=..:::._----/ / - -- -r?:: 
1 
CJp - -/- 1 
/ 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 
1 1 
1 a, 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 €p 1 : 
1 1 
1--.-1 1 : .. / ... , .... ---•\-----•: 
Elástico Plástico 
(e) 
tga = E 
tga.1 = E1 
tga.2 = E2 
tga.3 = E3 
tga.4 = E4 
Figura 1.6. A origem de alguns comportamentos não lineares do material em análise estrutural. O comportamento não linear 
decorre do fato de que o módulo de elasticidade altera-se à medida que o material é submetido a tensões cada vez 
maiores. Isso pode acontecer; por exemplo, quando da ocorrência de plasticidade(c) ou material elástico não linear (b). 
Se o cálculo estrutural pretende oferecer subsídios quanto ao trabalho da estrutura até a ruptura, objetivando o enten-
dimento do seu estado limite último, ou a deformação permanente até a carga final, devemos realizar uma análise não 
linear, em que o fornecimento apenas do módulo de elasticidade no regime elástico é insuficiente. Devemos fornecer 
também o limite de escoamento e a curva tensão-deformação após o regime elástico, e outras informações referentes ao 
modo como a deformação plástica se manifesta, como veremos adiante. Com essas informações é possível atualizar a 
matriz de rigidez da estrutura. 
Outra possibilidade é representada na Figura 1.6(b ). Embora o material se mantenha elástico, é possível que a sua curva 
tensão deformação do material apresente-se como não linear. Isso acarreta mudança de rigidez da estrutura durante o 
carregamento, portanto a análise será não linear. 
1.4 Não Linearidades Associadas a Alterações de Propriedades Físicas e 
Grandes Deformações 
Embora adiante façamos a abordagem das não linearidades de forma mais rigorosa, é interessante observar por intermé-
dio de uma aplicação prática simples o quanto é importante observar alguns parâmetros indicativos do comportamento 
não linear. Vimos no volume de análise estática linear que a tensão no caso uniaxial se relaciona com a deformação 
pela lei de Hooke. Na Figura 1.7, para deformações no eixo x da barra podemos escrever <Jx =FIA= E· ex. Uma 
barra tracionada deforma-se longitudinalmente, mas ao mesmo tempo apresenta uma contração lateral, que é uma 
fração da deformação longitudinal. Já sabemos que essa fração éo coeficiente de Poisson (v). Assim, (v) = (ey/ ex) ou 
ey = V. ex =V. (Jx/ E. 
Há casos em que as variações dimensionais são pequenas, como na deformação elástica. Por outro lado, há situações 
em que as variações dimensionais são grandes, como, por exemplo, em processos de conformação como a trefilação, 
e a peça pode apresentar variações sensíveis na área de seção transversal (A). Isso quer dizer que a seção transversal 
da barra, que é uma característica de propriedade fisica associada ao elemento, deve ser atualizada durante a análise. A 
forma simples de tratamento utilizada na análise linear já não se aplica. Como incorporar este fato à análise não linear é 
objeto do que faremos adiante. Por ora, é importante identificar a presença deste problema e onde cabe a sua aplicação. 
As deformações podem ser muito grandes, ocasionando inclusive variações consideráveis no comprimento do corpo e 
deformações plásticas. Esse tipo de fenômeno é estudado adiante com detalhes, e para isso vamos utilizar ferramentas 
matemáticas adequadas. A Figura 1. 7 ilustra a barra na configuração antes e depois de deformada. Os conceitos de ten-
são e deformação, já estudados na análise linear, merecem um tratamento mais cuidadoso. Vimos que a tensão axial é 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 29 
calculada por intennédio do cociente entre a intensidade da força atuante e a área da seção transversal da barra. A área 
original da barra era tomada como referência para efetuar esse cálculo. Não havia necessidade de se avaliar a redução de 
área devido à contração lateral, pois as defonnações eram pequenas nos fenômenos cobertos pela análise linear. A defor-
mação era calculada por intennédio do cociente entre a variação total do comprimento da barra e o comprimento inicial. 
A análise linear presumia que a defonnação, que mede a taxa de variação do comprimento em relação ao comprimento 
inicial, tenha taxa de crescimento constante durante todo o processo de carregamento. Vimos no exemplo antes citado do 
"elástico", que à medida que a carga vai aumentando, para maiores valores de carga, o elástico toma-se mais "rígi,do ". 
Ou seja, a variação de comprimento da barra, para iguais incrementos de carga aplicados, é diferente em função do valor 
do comprimento em que a barra se encontra. Ou seja, o conceito de defonnação, que antes era aplicado em relação ao 
valor inicial do comprimento da barra, deve ser introduzido considerando o comprimento atual da barra. 
Ludwik, P. foi o primeiro a propor a definição de deformação verdadeira ou deformação natural, em que a variação 
do comprimento é relacionada ao comprimento instantâneo do corpo de prova em vez do comprimento original, como 
ilustra a Figura 1. 7. Da mesma fonna, a tensão que resulta da divisão do valor da força pela área original na análise linear 
é obtida pela divisão da força pela área atual . 
