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Avelino Alves Filho, prof. Dr. 
1 
Elementos Finitos 
A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1 ª Edição 
2 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1 ª Edição 
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Avelino Alves Filho 
Elementos Finitos 
A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
1ª Edição 
[!Jér1ca Saraiva 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1 ª Edição 
4 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação {CIP) 
{Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Alves Filho, Avelino 
Elementos finitos: a base da tecnologia CAE: análise não linear/ Avelino Alves Filho 
1. ed. -- São Paulo: Érica, 2012. 
Bibliografia. 
ISBN 978-85-365-1972-2 
1. Engenharia auxiliada por computador 2. Método dos elementos finitos 
I. Título. 
12-03459 Editado também como livro impresso 
Índice para catálogo sistemático: 
1. Elementos finitos : Método : Análise não linear : Engenharia 
2. Método dos elementos finitos : Análise não linear : Engenharia 
Copyright© 2012 da Editora Érica Ltda. 
620.00151535 
620.00151535 
CDD-620.00151535 
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Coordenação Editorial: 
Capa: 
Editoração e Finalização: 
Rosana Arruda da Silva 
Maurício S. de França 
Adriana Aguíar Santoro 
Carla de Olíveíra Moraís 
Grazíele Karina Líbomi 
Rosana Ap. A. dos Santos 
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Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Línear - Avelino Alves Fílho - 1 ª Edíção 
Dedicatória 
Aos meus filhos Gabriela e Pedro, e ao meu netinho Benício; 
' A minha mulher Silvana; 
' A memória do meu querido pai Avelino, fonte de exemplos; 
' As minhas queridas mãe e irmã, Lídia e Carmen Lídia. 
5 
"Em tudo vos tenho mostrado que assim, 
trabalhando, convém acudir os fracos e 
lembrar-se das palavras do Senhor Jesus, 
porquanto ele mesmo disse: , 
E maior felicidade dar que receber!" 
Atos dos Apóstolos 20, 35 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
6 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Agradecimentos 
Ao professor Nikolaj Lebedev, que desempenhou papel fundamental na minha formação profissional, esteja onde esti-
ver. Mostrou-me os caminhos e não atalhos. 
Ao professor doutor Carlos Alberto Nunes Dias, da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, pelo apoio amigo 
' e orientação de sempre. A memória deste grande ser humano, esteja onde estiver. Pelo que fez e pelas suas atitudes só 
pode estar em um lugar bom. 
Aos colaboradores do NCE. Em particular ao Sr. Eduardo Camargo pelo apoio na condução das multitarefas do nosso 
dia a dia, na Engenharia e nos Treinamentos do NCE, e a Sra. Daniela de Sousa pelo apoio nos nossos Programas de 
Treinamento em CAE. 
, 
Aos profissionais da Editora Erica pela dedicação, compreensão, boa vontade e respeito ao autor, na realização dos 
trabalhos deste livro. O meu contato com os profissionais desta editora, desde o primeiro livro nesta área, só tem me 
trazido satisfação. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
7 
Sumário 
Capítulo 1 - Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos 
Elementos Finitos .................................................................................................................................... 17 
1.1 O M'lllldo é não Linear ..... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........................................ ....... ....... ..... 17 
1.2 Por que a Rigidez da Estrutura Varia? .. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ......................................................................... 24 
1.3 Não Linearidades Associadas ao Material ... .............. ..................... ......................................................................... 27 
1.4 Não Linearidades Associadas a Alterações de Propriedades Físicas e Grandes Defonnações .................... ....... ..... 28 
1.5 Não Linearidades Associadas a Alterações de Geometria - Grandes Deslocamentos ................................. ....... ..... 30 
1.6 Não Linearidades Associadas à Mudança das Condições de Contorno: O Problema de Contato ............... ....... ..... 32 
1. 7 Primeira Ideia de como Atualizar a Rigidez: Entenda o que Vem Adiante .................................................. ....... ..... 3 3 
1.8 Já que o Mundo é não Linear, por que Muitas Vezes o Tratamos como Linear? ......................................... ............ 3 8 
Capítulo 2 - Solução de Problemas Básicos não Lineares ........................................................................................ 43 
2. 1 Introdução ................ .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ....... ....... ........................................................... 43 
2.2 O Problema Básico da Plasticidade -Alteração da Matriz de Rigidez da Estrutura com o Carregamento ........ ..... 44 
2.3 O Problema Básico da não Linearidade Geométrica: Quando as Grandes Deflexões Alteram a Equação 
de Equilíbrio ao longo do Carregamento e a Rigidez Varia ........................................................................ ....... ..... 5 5 
2.4 Quando a não Linearidade Geométrica Vem Acompanhada de Instabilidade da Estrutura - Os Deslocamentos 
Aumentam sem o Aumento da Carga ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..................................................................57 
2.5 Nos Problemas com Muitos Graus de Liberdade, em que não há Solução Analítica, como Detenninar 
a Evolução dos Deslocamentos em Função da Carga? Preparo da Abordagem dos Casos Gerais ............. ....... ..... 63 
2.6 O Problema Básico do Contato: Quando as Condições de Contorno Definidas no Início 
da Análise se Alteram - Como o Software Entende Isso no Meio do Processo de Análise? ....................... ....... ..... 65 
2. 7 Exercício -Aplicação Numérica de GAP /Contato ..... ....... ....... ....... .................................................................... ..... 68 
Capítulo 3 - Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos 
Unidimensionais - Generalizações ......................................................................................................... 85 
3.1 Introdução ................. ....... ....... .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ........................................................... 85 
3.2 Entenda o Acoplamento entre Cargas Axiais e Flexão a partir do Elemento de Viga: Matriz de Rigidez 
Geométrica - Generalizando ... .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............................................................. ....... ..... 90 
3.3 Uma Aplicação Prática da Teoria Utilizando a Ferramenta Computacional: Grandes Deflexões em Viga ....... ..... 97 
3.4 Mais uma Aplicação Prática da Teoria Utilizando a Ferramenta Computacional: Grandes Deflexões em 
Placa - Matriz de Rigidez Geométrica .. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................................... 108 
3.5 Mais uma Aplicação Importante: A Instabilidade Estrutural ("Flambagem") - Método do Autovalor ........ ....... ... 118 
3.6 Aplicação Prática do Método do Autovalor: Flambagem de Coluna Simples ............................................. .......... 121 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
8 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
3. 7 O Estudo das Grandes Deformações - Primeira Abordagem ... ....... ....... ................................................................ 126 
3.8 Por que Utilizar Diferentes Tipos de Tensões? A Tensão de Cauchy e a 1 ª Tensão de Piola-Kirchhoff ............... 130 
3.9 Uma Aplicação das Grandes Deformações - Materiais Hiperelásticos: A Elasticidade da Borracha .................... 138 
3.1 O Observações Finais ao Estudo das Grandes Deformações: Sistema Corrotacional - Uma Ideia Inicial ............. 149 
Capítulo 4 - Formulação Geral do Método dos Elementos Finitos para Análise não Linear: 
Introdução da Notação Tensorial ........................................................................................................ 151 
4.1 Introdução ...................................... ....... .............. ...... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... ..................................... 151 
4.2 A Caminho da Formulação Geral do Método - O Tensor Gradiente de Deformação e a 
Abordagem Lagrangiana ................ ....... ....... ....... ...... .. ...... ....... ....... ....... ................................................................ 205 
4.2.1 Conceitos Iniciais .............................. ....... ...... .. ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... .. ................................ ... 205 
4.2.2 Generalização do Tensor Gradiente de Deformação ..... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ............................. 214 
4.2.3 Teorema da Decomposição Polar de Cauchy ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ....... ....... ............... 218 
4 .3 Formulação Geral do Método dos Elementos Finitos ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...................... 220 
Capítulo 5 - Complementos sobre Plasticidade e Contato ..................................................................................... 231 
5. 1 Introdução ..................................................................................................... .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... . 231 
5 .2 Introdução aos Tópicos de Plasticidade .......................................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............... 231 
5.3 Critérios de Escoamento ........................................................................ ....... ....... ....... ...... .. ...... ............................. 233 
5 .3 .1 Critério de Von Mises para Materiais Dúcteis ............................ ....... ....... ....... .............. ....... ....... ....... ........ 23 3 
5 .3 .2 Critério de Tresca - Tensão de Cisalhamento Máxima ...................... ....... ....... .............. ....... ....... ....... ....... . 238 
5 .3 .3 Representação Geométrica dos Critérios ................................................................ ....... ....... ....... ....... ....... . 238 
5.3.4 Tensão Efetiva e Deformação Efetiva ................................................................................... ....... ....... ....... . 240 
5 .4 Relações Plásticas de Tensão e Deformação .. .................................................................................. ....... ....... ....... . 240 
5 .5 Lei da Decomposição ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... .. ............................................................ ....... ....... ....... . 241 
5.6 Equações entre Deformações e Tensões na Plasticidade - Regra de Escoamento .................... ....... ....... ....... ....... . 243 
5.6.1 Equações de Levy-Mises - Sólido Plástico Ideal ......................................................................... ....... ....... . 243 
5.6.2 Equações de Prandtl-Reuss - Sólido Elastoplástico ........ ....... .................................................................... . 245 
5.7 Lei de Encru.amento ........... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................... 247 
5.8 Uma Aplicação Prática Numérica Utilizando a Ferramenta Computacional - Não Linearidade 
Envolvendo Plasticidade .... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............................................... ....... . 249 
5 .9 Alguns Comentários Adicionais sobre Contato .... ....... ....... ....... ....... .................................................................... . 253 
5.9. 1 Introdução ...................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ................................. ....... . 253 
5 .9 .2 Conceitos Associados ao Conta.to ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .................................. 254 
5.9.3 Uma Aplicação Prática Numérica Utilizando a Ferramenta Computacional - Aplicação de Contato ........ 255 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
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Capítulo 6 - Uma Introdução a Alguns Problemas não Lineares Dinâmicos ....................................................... 261 
6. 1 Introdução ................. .............. .............. ....... ....... ....... ....... .............. .............. ......................................................... 261 
6.2 Integração Direta - Métodos Explícitos - Diferença Central ... .................................................................... ....... ... 263 
6.3 Integração Direta - Métodos Implícitos ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................................... 27 5 
Capítulo 7 - Introdução aos Métodos Iterativos ......................................................................................................279 
7. 1 Introdução ................. ....... ....... .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... .............. ......................................................... 279 
7 .2 Um pouco dos Recursos Computacionais .... ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................................... 281 
7.3 O Método de Newton-Raphson ............ ....... ....... ....... ....... .............. ....................................................................... 282 
7.4 Aplicação Numérica do Método de Newton-Raphson ...... ....... ....... .................................................................... ... 289 
7 .5 Sugestões para Estudos de Outros Métodos ....... ....... ....... ....... ....... ....................................................................... 293 
Apêndice A - Modelos em Cores - Revisão dos Conceitos Estudados no Livro .................................................... 297 
Bibliografia ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 313 
, 
lndice Remissivo ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 315 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
10 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
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Prefácio 
Este trabalho corresponde à continuidade natural dos conceitos estudados nos livros Elementos Finitos - A Base da 
Tecnologia CAE e Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE/ Análise Dinâmica. A partir deles, entraremos no , 
fascinante e imprevisível mundo da análise não linear estática e dinâmica. E o mundo no qual as respostas são obtidas 
por tentativas e iterações e sujeitas à ocorrência de instabilidades. 
A estrutura conceitua! do presente texto aproveita, a partir de exemplos simples, o entendimento geral do problema não 
linear, para posteriormente, de forma segura, imergir nas generalizações do método. 
Um dos pontos mais importantes e que contribui comprovadamente para o sucesso e progresso no uso dos recursos de 
CAE, e que tive a oportunidade de verificar nestes anos trabalhando nessa área, está relacionado aos conceitos fundamen-
tais obrigatórios na utilização da tecnologia CAE. A base conceitua! é fundamental para o aprendizado do método dos 
elementos finitos e consequentemente para o manuseio de programas. Justifica-se, portanto, a filosofia de abordagem: 
Se o engenheiro não sabe modelar o problema sem ter o computador, ele não deve fazê-lo tendo o computador. 
Se no estudo das análises lineares estática e dinâmica isso é verdade, com muito mais propriedade podemos aplicar essa 
filosofia no estudo da análise não linear. Vivemos hoje no mundo da terceirização. Sem exagero, muitos usuários ''ter-
ceirizam'' com os softwares a execução dos seus modelos. Devemos ''terceirizar'' e deixar para os softwares as rotinas 
numéricas. O entendimento do problema fisico é responsabilidade do usuário. Sem ele, sem nenhum exagero, qualquer 
análise não linear toma-se uma temeridade. Este é então o foco deste trabalho. Oferecer esse conhecimento que sirva 
como alicerce para o uso da ferramenta computacional. 
Com vistas a superar essas dificuldades, ao longo do texto introduzimos não só as técnicas matriciais envolvidas na aná-
lise não linear, como os processos incrementais e iterativos, mas também oferecemos uma revisão dos conceitos-chave 
dos fenômenos a serem tratados, sem os quais o entendimento do método dos elementos finitos em análise não linear 
ficaria comprometido. 
Espero que este trabalho possa contribuir para a formação daqueles que iniciam seus estudos nas aplicações do método 
dos elementos finitos não lineares e para aqueles que queiram fazer uma revisão dos seus conceitos. 
Avelino Alves Filho 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
12 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
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Apresentação 
Este livro aborda o método dos elementos finitos em análise não linear com uma visão equilibrada entre os fenômenos 
fisicos e os recursos da matemática aplicada, aliando o rigor científico exigido a uma linguagem clara e precisa. 
Do ponto de vista didático podemos enxergar a divisão deste livro em duas partes: 
Primeira Parte: Capítulos 1 e 2 
O estudo do método dos elementos finitos em análise não linear se inicia pela apresentação dos diversos tipos de não 
linearidades no capítulo 1. Aproveitando a apresentação do capítulo 1, o capítulo 2 introduz diversos exercícios de modo 
que o leitor possa manualmente entender e verificar como controlar os problemas das grandes deflexões, plasticidade e 
contato entre partes de uma estrutura. 
Segunda Parte: Capítulos 3 a 7 
São estudados os diversos conceitos aplicados aos casos mais gerais de elementos finitos. A aplicação da não linearidade 
geométrica é feita a partir do elemento de viga para posteriores generalizações. São tratadas as questões referentes às 
instabilidades e aplicações de grandes deformações em materiais. A formulação geral do método é tratada com o apoio 
do estudo dos tensores. Esse estudo em particular é visto sempre pelos leitores como algo intratável pela linguagem 
compacta que é normalmente introduzida sem muita cerimônia. Para facilitar a vida do leitor, partimos do caso contro-
lado da aplicação unidimensional na qual o conceito é bem visível, alçando voos maiores até o caso tridimensional. Aí 
surge o entendimento do porquê da utilização da notação tensorial ou indicia!. Desta forma, mostramos ao leitor que ela 
é incluída para facilitar a sua vida e não complicá-la. O problema é que muitas vezes este tema é introduzido pelo seu 
final, como se fosse uma coisa óbvia, e realmente não é. 
Exercícios ao Longo do Texto: Aplicações de Solução Manual e Computacional 
Este livro de análise não linear é sem dúvida um dos temas mais desafiadores de elementos finitos. Para facilitar, procu-
ramos seguir exatamente a mesma linha ou a mesma ''lógica'' dos dois livros anteriores. Colocamos, ao longo do texto, 
exercícios cuja solução é manual ou uma aplicação numérica computacional, portanto exercícios para que o usuário de 
um software qualquer possa encaminhar a solução do mesmo problema à plataforma com que ele trabalha, qualquer que 
ela seja. 
Assim, vamos aos detalhes: 
Capítulo 1: é uma introdução e não tem exercícios, pois apresenta os fenômenos de não linearidades a serem estudados 
no livro todo. 
Capítulo 2: nele já começam os exercícios, a saber: 
• Exercício de plasticidade 
• Exercício de não linearidade geométrica 
• Exercício de não linearidade geométrica com instabilidade 
• Aplicação numérica de GAP - exercício computacional 
• Exercício de aplicação numérica de GAP - exercício numérico de solução completa manual 
• Exercício de aplicação numérica de contato com solução manual - Quadro III 
• Aplicação numérica de contato com solução computacional - Quadro IV 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
14 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Capítulo 3: tem uma parte teórica mais geral, pois introduz conceitos mais pesados do método, após o capítulo 2 ter de-
senvolvido a teoria básica praticamente somente com exercícios, para introduzir este tema tão complexo de modo mais 
agradável ao leitor. A rigor, tudo que foi feito no capítulo 2 agora é efetuado de maneira mais formal. 
)( Aplicação numérica de não linearidadegeométrica com ferramenta computacional - vigas 
)( Mais uma aplicação numérica de não linearidade geométrica com ferramenta computacional - placas 
)( Mais uma aplicação computacional - aplicação prática numérica de um vagão: caso real 
)( Exercício de não linearidade geométrica com solução manual 
Capítulo 4: aborda uma das partes mais complexas da não linearidade, pois envolve a linguagem tensorial. Os exercí-
cios presentes neste capítulo são de verificação computacional. 
)( Aplicação numérica de estado uniaxial de tensões e de ferramenta computacional - Quadro X 
)( Aplicação numérica de estado biaxial de tensões e de ferramenta computacional - Quadro X 
)( Aplicação numérica de estado triaxial de tensões e de ferramenta computacional - Quadro X 
)( Exercício de tensor gradiente de deformação - solução completa manual 
)( Exercício de tensor gradiente de deformação - solução completa manual de interpretação do significado do tensor 
)( Exercício de tensor gradiente de deformação - solução completa manual de interpretação do significado do tensor 
bidimensional 
)( Exercício de tensor gradiente de deformação e teorema de decomposição de Cauchy 
Capítulo 5: aborda a plasticidade, que já foi estudada com exemplos simples no capítulo 2. 
)( Aplicação numérica de plasticidade com ferramenta computacional 
)( Aplicação numérica de contato com ferramenta computacional 
Capítulo 6: apresenta a dinâmica não linear. 
)( Exercício de análise dinâmica não linear com solução manual - método explícito 
)( Exercício de análise dinâmica não linear com solução computacional - método explícito 
)( Exercício de análise dinâmica não linear com solução computacional - método implícito e comparação com o mé-
todo explícito 
Capítulo 7: descreve os métodos iterativos. 
)( Exercício numérico manual do método de Newton-Raphson 
Apêndice: Alguns exemplos práticos - modelos em cores - revisão dos conceitos estudados no livro. 
No apêndice, a título de ilustração, são mostrados alguns modelos em elementos finitos de casos práticos, com o objetivo 
de motivar o leitor a enxergar nas aplicações representadas o uso da teoria. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
15 
Sobre o Autor 
Avelino Alves Filho, nascido em Santos, é engenheiro, mestre e doutor em Engenharia pela Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo. Foi professor dos cursos de pós-graduação do Programa de Educação Continuada em En-
genharia (PECE) da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, na área de Elementos Finitos durante 17 anos. Já 
publicou 12 livros na área de Ciências Físicas. 
, 
E diretor geral do Núcleo de Cálculos Especiais (NCE, www.nce.com.br), empresa de treinamento, implantação de tec-
nologia CAE e fornecedora de serviços na área de CAE. 
Possui grande vivência em transferência de conceitos do método dos elementos finitos, em função de sua experiência 
prática durante 37 anos em projetos de engenharia utilizando o método, aliada a uma eficiente estrutura didática, unindo 
a visão conceitua! ao software aplicativo e aos projetos piloto para empresas. 
Utilizando esta filosofia de abordagem, implantou a tecnologia CAE e desenvolveu programas de treinamento nas se-
guintes empresas: Petrobrás, Volkswagen Caminhões, Metrô de São Paulo, DaimlerChrysler (Mercedes-Benz), MWM 
Motores Diesel, Embraer, Tupy Fundições, Grupo Maxion, OPP Petroquímica, Ford Brasil, Pirelli Pneus, Samsung, 
Nokia, Indústrias Villares etc. 
Tem grande experiência em serviços de análise estrutural, aplicando os recursos do método dos elementos finitos na 
simulação do comportamento de navios, ônibus, caminhões, chassi de veículos, vagões, carros de metrô, estruturas 
metálicas e componentes mecânicos em geral. Tem prestado serviços nessa área, por intermédio do NCE, para as em-
presas Volkswagen Caminhões, Metrô de São Paulo, Bombardier, DaimlerChrysler (Mercedes-Benz), MWM Motores 
Diesel, Grupo Maxion, OPP Petroquímica, Dana Industrial, Motores Cummins, Eaton do Brasil e Inglaterra, Ford Brasil, 
ZF do Brasil etc. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
16 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear - Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
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• 
1 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos 
não Lineares em Análise Estrutural 
pelo Método dos Elementos Finitos 
Estabelecer a base para a análise não linear a partir de exemplos simples. 
Construir os primeiros modelos para a discretização de problemas não lineares. 
1.1 O Mundo é não Linear 
No estudo das análises estruturais estática e dinâmica, normalmente é focalizada a atenção na concepção dos modelos 
de cálculo lineares que permitem determinar os deslocamentos, as deformações e as tensões atuantes nos elementos de 
uma estrutura e nos componentes mecânicos em geral. O conhecimento dessas respostas é fundamental para a avaliação 
da resistência mecânica da estrutura. 
Na análise estática, a carga não variava com o tempo, ou variava tão lentamente, que estávamos apenas interessados no 
seu valor máximo, ou seja, o tempo de duração do fenômeno era irrelevante. Assim, as forças de inércia eram descon-
sideradas. Do ponto de vista energético, sabemos que as forças atuantes na estrutura, ao deslocarem os seus pontos de 
aplicação, realizam trabalhos que contabilizam em última instância a energia transferida à estrutura por meio delas. Em 
uma análise estática toda essa energia é transferida à estrutura e armazenada como energia de deformação, ou seja, as 
forças externas F atuando na estrutura são equilibradas internamente pelas forças elásticas (k · u ), em que u representa o 
deslocamento. Por isso escrevemos que F = k · u. Este é o sentido fisico desta equação. Em um sistema de um simples 
grau de liberdade, a manipulação desta expressão é simples, é a fisica básica, matematicamente representada por uma 
simples equação algébrica. Para muitos graus de liberdade, necessitamos estabelecer uma administração mais eficiente. 
Surge então a necessidade de dispor da ferramenta matricial como apoio aos trabalhos no computador, e a expressão 
anterior é então apresentada matricialmente como {F} = [KJ · {U}, um sistema de equações algébricas lineares. Porém, 
em ambos os casos, o significado fisico é o mesmo. A Figura 1.1 sintetiza essa ideia. 
Na análise dinâmica, a carga variava rapidamente com o tempo. A rapidez com que a carga era aplicada, nesse caso, 
era muito importante. Ou seja, não bastava conhecer o valor máximo da carga atuante, mas a duração da aplicação dela. 
Mas sabemos que a questão da rapidez é relativa. A referência tomada para se estabelecer o quão rápido ou lento é o 
carregamento é a definição das características dinâmicas básicas da estrutura, contabilizadas por intermédio das suas 
frequências naturais ou, em termos de tempo, pelos seus períodos naturais. Assim, na análise dinâmica, as forças de 
inércia eram consideradas e definiam a principal característica do problema dinâmico. Do ponto de vista energético, 
sabemos que as forças atuantes, ao deslocarem os seus pontos de aplicação, realizam trabalhos que contabilizam em 
última análise a energia transferida à estrutura por meio delas. Em uma análise dinâmica, toda essa energia é transferida 
à estrutura, porém ela é armazenada não somente como energia de deformação. Entram em jogo a energia cinética, asso-
ciada aos movimentos, e a parcela referente ao amortecimento. Ou seja, as forças externas F(t) atuando na estrutura são 
equilibradas internamente não somente pelas forças elásticas (k.u), mas entram em cena as parcelas das forças de inércia 
m · ü e de amortecimento c.u, sendo ü eu, respectivamente, as representações da aceleração e da velocidade. Por isso 
escrevemos que m · ü + c · u + k · u = F(t). Este é o sentido fisicodesta equação. Em um sistema de um simples grau de 
liberdade, a manipulação desta expressão é "simples" , é a fisica básica das vibrações que utiliza o recurso matemático 
das equações diferenciais lineares. A equação anterior é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda 
ordem a coeficientes constantes. Lembre-se, é linear, e sabemos como resolvê-la. Ocupamo-nos da solução dela no 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
18 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
livro de dinâmica. Para muitos graus de liberdade, necessitamos estabelecer, de novo, uma administração mais eficiente. 
Então surge a necessidade de dispor da ferramenta matricial como apoio aos trabalhos no computador, e a expressão 
anterior é apresentada matricialmente como {M] · {Ü} + {C] · {Ú} + {KJ · {U} = { F(t) }, um sistema de equações dife-
renciais lineares não homogêneas de segunda ordem. Porém, em ambos os casos, o significado físico é o mesmo. A 
Figura 1.2 sintetiza essa ideia da análise dinâmica linear. 
> ... 
' ' , e , 
, _ .,L ,L. 
Modelo 
Montage1n de elementos 
Matriz de rigidez de cada elemento i 
[K]e i 
-----' ' ' 
Matriz de rigidez da estrutura a parti r dos seus elementos 
[KJ = L [K}e i 
Sistema de equações 
\ 
\ 
1 
I 
I 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
\ 
\ 
\ 
' ' ' ---------------------~ 
{F} = {K} . {U} (Equilíbrio entre forças externas e internas) 
Condições de contorno 
Restrições e forças aplicadas 
Cálculo dos desloca1nentos 
{U} = [KJ- 1 · {F} 
e 
Reações de apoio 
Forças interna nos elementos 
Tensões 
Biblioteca de 
elementos 
z 
l: 
X 
z 
Força externa = Força interna 
"-.. / 
F=K·U 
'J 
X 
/sixo de 
referência 
Força externa 
X 
Força interna 
Eixos de 
referência locais 
do elen1ento 
~ 
/ 
I 
\ 
\ 
/ 
', "Chapa" 
' 
/ 
/ 
/ 
' ---- .... ' / ' ' / ' ,, .. ,,,,/ i ~\ 
[K]e i ~ ~&/ ,.,z_/ I 
/ \ / 
/ / 
/ ' / 
/ ' / / ....... __ .... 
Jf 
Elementos 
,/_,---f ~'-: 
1 -...e' ·,,' 
---- - - - - - - - 1 Gr--. ---... \ ,,,,, -- ..... --- \ / / ' 
,... ' / I \ 
Viga ,_ ,,,,-- 1 ' __ _ _ .,... I \ 
I \ 
- -- - ------- I \ -----· , \ 
- - _ 1 1 
Elementos 
-Rigidez-
- ..., .... 1 1 
......... ..._ 1 1 
........ . , , 
1 1 
\ I 
\ I 
\ I 
\ I 
' / ' / -- / 
Mola 
/ 
Figura 1. 1. Análise estática linear. E o mundo da proporcionalidade entre efeitos e causas e da adição dos efeitos e das causas. 
Nas análises lineares, após o cálculo da estrutura ter sido efetuado para diferentes carregamentos isolados, a resposta à ação 
conjunta deles, cada um afetado por um diferente fator de carga, é obtida pelo simples procedimento de combinação linear das 
respostas obtidas. Esta é a grande facilidade do mundo linear. Na análise não linear; como veremos, essa facilidade não existe. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 19 
Nos estudos anteriores, estáticos e dinâmicos, estavam presentes os conceitos-chave do método dos elementos finitos, 
aos quais destinamos a atenção para entendê-los e, com critério, aplicá-los na prática. Esses conceitos envolviam as téc-
nicas de discretização de sistemas contínuos, interpolação de deslocamentos,formulação do elemento finito traduzida 
pela sua função de interpolação ou função de forma, que objetivava, em última análise, a partir do conceito fisico de 
rigidez do elemento, determinar a rigidez da estrutura. Este era o passaporte para compreender o comportamento do 
todo, a partir do entendimento do comportamento de cada uma de suas partes! Vimos que os softwares de elementos 
finitos oferecem uma biblioteca de elementos do programa com diversos elementos, cada qual tentando representar 
um diferente comportamento físico conhecido da mecânica estrutural (placas, cascas, membranas, sólidos, vigas etc.). 
Esse comportamento é descrito por intermédio de funções matemáticas que, em última instância, contabilizam a rigidez 
daquele elemento individual, por intermédio da sua matriz de rigidez [k]e. Ao montarmos o modelo da estrutura, subdi-
vidindo a estrutura em elementos, determinamos a matriz de rigidez da estrutura [KJ a partir da matriz de rigidez de cada 
elemento. Na análise dinâmica, adicionalmente, entram em cena as matrizes de massa [M] e amortecimento [C]. As 
Figuras 1.1 e 1.2 resumem os passos principais da montagem dos problemas estáticos e dinâmicos até agora estudados. 
Em todas essas abordagens, uma hipótese foi tomada como o alicerce de todo o conhecimento desenvolvido até então. 
Consideramos que os fenômenos estudados são lineares, ou seja, para nós o mundo era linear. Veremos agora que nem 
sempre essa hipótese é realística. Falemos um pouco mais sobre os sistemas lineares e em que circunstâncias o mundo , 
que nos rodeia foge desse comportamento. E importante identificar isso nas aplicações da engenharia, pois assumir essa 
hipótese da linearidade, em alguns casos, pode ser um tanto caro para o desenvolvimento dos projetos, e em outros, 
muito inconveniente para o bolso e para a segurança. 
Os engenheiros têm uma visão bastante prática a respeito da linearidade em estruturas. O conceito mais imediato en-
volve a relação entre forças atuantes na estrutura e os correspondentes deslocamentos observados devido à ação delas. 
Aliás, toda a "energia" gasta nos primeiros estudos de elementos finitos era para determinar o campo de deslocamentos 
na estrutura, a partir do conhecimento da sua rigidez. Em uma estrutura que apresente comportamento linear, ao dobrar a 
intensidade da carga atuante nela, os deslocamentos seguem a mesma proporção, ou seja, dobram. Se triplicarmos a car-
ga, os deslocamentos triplicam e assim sucessivamente. Vale o mesmo raciocínio para os demais efeitos que avaliamos , 
como resposta da análise, tais como deformações, tensões etc. Este é o mundo linear. E o mundo da proporcionalidade 
entre efeitos e causas. Se a excitação é multiplicada por um certo fator numérico, a resposta também o será. E também 
é o mundo da adição dos efeitos e das causas. A resposta a duas excitações simultâneas presentes no sistema pode ser 
obtida pela soma das respostas a cada uma das excitações calculadas separadamente. Se não corresponde à realidade , 
com exatidão, em alguns casos, dentro da precisão aceitável na engenharia, pode ser considerada uma boa solução. E 
o caso prático, por exemplo, abordado no estudo da análise estática para pequenas deflexões em estruturas no regime 
elástico, sem a presença de instabilidades. Já falamos um pouco disso nos livros anteriores, mas vamos discutir com 
mais propriedade essas questões neste livro. Evidentemente, esses fenômenos, olhados em princípio pela relação mais , 
direta da relação causa-efeito, têm uma descrição formal matemática. E a linguagem da engenharia. Os engenheiros 
sempre procuram extrair dessa linguagem, expressa por intermédio de equações, o sentido fisico mais direto que elas 
representam. 
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20 Elementos Finitos -A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Massa 
----. m 
1 grau de liberdade 
Mola 
~ k 
c 
/ 
A1nortecedor 
N graus de liberdade 
.... 
35 ~~~~~~~~~~~~~~~~ 
30 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,--r-T--r-T-,-- r-, -r-,--r- , --r- , --r-
25 i - -:- -+--:--f - -:- - t --: -: - : --: - ! - -: - : - -:- -
20
. J __ L_J __ L _l , __ L_ J L-J--L-J __ L _J __ L _ 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
15 
.l_ _.1 __ 1__ 1 I __ L _J L_.J __ L_ .J __ L_ .1 __ 1__ 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 .l_ --' L '-- L - .L _.J ___ .J __ L_ .1 __ 1_ 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 __ I - 1 __ 1. - - -- _ J _ L_ J. _ 
1 1 1 1 1 1 
§' Ü - 1 - 1 - - - I - 1 - I - 1 1 1 1 ~ : 
S -5 - 1- - - - .&-- - -1 -- - I--
.._, 1 1 1 1 1 1 1 
- -1 0 - - t- - - 1-- + -- --1---1 - - ~ --1--
u I l i 1 1111 I l i 
~ -15 - -1-- -1--+-- -+-- -t-- ... - ~-- -.--1--
........ 1 l i 1 1 111 1 1 1 1 -20 - -r- - 1--1"- - -~- -1-- 4 -- ;-- "1"--1--
1 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 -25 - - r- - -1-- T --1 - r -,--r -,--r -, --r-- , --1--
1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 -30 - -r - -r-T-, - r -,--r--i--r , --r-- , --r-
1 11 1 1 1 11 11 1 1 1 1 -35 - -r - --1--T--1 - r - , --r- ,--r-,--r-'T--1--
1 1 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 40 - --r- --r -r- , -r- , -- r-, --r-,--r -,--r -
-4 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 5 - 1--. -1--1-- , --1-- 1 - 1--1 - 1--, - . --I - . --1--
--------------------- '---------------, ' 
F(t) 
\ 
/ 
I 
1 
1 
\ 
\ 
-/ 
\ 
\ 
\ 
\ 
1 
1 
I 
F(t) 
.., Força externa 
\ 
1 
1 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I Força externa 
1 ---------
I 
I 
I 
// I 
// 1 
/ K · u , 
/ 1 
I ,/ 1 / 1 
1 o 
\ C·U F d 1 , Força elástica --_, • ._ orça e 1 
\ amortecimento : 
\ 1 
\ 1 
\ 1 
Diagrama de 
corpo livre 
\ 1 
\ I 
1 
' Resultante 1 1 1 
..---'\ 
/ 
N graus de 
liberdade 
1 ,/ 1 1 J 
1 1 
: F(t) - e · u - k · u = m · ü : 
1 1 
/ 1 
/ ~ 1 / I 
I I 
/ J 
I / 
:/ [ m · ü +e· U + k · u = F(t) 1 ,/ 
\ I 
\ I 
\ I 
' ' I ,__ / ---- -------- / -------------------------~ 
.,,.--------------------------------------------- .... 
/ ' 
/ ' 
I \ 
\ 
I \ 
I \ 
1 •• O 1 
: [M]- {U}+[C]- {U}+[K]-{U} ={F(t)} : 
1 / 
\ I 
\ I 
\ I 
\ I 
\ I 
\ I 
1 1 
\ Sistema de equações diferenciais lineares : 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
: A solução deste sistema linear \ 
J é efetuada em duas etapas \ 
1 1 
I \ 
/ 1 
I \ 
I \ 
-50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 / 1 
/ 1 
,' 1 ª -Cálculo de modos e frequências naturais \ 
/ 1 
// det ([K] - Â-i [M]) = O e ([K] - Â.i [M] · {<!>}={O} , 
/ 1 
Tetnpo (seg.) 0,4s 
/ / /" Determinação das características básicas de estrutura : 
--------- 1 --/- 1 
// 1 
/ 
; I 
/ I 
I / 
I I 
/ 2ª - Cálculo da resposta dinâmica por combinação linear dos modos - A superposição modal. / 
: Resposta dinâmica = ( 12 modo) · Y 1 + (22 modo) · Y 2 + (32 modo) · Y 3 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . / \ I 
\ I 
\ / 
\ / 
' / .... -- - - -- - --- -- ,..,, .... __ -------- ------ .,..., ------------- ---- ----------------------
Figura 1.2. Análise dinâmica linear. A análise modal utilizada para determinar os modos e frequências naturais de vibração 
da estrutura reflete o comportamento dinâmico básico dela e constitui uma indicação de como a estrutura responderá ao 
carregamento dinâmico agente sobre ela. A chave para a determinação da resposta dinâmica está fundamentada na 
hipótese da superposição modal. Ela considera a combinação linear dos modos naturais de vibração da estrutura para obter 
a resposta dinâmica. Cada modo é multiplicado por um 11peso" ou fator de participação, e a partir do conhecimento dos modos, 
frequências e desses fatores, o problema dinâmico linear está resolvido. Então, a questão central da análise dinâmica linear é a 
determinação dos fatores de participação de cada modo na resposta para a execução da superposição linear dos modos. 
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Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 21 
Tudo aquilo que discutimos no parágrafo anterior, e que pudéssemos ser testemunhas oculares na prática do trabalho de 
uma estrutura, a qual seria passível de medições, instrumentações etc., seria descrito provavelmente de outra forma por 
um matemático, com a maior pureza e rigor da linguagem matemática, embora o fenômeno objeto de análise fosse o 
mesmo, e "sem que a estrutura soubesse" sequer que está sendo alvo dessa análise. Se perguntássemos a um matemático 
o que é um sistema linear, talvez ele nos respondesse muito à vontade que é aquele que pode ser matematicamente 
expresso por uma equação diferencial linear a coeficientes constantes. Um colega mais rigoroso ainda diria que os 
coeficientes da equação diferencial linear poderiam ser até variáveis, como, por exemplo, com o tempo, e a equação não 
deixaria de ser linear por isso. 
Voltemos ao exemplo simples da mola, que normalmente é o ponto de partida do estudo da análise linear, fundamental 
para o entendimento das estruturas lineares. A mola será fundamental também para darmos início ao entendimento das 
aplicações do mundo não linear. 
O ponto central era a relação entre forças nodais e deslocamentos nodais para cada elemento individual. Essa ideia 
fundamental está relacionada ao conceito de rigidez. A constante elástica da mola, que é a medida quantitativa da rigidez 
dela, é expressa por intermédio da relação entre a força aplicada e o deslocamento medido na extremidade da mola, 
como indica a Figura 1.3. A constante elástica da mola pode ser entendida como um coeficiente de rigidez, pois é o 
coeficiente que relaciona força e deslocamento na relação F = k · d. A situação mais simples e que foi de grande interesse 
prático correspondeu ao caso em que essa relação era linear. 
, 
E importante relembrarmos um aspecto conceitua! que estará sempre presente no cálculo dos deslocamentos da es-
trutura, tanto para a análise linear que já estudamos, quanto para a análise não linear que estamos agora iniciando. A 
determinação de K, ou o conhecimento da rigidez da estrutura, constitui a tarefa fundamental da análise. Se consi-
derarmos que no caso particular da mola a sua rigidez é expressa pela constante elástica k, essa ideia toma-se clara. Por 
exemplo, se a constante elástica da mola vale J 00 Kgflmm, o significado fisico dela é que é preciso aplicar uma força de 
100 Kgfpara obter um deslocamento de 1mm. Ou seja, a rigidez da mola fornece a/orça para se obter um desloca-
mento unitário e, como consequência, a possibilidade de calcular a sua deformação. 
Assim, ao conhecer a rigidez da estrutura, a relação força x deslocamento já está previamente definida. Se soubermos 
o valor de força para proporcionar um deslocamento unitário, saberemos para qualquer outro valor de deslocamento, 
dentro do âmbito linear. Assim, a partir do conhecimento de K, o deslocamento U decorre imediatamente. Na análise 
linear, isso é verdade, pois a rigidez da estrutura não se altera à medida que o carregamento se manifesta. Ou seja, K é 
constante. 
Ao pensarmos na montagem de um modelo discretizado em elementos finitos, o primeiro passo consiste em subdividir 
a estrutura em uma montagem de elementos, de sorte que a rigidez do conjunto possa ser adequadamente contabiliza-
da. Terminada essa tarefa, podemos dizer que o ''problema já foi resolvido no âmbito dos deslocamentos unitários" à 
semelhança do raciocínio da mola. Se a rigidez foi bem representada, o cálculo dos deslocamentos, que decorre imedia-
tamente, será representativo do problema fisico; caso contrário, não. Assim, no mundo linear, quando o analista acabou 
de ''fazer a malha e aplicou as condições de contorno", o problema já está resolvido, no âmbito dos deslocamentos 
unitários, e nesse mundo proporcional, para qualquer valor do campo de deslocamentos. O gráfico representativo da 
relação entre a intensidade da força F e do deslocamento U é uma reta e matematicamente representado por uma fun-
ção linear. A inclinação da curva F x U sempre se mantém, e esta é a característica do mundo linear. Tudo é previsível 
a partir da determinação da rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada um dos seus elementos. Um bom analista, 
sabendo dentro de que limites essa hipótese é aceitável, tira grande proveito da análise linear. Quem estabelece esses 
limites e até que ponto se deve acreditar nos números obtidos da análise é o analista, nunca o software. Na análise não 
linear isso é ainda mais pertinente. 
As Expressões 1.1 representam matematicamente o que acabamos de relembrar. Para um mesmo valor de K em (a), 
aumentos de F resultam aumentos proporcionais de U, pois K é constante. Em (b) a linearidade entre F e U é garantida 
porque K é constante.Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
22 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Ou seja, o grande responsável pela hipótese do comportamento linear da estrutura é a garanâa de que a sua rigidez 
sempre se mantém inalterada durante todo o processo de carregamento dela, independente dos deslocamentos. Se 
isso não for verdade, a linearidade não pode ser garantida. E mais que isso, esse comportamento previsível, proporcio-
nal, deixará de existir. 
Força 
Reta - - - _ _ Função linear 
' ' --3 F. ---------------------. . 
2-F 
F 
o 
1 1 
u 2-U 3-U 
1 
1 
K: 
F = O 
U = O 1 
F K 
u 1 1 
1 
2-F liJii 
K: 
2-U 
3-F 
3-U 
F 2F 3F 
tg a = U = 2u = 3U = K = Constante 
K 
Comportamento linear~ K Constante! 
Deslocamento 
~------------------------------------------1 
Figura 1.3. Comportamento de uma mola linear. O conhecimento da rigidez da mola, por intermédio da sua constante k, 
permite determinar os deslocamentos para os diversos incrementas de carga. Em uma estrutura que apresente 
comportamento linear, ao dobrar a intensidade da carga atuante nela, os deslocamentos seguem a mesma 
proporção, ou seja, dobram. Se triplicarmos a carga, os deslocamentos triplicam e assim sucessivamente. 
Matematicamente, a representação entre F e U deixa de ser indicada graficamente por uma reta. Para o caso de uma 
simples mola não linear, o gráfico indicativo da relação F x U seria representado, por exemplo, pela curva da Figura 
1.4, cuja inclinação varia ponto a ponto à medida que o carregamento é aplicado, e essa inclinação é uma quantificação 
da rigidez da mola. Uma ideia prática poderia ser visualizada em um conjunto de molas em que, à medida que a estru-
tura se deforma, mais molas trabalham no conjunto, aumentando a rigidez da estrutura à medida que os incrementos de 
carga vão sendo aplicados, como indica a Figura 1.4. Poderíamos imaginar esse conjunto sendo representado por uma 
só mola, com a característica que nos diversos trechos de aplicação da carga a sua rigidez fosse diferente da rigidez do 
trecho anterior. Ou seja, na mecânica estrutural, um problema é não linear quando a rigidez da estrutura depende 
dos deslocamentos. Não há quem não tenha tomado em mãos um pequeno elástico e provocado a sua deformação. Nos 
' primeiros aumentos de carga, o elástico deforma-se facilmente, ele se apresenta ''pouco rígido". A medida que aplica-
mos incrementos de força, o elástico não se deforma na mesma proporção; sentimos claramente que ele se toma "mais 
rígido". Os deslocamentos observados em sua extremidade não crescem na mesma proporção dos aumentos de carga. 
Falando de outra forma, a rigidez da estrutura é dependente do estágio do carregamento em que ela se encontra. Este 
é apenas um caso das inúmeras manifestações do comportamento não linear das estruturas. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 23 
Como a rigidez depende dos deslocamentos, e esses deslocamentos não são conhecidos, pois são as incógnitas do pro-
blema, como avaliar as mudanças de rigidez da estrutura? Esta é a questão central da análise não linear em estruturas. 
Vamos ter de desenvolver técnicas numéricas voltadas para esse fim. Olhando para o futuro, os conceitos de métodos 
incrementais e métodos iterativos estarão presentes como os maiores protagonistas desta nova caminhada. 
Força 
/ 
/ ,, 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
a3 
Móvel 
1 K 
K 
1 
K 
Força 
K 
1 1 , K: 
-------)-· ª1 --_':: _________ - Deslocamento 
tg ª 1 = K1 
tg ª2 = K2 
tg a3 = K3 
Força 
------, ___ _ 
-í 
r--------------------------------------------1 1 
: Comportamento não linear~ K variável!!!! : 
1 '--------------------------------------------~ 
---
Conjunto de 
7 molas 
constituintes da 
estrutura. 
' A medida que a 
força é aplicada 
e o carro se . 
move, mais 
molas trabalham 
e a rigidez do 
conjunto aumenta 
Deslocamento 
Representação do 
s istema de molas por 
intermédio de un1a 
mola equivalente de 
rigidez variável. 
A rigidez da estrutura 
aumenta à medida 
que o campo de 
deslocamento 
au111enta 
Deslocan1ento 
Figura 1.4. Comportamento não linear de um sistema de várias molas. O conhecimento da rigidez do conjunto, por intermédio 
da sua constante k, nesse caso variável, permite determinar os deslocamentos para os diversos incrementas de carga. Diferentemente 
do que ocorre em uma estrutura linear, em uma estrutura que apresente comportamento não linear, ao dobrar a intensidade da carga 
atuante nela, os deslocamentos não seguem na mesma proporção, ou seja, não dobram. Se triplicarmos a carga, os deslocamentos não 
triplicam e assim sucessivamente. Neste caso simples, podemos imaginar o conjunto representado por uma só mola, que apresenta 
rigidez variável à medida que a carga vai sendo aplicada na estrutura, ou seja, à medida que os deslocamentos vão se manifestando, a 
rigidez da estrutura se altera. Em outras palavras, a rigidez depende dos deslocamentos, o que não ocorre em um problema linear. 
K=f_ (b) 
u 
(1.1) 
Uma questão é clara. A não linearidade manifesta-se em decorrência da variação da rigidez da estrutura à medida que 
o carregamento atua. Surgem então as questões fundamentais da análise não linear. 
Primeiramente, por que a rigidez da estrutura varia? E, em segundo lugar, como quantificar a variação da rigidez 
dela? 
Ao observar o gráfico não linear da Figura 1.4, poderíamos argumentar de forma simples: este comportamento poderia 
ser representado por inúmeros trechos lineares, utilizando todo o conhecimento até agora desenvolvido da análise linear 
sequencialmente. Assim, o comportamento não linear manifestado ao longo do carregamento da estrutura poderia ser 
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24 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
dividido em trechos lineares, e em cada trecho teríamos uma rigidez diferente. Essa ideia é conceitualmente correta, e é 
o grande motivador do que faremos adiante. Porém, as coisas não são tão imediatas assim. Estamos admitindo, ou "com-
binando com a estrutura", que a curva não linear entre carga e deflexão é conhecida. Esta é a grande questão da análise 
não linear. Essa curva é a resposta do problema, não é conhecida a priori, estamos buscando por intermédio do processo 
de análise não linear, é a incógnita do problema, portanto é desconhecida. Só podemos determinar esses deslocamentos 
e, como consequência, essa curva carga x deflexão, se soubermos como a rigidez varia à medida que o carregamento 
se manifesta. Mas essa informação não é conhecida. Só conhecemos a rigidez da estrutura no estágio inicial da análise. 