..--r Antes 
Depois 
L0 - comprimento original Seção antes 
F ---------------------.-----,,__--F--------,,~ 
,---tL~-~-=-=-~-~-=--~-=-~-~-=-=-~-~--~-~-=-~-~-~-=w-~_±::::::::::::::::::=::::::t::A:._~__, Ao 
L 
jM =L-L0 
"" 1-- 1 
Seção depois 
,---- - - ---- - ---- - ---- - ---- - -, 
'-------
Antes 
Def onnação linear média 6.L L-L -= o 
(Deformação de engenharia) - Lo Lo 
~ ' 
cr-_ Tensão média 
1 ª Tensão de Piola - Kirchoff 
Area 
original 
Quando a deformação é pequena, ao submetermos 
a barra a uma sucessão de "trechos" de deformação, 
a deformaçãototal acumulada é dada pela variação 
do comprimento total da barra dividida pelo 
comprimento inicial. 
Tensão 
de 
cauchy 
Verdadeira 
Força F 
cr = - -
Área atual A 
L 
Depois 
Muito depois !!! dL 
--------------------------------
L 
Neste pequeno aumento de comprimento da barra ocorreu uma deformação (dL/L). 
Considerando todos os trechos dL do início ao fim da defonnação, a deformação total 
será o so1natório de todos os "pequenos" (dL/L), ou seja, urna integral dada por 
JL dL 
L0 L 
Defor1nação verdadeira total é a soma das 
deformações verdadeiras incrementais 
Tensão Ç, Curva tensão-defonnação 
verdadeira 
o 
,... V • 
~ / Curva tensão-defonnação 
de engenharia 
Deformação 
Figura 1. 7. A ocorrência de grandes deformações é uma das mais importantes fontes de não linearidades. Os conceitos 
de deformação e tensão, sempre referidos aos valores de comprimento inicial e seção inicial do corpo na análise 
linear, devem ser tratados com mais cuidado. Isso será abordado com detalhes nos próximos capítulos. 
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30 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
A Figura 1. 7 ilustra os conceitos de deformação anteriormente mencionados, bem como de tensão. Trataremos essas 
questões em profundidade adiante, quando focalizarmos o estudo das grandes deformações, uma importantíssima fonte 
de não linearidade. 
Embora seja o objetivo mais adiante, nesta primeira abordagem do presente capítulo é essencial ter uma visão geral das 
, 
fontes mais importantes de não linearidades, de sorte a estabelecer a necessidade futura desse tipo de análise. E bom 
sempre termos em mente que faz parte do processo de modelagem da estrutura a definição do tipo de análise que mais se 
adequa ao problema de engenharia que se quer resolver. Esta é uma tarefa que jamais será terceirizada com o software; 
é uma decisão de engenharia. 
A título de complemento nesta abordagem inicial, vale mencionar que, ao trabalharmos com pequenas deformações 
( < 4 % ), as diferenças entre distintas medições delas, ou seja, deformações verdadeiras ou deformações de engenharia, 
são ignoradas, pois os seus valores são muito próximos. Faremos essas comparações adiante. A utilização do conceito de 
deformação verdadeira toma-se obrigatória ao trabalhar com materiais que exibem por excelência comportamento não 
linear. Um exemplo clássico é o caso de elastômeros, como a borracha, espumas etc. 
1.5 Não Linearidades Associadas a Alterações de Geometria -
Grandes Deslocamentos 
A Figura 1.8 representa um caso simples de uma viga engastada, sujeita à ação das forças F1 e F2 . Durante os cursos 
básicos de estática, estudamos o equilíbrio desse tipo de estrutura, considerando o conhecido diagrama de corpo livre. A 
consideração do diagrama de corpo livre de uma parte da estrutura e de cada elemento desempenhou papel fundamental 
nas montagens de elementos finitos estudadas no livro sobre análise linear. Foi um recurso importante para estabelecer 
o entendimento das equações de equilíbrio e compatibilidade das montagens de elementos. 
Uma questão muito importante, e que tem grande repercussão nos estudos das não linearidades, refere-se às hipóteses 
adotadas ao considerar o diagrama de corpo livre. Não nos ocorria fazer a pergunta: devemos montar o diagrama de 
corpo livre representando a estrutura indeformada ou deformada para a montagem das equações de equilíbrio? Normal-
, 
mente, desconsideramos este fato. E o caso representado na Figura 1.8(a). No caso (a), as equações de equilíbrio da 
viga inteira e de uma parte dela foram montadas sem considerar a configuração deformada da estrutura. Os valores de 
reações de apoio ou de forças internas foram obtidos pelas equações de equilíbrio 1. Este é o procedimento comum que 
utilizamos nos cursos básicos de resistência dos materiais. 
A observação atenta e cuidadosa da Figura 1.8(b) pode revelar algumas surpresas. Tanto no caso do cálculo das reações 
de apoio como na determinação das forças internas, alguns termos adicionais surgem nas equações de equilíbrio, que 
não foram contabilizados na Figura 1.8(a). Por exemplo, na base da estrutura, além do momento fletor F1 • H, surge 
um termo adicional dado por F2 • ~- Ou seja, a força de compressão F2 também contribui