Daí para frente, estamos diante de um fenômeno em que o comportamento linear, proporcional, não existe mais. Então, 
a análise não linear apresenta a característica da "imprevisibilidade". 
Assim, a determinação de K, ou o conhecimento da rigidez da estrutura durante uma análise não linear, constitui no-
vamente a tare/ a fundamental da análise, porém essa rigidez varia com o carregamento. 
Vale ressaltar que na quase totalidade dos problemas a serem analisados pelo método dos elementos finitos, à seme-
lhança do que ocorreu nas análises lineares estática e dinâmica, as soluções analíticas não são conhecidas, ou seja, não 
dispomos da solução exata dos problemas. O problema só pode ser resolvido por intermédio da discretização do sistema 
contínuo, objeto de análise. Para problemas discretos com milhares de graus de liberdade, ao contrário de uma sim-
ples mola, a variação da rigidez do sistema estrutural não pode ser expressa analiticamente. Esta é a questão prática 
mais importante e constitui a maior dificuldade. Conhecemosa rigidez da estrutura, obtida a partir do conhecimento da 
rigidez de cada um dos seus elementos, válida somente para o estágio inicial das cargas aplicadas e dos consequentes 
deslocamentos. 
' A medida que a carga aumenta, os deslocamentos não aumentam na mesma proporção das cargas, o que indica que a 
rigidez não se mantém constante. Ou seja, aquela rigidez da estrutura, obtida pelo processo de montagem, tal como 
estudado no livro sobre análise linear ao efetuar a "malha" de elementos finitos, só vale nos primeiros estágios em que 
a estrutura se deforma. Ela não pode ser utilizada para prever deslocamentos, deformações e tensões ao longo de toda a 
história do carregamento. Ela deve ser atualizada, ou melhor, corrigida. A questão central é como fazer essa atualização 
ou correção da rigidez a partir do conhecimento do valor inicial dela, obtido assim que acabamos de montar o modelo e 
aplicar as condições de contorno. Esse valor inicial da rigidez sofrerá contínua alteração. Este é o grande desafio agora. 
Resumindo as ideias anteriormente discutidas: 
Análise não Linear de Estruturas 
)( A rigidez varia ao longo do carregamento. 
, 
)( E necessário saber porque a rigidez varia, ou seja, quem são os parâmetros relacionados a essa variação. 
, 
E necessário saber quantificar essa variação de rigidez. 
1.2 Por que a Rigidez da Estrutura Varia? 
Ao montarmos um modelo em elementos finitos, a tarefa fundamental da análise consiste em determinar a matriz de rigi-
dez da estrutura a partir da matriz de rigidez de cada um dos seus elementos. Já sabemos que a escolha do tipo e tamanho 
de cada elemento constituinte do conjunto estrutural influi na definição da rigidez dos diversos trechos da estrutura e, 
como consequência, na rigidez da estrutura inteira. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 25 
Já sabemos também que, para a definição dos elementos finitos constituintes do modelo, devemos definir primeira-
mente as características do material de cada elemento. Por exemplo, nas análises lineares mais simples, devemos 
fornecer o módulo de elasticidade E do material e o coeficiente de Poisson (v). Assim, dois elementos idênticos em 
termos de geometria, e que apresentem diferentes módulos de elasticidade, deformam-se diferentemente para as mes-
mas intensidades de cargas aplicadas neles. Vigas idênticas de aço e alumínio deformam-se diferentemente para as 
mesmas cargas aplicadas. A viga de alumínio sofre maiores deflexões devido ao seu menor módulo de elasticidade 
(Eaço = 21000 Kgflmm2; Ealumínio = 7000 Kgflmm2). 
, 
Além do material, outra característica define a rigidez de um dado elemento. E a sua propriedade física. Esse importante 
parâmetro é definido ao acessarmos a biblioteca de elementos do software. Por exemplo, ao definirmos a propriedade 
fisica de um elemento de treliça, devemos fornecer a área da seção transversal da barra (A). Com o módulo de elas-
ticidade do material (E), com a seção transversal da barra (A) e com o comprimento dela (L) definido ao posicionar 
o elemento no modelo entre dois nós, define-se a sua rigidez axial contabilizada na matriz de rigidez pelo parâmetro 
(E· A)/L. Da mesma forma ocorre com um elemento de viga. De posse do comprimento da viga, define-se a sua rigidez 
à flexão contabilizada na sua matriz de rigidez pelos parâmetros (E · I)/L3 nas duas direções principais, assim como a 
rigidez à torção pelo parâmetro (G · J)/L e a rigidez axial já conhecida por (E· A)/L. Esses parâmetros já são conhecidos 
do estudo da análise linear. Para definirmos a rigidez de um trecho de chapa por intermédio de um elemento, devemos 
fornecer a propriedade fisica associada ao elemento por intermédio da sua espessura, o material por intermédio do mó-
dulo de elasticidade do material, bem como as dimensões do "elemento de chapa". A definição dos elementos sólidos já 
estudados segue a mesma lógica. 
Assim, a rigidez dos elementos e, consequentemente, da estrutura, depende das características do material, das pro-
priedades físicas e de caracterísâcas geométricas. 
Em uma aplicação, quando as características do material se alteram à medida que o carregamento atua, as rigidezes 
expressas nas matrizes de rigidez dos elementos e da estrutura também se alteram. Isso então dá origem a um compor-
tamento não linear da estrutura, ou do ponto de vista do modelo, do conjunto de elementos que representa a estrutura. 
Quando as propriedades fisicas se alteram, isso também é uma fonte de não linearidades. 
Da mesma forma, alterações na geometria podem ser outra fonte de geração de não linearidades. 
Veremos a seguir uma ideia inicial de como identificar essas alterações nos diversos problemas fisicos que fazem parte 
do dia a dia das análises estruturais, e que necessitam de uma abordagem não linear para descrevê-los adequadamente. 
Os capítulos seguintes tratam essas questões com ferramentas matemáticas adequadas. A Figura 1.5 resume as ideias 
anteriormente introduzidas. Assim, em uma primeira abordagem, temos as seguintes fontes de não linearidades, apro-
fundadas nos capítulos seguintes, complementadas com alguns outros conceitos e aplicações de análise não linear: 
Análise não linear 
Alteração das características do material 
durante a evolução do carregamento 
Alteração de propriedades fisicas 
Alteração de geometria 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
26 
Define Material - JSOTROPJC 
ID 1 Title AÇO 
I 
1 
1 
1 
1 
/ 
I 
/ 
1 
1 
\ 
\ 
\ 
,, 
/ 
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\ 
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\ 
,, 
,,,' ,, 
Elementos Finitos -A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
----- -- --,, -,, ' / Modelo em ' / ' I \ 
e lementos 1 
\ I 
' fi nitos / ' ,, ' ,, - ,, --- -----i--
~--- ----- -y __________ , 
A rigidez do conjunto é 
determinada a partir do 
conhecimento da rig idez 
: de cada elemento 1 _____________________ ! 
\ 
\ 
' ~~ ---------------------------------------, 
: A definição da rigidez de cada ele1nento exige 
: a definição de dois parâmetros fundan1entais 1 1 _ ___________________ ,,,,,-____________________ I 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ '' 
/ ' ,, " ' , Propriedade 
/ ' 
Material ,, ,, " '' , 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ ' 
/ ' Element / Property Type 
/ ' , 
/ ' 
/ ' 
/ ' [] Parabolíc Elements 
/ 
/ Líne Elemen ts Plane Elements 
/ 
/ 
/ 
/ 
" 
Ü Rod é) Shear Panei 
ô Tube Q Membrane 
(1 Curved Tube ô Bendíng Only 
Colar 55 1 Palette ••• j Layer 1 1 Type ••• 1 
-----------, O Bar IÔ I Plate 
(.1 Beam 0 Lamínate 
General Function References Nonlínear Creep 
Stiffness 
Electrícal/Optical 
Limit Stress 
Phase 
Escolha do 
tipo de 
elemento 
na biblioteca 
de elementos 
do software. 
Geon1etria e 
formulação 
do elemento 
6 Línk O Plane Strain 
0 Curved Beam O Axisymmetríc Shell 
Youngs Modulus, E 
Shear Modulus, G 
21000 
8076 
Poísson's Ratio, nu o 3 , 
Thermal 
Expansion Coeff, a O, 
l Tensíon 
l Compressíon 
l Shear 
o, 
O, 
ô Spríng/Damper ô PlotOnly 
Ô DOF Spring 
Volume Elements 
Ü Gap 
o, 0 PlotOnly O Axisymmetric 
() Solid 
-------~ Mass Density 
Damping, 2.C/Co 
[±,97E-10I l 
Other Elements 
':) Mass 
Conduc:tivity, k O, 
Speáfic Heat, Cp o, 
Heat Generation Factor o , 
o, 
Reference Temp O, 
() Mass Matrix 
Ô Rigid 
0 Stiffness Matrix 
(l Slide Une 
() Weld/Fastener 
-------------------------------------------------------------------- , 
: Se as características do material de cada elemento se alteram durante a análise, ou : 
: as propriedades do elemento também se alteram, então a rigidez de cada elemento : 
: se altera, e a rigidez da estrutura não se mantém constante. Este é um dos motivos : 
: da existência da análise não linear. Veremos outros adiante. : 
l--------------------------------------------------------------------
Figura 1.5. Aorigem de alguns comportamentos não lineares em análise estrutural. Ao montarmos o modelo em 
elementos finitos de uma estrutura, necessitamos definir o material a ser utilizado em cada elemento. Do ponto de 
vista prático, ao utilizarmos o software de análise ,cada diferente tipo de elemento é especificado na biblioteca de 
elementos do software e as propriedades do elemento devem ser fornecidas. O comportamento não linear da estrutura 
decorre do fato de que a sua rigidez altera-se à medida que o carregamento vai sendo aplicado. Isso pode ser, por exemplo, 
decorrência das mudanças dos parâmetros de definição do material durante a análise, ou das alterações de propriedade física 
dos elementos. Além disso, outros fatos podem ser geradores de não linearidades, como veremos e equacionaremos adiante. 
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Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 27 
1.3 Não Linearidades Associadas ao Material 
Nos estudos de análise linear, normalmente são revisadas as equações que envolvem deformações e deslocamentos, que 
são relações essencialmente geométricas. Em seguida, revisamos as relações entre os efeitos observados - as deforma-
ções - e suas causas - as tensões. Para isso, foi considerada a propriedade do material. Ela estava presente na equação 
constitutiva. Considerando somente materiais elásticos isotrópicos, que apresentam propriedades elásticas iguais nas 
diferentes direções, vimos que bastam apenas dois coeficientes para descrever as relações entre tensões e deformações: 
o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson. 
Em particular, alguns materiais, como, por exemplo, o aço, para pequenas deformações, apresentam comportamento 
linear entre tensões e deformações. Essa relação pode ser observada no gráfico obtido a partir de um ensaio de tração de 
um corpo de prova de aço, representado na Figura 1.6(a). Ou seja, se o material trabalha na estrutura apenas até o limite 
de proporcionalidade, de O a P, o módulo de elasticidade se mantém constante. Durante todo o processo de análise, a 
matriz de rigidez não é afetada pela propriedade do material. Se as outras causas de não linearidades citadas anterior-
mente também não estiverem presentes, a análise pode ser tratada como linear. Um pouco acima do limite de propor-
cionalidade temos o limite de escoamento do material, representado pelo ponto E, em que o corpo de prova liberado da 
carga atuante apresenta uma deformação permanente de 0,2%, como convencionado. 
Para propósitos práticos consideram-se os pontos P e E coincidentes. Se a estrutura se deforma de sorte que algumas re-
giões dela, ou a sua totalidade, passam a trabalhar acima do limite de escoamento do material, o módulo de elasticidade 
do material se modifica em função do estágio em que o carregamento se encontra. O gráfico da Figura 1.6(c) mostra que 
após o limite de escoamento ser ultrapassado, os valores do módulo de elasticidade vão se alterando, e são dados nume-
ricamente pelas tangentes à curva. Em uma estrutura em que as tensões se distribuem de modo não uniforme, podemos 
ter regiões que estão no regime elástico e outras no regime plástico. Os elementos representativos dessas regiões devem 
ter seus módulos de elasticidade constantemente atualizados durante a análise. A rigidez de cada trecho da estrutura pode 
variar durante a análise e, como consequência, a rigidez da estrutura inteira. 
O procedimento de cálculo deve atualizar a matriz de rigidez da estrutura durante a análise, que é então não linear, pois 
a rigidez não se mantém constante. Isso indica em primeira instância que a atualização da rigidez precisa ser feita por 
etapas, já que para os diversos incrementos ou aumentos de carga a rigidez da estrutura varia. Por este motivo vamos 
estudar adiante um conceito-chave da análise por elementos finitos não linear: a análise incremental. A correção da 
rigidez da estrutura é feita nos diferentes "trechos" em que a carga vai sendo aplicada. Ou seja, ao aplicarmos, por exem-
plo, uma carga de 5000 Kgf em uma estrutura, pensamos que ela pode ser aplicada em 20 intervalos de 250 Kgf, e em 
cada um desses intervalos efetua-se a correção da rigidez. A escolha do número de intervalos é uma questão conceituai 
importante em análise não linear e está vinculada ao conhecimento da natureza fisica do problema por parte do analista. 
E como fazer isso? Veremos adiante. Como dissemos antes, a rigidez da estrutura varia e não temos solução analítica 
conhecida nos modelos discretizados, então entra outra estratégia importantíssima utilizada na análise não linear: o 
problema não é resolvido dentro de um incremento de carga de uma só vez; são necessárias algumas repetições, ou ite-
rações, até conseguir atingir o equilíbrio da estrutura naquele "trecho" de carga. São os métodos iterativos introduzidos 
para esse fim. Vamos estudar essa estratégia também adiante. 
crp 
p 
I 
I 
I 
I 
I 
o 
1/ 
1 
I 
I 
I 
I 
/ cr 1 - limite de escoamento 
I 
I 
<Jp 
tga = 8 = E = constante p 
/: crp - limite de proporcionalidade 
/ 1 
/ 1 
1 
1 a 
1 
1 
1 
tp t 
(a) 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
28 
(J 
/1 
1 ... 
/, E2 
~l // 
I / 
I / 
E 
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I / 
I I / 
~ 
I I ,... .,-
1 I ,... .t.: 
I I 
1 I 
1 I 
1 I 
Elástico 
/ 1 ---
1 
1 
... 1 
(b) 
-- E3 
Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
a, 
1 ª1 --ª2 
1 / -I / ,... ,... ,... .-- ,... 
1 / - .a.3 
I / ,...,...,... ----- 0,4 
/ .,..----- ---- -------· 
I / ,... ,... - ,... -- - - - - - -
.::..~~-;.,..::--=-.=..:::._----/ / - -- -r?:: 
1 
CJp - -/- 1 
/ 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 
1 1 
1 a, 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 €p 1 : 
1 1 
1--.-1 1 : .. / ... , .... ---•\-----•: 
Elástico Plástico 
(e) 
tga = E 
tga.1 = E1 
tga.2 = E2 
tga.3 = E3 
tga.4 = E4 
Figura 1.6. A origem de alguns comportamentos não lineares do material em análise estrutural. O comportamento não linear 
decorre do fato de que o módulo de elasticidade altera-se à medida que o material é submetido a tensões cada vez 
maiores. Isso pode acontecer; por exemplo, quando da ocorrência de plasticidade(c) ou material elástico não linear (b). 
Se o cálculo estrutural pretende oferecer subsídios quanto ao trabalho da estrutura até a ruptura, objetivando o enten-
dimento do seu estado limite último, ou a deformação permanente até a carga final, devemos realizar uma análise não 
linear, em que o fornecimento apenas do módulo de elasticidade no regime elástico é insuficiente. Devemos fornecer 
também o limite de escoamento e a curva tensão-deformação após o regime elástico, e outras informações referentes ao 
modo como a deformação plástica se manifesta, como veremos adiante. Com essas informações é possível atualizar a 
matriz de rigidez da estrutura. 
Outra possibilidade é representada na Figura 1.6(b ). Embora o material se mantenha elástico, é possível que a sua curva 
tensão deformação do material apresente-se como não linear. Isso acarreta mudança de rigidez da estrutura durante o 
carregamento, portanto a análise será não linear. 
1.4 Não Linearidades Associadas a Alterações de Propriedades Físicas e 
Grandes Deformações 
Embora adiante façamos a abordagem das não linearidades de forma mais rigorosa, é interessante observar por intermé-
dio de uma aplicação prática simples o quanto é importante observar alguns parâmetros indicativos do comportamento 
não linear. Vimos no volume de análise estática linear que a tensão no caso uniaxial se relaciona com a deformação 
pela lei de Hooke. Na Figura 1.7, para deformações no eixo x da barra podemos escrever <Jx =FIA= E· ex. Uma 
barra tracionada deforma-se longitudinalmente, mas ao mesmo tempo apresenta uma contração lateral, que é uma 
fração da deformação longitudinal. Já sabemos que essa fração éo coeficiente de Poisson (v). Assim, (v) = (ey/ ex) ou 
ey = V. ex =V. (Jx/ E. 
Há casos em que as variações dimensionais são pequenas, como na deformação elástica. Por outro lado, há situações 
em que as variações dimensionais são grandes, como, por exemplo, em processos de conformação como a trefilação, 
e a peça pode apresentar variações sensíveis na área de seção transversal (A). Isso quer dizer que a seção transversal 
da barra, que é uma característica de propriedade fisica associada ao elemento, deve ser atualizada durante a análise. A 
forma simples de tratamento utilizada na análise linear já não se aplica. Como incorporar este fato à análise não linear é 
objeto do que faremos adiante. Por ora, é importante identificar a presença deste problema e onde cabe a sua aplicação. 
As deformações podem ser muito grandes, ocasionando inclusive variações consideráveis no comprimento do corpo e 
deformações plásticas. Esse tipo de fenômeno é estudado adiante com detalhes, e para isso vamos utilizar ferramentas 
matemáticas adequadas. A Figura 1. 7 ilustra a barra na configuração antes e depois de deformada. Os conceitos de ten-
são e deformação, já estudados na análise linear, merecem um tratamento mais cuidadoso. Vimos que a tensão axial é 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 29 
calculada por intennédio do cociente entre a intensidade da força atuante e a área da seção transversal da barra. A área 
original da barra era tomada como referência para efetuar esse cálculo. Não havia necessidade de se avaliar a redução de 
área devido à contração lateral, pois as defonnações eram pequenas nos fenômenos cobertos pela análise linear. A defor-
mação era calculada por intennédio do cociente entre a variação total do comprimento da barra e o comprimento inicial. 
A análise linear presumia que a defonnação, que mede a taxa de variação do comprimento em relação ao comprimento 
inicial, tenha taxa de crescimento constante durante todo o processo de carregamento. Vimos no exemplo antes citado do 
"elástico", que à medida que a carga vai aumentando, para maiores valores de carga, o elástico toma-se mais "rígi,do ". 
Ou seja, a variação de comprimento da barra, para iguais incrementos de carga aplicados, é diferente em função do valor 
do comprimento em que a barra se encontra. Ou seja, o conceito de defonnação, que antes era aplicado em relação ao 
valor inicial do comprimento da barra, deve ser introduzido considerando o comprimento atual da barra. 
Ludwik, P. foi o primeiro a propor a definição de deformação verdadeira ou deformação natural, em que a variação 
do comprimento é relacionada ao comprimento instantâneo do corpo de prova em vez do comprimento original, como 
ilustra a Figura 1. 7. Da mesma fonna, a tensão que resulta da divisão do valor da força pela área original na análise linear 
é obtida pela divisão da força pela área atual . 
..--r Antes 
Depois 
L0 - comprimento original Seção antes 
F ---------------------.-----,,__--F--------,,~ 
,---tL~-~-=-=-~-~-=--~-=-~-~-=-=-~-~--~-~-=-~-~-~-=w-~_±::::::::::::::::::=::::::t::A:._~__, Ao 
L 
jM =L-L0 
"" 1-- 1 
Seção depois 
,---- - - ---- - ---- - ---- - ---- - -, 
'-------
Antes 
Def onnação linear média 6.L L-L -= o 
(Deformação de engenharia) - Lo Lo 
~ ' 
cr-_ Tensão média 
1 ª Tensão de Piola - Kirchoff 
Area 
original 
Quando a deformação é pequena, ao submetermos 
a barra a uma sucessão de "trechos" de deformação, 
a deformaçãototal acumulada é dada pela variação 
do comprimento total da barra dividida pelo 
comprimento inicial. 
Tensão 
de 
cauchy 
Verdadeira 
Força F 
cr = - -
Área atual A 
L 
Depois 
Muito depois !!! dL 
--------------------------------
L 
Neste pequeno aumento de comprimento da barra ocorreu uma deformação (dL/L). 
Considerando todos os trechos dL do início ao fim da defonnação, a deformação total 
será o so1natório de todos os "pequenos" (dL/L), ou seja, urna integral dada por 
JL dL 
L0 L 
Defor1nação verdadeira total é a soma das 
deformações verdadeiras incrementais 
Tensão Ç, Curva tensão-defonnação 
verdadeira 
o 
,... V • 
~ / Curva tensão-defonnação 
de engenharia 
Deformação 
Figura 1. 7. A ocorrência de grandes deformações é uma das mais importantes fontes de não linearidades. Os conceitos 
de deformação e tensão, sempre referidos aos valores de comprimento inicial e seção inicial do corpo na análise 
linear, devem ser tratados com mais cuidado. Isso será abordado com detalhes nos próximos capítulos. 
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30 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
A Figura 1. 7 ilustra os conceitos de deformação anteriormente mencionados, bem como de tensão. Trataremos essas 
questões em profundidade adiante, quando focalizarmos o estudo das grandes deformações, uma importantíssima fonte 
de não linearidade. 
Embora seja o objetivo mais adiante, nesta primeira abordagem do presente capítulo é essencial ter uma visão geral das 
, 
fontes mais importantes de não linearidades, de sorte a estabelecer a necessidade futura desse tipo de análise. E bom 
sempre termos em mente que faz parte do processo de modelagem da estrutura a definição do tipo de análise que mais se 
adequa ao problema de engenharia que se quer resolver. Esta é uma tarefa que jamais será terceirizada com o software; 
é uma decisão de engenharia. 
A título de complemento nesta abordagem inicial, vale mencionar que, ao trabalharmos com pequenas deformações 
( < 4 % ), as diferenças entre distintas medições delas, ou seja, deformações verdadeiras ou deformações de engenharia, 
são ignoradas, pois os seus valores são muito próximos. Faremos essas comparações adiante. A utilização do conceito de 
deformação verdadeira toma-se obrigatória ao trabalhar com materiais que exibem por excelência comportamento não 
linear. Um exemplo clássico é o caso de elastômeros, como a borracha, espumas etc. 
1.5 Não Linearidades Associadas a Alterações de Geometria -
Grandes Deslocamentos 
A Figura 1.8 representa um caso simples de uma viga engastada, sujeita à ação das forças F1 e F2 . Durante os cursos 
básicos de estática, estudamos o equilíbrio desse tipo de estrutura, considerando o conhecido diagrama de corpo livre. A 
consideração do diagrama de corpo livre de uma parte da estrutura e de cada elemento desempenhou papel fundamental 
nas montagens de elementos finitos estudadas no livro sobre análise linear. Foi um recurso importante para estabelecer 
o entendimento das equações de equilíbrio e compatibilidade das montagens de elementos. 
Uma questão muito importante, e que tem grande repercussão nos estudos das não linearidades, refere-se às hipóteses 
adotadas ao considerar o diagrama de corpo livre. Não nos ocorria fazer a pergunta: devemos montar o diagrama de 
corpo livre representando a estrutura indeformada ou deformada para a montagem das equações de equilíbrio? Normal-
, 
mente, desconsideramos este fato. E o caso representado na Figura 1.8(a). No caso (a), as equações de equilíbrio da 
viga inteira e de uma parte dela foram montadas sem considerar a configuração deformada da estrutura. Os valores de 
reações de apoio ou de forças internas foram obtidos pelas equações de equilíbrio 1. Este é o procedimento comum que 
utilizamos nos cursos básicos de resistência dos materiais. 
A observação atenta e cuidadosa da Figura 1.8(b) pode revelar algumas surpresas. Tanto no caso do cálculo das reações 
de apoio como na determinação das forças internas, alguns termos adicionais surgem nas equações de equilíbrio, que 
não foram contabilizados na Figura 1.8(a). Por exemplo, na base da estrutura, além do momento fletor F1 • H, surge 
um termo adicional dado por F2 • ~- Ou seja, a força de compressão F2 também contribuipara a flexão da viga. Os 
valores de reações de apoio ou de forças internas agora são obtidos pelas equações de equilíbrio li. Essa contribuição 
não foi contabilizada anteriormente, pois as equações de equilíbrio foram montadas na condição indeformada. Muitas 
vezes adotamos essa hipótese simplificadora na prática e desenvolvemos projetos com base nessa limitação. O que dá 
confiança de trabalharmos com segurança é que, para que isso possa ser considerado, devemos adotar que as deflexões 
sejam pequenas. Assim, o deslocamento ~ é uma fração muito pequena de H, de modo que o termo F2- ~ é considera-, 
do desprezível em face da outra parcela. E por isso que em certas normas de cálculo de vigas em estruturas metálicas 
impõe-se que a flecha máxima não ultrapasse uma certa porcentagem do vão livre. Esta é a garantia de que as equações 
utilizadas e disponíveis nas tabelas de resistência dos materiais possam ser aplicadas dentro dos limites da análise linear, 
pois para deflexões pequenas a proporcionalidade entre efeitos e causas se mantém. Se os valores de flechas ultrapassam 
os valores limites aceitáveis para a análise linear, as equações desta não se aplicam. Se quisermos utilizar as equações 
da análise linear, devemos reforçar a estrutura e verificar novamente as deflexões. Se estão dentro dos valores recomen-
dados, os resultados são válidos. Caso contrário, são números ''frios" que não têm nenhuma vinculação com a realidade , 
fisica. E importante mencionar que existe, sim, a possibilidade de calcular a estrutura sob os efeitos de valores grandes 
de ~ ou seja, grandes de.flexões, porém as equações de equilíbrio da análise linear não se aplicam. Devemos considerar 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 31 
as equações de equilíbrio II. Então surgem novas questões, que são o ponto central da discussão do exemplo represen-
tado na Figura 1.8(b ). 
(a) 
h 
H 
Q+--fi":"" --A----------
1 1 
' 'N 1 1 
- Q_,_._ __ _ o 1 1 o __.,_J-----~~-------------
R, t Rz 
~ Mo 
Equilíbrio I 
Diagrama de corpo livre da viga inteira - PO: 
R 1 = F 1 ; Rz = F 2 ; Mo = F 1 . H 
Diagrama de corpo livre do trecho PA: 
Q = F1 ;N = F2 ;MA=F1 -h 
H 
1 : 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
' 1 1 1 
1 1 
1 1 
--1 : 
1 
1 
(b) 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
: Q 
----7-- -
1 
1 
1 
; iF,p 
:-, """"'"'illll~r"l-r - - - - . 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
:o 
1 
1 
1 e, 
:A 
h 
--,--- -
1 / N 1 
,, I M Ai 
R ,, / MA2 
Mo1 
'--~Mo2 
Equilíbrio 11 
Diagran1a de corpo livre da viga inteira - PO: 
R1 = F1 ; R2 = F2 ; M0 = M0 1 + M0 2 = F1 · H + F2 . Ll 
Diagra1na de corpo livre do trecho PA: 
Q = F1 ; N = F2 ; MA = MAi + MA2 = F1 · h + F2 · e 
Figura 1.8. Não linearidade geométrica. As equações de equilíbrio da estrutura são afetadas 
pela condição deformada dela. A rigidez da estrutura se altera à medida que a estrutura se deforma. 
Para calcularmos os momentos fletores na base e em qualquer ponto da viga, e os esforços internos, decorrentes da 
ação da força normal F2 , é obrigatório o conhecimento, respectivamente, de fl e õ, já que a excentricidade e é dada por 
e = fl - ô, e os momentos são dados por F2 • fl e F2 • e. Mas esses valores são dependentes do carregamento, o que não 
era considerado no exemplo (a), pois as equações de equilíbrio não dependiam de fl. Mas para cada valor diferente de fl e 
õ, que depende do carregamento, temos esforços internos diferentes, pois eles são dependentes de fl e õ. Esses valores de 
deslocamentos não são conhecidos, pois são as incógnitas do problema. Em outras palavras, estamos verificando que à 
medida que a estrutura se deforma, as equações de equilíbrio dela se alteram. Surgem termos adicionais que não estavam 
presentes na hipótese das pequenas deflexões. 
Então temos um fato importante gerador de não linearidade: a relação entre forças e deslocamentos que é indicativa da 
rigidez da estrutura, expressa pela sua matriz de rigidez. À medida que a estrutura se deforma, novos termos de força sur-
gem nas equações de equilíbrio. Se novos termos surgem à medida que os deslocamentos vão se manifestando, significa 
que a relação entre forças e deslocamentos se altera, portanto a rigidez da estrutura também se altera. Ou seja, a rigidez 
da estrutura se modifica pelo fato de haver a presença de grandes de.flexões. A geometria deformada da estrutura 
altera as equações de equilíbrio e devido a isso chamamos essa dependência de não linearidade geométrica. 
Para atualizarmos a rigidez da estrutura, que varia com a configuração deformada, devemos conhecer como os desloca-
mentos evoluem, pois as equações de equilíbrio dependem da condição deformada. Para podermos conhecer como é a 
evolução dos deslocamentos, necessitamos conhecer a rigidez da estrutura em cada estágio do carregamento, porém ela 
depende dos deslocamentos. Esta é a dificuldade que nos aguarda na resolução dos problemas não lineares de modelos 
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32 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
, 
discretizados. E como um animal que "corre atrás do próprio rabo". A solução desta questão será desenvolvida por 
intermédio dos métodos iterativos, abordados nos capítulos seguintes. 
Não linearidade 
geométricaidade 
A rigidez da estn1tura varia porque 
a configuração geo1nétrica defonnada 
dela altera as equações de equilíbrio 
1.6 Não Linearidades Associadas à Mudança das Condições de Contorno: 
o Problema de Contato 
A Figura 1.9 representa dois problemas básicos, cuja solução é normalmente obtida nos estudos da análise linear está-
tica. O tratamento matemático mais formal e de aplicação geral é estudado a partir de um exemplo simples, tomando 
como base as leis fundamentais apresentadas no estudo da análise linear, e assim podemos montar a matriz de rigidez 
da estrutura a partir da matriz de rigidez de cada um de seus elementos, contabilizando em última análise a rigidez da 
estrutura inteira. O fato de a estrutura ser constituída por muitos elementos ou por dois elementos apenas como o pre-
sente exemplo considera não altera o conceito fisico de "rigidez equivalente", apenas envolve um trabalho maior de 
manipulação das equações. O exemplo introduzido é suficiente para introdução do conceito que interessa. Em seguida 
são feitas as generalizações cabíveis. E assim procederemos igualmente para introduzir um importante conceito presente 
na análise não linear: o contato. 
"GAP" entre C e a parede 
Fl 
(b) 
B ~"'~"'"" 
H"-4t-'----' 
1 
1 1 
1 1 
• • • • 'u 'Us A 
Problema 1 
1- - -- --- - -- - -- -- - -1 
1 A 1 B :c 1 
I_ --- _l_ --- __ ,_ -- - _1 
FA 
1 
- - 1u - - - -- tt - - - -a- -
a a 
1 
Fs - 'k{/ k + k - kb -- {/ b 1 
Fc 0 - kb kb 1 
1 
1 • • Uc 
UA 
r--
'A ' 1 1 - -~ 
Us 
1 
(1.2) ,n: 
1- - -
Uc ,e' 1 1 __ , 
,~~~~~ 
1 
1 ' . UA 
1 
1 • • 'U B 
Problema 2 
1- --- --- - -- --- -- -- , 
1 A I B :e, 
1 · 1 
- --- -L- --- --1- -- --
1 1 
FA - laª- - - --kã - - - (}- -
1 1 
F B = - ~ a ka + kb - ~b 
F e - f - - - ---kb - - "*í; -
1 
1 • • Uc 
r--
UA : A: --~ 1 
U8 , B: 
1- - -
Uc : e: __ , 
(1.4) 
Com a restrição em A, a equação para o cálculo dos 
deslocamentos, eliminando-se as linhas e colunas que 
passam por A na matriz de rigidez, fica: 
Com as restrições em A e C, a equação para o cálculo 
dos deslocamentos, e eliminando-se as linhas e colunas 
que passam por A e C na matriz de rigidez, fica: 
Matriz de rigidez da estrutura, 
enquanto o ponto C não 
encosta na parede rígida. 
(1.3) Quando o nó C encosta na 
parede rígida em D, ocorre 
contato. O problema 1 
se transforma no problema 2 . 
Mudam as condições de 
contorno. A 1natriz de rigidez da 
estrutura muda de [KJ 1 para [KJ 2. 
A rigidez da estrutura se 
altera à 1nedida que os 
desloca1nentos se manifestam 
e o problemaé não linear. 
[KJ2 
{F2} =l[k0 + kJI· {U8 } (1.5) 
Matriz de rigidez da eshutura 
após o ponto C encostar 
na parede rígida. 
Figura 1.9. Não linearidade devido à estrutura entrar em contato com outro corpo durante o seu deslocamento. 
A rigidez da estrutura se altera e então o problema é não linear. A questão é, além do entendimento 
do problema físico, quantificar essa transformação do problema 1 no problema 2. 
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Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 33 
Partindo da condição representada no problema 1, podemos determinar os deslocamentos da estrutura, de acordo com 
a equação matricial válida para o problema 1 e representada na Figura 1.9 pelas Equações 1.2 e 1.3. Para o valor da 
força F1, podemos calcular o valor do deslocamento do ponto C, representado por Uc. Se esse deslocamento for maior 
que ô (Uc >ô), que é a distância livre a ser vencida pelo ponto C, também conhecida nos softwares de análise como o 
''GAP'' entre o nó C e a parede, não haverá sentido fisico no valor calculado, a não ser que a mola penetre a parede 
sem que ela nem a parede ''percebam" a ocorrência desse fato. Aliás, é isso que ocorre ao fazermos uma análise linear 
sem estabelecer essa possibilidade de ocorrer contato entre duas partes. Um corpo penetra no outro, calcula-se um valor 
do deslocamento de C que não apresenta nenhum significado fisico. Pode ser que antes de atingir o valor máximo da 
força F1, a parede rígida já tenha sido atingida pelo ponto C, e a Equação 1.3 não mais se aplica. Deve-se então iniciar 
a solução de um novo problema. O valor da força que deve ser aplicada adicionalmente para atingir o valor total da 
força F1, ou seja, F2, será aplicado a uma nova condição de contorno, representada pelo problema 2, em que a matriz de 
rigidez da estrutura sob a nova condição de contorno é diferente daquela do problema 1. A estrutura está sob efeito de 
novas condições de contorno, cujos resultados serão adicionados aos resultados da análise anterior. Ou seja, o problema 
2 é resolvido com a condição inicial que corresponde ao final do problema 1. Temos de "combinar com o software" de 
análise quando um problema termina e o outro começa. 
O procedimento numérico a ser introduzido em um problema de não linearidade e, em particular, o caso do contato entre 
partes, deve verificar de incrementos em incrementos de carga se o ''GAP'' entre os corpos já foi vencido, e a partir daí 
, 
assumir a nova condição de contorno. E a análise incremental anteriormente citada. Como fazer isso veremos adiante, 
e constitui uma das questões mais importantes do estudo das não linearidades. Ou seja, deve-se introduzir uma condição 
adequadamente no modelo de sorte que a rigidez naquele ponto da estrutura seja atualizada devido à presença do conta-
to. Como a representação da rigidez é feita na matriz por intermédio de coeficientes de rigidez kij, que representam forças 
associadas a deslocamentos unitários, e que em última análise representam "molas", os métodos numéricos buscam a 
forma mais eficiente de representar esses coeficientes, levando em conta a rigidez dos elementos adjacentes. Lembre-se 
de que, quando dizemos que a parede é rígida, significa que a sua rigidez é muito, mas muito maior que a mola que a 
atinge. Numericamente, esse dado deve ser definido no processo de análise. 
Os métodos que definem essas rigidezes a serem introduzidas no problema de contato oferecem os valores numéricos 
adequados para a definição das rigidezes envolvidas, como, por exemplo, nesse caso da parede. Ou seja, como quantifi-
car esses valores de modo que não ocorram penetrações entre corpos. O caso de um corpo encontrar uma parede rígida 
pode ser um tanto óbvio, mas esse conceito é mais geral, pois se aplica a corpos elásticos, em que ambos se deslocam e se 
deformam, um pouco diferente do caso da parede que é rígida. Exercitaremos isso no capítulo seguinte em um exemplo 
numérico simples. Depois, de uma maneira mais sutil, veremos como podemos generalizar esse conceito pelo método 
das penalidades, que define o famoso ''penalty factor''. Muitos usuários de software, ao aplicarem análises não lineares 
de contato, utilizam valores "default" dos fatores de penalidade sugeridos pelo software, sem sequer desconfiarem de 
que estão definindo, em última instância, uma constante de mola. 
Alterações nas 
condições de contorno 
Alterações na 
matriz de rigidez 
da estrutura 
Exemplo Contato 
Con1portamento 
não linear 
1. 7 Primeira Ideia de como Atualizar a Rigidez: Entenda o que Vem Adiante 
Nos capítulos seguintes vamos introduzir a linguagem matemática adequada para descrever e quantificar os fenômenos 
não lineares em análise estrutural. O entendimento das ideias que norteiam o caminho a ser percorrido nessa análise é , 
fundamental para os passos que serão dados. E importante definir a estratégia a ser seguida e o alicerce, base para todas , 
as operações matemáticas que vamos efetuar nas análises não lineares. E preciso entender claramente o conceito fisico 
e, com base nele, entender a lógica das operações que serão propostas. Elas darão forma matemática às ideias fisicas 
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34 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
introduzidas agora, que a rigor constituem a essência da estratégia da solução dos problemas não lineares. Poderíamos 
ser tentados a transformar o curso de elementos finitos no estudo de um conjunto de técnicas numéricas matemáticas. 
Nas aplicações de elementos finitos poderíamos tratar diversas questões no âmbito da fisica aplicada e da engenharia 
como matemática pura, mas não é como matemática pura que a fisica é importante. 
A ideia central vem, a rigor, do estudo que fizemos na análise linear. O conceito mais simples e importante da análise 
era traduzido pela equação de equilíbrio. Ela estabelece que as forças internas e as forças externas estão em equilíbrio, 
quando a estrutura está deformada nessa configuração. A Figura 1.1 O representa essa ideia para o caso simples de uma 
mola linear, em que a sua constante elástica k e, portanto, a sua rigidez, são conhecidas. A diferença no caso da análise 
linear é, como já comentamos, que a rigidez da mola não se altera com o carregamento, e o problema, então, já está 
resolvido no âmbito dos deslocamentos unitários, e assim para qualquer campo de deslocamentos ao qual o sistema for 
submetido. 
Desde que as forças externas F que atuam na estrutura são equilibradas internamente pelas forças elásticas (k · u), a 
tradução matemática desse conceito fisico é expressa por F = k · u. 
O mesmo conceito pode ser expresso de outra forma, em termos de energia. Refere-se à conservação da energia, ou à 
equivalência entre o trabalho externo e o trabalho interno, tal como já abordamos na análise linear. A energia introdu-
zida por intermédio da ação da força externa na mola, ou em caráter mais geral, na estrutura, é expressa pelo trabalho da 
força externa, quando o seu ponto de aplicação se desloca. Esse movimento é contabilizado pelo deslocamento nodal. 
Assim, o trabalho externo no caso da mola pode ser traduzido matematicamente por f F · dU. 
A energia introduzida é armazenada na forma de energia de deformação, que corresponde ao trabalho interno. A partir 
do gráfico da força interna em função da variação do comprimento da mola representado na Figura 1.1 O, traduzida por 
u, podemos calcular a energia de de/ ormação da mola, dada por ½ • k · u2 . Assim, os trabalhos interno e externo são 
• • 1gua1s. 
No estudo da análise linear, vimos que a equivalência entre os trabalhos externo e interno, no âmbito de um elemento 
ou da estrutura inteira, era o procedimento geral para determinar a rigidez de cada elemento e também da estrutura. Oprocedimento de montagem da matriz de rigidez da estrutura, obtida a partir da matriz de rigidez de cada elemento, 
decorria da aplicação desse conceito. 
Embora no início do curso de análise linear tivéssemos introduzido a matriz de rigidez dos elementos por um processo 
direto, os elementos bi e tridimensionais mereceram uma consideração mais sutil, tomando como base os conceitos de 
trabalho externo e trabalho interno. 
Nos elementos mais simples era possível calcular os deslocamentos dentro do elemento a partir dos deslocamentos no-
dais de forma exata. O método direto permitia visualizar o significado fisico dos termos kij presentes na matriz de rigidez 
de um elemento ou da estrutura. Eles representam a força no grau de liberdade i devido a um deslocamento unitário 
no grau de liberdade j , mantendo os demais graus de liberdade bloqueados. 
Nos elementos bidimensionais e tridimensionais esses conceitos fisicos de rigidez do elemento e rigidez da estrutura 
continuam presentes, como anteriormente estudado para os elementos unidimensionais, porém a questão está em como 
determiná-los. O método direto não era viável. Então introduzimos as técnicas matemáticas de interpolação, trabalho 
realizado por uma força, energia de deformação e transformações de energia. Assumíamos uma configuração deforma-
da para a estrutura, atribuindo um valor arbitrário aos deslocamentos, e calculávamos o trabalho das forças externas 
associadas a esse campo de deslocamentos nodais. Interpolávamos os deslocamentos dentro dos elementos a partir dos 
deslocamentos nodais. Com essa condição deformada da estrutura, elemento por elemento, calculávamos o trabalho in-
terno. Como o deslocamento proposto para a estrutura era arbitrário, assumíamos que os deslocamentos eram unitários. 
Igualando os trabalhos interno e externo, calculávamos a rigidez dos elementos e, como consequência, da estrutura. 
Nesse caso, a rigidez da estrutura não se alterava com os deslocamentos. O sucesso na determinação da rigidez de cada 
elemento estava condicionado à forma como o campo de deslocamentos era interpolado, ou seja, à escolha de sua fun-
ção de interpolação, que estava "amarrada" ao número de graus de liberdade do elemento. Esse número de graus de 
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Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 35 
liberdade do elemento estava associado à sua fonna geométrica e, portanto, ao seu número de nós. Vimos também que , 
o número de graus de liberdade por nó era uma questão vinculada à teoria da elasticidade. E bom sempre lembrar que 
o método dos elementos finitos não propõe uma nova teoria da elasticidade, que é exata, apenas a aplica em um campo 
de deslocamentos, este sim, aproximado. Daí a aproximação do método dos elementos finitos. 
Deslocamento 
da estrutura ~ 
? 
Nó 
------------- ------
' Força externa 
---
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 --- .... ' 
.... " 
1 '' 
1 ' 
1 ' 
1 \ 
\ 
1 \ Nó 
/ 
/ 
I 1 \ 
1 \ 
l 1 \ 
1 1 \ 
/ 1 1 
Força interna ---------,,..• J \ \ 
' ., 1 1 
' --' ..,..,. ·No' ' ' 
' - - - 1 ~----- l 
----------' 1 l --------- - --- • 1 / 
// e-, 1 / 
/ J ' / 
I I / / 
I C--, 1 / 
I J = k • U l,-/ 
I --~ I _, 1 
I .,...,..,,,. .. 
I ' ,... .,., 
I ~---
/ -- ' 
I -- - -- ----- ' 
1 ------- ' 
------ F = O ' 
1 --1 / 
1 / 
/ 
1 / 
1 / 
1 / 
\ __ ., 
' No' ,, \ .,--
\ / 
' / ' __ ., 
' --' --' --.... --.... --.... --.... .... -,, .-, .... __ ------
U - Deslocamento nodal 
' 
Nó 
' ' 1 
' 1 ', 
u - Variação de comprimento do elemento k-u 
{ Equilíbrio de forças: F = k · u (Força externa = Força interna) 
Trabalho externo = J F · dU 
Trabalho interno = Energia de deformação = -1. · k · u2 = Área - - - - - - - - - -
2 
• .. , 
I 
/ 
-------
F 
u 
Figura 1. 1 O. Estrutura (mola) em equilíbrio. As forças externas estão em equilíbrio 
com as forças internas. O trabalho externo é igual ao trabalho interno. 
u 
A ideia a ser aplicada na análise não linear é basicamente a mesma, porém neste caso a rigidez da estrutura varia à medi-
da que o carregamento se manifesta. Como a rigidez da estrutura varia a cada trecho, esse procedimento energético utili-
zado para a detenninação da rigidez deveria ser feito em "pequenos" incrementos ou trechos de carga ou deslocamento. 
Daí a necessidade de se utilizar um processo incremental. Porém, como a rigidez da estrutura varia e não sabemos no 
próximo trecho qual é o seu valor, não temos a possibilidade de utilizar a rigidez para calcular os deslocamentos do 
próximo trecho, pois ela é desconhecida. Começa a realidade da análise não linear. Podemos admitir que a estrutura se 
desloque em um trecho seguinte, propondo uma tentativa para os deslocamentos. As forças internas associadas a essa 
condição deformada proposta devem ser consistentes com os deslocamentos assumidos ou, do ponto de vista energé-
tico, o trabalho interno deve ser igual ao trabalho externo. Como a configuração proposta não se verifica nessa primeira 
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36 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
tentativa, devemos repetir diversas tentativas até que em uma delas as forças internas equilibrem as forças externas ou, 
alternativamente, o trabalho externo esteja em correspondência com o trabalho interno. Por isso os processos são ditos 
iterativos. Poder-se-ia pensar que esta é uma tarefa de milhares de tentativas ao acaso, mas essa abordagem é feita com 
metodologia adequada, que são as técnicas numéricas utilizadas para buscar a convergência da solução. Algumas técni-
cas matemáticas utilizadas são estudadas nos cursos de cálculo em engenharia. Uma delas é a famosa série de Taylor, 
em que a partir do conhecimento do valor de uma função em dado ponto é possível avaliar o valor dela depois de um 
incremento da variável independente. Partindo do princípio que os deslocamentos variam à medida que a carga vai sendo 
aplicada e que são uma função dela, a série de Taylor pode ser um recurso interessante para "prever" o valor da função 
dos deslocamentos a partir do conhecimento dela em um ponto do seu domínio. Esse recurso é bastante utilizado, por 
exemplo, nas análises dinâmicas não lineares, abordadas adiante. Os processos iterativos são feitos também utilizando 
ferramentas consagradas e adotadas nos cursos de cálculo numérico. Um deles é o famoso método deNewton-Raphson. 
Outros serão discutidos no momento adequado. Por intermédio dos métodos iterativos podemos, dentro de um intervalo 
ou incremento, interagir inúmeras vezes até que as forças externas e internas se equilibrem, ou os trabalhos externo e 
interno se igualem. Terminada a solução dentro de um intervalo, a condição de equilíbrio ao final deste passa a ser a 
condição inicial para o próximo intervalo, ou incremento. 
y 
Zero 
p --~ __ u_a>t~I 
• • 
• • • 
• • 
P - Carga : Incremento : 
: de carga de : 
1 OaP 1 •---~!~ ~L--
--_f _ t~~=--T-em-po• 
Antes 
.______ Força externa 
aplicada no nó 
Ant~~ º~,-=:::: -=::::::: 
' ,, ( \ 
,, 
-- --- ---<>---------- --- -· I 1 ... ., 
v Depois 
, I I \ \ 
, I I \ \ '.lil // ,, 
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1 1 
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1 
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-
I , ô -----------------------,b) --- --- - --- -- -- -- ---
,., / / 
o'v"' 
Deformada proposta 
Forças internas aplicadas pelos 
elementos no nó, que devem estar em 
equilíbrio com a força externa P 1 
aplicada no mesmo nó. • 
(Se for uma condição de equilíbrio!!!) 
A carga vai sendo progressivamente aplicada na estrutura, a partir do valor zero. Para o incremento de carga de zero a P 1, 
atribui-se umacondição deformada proposta, decorrente dos deslocamentos assumidos. Essa deformada proposta 
pressupõe uma geometria deformada dos elementos, que geram forças internas. A força externa P 1, em correspondência 
com os deslocamentos propostos, deve equilibrar nó a nó as forças internas. Caso esse equilíbrio não se verifique, esta não 
é uma condição de equilíbrio. O processo deve ser repetido várias vezes até encontrar-se a condição de equilíbrio. Somente 
após ter-se encontrado a condição de equilíbrio, parte-se para o estudo do próximo incremento. Esse processo é efetuado a 
forma racional utilizando-se os 1nétodos iterativos adequados para se efetuar essa busca. 
Figura 1.11. Na análise não linea" a configuração de equilíbrio é atingida por incrementos e iterativamente. 
Propõe-se uma configuração deformada por intermédio de um campo de deslocamentos assumidos no incremento. 
Os deslocamentos são assumidos porque a rigidez não é conhecida, pois ela depende dos deslocamentos e 
então não podemos determiná-los. Efetuam-se diversas iterações na busca da condição de equilíbrio. 
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Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 37 
QUADRO I - UM EXEMPLO MUITO SIMPLES DE MÉTODO INTERATIVO 
1. A solução exata de uma equação 
A função y = x2 - 6 · x + 8 assume diversos valores y para os diferentes valores de x do domínio da função, os quais 
podem ser representados no gráfico descrito em seguida. Em particular, dois valores são muito importantes ao estudar 
essa função. São as raízes da equação x2 - 6 · x + 8 = O, que representam os valores de x que tornam a função y nula. 
Essas raízes podem ser determinadas pelos procedimentos exatos já estudados nos cursos básicos de matemática. 
Em alguns fenômenos fisicos, cuja expressão matemática seja efetuada por uma equação desse tipo, o ''zero'' da 
função, associado aos valores das raízes da equação, pode traduzir, por exemplo, uma dada condição de equilíbrio 
a ser determinada para o sistema fisico objeto de estudo. Em particular, para este exemplo simples, as raízes seriam 
determinadas por: 
y 
Função parabólica 
do segundo grau 
/ 
/ 
/ Reta r 
I 
a 
/ A 
24 -----~----·~------------- ---- ---
6±-J36- 4x8 
XI 2 = , 2 
6±14 
2 
o 
2. A solução aproximada da equação - por tentativas - efetuar iterações 
/ 
2 4 X 
B ,, 
Valor atribuído 
Por exemplo, substituindo x = 8 na função em estudo, temos y = 82 - 6 · 8 + 8 = 24. Ou seja, se x = 8 não ''zera'' a 
função, então o número oito não é raiz dessa equação. Ou, na linguagem de um fenômeno fisico que seria traduzido 
por essa função, esta não representa uma ''condição de equilíbrio''. Por muitas tentativas e erros poderíamos buscar 
a raiz, ou a "condição de equilíbrio", substituindo os valores de x atribuídos e calculando os y até que, se tivermos 
y = O, a raiz foi encontrada e o "equilíbrio" atingido. Um procedimento de busca poderia ser efetuado de forma mais , 
racional. E o que mostramos, por exemplo, a partir de um primeiro valor x = 8, que constitui uma tentativa inicial ou 
um "chute" para a variável x, e nesse caso o valor da função seria y = 24, cuja visão gráfica corresponde ao ponto A. 
Pelo ponto A traçamos a tangente à curva, que encontra o eixo x no ponto B. Essa reta tangente é representada por 
uma função linear cujo coeficiente angular ("inclinação'? é o valor da tg a, que é o valor da derivada da função y em 
A. A primeira derivada de y = x2 - 6 · x + 8 é dada por y' = 2 · x - 6. Assim, o valor dessa derivada para x = 8 será 
y'= 2 · 8- 6 = 10 =tg a. Desta forma, a função que representa a reta ré dada pory, =tg a· x + b = 10· x + b, em que 
b é o coeficiente linear, que representa a coordenaday do ponto onde a reta r intercepta o eixo y. 
Para x = 8, a função linear representativa da reta r também assume o valor y = 24, pois a reta r é tangente ao gráfico 
de y nesse ponto. Substituindo na equação, temos: 
Reta r: y, = 10. x + b, e substituindo o par (x = 8, y = 24), temos 24 = 10 · 8 + b, resultando em b = - 56. Portanto: 
Equação da reta r: y, = 10 · x- 56. A partir deste ponto se inicia a primeira iteração. Assim: 
O ponto B está localizado na posição x de sorte que y, =O.Assim, O= 10 · x- 56, portanto xB = 5,6. 
A partir deste estágio repetimos o processo. A partir do ponto B localizamos o ponto na curva que permite calcular 
o valor da função parabólica para xB = 5,6, representado pelo ponto C. A figura seguinte deste quadro reproduz esse . , . 
rac1ocm10. 
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38 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
QUADRO I - UM EXEMPLO MUITO SIMPLES DE MÉTODO INTERATIVO (CONTINUAÇÃO) 
Segunda iteração 
A primeira derivada de y = x2 - 6 · x + 8 é dada por y' = 2 · x - 6. Assim, o valor dessa derivada para x = 5,6 será 
y' = 2 · 5,6- 6 = tg a1 = 5,2. Desta forma, a reta r1 terá equação dada por Yrl = tg a1 • x + b = 5,2 · x + b. 
Equação da reta r1 : Yrl = 5,2 · x + b1. Na função parabólica, comx = 5,6 => y = 5,62 - 6 • 5,6 + 8 => y = 5,76. 
Reta r1 : Yrl = 5,2. x + b1, e substituindo o par (x=5,6, y=5,76), teremos 5,76 = 5,2 · 5,6 + b1, resultando b1 = - 23,36. 
Portanto, equação da reta r1 : Yrl = 5,2 · x- 23,36 . 
O ponto D está localizado na posição x de sorte que Yrl =O.Assim, O= 5,2 · x- 23,36, portanto x» = 4,49 . 
Podemos observar que o valor obtido encontra-se mais próximo do valor procurado igual a 4. Poderíamos repetir o 
processo "buscando" o ponto E e pela utilização da derivada, chegar ao ponto F, mais próximo da solução. Matema-
ticamente é só repetir as operações anteriores, na terceira iteração, a saber: 
y = 4,492 - 6 · 4,49 + 8 => y = 1,22. Valor da derivada para x = 4,49 => y' = 2 · 4,49 - 6 = tg a2 = 2,98 
Reta r2 : Yr2 = 2,98 · x + b:z, e substituindo o par (x = 4,49, y = 1,22) => 1,22 = 2,98 · 4,49 + b2 => b2 = - 12,16 
Equação da reta r2 : Yr2 = 2,98 · x-12,16. Ponto F => Yr2 =O.Assim, O= 2,98 .x - 12,16, portanto Xp = 4,08 
y 
I 
I 
I 
I 
I 
. 
/ Reta r1 
576 - ------------------~------------------- ---------- · , 
ª 2 
1 
1,22 1 'B 
o 2 ,,,,,' F \ 5,6 
I 4,49 
X 
Ao final dessa iteração, determinamos por aproximação o valor 4,08 para a raiz cuja solução exata é 4. Podemos 
continuar o processo até convergir com um mínimo de erro estabelecido para o cálculo. Evidentemente, não entramos 
no mérito do cálculo da outra raiz. Este exemplo apresenta apenas, em termos didáticos, a ideia do método iterativo. 
Ao abordarmos técnicas numéricas adiante, este assunto será tratado mais rigorosamente. 
1.8 Já que o Mundo é não Linear, por que Muitas Vezes o Tratamos como Linear? 
Pelos exemplos apresentados anteriormente, temos uma boa ideia inicial da razão pela qual efetuar uma análise não 
linear de tensões. As aplicações na engenharia são inúmeras. 
Muitas análises de tensões desenvolvidas pelo método dos elementos finitos são efetuadas com base na hipótese da 
análise linear estática ou dinâmica. Normalmente muitas estruturas são projetadas para trabalhar nas condições de pe-
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 39 
quenas deflexões, que permitem abordá-las dessa forma. Evidentemente, essa hipótese, que em muitos casos pode ser 
conservadora, apresenta muitas vantagens ao analista, como citado a seguir: 
Vantagens da Análise Linear 
• Podemos obter soluções diretas e simples, sem a necessidade de desenvolver as trabalhosas soluções incrementais , 
e iterativas. E claro que com os recursos computacionais hoje disponíveis as aplicações não lineares tomam-se cada 
vez mais viáveis em termos de custo-beneficio, mas a facilidade da análise lineardeve ser sempre avaliada, levando 
em conta a necessidade de resposta breve e a pertinência da sua aplicação. 
• As soluções para vários casos de carregamento podem ser superpostas. 
• O número de constantes do material requerido para descrever o comportamento constitutivo é pequeno na aná-
lise linear. 
• Uma boa análise de Engenharia requer habilidade de introduzir aproximações. Em muitos casos a hipótese da 
análise linear constitui uma idealização razoável do comportamento estrutural. 
Necessidade de Aplicação da Análise não Linear 
, 
• Há projetos em que os requisitos estabelecidos estão condicionados à alta performance da estrutura. E necessário 
determinar com precisão o estado limite de resistência da estrutura até o colapso. Normalmente, nessas con-
dições, a estrutura pode atingir estágios em que as tensões ultrapassam o regime elástico, e então a análise requer 
considerações mais sofisticadas. Da mesma forma, a estrutura pode trabalhar dentro de limites em que são obser-
vadas grandes deflexões na sua utilização, e o equacionamento desse tipo de fenômeno baseia-se em considerações 
de não linearidade. Em resumo, justifica-se a adoção de análises não lineares quando se quer avaliar estados limite 
de resistência e utilização. 
• Necessidade de avaliar estruturas existentes para determinação dos reais limites que estejam condicionando o 
seu uso com segurança. A integridade da estrutura pode estar em dúvida devido à presença de dano visível (trinca 
etc.), cargas especiais que não estavam previstas no projeto, presença de sobrecargas ou condições em que o estado 
limite de utilização tenha sido excedido, então deve-se responder à questão crucial: a estrutura é segura? 
• Em caso de colapso ou acidente estrutural, a análise não linear pode ser vital e constituir ajuda para estabelecer 
as causas da falha estrutural. 
• Simulação de processos, tais como estampagem, trefilação, laminação, materiais etc. 
• Situações em que todas as possibilidades de falha estão presentes simultaneamente, escoamento, instabilidades, 
grandes deflexões, considerações de dinâmica altamente não linear, como em "crash tests". 
Consequências da Análise não Linear 
• A utilização dos recursos das análises não lineares requer do engenheiro de projetos alguns cuidados ou atenções 
especiais. Normalmente nas aplicações mais simples, submetidas às análises lineares, temos disponíveis algumas 
facilidades. A partir de alguns casos básicos de carregamentos podemos estabelecer previsões para outras condições 
de carga. Isso não é verdade nas análises não lineares, ou seja: 
• O princípio da superposição não pode ser aplicado. O resultado dos diversos casos de carregamento não 
pode ser multiplicado e combinado como na análise linear. 
• Somente um caso de carregamento pode ser resolvido de cada vez. Podemos trabalhar com diversas cargas 
atuando simultaneamente, porém todas fazem parte de um mesmo caso de carregamento que vai evoluindo desde 
o início da aplicação da carga até o final dessa ação. Algumas cargas podem atuar a partir de um certo estágio do 
carregamento e fazem parte do conjunto de cargas atuantes, mas a cada intervalo em que as cargas agem, elas são 
consideradas parte de uma mesma ação na estrutura. Se uma dada carga agisse sozinha, e depois outra na mesma 
condição isolada, a ação conjunta das duas não seria dada pela soma dos efeitos de cada uma delas em separado. 
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40 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
• A história do carregamento, ou seja, a sequência de aplicação das cargas pode ser importante, o que não ocor-
ria na análise linear. Por exemplo, o comportamento de vaso de pressão, quando aquecido e depois pressurizado, é 
diferente de quando a sequência do carregamento é alterada. 
Antes de deformar 
1 e = õ/t] 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
: L 
' 
Antes de deformar 
l/ 
,-.,..q ' õ D . d d '-' ," -+ :4~ epo1s e e1ormar 
I . 
' D 
,' 111 
----~ Depois de deformar 
Figura 1. 12a. Os componentes de borracha, como nesta tubulação, apresentam comportamentos altamente não lineares. A figura 
representa a configuração deformada na proporção rea'1 e não em escala aumentada para efeitos de visualização. Neste caso, a 
relação ML é bastante grande e caracteriza o caso de grandes deflexões, pois o deslocamento máximo é grande se comparado 
com a dimensão característica L do componente. Para termos uma ideia, pequenas deflexões consideradas em análises lineares 
trabalham com a relação ML muito pequena, por exemplo, da ordem de 1/300. Neste exemplo ML é da ordem de 1/5, portanto 
muito longe das pequenas deflexões. Além disso, outra característica não linear está presente no caso da borracha, que são as grandes 
deformações. Para elas a relação 8/I é grande e, como vimos anteriormente, são medidas contabilizando a relação 8/I quanto ao 
comprimento no estágio deformado em que a fibra do material se encontra e não em relação à dimensão I inicial. Neste exemplo 
da borracha, é interessante mencionar, como veremos adiante, que a relação constitutiva também é não linear. Nas aplicações 
lineares das pequenas deformações, como, por exemplo, o aço nas aplicações elásticas, a equação que traduz a correspondência entre 
tensões cr e deformações e é linear, dada por cr = e · E. No caso dos materiais hiperelásticos, como a borracha, a relação entre tensões e 
deformações envolve a derivada da energia de deformação, que é dada por um polinômio não linear, como veremos adiante. 
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Introdução ao Estudo dos Fenômenos não Lineares em Análise Estrutural pelo Método dos Elementos Finitos 41 
(a) 
(b) 
(e) 
(d) 
(e) 
Figura 1. 12b. Esta viga de aço trabalha sob ação de carga distribuída. A primeira figura (a) representa o modelo em elementos de casca 
da viga. A figura (b) representa a viga deformada, porém em escala aumentada para observar a forma da estrutura quando deformada, 
e assim avaliar a coerência da condição deformada em relação às expectativas quanto ao comportamento previsto. A figura (c) 
mostra a viga deformada na sua escala real, tal como vemos normalmente nas construções metálicas que trabalham nas condições de 
pequenas deflexões e no regime elástico. A relação b./L é realmente bastante pequena, pois a estrutura trabalha dentro das condições 
das pequenas deflexões. As figuras (d) e (e) representam a estrutura típica de uma asa de avião. Neste último caso as deformações são 
pequenas, porém as deflexões são grandes, o que caracteriza o comportamento não linear diferente do caso (a). 
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- ··································································································································································································································································~························································································································· . 
Anotações 
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• • • 
-····· • • . 
• • • . 
• • • . 
• 
1 
Solução de Problemas 
Básicos não Lineares 
Introduzir a solução analítica dos principais problemas não lineares com exemplos simples. 
Entender, a partir deles, a estratégia para resolver os problemas não lineares de muitos graus de liberdade. 
2.1 Introdução 
Este capítulo inicia o estudo dos principais problemas não lineares, já comentados no capítulo 1. Embora essa aborda-
gem seja introduzida utilizando como ''pano de fundo" alguns exemplos "simples" que admitem solução analítica, ela 
é, como veremos, a base ou o alicerce para entendermos o que acontecenos problemas de muitos graus de liberdade, 
tal como se apresentam os modelos de elementos finitos não lineares. Assim, a partir desses exemplos simples, e com o 
auxílio adicional das técnicas numéricas que serão estudadas adiante, podemos estabelecer as generalizações cabíveis. 
A diferença essencial é que os problemas "bem comportados" admitem solução analítica e exata. Embora os problemas 
de muitos graus de liberdade não sejam passíveis desse tipo de solução, o entendimento da sua natureza física vale tanto 
para o caso simples como para o caso de um modelo discretizado. 
Esse ponto é fundamental, pois a primeira questão ao iniciar a montagem de um modelo em elementos finitos está rela-
cionada ao tipo de análise que será efetuada para a solução do problema de engenharia estrutural que queremos resolver. 
A escolha do tipo de análise faz parte da estratégia de modelagem e constitui uma decisão do engenheiro, e mais uma 
vez, nunca do software. E isso só pode ser feito com segurança se conhecermos a natureza física dos problemas que 
podemos encontrar no desenvolvimento de um projeto. O entendimento dessas questões permite, como consequência, 
enxergar de forma clara o porquê da existência de algumas estratégias numéricas diferentes a serem aplicadas nos 
diversos problemas que se apresentam no dia a dia das análises não lineares. Assim, abriremos o caminho para o enten-
dimento das rotinas que constituem a base para a implementação computacional do método, em análise não linear. Por 
isso a existência de alguns métodos numéricos, tais como o método de Newton-Raphson, método de Newton-Raphson 
Modificado, método do comprimento de arco constante (''Arc-Length Method''), técnica do comprimento de arco elíp-
tico, técnica do comprimento de arco esférico, técnica do comprimento de arco cilíndrico, técnica do comprimento de 
arco linearizado etc. 
Vunos no capítulo 1 que o conceito mais simples e importante da análise era traduzido pela equação de equilíbrio. Ela 
estabelece que as forças internas e externas estão em equilíbrio, quando a estrutura está deformada nessa configuração. 
Em uma análise não linear, a estrutura evolui passo a passo até atingir uma configuração final de equilíbrio, passando por 
sucessivas condições de equilíbrio intermediárias que devem ser determinadas. A determinação da condição de equilí-
brio seguinte pressupõe a determinação do equilíbrio no estágio anterior do carregamento. Ou seja, em uma análise não 
linear deve-se prever cada estágio de equilíbrio da estrutura até a aplicação da carga total agente nela. Os métodos nu-
méricos ajudam a fazer essa previsão durante a evolução de uma análise não linear, e mostrar quais são essas condições 
intermediárias de equilíbrio até se atingir o estágio final. 
A análise linear é um caso muito particular, pois a partir de uma condição inicial, e com o conhecimento da rigidez, o 
comportamento que se observa em seguida é previsível, como já sabemos. O gráfico carga x deslocamento é represen-
tado na Figura 2. l(a). A carga cresce, o deslocamento cresce, e sempre na mesma proporção. O que determina essa pro-
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44 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
porção é a rigidez da estrutura, determinada quando o processo de definição do modelo é concluído. Tudo é previsível. 
Antes de iniciar uma análise linear, quando o modelo está pronto e as condições de contorno definidas, o problema já 
está resolvido, no âmbito dos deslocamentos unitários e, portanto, para qualquer campo de deslocamentos, enquanto a 
hipótese da linearidade for aceitável na representação do problema fisico. 
Os exemplos das Figuras 2.1 (b), 2.1 (c) e 2.1 (d) mostram que não há uma proporção entre crescimento de cargas e deslo-
camentos. Cada um desses gráficos representa situações fisicas que teremos oportunidade de discutir adiante. Em alguns 
deles, quando o deslocamento cresce, não é verificado em correspondência um crescimento de carga. Esse fenômeno, 
estudado posteriormente, está associado a situações fisicas nas quais ocorrem instabilidades na estrutura, e temos de 
prevê-las por intermédio das estratégias numéricas. Alguns métodos numéricos "só sabem" representar crescimentos de 
deslocamentos acompanhados de crescimentos de carga. Eles falham diante da representação dos fenômenos fisicos em 
que ocorrem instabilidades, por isso a existência de diferentes estratégias numéricas abordadas adiante. 
Carga 
Comportan1ento 
linear 
Carga 
3 F ---------------. 
Co1nportamento 
não linear 
2-F 
F Deslocamento 
Trajetória de equilíbrio 
Ü--1"'-------L--.-------,-----+-------+ 
,U ,2-U 13-U Deslocamento 
• • 1 
(a) 
Carga 
-----;,.;;.------------
(e) 
Comportamento 
não linear 
Deslocamento 
Carga 
(d) 
(b) 
Comportamento 
não linear 
Deslocamento 
Figura 2. 1. Análises linear e não linear. O mundo da proporcionalidade entre efeitos e causas e da adição 
dos efeitos e das causas só é válido nas análises lineares, como representado no gráfico a. A previsão 
da "trajetória de equilíbrio" constitui o maior desafio da análise não linea" e depende da aplicação de 
técnicas numéricas adequadas para cada caso de não linearidade, como ilustram os gráficos b, c e d. 
2.2 O Problema Básico da Plasticidade -Alteração da Matriz de Rigidez da 
Estrutura com o Carregamento 
Vamos introduzir o fenômeno da plasticidade por intermédio da solução de um problema elastoplástico com um grau 
de liberdade. A Figura 2.2 representa um conjunto de três barras (a, b e c) submetidas à ação de forças axiais, ou seja, 
vamos considerar a estrutura composta por três elementos. O objetivo deste exemplo simples é examinar o colapso da 
estrutura devido a deformações plásticas progressivas nos elementos da estrutura, decorrentes da mudança de rigidez do 
conjunto, pelo fato de a rigidez de cada elemento alterar-se à medida que a plasticidade se manifesta em cada um deles. 
A teoria plástica é baseada na curva cr x s idealizada, "elástica - perfeitamente plástica", Figura 2.2, muito adequada 
para o aço médio com ponto de escoamento definido, e é conservadora, pois ignora o subsequente endurecimento por 
deformação do material. Veja os comentários introdutórios sobre plasticidade no Quadro II deste capítulo. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 
L= 2100 rmn 
ÁreaA1 = l rmn
2 
, 
I 
~ (a) I Curva real P = 90 Kgf I 
I / I Área A2 = l mm2 .. I I 
cre --- ----------, 
' ~ , (b) ~ 
..__ Curva idealizada A 
Área A3 = 1 mm2 B 
~ (e) \.. -
\1 
I 
cr, • ,/ / Material 3 
cre3 ,- - - - - - - ....,, ______ ____. __ 
/Material 2 
ª e2 ,- - - - - - ------------
/ Material 1 
------------- / e, e 1 ,- - - - +--, ,...._;;; ____ ___,.;........,.,-= 
Carga P 
90 Kgf 
Tempo 
. 
• 
B 
Figura 2.2. Conjunto de três barras submetidas à ação de força axial externa. As barras a, b e c são constituídas de 
materiais que têm, respectivamente, tensões de escoamento cre1 =20 Kgf/mm2, cre2 =30 Kgf/mm2 e cre3 = 40 Kgf/mm2. 
Os três materiais têm o mesmo módulo de elasticidade, E=21.000 Kgf/mm2, porém com diferentes tensões de escoamento. 
As curvas tensão-deformação são lineares no regime elástico, e após atingir o limite de escoamento, admite-se que o material é 
perfeitamente plástico, isto é, não apresenta resistência à deformação plástica após a tensão de escoamento ser atingida, ou, 
em outras palavras, o material não apresenta resistência a acréscimos de carga atuantes sobre ele. As cargas atuantes 
nas barras são apenas axiais. Estados de tensão com tensões atuantes em várias direções são estudados adiante. 
45 
Neste exemplo é considerado o fenômeno de escoamento sob condições de tensões uniaxiais. Posteriormente estudare-
mos o critério de escoamento para materiais dúcteis e outros, estabelecendo a previsãodas condições em que se inicia 
o escoamento do material quando ele se encontra submetido a um estado multiaxial de tensões ou a uma combinação 
de tensões em várias direções. 
Resolução 
Nesta aplicação, o entendimento do comportamento da estrutura em termos de deslocamentos, deformações e tensões 
segue os mesmos passos da estratégia elaborada no estudo da análise linear. Ou seja, para conhecer o comportamento 
da estrutura deformada, necessitamos conhecer a sua rigidez. A questão da análise não linear, como já sabemos, é que 
a rigidez varia à medida que a carga é progressivamente aplicada, e os deslocamentos, em consequência, vão sendo 
calculados tomando-se como base a rigidez atualizada. Neste caso, à medida que a estrutura é solicitada progressiva-
mente pelo aumento de carga, existe a possibilidade de alguns elementos da estrutura atingirem o limite de escoamento 
do material antes dos demais, pois esses limites são diferentes para cada uma das barras. A partir desse ponto, a barra que 
se encontrar nessa condição terá a rigidez alterada, pois o seu material vai se comportar plasticamente, e o seu módulo 
de elasticidade sofrerá alteração. Portanto, a contribuição da rigidez desse elemento para a rigidez do conjunto será di-
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46 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
' ferente, e a rigidez da estrutura sofrerá alteração. A medida que a carga aumenta, outras barras podem estar submetidas 
à mesma condição de atingir a tensão de escoamento e, de novo, a rigidez da estrutura sofrerá alteração, decorrente da 
mudança de rigidez de um elemento individual. 
A estratégia para resolver esta questão é ''acompanhar'' passo a passo o aumento da carga e ''monitorar'' cada um dos 
elementos para identificar em que estágio do carregamento ocorrerão mudanças de rigidez desses elementos decor-
rentes da plastificação e, como consequência, mudança de rigidez da estrutura. Note que neste exemplo temos apenas 
três elementos para efetuar esse monitoramento. Em um modelo de milhares de elementos, a lógica de efetuar esse 
controle continua a mesma, mas é preciso dispor de técnicas numéricas para esse fim, de sorte a contabilizar "continua-
mente", ou em pequenos intervalos, essa mudança de rigidez da estrutura a partir das mudanças de rigidez de cada um 
dos seus elementos. Isso pelo fato de ocorrer plastificação em diferentes regiões da estrutura, as quais são representadas 
pelos elementos que descrevem os comportamentos fisicos dessas regiões, contabilizados pelas características do ma-
terial associado ao elemento e pelas ''properties" ou propriedades fisicas associadas a eles. Essas propriedades fisicas, 
como sabemos, vêm incorporadas aos elementos na biblioteca de elementos do software de análise por elementos finitos 
(molas, treliças, vigas, estado plano de tensões, placas, cascas, sólidos etc.). Daí a necessidade de efetuar esse processo 
passo a passo, "step by step", ou seja, a análise não linear é efetuada por incrementos, em um processo passo a passo. 
Desta forma, o primeiro passo é contabilizar a rigidez de cada elemento de barra de treliça do modelo objeto de análise, 
com base no conhecimento que temos da biblioteca de elementos, tal como resume a Figura 2.3. Cada passo do processo 
de cálculo define um estágio de evolução da estrutura, em que se observam deslocamentos decorrentes dos incrementos 
de carga. 
Elemento linear de barra 
l 
r------, 
1 Forças 1 
1 • 1 
1 nodais 1 
, ______ .J 
i 1 ----------------------
1 1 L 2 : 
1 f1 -- ..,_ ___ ____. __ f? 1 
1 1 1 - 1 
-------------~ 
: Desloca1nentos : 
nodais 
// / //1\\\'-.. ' 
Dentro da hipótese linear 
n 
I 1 1 11= > 
: 1 • U l 1--+ U2 1 
1 ' . ... ' : 
li 
h 
= [~} * r-----------------------, 1 1 
' D ,t - ' , e1 ormaçao u2 - u1 1 
Elemento de barra 
de treliça 
1 L , 
I_ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - J 
Comportamento linear elástico 
r--------------------------1 1 
l'T' - 1 
1 1ensao _ E _ E u2 - u1 _ , 
: Axial - · 8 - · L - cr : 
1 1 
--------------------------' 
, . 
1 
- 8 - ___ , , axta - - L , 
1 1 
1 1 ------------------------~ 
Matriz de rigidez 
do ele1nento 
L----. ,-~ 
Força axial na barra de seção A 
~--------------------, 
1 1 
:F _ A - E·A/ ): 
1 . -(j · - L 1U2-U1 1 
1 1 
1 1 ----------------------
r------------, 
1 1 
: F = E·A.o: 
1 L 1 
1 
1 ~------------
Figura 2.3. Relação entre forças nodais e deslocamentos nodais em elemento de barra de treliça. 
A·E 
L 
A·E 
L 
O parâmetro de rigidez axial é (E.A)/L, contido na matriz de rigidez do elemento, que contabiliza a característica 
do material por intermédio do módulo de elasticidade E, e a propriedade física por intermédio da área A. 
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A·E 
L 
A·E 
L 
Solução de Problemas Básicos não Lineares 47 
QUADRO II - COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE PLASTICIDADE 
1. Plasticidade 
Apresentamos no capítulo 1 uma pequena introdução à plasticidade, observando a curva obtida por intermédio de um 
ensaio de tração uniaxial em um corpo de prova. A ocorrência de escoamento é uma das causas do comportamento 
não linear em estruturas. O comportamento plástico dos materiais apresenta algumas características importantes que 
merecem destaque: 
A deformação plástica não é um processo reversível como a deformação elástica. Durante a ação do carregamen-
to, se o material atinge a região plástica, ao liberarmos a estrutura da ação dele, ocorrem deformações permanen-
tes nela e ela não recupera a configuração inicial. 
A deformação elástica depende apenas dos estados inicial e final de tensão e deformação. 
)( A deformação plástica depende da maneira como é exercida a solicitação mecânica para se atingir o estado final. 
Não há uma constante facilmente mensurável relacionando a e E, como o módulo de elasticidade E na deforma-
ção elástica. 
)( O fenômeno de encruamento é dificilmente incorporado à teoria da plasticidade sem introduzir um grau consi-
derável de complexidade matemática. 
)( Anisotropia plástica, histerese elástica e o fato de a tensão de escoamento estar associada ao caminho e à direção 
do carregamento, o conhecido efeito Bauschinger, não são facilmente tratáveis. 
2. Curva de escoamento 
A curva u x e (carga axial) tem interesse na plasticidade quando expressada em termos de tensão verdadeira e defor-
mação verdadeira, comentadas no capítulo 1. 
)( Lei de Hooke é válida até cre 
)( 
)( 
)( 
Após ªe--+ deformação plástica 
A maioria dos metais encrua nesta região --+ maiores defor-
mações necessitam valores de tensão a> ªe 
Em A --+ retirando a carga --+ existe uma parte de deforma-
ção elástica recuperável (E1 --+ E2) 
(J' • 
<Je -------
I 
I 
S3 ' •-- / 
I 
I 
I ,,. 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
É . S 
1 
A deformação final deste descarregamento não é toda plástica permanente. Dependendo do metal e da temperatura, 
desaparece com o tempo uma pequena quantidade de deformação plástica (e2 --+ e 3), o que se conhece como compor-
tamento anelástico, normalmente desprezado nas teorias matemáticas da plasticidade. 
A curva real é mostrada na figura seguinte. A "trajetória" no descarregamento real não é a rigor paralela à curva do car-
regamento representativo da parte elástica. Após o descarregamento, a tensão de escoamento à compressão é diferente 
da tensão de escoamento à tração (efeito Bauschinger). A teoria da plasticidade considera aª= ªb· 
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48 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
QUADRO II - COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE PLASTICIDADE (CONTINUAÇÃO) 
Curva a x E 
verdadeira 
Curva de 
escoamento 
Fornece a tensão necessária para 
causar escoamento plástico do 
1netal a qualquer nível de deformação. 
Váriastentativas têm sido feitas para ajustar 
equações matemáticas a esta curva. 
Mais comum 
Tensão para 
E = l 
Coeficiente de 
encrua1nento 
Ioga = log (K · E'~ ~ Ioga = /ogK +log E" ~, logcr = logK + n · foge 1 
logcr 
n ~ Inclinação do gráfico log.log 
Equação só é válida do começo 
do escoamento plástico até a 
carga máxiina onde o corpo 
inicia a formação do pescoço. 
/ -~ 
iogE 
Descarregamento real, 
•
1r1--• curva não paralela à 
parte elástica. 
Li,nite 
escoamento 
Real!!! 
A equação a= Eº, ao ser manipulada com as equações gerais da teoria da plasticidade que veremos adiante, implica 
enorme dificuldade matemática. No sentido de evitar essa intratabilidade, são introduzidas algumas simplificações, 
com vistas a tomar o tratamento matemático factível. Decorrentes disso surgem algumas curvas de escoamento 
idealizadas. 
As figuras seguintes apresentam três modelos de curva de escoamento normalmente considerados. 
~---------------------------------~ 
Metal rígido perfeitamente plástico 
(J •• 
• 8 
Corpo de prova de tração completamente rígido 
(deformação elástica nula) até cre ~ deformação 
plástica a tensão constante (encruamento nulo). 
Metal dúctil em condição de elevada 
deformação a frio. 
r---------------------------------~ 
Metal elástico perfeitamente plástico 
' • (J 
O"e ,.. - - --,-----
Aço-carbono - elongação 
bem definida em relação ao 
limite de escoamento cre . 
. e 
. 
r---------------------------------~ 
(J 
Elástico com encruamento linear 
Abordagem n1ais 
realística considerando 
regiões elástica e plástica. 
Retomando a ideia de que as forças externas aplicadas na estrutura estão em equilíbrio com as forças internas: 
Aplica-se a carga externa P => a carga externa deve ser equilibrada pelas forças internas em cada elemento, como 
mostra a Figura 2.4. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 
Sendo u - deslocamento na extremidade livre de cada elemento, teremos: 
Deformação axial = s = !!_ ; tensão axial = a = E · s = E · !!_ 
L L 
Assim, a/ orça interna f em cada elemento será dada por: 
f = ( tensão axial) . (área) =a· A= E· A·!!_ 
L 
A condição de equilíbrio permite escrever fa + f,, + fc = P, e substituindo 
os valores das forças internas em função do deslocamento, tal como ante-
riormente, teremos: 
u 
, 
EA EA EA 
-+ +-
L L L 
3EA 3EA 
=P~u---=P~P=--*u 
L L 
A fa i (a) 1 
I 
I 
I 
I 
I 
fb I (b) I p 
1 
1 
\ 
fc 
\ 
(e) \ 
\ 
' ' 
Figura 2.4. Barras rigidamente fixadas 
em uma extremidade e soldadas no carrinho 
que pode somente sofrer translação 
49 
... 
E interessante observar que poderíamos, tal como é feito nas aplicações lineares, utilizar o procedimento de montagem 
para obtenção da matriz de rigidez do conjunto das três barras a partir do conhecimento da matriz de rigidez de cada 
um dos elementos, por intermédio dos vetores de localização. Como as três barras "trabalham" na estrutura entre A e B, 
as suas matrizes de rigidez, já localizadas na montagem, serão dadas por: 
r-------~-------, r-------~-------, r-------~-------, 
1 A 
1 
B 1 1 A 
1 
B 1 A 
1 
B 1 1 1 1 1 1 1 
1 - - - - - - - -'- - - - - - - _, , _ - - - - - - - ' - - - - - - - - 1 , _ - - - - - - -'- - - - - - - - 1 
r-- - r--- ,. - - -
EA EA 
1 1 
EA EA 
1 1 1 1 
1 1 1 1 EA EA 1 1 'A ' 'A' 'A ' L L 
1 1 
L L 
1 1 
L L 
1 1 
1 1 1 1 1 1 
[K]ª 
1 1 [Kjb 1 1 1 1 - - --i - ---i [KJC = - - - --i 
EA EA 
1 1 1 1 1 1 
1 1 EA EA 1 1 EA EA 1 1 'B ' ' B ' 'B ' L L 
1 1 
L L 
1 1 1 1 
1 1 1 1 L L 1 1 1 1 1 1 1 1 
L -- - L--- L- --
Elemento a Elemento b Elemento e 
A estrutura inteira também "trabalha" entre A e B, e podemos efetuar o procedimento de montagem da matriz de rigidez 
da estrutura. 
,-------------------~-------------------~ , A , B , 
1 1 1 
,_ - - -- -- - -- --- -- -- - --'-- --- -- -- - -- -- - -- -- _, 
[K]Estrutura = 
(
EA +EA +EA) (-EA _EA _EA) 
L L L L L L 
(-_EA _EA _EA) (EA +EA +EA) 
L L L L L L 
r - - -
1 1 
1 1 
'A' 1 1 
1 1 
1 1 
- --i 
1 1 
1 1 
' B ' 1 1 
1 1 
1 1 
l - - -
--------y--------
1 A ' B ' 1 I 1 
1 1 --------1--------
3EA 1 3EA . -
L L 
..... ...................... , ) ................................ ' 
3EA 
L 
3EA 
L 
r- - -
1 1 
1 1 
'A' 1 1 
1 1 
1 1 
- --i 
1 1 
1 1 
' B ' 1 1 
1 1 
1 1 
l - - -
Como o grau de liberdade (nó) A está restrito, a parte da matriz de rigidez da estrutura a ser considerada para o cálculo 
dos deslocamentos é a parte que corresponde ao grau de liberdade (nó) B. Assim, a equação matricial que permite o 
cálculo dos deslocamentos nodais (que neste caso particular é somente um!) será: 
{F}B ={PJ= [K]B · {A}B = [3 · E· AIL] · uB 
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50 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
O termo [3 · E· AIL J representa a matriz de rigidez da estrutura constituída pelas três barras, associada aos graus de liber-
dade que se movem e tomam a matriz não singular. Neste caso é apenas um grau de liberdade, o deslocamento B. Ou 
· ' 1 · - ' · p JEA D d 'l 1 d 1 ºd d d 'l. 1· seJa, esta u tuna equaçao e a antenor = -- · u . e acor o com os ca cu os esenvo v1 os no estu o a ana 1se 1-
L 
near, a força interna transmitida pelo elemento de barra de treliça é dada por /interna= (E· AIL) · (uB - u A). Assim, como 
u A = O, pois a estrutura está restrita em A, e sendo u B = u, a força interna em cada barra será: 
Como a soma das forças internas equilibra a força externa (la + fi, + fc = P) e cada uma dessas forças internas é 
dada pelo produto da tensão axial pela área, podemos também escrever o equilíbrio da seguinte forma alternativa: 
A. (aª+ ab + ac) - P= O. Assim, cada barra estará submetida inicialmente a uma força dada por/= o-·A. 
As barras a, b e c são constituídas de material com tensão de escoamento respectivamente iguais a ae1 =20 Kgflmm
2, 
ae2=30 Kgflmm
2 e ae3 = 40 Kgflmm2. 
Primeiro estágio ou incremento de carga - /l - incremento 1 
Quando a força P é aplicada desde o valor zero e de forma crescente no conjunto das três barras que constituem a 
estrutura, o comportamento do conjunto é inicialmente elástico para as três barras submetidas à mesma tensão axial, 
' pois elas possuem os mesmos valores de forças fa = f,, = fc. A medida que a carga sobre o conjunto é aumentada, a 
tensão no elemento (a) atinge a tensão de escoamento do seu material antes das barras (b) e (c), pois apresenta menor 
tensão de escoamento. Assim, o elemento (a) escoa, e como por hipótese o material é perfeitamente plástico, esse 
elemento não pode sofrer nenhum acréscimo de tensão. Assim, à medida que a carga aplicada vai sendo aumentada com 
o objetivo de atingir o seu valor máximo, a rigidez da estrutura sofre alteração. Então, devemos avaliar cada trecho de 
carregamento considerando a rigidez nesse trecho. A estrutura será avaliada para um incremento de carga e não para 
a carga total. Desta forma, quando o incremento de força interna no elemento (a) for suficiente para que ele atinja a 
tensão de escoamento, ele não poderá trabalhar mais e o valor máximo desse incremento será dado por ( flfa) 1 = ( ª ez • A). 
Portanto, o elemento (a) não terá rigidez para absorver qualquer acréscimo de carga a partir do valor dado por 
(flfa)1 = (20 Kgflmm2 • 1 mm2) = 20 Kgf. A partir dessa condição a rigidez da estrutura deve ser atualizada, pois 
acréscimos de carga acarretam acréscimos de deslocamentos segundo uma proporção diferente, definida pela rigidez 
da estrutura, e ela se alterou porque uma das barras "não trabalha mais", vencido esse estágio ou incremento. A Figura 
2.5 indica como os deslocamentos crescem à medida que a carga externa é aplicada na estrutura, enquanto a barra 
(a) não ultrapassa o limite de escoamento do material que a constitui. O deslocamento apresentado pelo conjunto na 
condição em que se inicia o escoamentoda barra (a) será obtido a partir da equação válida para o incremento (1) 
(M)1 = (flfa)1 + (flf,,)1 +(flfc)1 = (3 ·E· AIL) · (fluB)z, ou seja: 
60 = (3 · 21000 · 1 I 2100) · fluB => (flua)1 = 2 mm= Deslocamento da estrutura após o 1º incremento de carga 
----------------1 
.... - ' I \ I 
1 '3EA 1 1 P = '--1*u : \ L I 
\ I 1 
' .... 1 -- 1 
Curva carga x deslocamento 
Todas as barras elásticas 
L__ _ ___. Rigidez tangencial KT 
3EA 
Kr = tga = L = 30 Kgf/mm 
Carga 
60 Kgf 
1 ° estágio - 1 ° incremento 
I 
I 
I 
I 
1
1 
.... , A primeira 
I 
/ .... ,. .... barra escoa 
"' k .... _-.,. -...._ 
_.... ' 1 
1 
a: 
1 
2 mn1 Deslocamento 
Figura 2.5. Antes de ocorrer o escoamento da barra (1), as três barras contribuem para a rigidez do conjunto. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 51 
A partir do instante em que a barra (a) atinge o limite de escoamento de seu material, ou que a estrutura apresenta deslo-
camento do ponto B dado por u B = ( flu JJ 1 = 2 mm, somente as barras (b) e ( c) resistirão à acréscimos de carga. Assim, 
a partir desse instante, um ''novo problema se inicia'', com uma nova rigidez, cuja condição inicial é a condição final 
dada pelo cálculo da estrutura na qual as três barras trabalhavam. Passemos agora então a nos preocupar com o novo 
, . . . . . 
estagio, ou incremento que se inicia. 
Segundo estágio ou incremento de carga - tJ. - incremento 2 
Necessitamos calcular o incremento de deslocamento (fluB)2 que será somado ao deslocamento até agora deter-
minado. Para a determinação desse incremento de deslocamento (fluJJ2, como só duas barras trabalharão, devemos 
contabilizar a nova rigidez da estrutura a partir desse estágio. O raciocínio é idêntico. Deve-se obter a rigidez da 
estrutura para o cálculo desses incrementos como foi feito anteriormente, mas somente com duas barras e utilizando a 
técnica do vetor de localização. A Figura 2.6 resume essa sequência. Quando a tensão no elemento (b) atingir a tensão 
de escoamento do material da barra (b) - ae2 = 30 Kgflmm2, o elemento (2) não terá rigidez para absorver qualquer 
acréscimo de carga. Como calculado anteriormente, no início do estágio em que somente as barras (b) e ( c) estavam 
aptas a trabalhar na estrutura, a tensão na barra (b) já era 20 Kgflmm2 e o limite de escoamento do material dessa barra 
é 30 Kgf/mm2. Assim, essa barra só terá capacidade de absorver um acréscimo de tensão de (flub)2 = 10 Kgflmm2, ao 
qual (flub)2 está associado um acréscimo de força (flf,,)2 = (flub)2 · (A)~ (fl/J2 = (10 Kgflmm2) • (1 mm2) = 10 Kg{. 
A Figura 2.6 indica como os deslocamentos crescem à medida que a carga externa é aplicada na estrutura em função da 
sua nova rigidez, enquanto a barra (b) não ultrapassa o limite de escoamento do material que a constitui. O deslocamento 
apresentado pelo conjunto na condição em que se inicia o escoamento da barra (b) será obtido a partir da equação que 
traduz a correspondência entre forças e deslocamentos nesse incremento, ou seja, a equação que contabiliza a rigidez 
nesse trecho, apresentada na Figura 2.6 utilizando os vetores de localização. 
[K]Estrutura = 
r------------------,------------------, , A , B , 
1 I 1 -------------------~-------------------
(Et +Et +o} (-Et-Et-o) 
(-Et-Et-o} (Et+Et +o} 
,- - -1 
1 1 
1 1 , A, 
1 1 
1 1 
1- - - i 
1 1 
1 1 
' B ' 1 1 
1 1 
, _ - _1 
.--- --- --""T'"- -- - -- - .. 
: A : B : 
'- - - - - - - _, _ - - - - - - -' 
2EA 
L 
2EA 
L 
2EA 
L 
2EA 
L 
,- - -1 
1 1 
1 1 
'A' 1 1 
1 1 
1- - - i 
1 1 
1 1 , B , 
1 1 
1 1 
1 _ - _I 
O grau de liberdade (nó) A está restrito. A parte da matriz de rigidez da estrutura a ser considerada para o cálculo dos deslocamentos é a que corresponde ao 
grau de liberdade (nó) B. Assim, a equação matricial que permite o cálculo dos incrementos de deslocamentos nodais (que neste caso é somente um!) será: 
A partir do escoamento da 1 ª barra 
Carga 
Só as barras (b) e (c) resistem a acréscimos de carga 
,- - - - - - - - - -, 
: 2EA : 
, Kr= L , 
1 1 
1 1 60Kgf 
I 
I 
I 
2mm 
2° estágio - 2° incremento 
/ ... ,. A segunda 
,'-........ \ I •,. ... barra escoa 
I-
li 1 \ '-... 
Deslocamento 
Figura 2.6. Antes de ocorrer o escoamento da barra (2), as barras (2) e (3) contribuem para a 
rigidez do conjunto. A barra (1) não resiste mais a acréscimos de carga depois de ter escoado. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear -Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
52 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
A relação entre esse acréscimo de força e o acréscimo de deslocamento (flu~2 é contabilizada pela rigidez da estrutura, 
que agora é atualizada para esse incremento de carga e permite calcular o incremento de deslocamento, conside-
rando que a barra (a) não contribui para a rigidez da estrutura nesse segundo estágio. A montagem da matriz é efetuada 
como antes foi feito para as três barras, porém sem a contribuição da barra (a), como indica a Figura 2.6. 
O acréscimo ou incremento de deslocamento apresentado pelo conjunto na condição em que se inicia o escoamento da 
barra (b) será obtido a partir da equação válida para o incremento (2): 
(M')2 = (flf,,)2 + (flfc)2 = 20 = ( 2 · 21000 · 1 I 2100) · fluB => (flu~2 = 1 mm 
Assim, o deslocamento após o segundo incremento de carga será dado pela soma do deslocamento obtido no primeiro 
incremento e do incremento de deslocamento obtido no segundo incremento. Ou seja: 
Deslocamento da estrutura após o 2º incremento de carga = 2 mm + 1 mm = 3 mm 
Carga total aplicada na estrutura até este estágio = 60 Kgf + 20 Kgf = Total= 80 Kgf 
Tensão nas ballas (b) e (c) = 20 Kgflmm2 (final do 1° estágio) + 1 O Kgflmm2 (incremento no 2º estágio) = 30 Kgflmm2 
Terceiro estágio ou incremento de carga - !3. - incremento 3 
Necessitamos, finalmente, calcular o incremento de deslocamento (fluB)3 que será somado ao deslocamento até agora 
calculado. Para isso, como somente uma barra trabalhará, devemos contabilizar a nova rigidez da estrutura a partir 
desse estágio. Deve-se obter a rigidez da estrutura para o cálculo desse incremento como foi feito anteriormente, mas 
somente com uma barra e utilizando a técnica do vetor de localização. A Figura 2.7 resume essa sequência. Quando a 
tensão no elemento (c) atingir a tensão de escoamento do material da barra (c) - ae3 = 40 Kgflmm2 - o elemento (c) não 
terá rigidez para absorver qualquer acréscimo de carga. Porém, como calculado anteriormente, no início do estágio 
no qual somente a barra (c) estava apta a trabalhar na estrutura, a tensão na barra (c) já era 30 Kgflmm2 e o limite de 
escoamento do material dessa barra é 40 Kgf/mm2. Assim, essa barra só terá capacidade de absorver um acréscimo 
de tensão de (fluc)3 = 10 Kgf/mm2, ao qual (fluc)3 está associado um acréscimo de força (flfc)3 = (fluc )3 • (A) --+ 
(flfc)3 = (10 Kgflmm2) • (1 mm2) = 10 Kg{. A Figura 2.7 indica como os deslocamentos crescem à medida que a carga 
externa é aplicada na estrutura em função da nova rigidez dela, enquanto a barra ( c) não ultrapassa o limite de escoamen-
to do material que a constitui. O deslocamento apresentado pelo conjunto na condição em que se inicia o escoamento da 
barra ( c) será obtido a partir da equação que traduz a correspondência entre forças e deslocamentos nesse Incremento, 
ou seja, a equação que contabiliza a rigidez nesse trecho, apresentada na Figura 2. 7 utilizando os vetores de localização. 
A relação entre esse acréscimo de força e o de deslocamento (fluB)3 é contabilizada pela rigidez da estrutura, que agora 
é atualizada para esse incremento de carga e permite calcular o incremento de deslocamento, considerando que as 
barras (a) e (b) não contribuem para a rigidez da estrutura nesse terceiro estágio. A montagem da matriz é efetuada como 
antes foi feito para as três barras, porém sem a contribuição dasbarras (a) e (b), como indica a Figura 2.7. 
O acréscimo ou incremento de deslocamento apresentado pelo conjunto na condição em que se inicia o escoamento da 
barra (c) é obtido a partir da equação válida para o incremento (3): 
Assim, o deslocamento após o terceiro incremento de carga será dado pela soma do deslocamento obtido no final do 
segundo incremento e do incremento de deslocamento obtido no terceiro incremento. Ou seja: 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 
Deslocamento da estrutura após o 3a incremento de carga = 3 mm + 1 mm = 4 mm 
Carga total aplicada na estrutura até esse estágio = 80 Kgf + 1 O Kgf = Total= 90 Kgf 
Tensão na barra (c) = 30 Kgflmm2 (final do 2a estágio)+ 10 Kgflmm2 (incremento no 2a estágio)= 40 Kgflmm2 
[K]Estrutura = 
___________________ T __________________ _ 
' A ' B ' 1 I 1 
1 1 -------------------·-------------------
(E:+ O+ O) 
(-E: -O- O) 
(-E: -O- O) 
{E1 +o+o} 
r - - -
1 1 
1 1 
'A' 1 1 
1 1 
1 1 
-- --t 
1 1 
1 1 
'B' 1 1 
1 1 
1 1 
L - - -
.... --- -- --.. - ----- --. 
: A : B : 
1_ -- --- -- ... __ ---- __ 1 
r - - -
EA EA 
1 1 
1 1 
'A' 
L L 
1 1 
1 1 
1 1 
- - - -t 
EA EA 
1 1 
1 1 
' B ' 
L L 
1 1 
1 1 
1 1 
1, _ - -
53 
O grau de liberdade (nó) A está restrito. A parte da matriz de rigidez da estrutura a ser considerada para o cálculo dos deslocamentos é a que corresponde ao grau 
de liberdade (nó) B. Assim, a equação matricial que permite o cálculo dos incrementos de deslocamentos nodais (que neste caso particular é somente um!) será: 
A partir do escoamento da 2ª barra 
Carga 
A terceira 
barra escoa 
'-.. \ / 
Só a barra (c) resiste a acréscimos de carga 90Kgf 
80Kgf ----------1 1 
: EA : 
: KT = L 
I_ - - --- - - --
60Kgf 
2 mm 3 mm 4 mm Deslocamento 
Figura 2.7. Antes de ocorrer o escoamento da barra (b), as barras (b) e (c) contribuem para a 
rigidez do conjunto. A barra (1) não resiste mais a acréscimos de carga depois de ter escoado. 
Ao final do terceiro incremento, todas as barras atingem a tensão de escoamento dos materiais que as constituem. Como 
os materiais são idealmente plásticos, a estrutura não terá capacidade de suportar qualquer acréscimo de carga a ela, 
então atingiu a carga de colapso. Essa situação é representada graficamente pelo diagrama carga x deslocamento da 
Figura 2.8. 
A partir do 
escoamento da 
terceira barra 
Nenhuma barra resiste 
a acréscitnos de carga 
A estrutura fica 
completamente 
sem rigidez 
o 
Carga 
A terceira 
barra escoa 
'-.. \ / 
90Kgf 
80Kgf 
---------------=-t~-----
1'\" 
60Kgf Colapso!!! 
~----c_o_Ia_p_so_da_es_t_ru_t_u_ra ____ ~I V ~I __ K_T_º_~ 
2mm 3 mn1 4 ID111 Deslocamento 
Figura 2.8. Após ocorrer o escoamento das barras (a), (b) e (c), a estrutura entra em colapso. 
Não há mais rigidez na estrutura para suportar cargas adicionais. A carga de colapso foi atingida. 
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54 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Algumas observações práticas 
Nos modelos constituídos por muitos graus de liberdade, esse processo incremental é aplicado a todos os elementos 
do modelo, checando-os quanto à mudança de propriedades. A curva carga x deslocamento para a estrutura poderia 
ser representada por trechos onde a alteração de rigidez de um trecho para outro não daria um "salto" tão grande como 
nesse exemplo das três barras. Um caso interessante corresponde à flexão de uma chapa em seu próprio plano sob a 
ação de uma carga em sua extremidade, como representado a seguir. Sabemos que essa flexão produz tração na parte 
superior e compressão na parte inferior da chapa. Antes de atingir a tensão de escoamento nas partes superior e inferior, 
o material comporta-se dentro do regime elástico, mas à medida que a carga aumenta, as regiões extremas superior e 
inferior na região do engastamento ficam sujeitas a tensões maiores e plastificam antes das regiões internas da chapa. 
Se considerássemos o material idealmente plástico, o diagrama de tensões na chapa à medida que as fibras externas fos-
sem plastificadas seria representado progressivamente como na figura seguinte, até que toda a seção plastificaria, não 
haveria nenhuma capacidade adicional de resistir à carga externa e a estrutura da chapa entraria em colapso. Esse 
momento máximo que corresponde à total plastificação da seção da chapa é o momento plástico MP. O momento em 
que se inicia o escoamento das fibras da extremidade da chapa é Me, sendo ue a tensão de escoamento do material. 
Quando um elemento se plastifica, a sua rigidez se altera, bem como a da estrutura. Neste caso, a estrutura vai perdendo 
progressivamente a sua rigidez até o colapso. O diagrama carga x deflexão ilustra a variação da rigidez da estrutura, que 
varia à medida que a carga cresce. 
Engastamento Os elementos das extremidades iniciam antes a plastificação 
• 
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• 
Diagra ma de tensões normais na seção engastada 
O" 
r-1 
Linha neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Seção sünétrica M < M e 
O" = O" e 
r--1 
M = M e 
K0 - Rigidez no primeiro trecho - antes da plastificação 
K1 - Rigidez no segundo trecho - após início da plastificação 
K? - Rigidez no terceiro trecho - após início da plastificação - . 
K,1 - Rigidez no n-ésimo trecho - após início da plastificação 
O" = O" e 
r-1 
, 
O" = O" e 
I • • I 
7 ------ -------
L:. 
................ ~:::::! 
, 
, 
M < M < M e p 
Carga P 
. , 
, , 
• • . . 
• • 
• • • • • , . . , . . " " , , , . , , , . . . , , . . . ' . :: ' . , . ' . . . ' . . . . ' 
• • 
• • , . . . . ' . ' , , 
" ' . ' 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
, 
, 
• , , 
, 
• • • 
M = M p 
K2 
• K3 , , 
, 
• • , 
• • , 
• 
• 
• 
• 
' ' ' ' 
• • 
• • 
• • 
• • 
Momento 
Carga na 
extremidade 
p 
plástico da ( MP) 
seção 
.. . .. . .. 
... . . 
Deflexão t,. na 
extremidade livre 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 
2.3 O Problema Básico da não Linearidade Geométrica: 
Quando as Grandes Deflexões Alteram a Equação de Equilíbrio 
ao longo do Carregamento e a Rigidez Varia 
55 
Vamos introduzir o fenômeno da não linearidade geométrica por intermédio da solução de um problema simples, que 
admite solução analítica e permite entender como a rigidez se altera à medida que o carregamento é aplicado na estru-
tura. Ou seja, à medida que a carga vai sendo aplicada, os deslocamentos obtidos não crescem na mesma proporção 
que o aumento da carga. O objetivo, por intermédio deste exemplo simples, é examinar como a relação entre força e 
deslocamento, que contabiliza a rigidez da estrutura, vai se alterando à medida que a carga é aplicada. Vamos considerar 
no exemplo uma viga em balanço com apoio elástico na extremidade, uma mola torcional linear, de acordo com a Fi-
gura 2.9. A força P mantém-se sempre na vertical, por hipótese. A mola reage às ações externas produzindo uma reação 
M = k · @, em que k é conhecida. 
Resolução 
L Na Figura 2.9, se a estrutura mantém-se em equilí-
brio para qualquer valor de P, podemos montar as 
equações que traduzem o equilíbrio entre forças e 
momentos que agem na estrutura. Neste caso, fare-
mos um diagrama de corpo livre da estrutura inteira, 
e a força externa P e o momento causado por ela no 
ponto de apoio devem ser equilibrados pelas reações 
de apoio. 
- -------------------------------------------
O momento causado pela ação da força P no apoio 
é calculado a partir do conhecimento do compo-
nente da força P perpendicular à linha do centroide 
da viga, representada na Figura 2.1 O e cujo valor é 
P · cos0. Assim: 
Equilíbrio do momento causado por P no apoio: 
M=k· 
p 
(P • cosO) · L = M ~ P · cosO · L = k · @ ou 
Figura 2.9. Viga em balanço com apoio 
elástico de mola torciona/ de constante k. 
k-0 
P=---
L·cos0 
p 
Esta última equação permite observar a relação entre a carga aplicada e o ângulo obtido na extremidade da viga 
onde está o apoio elástico - mola torcional - que segue uma relação não linear. Não existe uma relação de propor-
, 
cionalidade entre P e 0. A medida que P aumenta, o ângulo 0 não cresce na mesma proporção, mas depende do 
cos 0, que constitui um termo não linear. 
0 
M = (P · cos 0) · L 
p P. cose 
0 
L 
• 
Figura 2.10. Equilíbrio da estrutura em uma condição deformada qualquer definida pelo ângulo 0. 
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56 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Somente em um pequeno intervalo poderíamos considerar a existência de uma relação linear entre P e 0. Ou seja, 
em uma condição muito especial, o aumento da carga P resultaria aumento do ângulo 8 na mesma proporção. Quando 
os ângulos 0 obtidos devido à ação da carga P são muito pequenos, temos uma condição especial. Da matemática, 
sabemos que para 0 ~ 5° 44' temos tg 0 ~ sen 0 ~ 0Radianos e adicionalmente, podemos considerar nessa faixa em 
que a estrutura trabalha com ângulos pequenos - cos 0 ~ J. Fisicamente, dizemos que a estrutura está nas condições de 
pequenas de.flexões, então temos: 
k-0 
P=-
L 
k 
P=-·0 =C-0 
L 
A relação entre P e 0 para pequenas de.flexões, ou seja, 
ângulos 0 muito pequenos, é linear, P = C · 0 
A Figura 2.11 representa as duas relações entre carga P e ângulo 8 graficamente, de sorte a enxergar como o ângulo 8 
cresce à medida que a carga é aplicada desde os primeiros estágios até valores maiores. Fica clara a relação não linear 
quando os ângulos 8 são grandes. Vale ressaltar que, sendo /1 o valor da deflexão, como sen 0 = /1 / L, uma relação 
não linear também se aplica à correspondência entre carga e deflexão, ou seja, elas não mantêm uma proporção di-
reta. Como a relação entre carga e deflexão é a contabilização da rigidez da estrutura, a rigidez varia. Assim, grandes 
deflexões proporcionam mudança de rigidez da estrutura, o que toma o problema não linear. A questão central é que, 
se a rigidez não varia, a linearidade entre cargas e deflexões se mantém e, para um incremento de carga conhecido, o 
incremento dos deslocamentos já está previamente determinado. 
A rigidez da estrutura está disponível quando se acaba de preparar o modelo em elementos finitos. Porém, se ela varia 
e não conhecemos previamente como essa alteração se processa, como determinar os deslocamentos reais da estrutura? 
Esta é a grande questão das não linearidades em estruturas reais, de geometrias complexas. Neste exemplo particular, de 
solução analítica disponível, não haveria maiores dificuldades, mas nos problemas reais de estruturas com milhares de 
graus de liberdade, a solução requer algumas ''previsões" a respeito de como a rigidez da estrutura se altera à medida que 
o carregamento é aplicado nela. Já mencionamos antes que os métodos incrementais e iterativos ajudam a prever como 
essa alteração se processa. Como os deslocamentos variam à medida que a carga é aplicada, e constituem, portanto, uma 
função, temos de utilizar algumas técnicas para prever como determinar o valor de uma função, a partir do conhecimento 
dela em um estágio anterior. Nesse ponto recorremos aos recursos da matemática, mas isso deve ser feito tendo claros 
os objetivos, senão corremos o risco de dar enfoque, no estudo do método dos elementos finitos na análise não linear, 
apenas a técnicas matemáticas, sem visão física. Faremos isso adiante tomando esse cuidado. 
r---------------------, 
,A figura ao lado representa a condição, 
: de equilíbrio para a condição de : e:;> 
1 pequenos ângulos e ângulos maiores 1 
PL 20 
K 
.___ ... --------- ----------
' 
, 
PL = 0 
K 
l 
' • 
PL 0 -
K cose 
l 
Equação de equilíbrio 
não linear, decorrente da 
mudança de geometria 
afetando a equação de equilíbrio 
15 
10 
Não linearidade 
geométrica 
Figura 2.11. Para pequenos ângulos, as soluções linear e não linear apresentam resultados muito 
próximos, porém à medida que o ângulo 0 cresce, e com ele crescem em consequência os 
deslocamentos, os resultados obtidos pelas equações linear e não linear são muito diferentes. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 
2.4 Quando a não Linearidade Geométrica Vem Acompanhada de Instabilidade 
da Estrutura - Os Deslocamentos Aumentam sem o Aumento da Carga 
57 
A Figura 2.12 representa uma estrutura treliçada sujeita à carga P. Vamos estudar o comportamento dela à medida que, 
estaticamente, a estrutura vai sendo carregada até atingir uma carga máxima. Este problema é muito semelhante aos 
problemas ocorridos em estruturas como cúpulas que, sujeitas à pressão, instabilizam repentinamente. O objetivo é 
equacionar todos os passos observados à medida que o carregamento é aplicado lentamente, e identificar as sucessivas 
posições de equilíbrio da estrutura conforme a deformação dela se manifesta. O problema da treliça permite solução 
analítica. O seu entendimento permite fazer algumas generalizações para as estruturas de muitos graus de liberdade, em 
que as soluções numéricas por intermédio dos modelos discretizados estarão disponíveis e as soluções analíticas não, 
como o caso da Figura 2.12. Quando pressionamos lentamente a "cúpula" da garrafa plástica, ela repentinamente dá um 
"salto" (snap-through). Durante a ocorrência desse salto os deslocamentos (11) aumentam significativamente, e não é 
necessário aumento de força para isso. Após o repentino afundamento da "cúpula", e o salto para a nova posição em que 
observamos o afundamento dela, para continuar deformando localmente a garrafa, necessitamos aumentar progressiva-
mente a força aplicada. Obter a relação entre a carga P e o deslocamento 11. 
A força em cada barra é dada por Fb(t) = K · ô, em 
que K é constante e ô = variação de comprimento da 
barra. A hipótese de que K é constante é válida para 
pequenas deformações. Embora as deflexões sejam 
grandes, as deformações são pequenas. Deformações 
grandes, como, por exemplo, o caso da borracha, são 
estudadas adiante. 
Como a estrutura da Figura 2.12(a) é simétrica e o car-
regamento também, podemos avaliar, devido à condição 
de simetria, somente metade da estrutura com metade da 
carga, tal como mostra a Figura 2.12(b ). o 
(a) 
o 
(b) 
15° 
15° 
A 
P(t) 
i 2 
A 
Estudo de metade da estrutura, 
decorrente da condição de simetria 
Figura 2.12. Estrutura na forma de arco simples com duas barras sujeita a 
grandes deslocamentos, que configura a não linearidade geométrica. 
Resolução 
A questão central da não linearidade geométrica reside no fato de que a equação de equillbrio se altera à medida que 
a estrutura se deforma. Ou seja, não é a mesma coisa montar as equações de equilíbrio da estrutura na condição inde-
formada e na condição deformada. Nos problemas básicos de estática da resistência dos materiais, sempre montavam-se 
as equações de equilíbrio na condição indeformada da estrutura, ou seja, não havia diferença entre as duas situações 
mencionadas anteriormente. Agora, na presença de grandes deflexões, para avaliarmos essa nova situação, só temos 
uma alternativa: montar as equações de equillbrio da estrutura considerando a deformação dela e identificando as 
variáveis que possam representar essa condição, e que não apareciam na condição indeformada, como normalmente são 
tratados os problemas lineares. Assim: 
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58 
Problema de 
grandes deslocamentos 
Elementos Finitos- A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
O equilíbrio da estrutura é determinado na 
configuração deformada em um dado instante t. 
Na condição deformada da Figura 2.13, deve-se considerar o ângulo P(t) e os correspondentes 11(t) e e(t) que decorrem 
do fato de que o equilíbrio não mais se manifesta no ângulo fixo de 15°, mas no ângulo ~(t), que assume diferentes valo-
res à medida que a carga é lentamente aplicada ao longo do tempo t. Em um problema de estática linear, com pequenas 
deflexões, o ângulo ~(t) nem entraria nesta discussão e, consequentemente, na montagem das equações. Montaríamos 
a configuração de equilíbrio para o ângulo de 15° e pronto. Em resumo, no problema linear, 15° + P(t):::: 15°, pois P(t) 
, . , , . 
e mmto pequeno ate a carga maxuna. 
A montagem do problema não linear passa estrategicamente sempre por duas condições: 
• Identificar a geometria deformada da estrutura e nela reconhecer como os elementos se deformam. Na Figura 
2.13.a, podemos identificar na condição deformada que a barra encurtou o seu comprimento. A geometria deforma-
da dela mostra claramente esse fato. Já sabemos que as expressões que quantificam as deformações são relações 
essencialmente geométricas. De posse da deformação da barra, e conhecendo a equação constitutiva que relaciona 
deformações e forças internas (que neste caso é Fb(t) = K. ô), podemos calcular a força interna que solicita a 
barra nessa condição deformada. 
• Em segundo lugar, temos a condição de equilíbrio que deve ser satisfeita, nessa condição deformada. O pon-
to C, bem como todos os pontos da estrutura, deve estar em equilíbrio. A barra aplica uma força no ponto C, , 
que é Fb. Essa força surgiu da força de compressão que a barra sofre devido à sua deformação. E então uma força 
interna, que deve estar necessariamente em equilíbrio com a força externa. Ou seja, a segunda condição é o 
equilíbrio de forças interna e externa. A Figura 1.13.b mostra essa situação de equilíbrio. 
Condição geométrica 
Antes 
~ o ---=----
B 
Depois 
A barra que antes estava indeformada passa para a situação 
deformada depois da ação do carregamento. A observação 
das duas geometrias permite avaliar a deformação, já que esta é 
uma relação essencialmente geométrica. Ou seja, "olhando" para 
a figura e usando os conhecimentos de geometria, sabemos o 
quanto a barra encurtou. En1 seguida, de posse da equação 
constitutiva, sabemos a força interna na barra associada a esta 
deformação. Nesse caso, e(t) define o encurtamento da barra. 
Esta força aplicada no 
ponto C surgiu porque 
a barra se deformou, 
encurtou e está 
' comprimida. E uma 
força interna. 
I \ 
/777777 
Condição física 
P(t) 
2 e 
,, "l~ 
ÇX, ~~ 
1 '"' 1 
1 
1 
Esta força aplicada no 
ponto C surgiu da ação 
do carregamento externo. 
' E uma força externa. 
Essas duas forças devem estar em equilíbrio!!! 
O componente vertical da força Fb deve equilibrar 
a força vertical P(t)/2. É importante conhecer B(t) 
para defmir esse componente. 
Figura 2.13. Geometria deformada da estrutura e forças externa e interna em equilíbrio. 
Assim, a discussão anterior permite estabelecer uma condição que se repetirá nos casos mais gerais de sistemas com 
muitos graus de liberdade, e que exprime uma condição jisica. Para uma estrutura em equillbrio, as forças externas 
aplicadas nos diversos pontos dela ( esses pontos nos modelos de elementos finitos são os nós!) devem estar em equi-
líbrio com as forças internas aplicadas pelos elementos nesses mesmos nós. Uma importante condição sempre está 
presente na análise não linear envolvendo grandes deslocamentos: 
Problema de 
grandes deslocamentos 
Apliquemos então as duas condições anteriormente mencionadas. 
O equilíbrio da barra é determinado na 
configuração deformada em um dado instante t. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 59 
Condição Geométrica 
A barra OA tem comprimento L antes de se deformar. A sua projeção horizontal é OB e pode ser obtida, pois a barra 
forma um ângulo de 15° com a horizontal. Depois de se deformar, a barra tem comprimento OC, mas sua projeção ho-
rizontal também é OB e pode ser equacionada, pois a barra forma um ângulo de P(t) com a horizontal. A geometria dos 
dois triângulos gerados, OAB e OCB, permite identificar os senos e cossenos dos ângulos envolvidos nas situações antes 
e depois da deformação. As relações geométricas são construídas a partir dessas geometrias. Assim: 
[ L - e( t)] · cos /3 ( t) = L · cos 15º (I) (As projeções das barras deformada OC e indeformada OA no eixo 
horizontal são iguais) 
[ L - e( t)] · sen/3 ( t) = L · senl 5º - .1( t) (II) (Projeção da barra deformada OC no eixo vertical) 
/3( ) 
L · senl 5° -,1( t) 
sen t = ------ (III) (Seno do ângulo P(t) no triângulo retângulo OBC) 
L- e(t) 
, 
E importante quantificar esse ângulo P(t) à medida que o carregamento é aplicado, ou seja, à medida que e(t) e 11(t), que 
estão relacionados um ao outro, evoluem, pois como foi visto na Figura 2.13, o componente vertical da força Fb, que 
atua na direção dada pelo ângulo P(t), vai equilibrar a força vertical P(t)/2 . 
.... ----- ... 
,,, ' 1, L - e(t) ,,, , -- --,--
' ' ' 
' ' 
. _.., 
1 1 
1 
' 1 1 
~(t) 
' -h 
~ -~-------::=-~~ \ ~ ------ ------- e, L · senl 5° _ --: : ____ ::::: ,--1s0 - - - - - -J P(t) : 
- -- -- __ _J_ 
~--------------------' B 
L · cos15º -- -- -(- [L - e(t)J · senP(t) -,,-.... _ _ .... -----------
Variáveis 
geométricas e 
configuração 
deformada no 
instante t. 
t 
Relações 
geométricas 
Figura 2.14. Representação da geometria da estrutura nas condições indeformada e deformada. A 
observação das duas situações permite identificar a mudança de comprimento da barra e, como consequência, , 
a sua deformação. E sempre bom lembrar que deformações são obtidas de relações essencialmente 
geométricas. Evidentemente existe um responsável por ela, que está relacionado pela equação constitutiva. 
Assim, é interessante relacionar e(t) com 11(t) na Expressão (III), de forma que nesta o sen P(t) estará relacionado apenas 
com 11(t). Desta forma, ao aplicarmos a equação de equilíbrio entre força interna e força externa no nó C, vamos obter a 
relação entre P(t) e 11(t), a qual representa em última análise a relação entre força aplicada na estrutura e deslocamento 
da estrutura, que é o objetivo final. 
Já que o passo mais importante foi dado em termos de entendimento da condição geométrica, faremos algumas mani-
pulações nas equações com o intuito de obter as relações de geometria. Nestas passagens seguintes, para simplificar a 
notação, vamos eliminar o símbolo de tempo (t), adotando-o somente na expressão final. 
[ L - e] · cos f3 = L · cos 15° (a) 
[L-e] ·sen/3 =L·sen15º -,1 (b) 
[ L - e ] 2 • cos2 f3 = L2 • cos2 15º (a) 
[L-e] 2 ·sen2 /3 =[L·sen15º -.1]2 (b) 
Adicionando as expressões anteriores (a) e (b) ~ [L - e]2 · cos2 p + [L- e]2 · sen2 p = L2 · cos2 15° + [L · sen 15° -11)2 
[ L - e )2 · {cos2 p + sen2 PJ = L2 · cos2 15° + L2 · sen2 15° + 112 - 2 · 11 · L · senl 5° 
[ L- e )2 · {cos2 p + sen2 PJ= L2 · [cos2 15° + sen2 · 15° J + 112 -2 · 11 · L · senl5°, e como sen2 x + cos2 x = 1, sendo 
x um ângulo qualquer, teremos: 
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60 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
[ L- e ]2 = L2 + ~2 - 2. ~. L. senl 5° e portanto, L2 - 2. L. e+ e2 = L2 + ~2 - 2. ~. L. senl 5°, resultando: 
e2 - 2 . L . e - (~2 - 2 . ~ . L . senl 5°) = O Esta corresponde a uma equação do segundo grau e apresenta duas raízes: 
e= 2L±~4-I! +4·1·(/J.
2 
-2·L·IJ.·sen15º) =L±~ 
2 
Neste caso, como a barra está sendo comprimida e reduzirá o seu comprimento, adotamos a solução que corresponde à 
diminuição do tamanho da barra, utilizando a raiz obtida pela subtração de L pelo termo da raiz quadrada. Assim:/ A( ) L · senl 5º -li( t) 
e(t) =L-\JL2 +li2 (t)-2·L·li(t)·sen15º) (2.1) sen,-., t = -----
_________________ __:_L:_:-e(t) 
(2.2) 
O ângulo P(t) obtido à medida que a carga é aplicada está relacionado ao estágio em que o carregamento se encontra, 
guardando uma relação imediata com ~(t) por intermédio do sen P(t). Se substituirmos e(t) de 2.1 na Expressão 2.2, 
obteremos a relação imediata entre o deslocamento~ e o ângulo~-
Condição Física 
A condição tisica, como já discutido, traduz equilíbrio entre as forças internas e externas. Para estabelecer o equilí-
brio no instante t, as cargas externas nodais e as forças nodais que correspondem às tensões nos elementos (ou seja, 
associadas aos elementos deformados, e que transferem forças aos nós) devem se equilibrar. 
A Figura 2.15 representa o equilíbrio de forças. Como as equações que traduzem o equilíbrio de forças envolvem as 
direções delas que, dadas neste caso pelo ângulo P(t), estão relacionadas ao deslocamento, conseguimos estabelecer para 
este problema a relação entre carga e deslocamento atuante na estrutura. 
Força 
Força 
externa 
~ P(t) 
2 
interna 
~F 
b ... '--"'' 
...... ~...... 90- p : ...... ... ... 
... ~~~~~~ P(t) 
9- ... _ ---------------
I \ 
/7777§ 
e 
"I·"-,,,, ,_N 
Força externa 
aplicada 
Forças internas 
componentes 
P(t) 
2 
Força externa 
Figura 2.15. Equilíbrio entre força externa aplicada no nó e força interna aplicada pelo elemento no mesmo nó. 
A condição de equilíbrio aplicada ao nó no ponto C na direção vertical permite escrever (L Forças Verticais= O): 
P(t) = Fb(t) · sen/3 
2 
• 
• • P(t) = 2 · Fb(t) · sen~(t) P(t) = 2 · k · e(t) · sen~(t) 
RJ/t) = Fb(t). cos~(t) - (Equilíbrio na direção horizontal- o nó em C não se movimenta nessa direção) 
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(2.3) 
Solução de Problemas Básicos não Lineares 61 
A Expressão 2.3 pennite finalmente relacionar a força externa atuante na estrutura, P(t), com o deslocamento fl, 
substituindo o sen P(t) nela. 
O raciocínio então está montado para a solução completa do problema. O ponto fundamental, visando as aplicações 
mais gerais, é o entendimento claro de que temos duas questões presentes na montagem da solução, sendo a condição 
geométrica e a condição fisica. O que necessitamos agora fazer é uma mera manipulação algébrica, substituindo 2.1 
em 2.2. Isso feito, devemos substituir 2.1 e 2.2 na Equação 2.3, e assim será obtida finalmente a relação entre carga e 
deslocamento da estrutura. Essa manipulação matemática deixamos a cargo do leitor, até porque não é a questão mais 
importante deste exemplo. Vamos sim, a partir da solução dele, efetuar algumas generalizações para os cálculos não 
lineares pelo método dos elementos finitos nos sistemas com milhares de graus de liberdade, e as condições geométrica 
e fisica estarão presentes. Assim, essa manipulação resultará: 
P(t) 
2-k·L 
1 
-1+-----------
~(t) ~(t) 2 
J-2 ·--·senl5º+ 
L L 
· senl5° - ~(t) 
L 
(2.4) 
A Equação 2.4 envolve a relação entre carga e deslocamento da estrutura, e é uma relação não linear, pois envolve a 
raiz quadrada do deslocamento e do quadrado do deslocamento. Para que este problema tenha caráter geral, a Expressão 
2.4 contabiliza a carga P(t) medida por unidade de rigidez k da barra e comprimento L dela em função do deslocamento 
, 
medido em relação ao comprimento inicial da barra (fl / L). E interessante que nos problemas de estruturas metálicas, 
o comportamento linear pode ser adotado para o caso das pequenas deflexões, ou seja, (fl / L) pequeno. Na prática isso 
se reflete na aplicação de algumas nonnas, que estipulam flechas máximas em relação ao vão livre L. Essa garantia é 
exigida para que, se aplicannos a teoria linear válida para pequenas deflexões, ela só seja aceitável se esses limites de 
deflexões (fl/ L) forem garantidos. Portanto, como a relação envolve fl/ L, seria esperado que, quando essa relação fosse 
muito pequena, a solução representasse o problema linear como um caso particular. Na prática, podemos, sem dúvida, 
equacionar e estabelecer também as condições para a estrutura trabalhar dentro da não linearidade, como neste exemplo. 
Apenas necessitamos saber que para esse caso a solução matemática linear não se aplica. 
A Figura 2.16 representa em um diagrama carga x deslocamento ( corrigido, como anterionnente comentado) o gráfico 
correspondente à Equação 2.4. A observação desse gráfico pennite tirar algumas conclusões importantes, o que fazemos 
em seguida. 
Nesta faixa da aplicação 
do carregamento, a 
relação ~/L é muito 
pequena, e a solução 
linear oferece a mesma 
resposta da não linear. 
Para M grande as 
soluções são muito 
diferentes. 
P(t) ( J0-3) 
2-k·L 
6 
4 
M 
-O 
-2 
-4 
2 
Comportamento linear 
Comportamento não linear 
---- N 
4 6 
~(t) ( 10-1; 
L 
"Snap-through" de M até N 
Figura 2.16. Comportamento não linear entre carga e deslocamento para a estrutura da treliça. 
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62 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
A Figura 2.16 mostra um comportamento tisico da estrutura muito interessante e semelhante ao exemplo da cúpula citado 
no início deste exercício. Para um mesmo nível de carga na estrutura, ela apresenta dois deslocamentos muito diferentes. 
A observação do gráfico da resposta indica que o deslocamento ''saltou" de A M (ponto M no gráfico) para A N (ponto N no 
gráfico), sem aumento de carga. Em outras palavras, para um mesmo valor de carga temos dois deslocamentos muito dife-
rentes, ou em consequência, duas configurações deformadas diferentes. Fisicamente, a estrutura instabilizou e partiu da con-
figuração dada por M para a configuração dada por N, sem aquela progressão lenta e gradual do carregamento na estrutura. 
A Figura 2.17 faz uma analogia entre este caso da treliça, que permite solução analítica, e o caso da cúpula. O caso da 
cúpula permite solução numérica aproximada pelo método dos elementos finitos, e a estratégia para a construção dessa 
solução numérica será em uma primeira instância mencionada após terminarmos este exercício, até porque a lógica de 
tratar a solução numérica aproximada será a mesma desenvolvida neste exercício, ou seja, entender a montagem das 
condições geométrica e flsica. Apenas são apoiados em algumas técnicas matemáticas que permitem resolver o proble-
ma com aproximação aceitável. 
Aumento gradual da 
carga e do deslocamento 
Carga 
o 
Trecho 
inicial 
Carga 
Neste trecho inicial de O a M, a 
carga vai aumentando lentamente 
e os desloca1nentos crescem 
' . controladamente. A medida que os 
deslocamentos vão aumentando, o 
comportamento deixa de ser linear, 
até que seja atingida a condição 
dada pelo ponto M, e ocorre o 
salto repentino de M para N. 
Compressão 
Salto!!! 
Salto!!! 
" Aumento gradual da carga e do deslocamento 
Deflexão 
, Após o 
1 , salto 
: 1 > 
1 
1 
1 
1 
1 
Neste trecho, após atingir 
o ponto N, a carga vai aumentando 
lentamente e os deslocamentos 
crescem controladamente de novo. 
O comportamento estrutural se 
altera. Antes do salto, essa região 
estava comprimida, agora tracionada. 
Tração 
Figura 2.17. Evolução da estrutura no comportamento não linear com instabilidade. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 63 
2.5 Nos Problemas com Muitos Graus de Liberdade, em que não há Solução 
Analítica, como Determinar a Evolução dos Deslocamentos em Função da Carga? 
Preparo da Abordagem dos Casos Gerais 
A questão fundamental do equilíbrio da estrutura nas sucessivas posições que ocupa, à medida que o carregamento é 
aplicado lentamente em uma análise estática, está, em termos de técnica de abordagem, resolvida. O exemplo anterior, 
embora simplese de possível solução analítica, deixa como herança as duas questões fundamentais que ocorrem sempre 
no cálculo do equilíbrio da estrutura: a condição geométrica e a condição fisica. 
Para a estrutura na condição deformada, a geometria dos elementos se altera, eles se "encurtam" ou se "expandem" 
e a consequência dessa condição de geometria alterada é que contabilizamos deformações, determinadas pela mera 
observação atenta e cuidadosa da geometria da estrutura nessa nova condição deformada. A geometria deformada dos 
elementos tem associação com os deslocamentos nodais. Aliás, grande parte dos cursos de estática de elementos finitos 
é destinada a relacionar os deslocamentos nodais às deformações dentro de elementos, pelo velho e conhecido processo 
da interpolação. A essas deformações estão associadas forças internas, tensões, contabilizadas pela equação constitutiva, 
e ao serem aplicadas nos nós do modelo, equilibram as forças externas aplicadas neles. 
Em um problema linear, ao terminarmos a "malha" de elementos finitos, o problema já está resolvido no âmbito dos 
deslocamentos unitários. Ou seja, a rigidez da estrutura já está definida e como ela não sofrerá alteração, a partir dela 
podemos calcular os deslocamentos para qualquer carga dentro dos limites da análise linear. Ou seja, ao terminarmos de 
preparar a "malha", temos uma rigidez de partida, que será utilizada para calcular os deslocamentos. A questão é que em 
um problema linear a rigidez de partida não se altera, e é a garantia de que podemos calcular os deslocamentos para , 
qualquer valor da carga. E bom lembrar que não há possibilidade de cálculo de deslocamentos sem o conhecimento da 
rigidez da estrutura. 
Aí começam a surgir questões interessantes e desafiadoras da análise não linear. Nela a rigidez não se mantém cons-
tante. A rigidez de partida se modifica à medida que a estrutura é carregada. Já falamos anteriormente que devemos 
dividir a carga em incrementos. Porém, mesmo em um primeiro incremento de carga, a rigidez de partida não avaliaria 
corretamente os deslocamentos, como mostra a Figura 2.18. Então, como calcular os deslocamentos se a rigidez varia 
e não há como equacionar analiticamente essa variação, pois temos milhares de graus de liberdade? Ou seja, em 
uma análise não linear a rigidez se altera e não sabemos a priori como isso acontece, então não podemos calcular os 
deslocamentos, pois esse cálculo depende da rigidez, e só conhecemos a rigidez de partida. A curva representativa do 
comportamento não linear da estrutura não é conhecida; ela é o que se procura conhecer, é a resposta do problema, pois 
com ela os deslocamentos são calculados. Na análise linear essa curva já é conhecida a priori, quando acabamos de 
fazer a"malha". 
Como resolver essa questão aparentemente sem solução? Entram os conceitos da condição geométrica e da condição 
fisica. Temos como certo que, para a estrutura sob a ação da carga AP1 conhecida, a estrutura estará deformada, e em 
consequência seus elementos estarão sujeitos às forças internas, e estas serão transferidas aos nós, como no problema 
anterior. Essas forças internas transferidas pelos elementos aos nós equilibram as forças externas aplicadas neles, desde 
que a estrutura esteja em equilíbrio. Não existe equilíbrio sem igualdade de forças internas e externas. 
Já que não conhecemos a condição deformada que corresponderia ao deslocamento A NL da Figura 2.18 provocado por 
AP1, pois não conhecemos a rigidez, surge a principal estratégia da análise não linear: "chutamos" uma configuração 
deformada, vizinha da condição inicial, que achamos ser representativa da deformação que seria produzida por AP1_ Cer-
tamente, não parece elegante para um engenheiro utilizar o termo "chutar". Digamos que vamos ''atribuir'' à estrutura 
uma configuração deformada que é uma tentativa de representar a estrutura deformada para a carga AP1 conhecida. 
Nessa estrutura deformada, os elementos estão entre os nós, que ocupam novas posições, e a distância entre eles não é 
a mesma que tinham antes de aplicar AP1. A condição geométrica, que já sabemos como funciona, vai permitir calcular 
as forças internas nos elementos para essa nova situação. Essas forças internas devem ser comparadas às externas apli-
cadas nos mesmos nós. Se a estrutura está em equilíbrio, necessariamente essas forças devem se equilibrar. Como essa 
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64 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
deformada foi apenas uma tentativa, essas forças provavelmente não se equilibrarão, e isso quer dizer que a estrutura 
não está em equilíbrio, ou seja, a tentativa inicial de reproduzir o equilíbrio não foi feliz. 
Poderíamos tentar diversas outras, até achar uma configuração deformada de sorte que as forças internas equilibrassem 
as forças externas. Finalmente, teríamos achado a configuração deformada que atende à condição de equih'brio, para 
esse pequeno incremento de Carga AP1. Essas inúmeras tentativas não são feitas ao acaso. Existem técnicas numéricas 
para efetuar sucessivas iterações de modo que, a partir de uma dada tentativa inicial, busquemos a condição de equilí-
brio. Essas técnicas, algumas das quais se aprendem nos estudos de cálculo numérico, são os métodos iterativos, alguns 
tomados como apoio adiante. No primeiro capítulo deste livro, apresentamos um exemplo muito simples de resolução 
de uma equação por sucessivas iterações. 
Curva representativa 
Carga ' , do comportamento linear 
Carga total a 
ser aplicada 
,' Rigidez de partida ,,..---
1 
1 
1 
1 
1 Ko 
1 
p 1 
1 
1 ,, 
1 ,, 
1 
Prime iro estágio 
ou incren1ento 
-- --
(a) 
-- --
Curva representativa do 
con1portamento não linear 
Rigidez real 
-- ------ ----
Deslocamento 
Rigidez de partida------------. 
(b) 
1 
1 
1 
1 
1 1 
+ + 1 1 
6.L - Deslocan1ento obtido pela 
rigidez de partida, cons iderando 
análise linear 
6 NL - Deslocamento real que seria 
obtido co1IJ a hipótese da não linearidade 
Figura 2. 18. Neste caso de um exemplo de estrutura não linear; para um pequeno incremento de carga AP 1, 
os deslocamentos calculados dentro da hipótese da linearidade diferem dos deslocamentos reais. Isso 
porque a rigidez da estrutura se altera, e o modelo linear não leva isso em conta. Ou seja, necessitamos 
corrigir a rigidez de partida da estrutura à medida que o carregamento atuante nela vai sendo aplicado. 
Ao final de um incremento de carga, quando a solução do equilíbrio foi obtida a partir de sucessivas iterações, inicia-se 
então um próximo incremento, buscando dentro da mesma lógica o equilíbrio no final desse novo incremento. Como 
podemos observar, esses incrementos de carga necessitam ser adequadamente escolhidos em função do problema a ser 
estudado. Se a curva carga x deslocamento, que não é conhecida a priori, representar uma variação de rigidez muito 
acentuada, incrementos grandes podem acarretar muitas dificuldades na busca da condição de equilíbrio. Alguns méto-
dos numéricos apresentam a capacidade de definir de forma automática a correção dos passos dados na análise. 
Dentro das estratégias de solução do equilíbrio de sistemas não lineares temos duas condições presentes em geral na 
busca das soluções. Os métodos são incrementais, pelos motivos já citados, e iterativos, pois efetuamos tentativas na 
busca da condição de equilíbrio da estrutura. Estudaremos também, adiante, a solução dos problemas dinâmicos não 
lineares. A essência deles consiste na solução de milhares de equações diferenciais, em que a variável é o tempo com a 
presença de forças de inércia. Essas equações necessitam ser integradas no domínio do tempo, então temos de dispor 
de algoritmos para esse fim. Assim, a solução dos problemas não lineares mais gerais, que envolvem também dinâmi-
ca, passam pelo entendimento dos três pilares que constituem a essência dos procedimentos de solução em análise nãolinear, a saber: 
Formulações incrementais- soluções iterativas - algoritmos de integração no tempo 
A Figura 2.19 representa um trecho de uma estrutura com vários graus de liberdade. Nela, podemos visualizar a condição 
geométrica e a busca da condição de equilíbrio. A ideia das sucessivas iterações dentro de um incremento constitui a 
ideia central. A maneira de operar essa estratégia numérica será abordada adiante, mas é fundamental entender os concei-
tos que são os pilares dessa abordagem, a condição geométrica e a condição física, aplicadas dentro de um incremento 
de carga e iterativamente. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 
y 
p --~ __ u_.i~I 
• • • • 
Zer~j 
• 
P - Carga : Incremento : 
: de carga de : 
: O a P : 
----"Çt~ ~~!-
---f- t~~=-----~-em- po• 
Antes ~ 
Antes ,--- - - - - - -• .. 1 ' 1 , ___ __ _ 
/-
- - - - - - - - - +------0---------i, .,' 
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fJ -- ---- -- --- ---- -- -- -- --- -- -- -- --- ---- -- --
\ 
\ 
\ 
/ 
/ 
/ ,......_ 
/ / 
/ / 
/ / 
/ / ' \ / / 
\/ / / 
,.•-, 'v/ . -. 
• • . , 
'••" 
V 
Deformada proposta 
A carga vai sendo progressivan1ente aplicada na estn1tura, a partir do valor zero. 
, 
,.__________ Força externa 
aplicada no nó 
Depois 
-
Forças internas aplicadas pelos elementos no nó, 
e que devem estar em equilíbrio com a força 
externa t.P1 aplicada no mesmo nó. 
(Se esta for uma condição de equilíbrio!) 
65 
Para o incremento de carga de zero a t.P1, atribui-se uma condição deformada 
proposta, decorrente dos deslocamentos assumidos. Essa deformada proposta 
pressupõe uma geo1netria defonnada dos elementos, que gera forças internas. 
A força externa t.P 1, em correspondência co1n os deslocamentos propostos, deve 
equilibrar nó a nó as forças internas. Caso esse equilíbrio não se verifique, esta não é 
uma condição de equilíbrio. O processo deve ser repetido várias vezes até encontrar-se 
a condição de equilíbrio. Somente após ter-se encontrado a condição de equilíbrio, 
parte-se para o estudo do próxitno incre1nento. Esse processo é efetuado de forma 
racional utilizando-se os métodos iterativos adequados para se efetuar essa busca. 
Essas forças são calculadas a partir da condição deformada 
proposta que imaginamos estar associada ao incremento de 
carga t.P1. O objetivo é encontrar uma deformada na 
qual as forças internas e externas se equilibrem. No 
caso as sucessivas iterações dentro do incremento 
resultaram no "acerto" da condição de equilíbrio 
Condição inicial 
conhecida 
Condição geométrica 
Propõe deformada para a 
estrutura dentro do incremento 
Repete o processo 
dentro do mesmo 
incremento 
Condição física 
Verifica se a estrutura está em equilíbrio 
para a geometria defonnada proposta 
A condição de 
equilíbrio foi 
verificada?? 
---------------------{ Não 
Inicia o próximo incremento 
e propõe a deformada para 
este novo Üicremento até 
encontrar a condição de 
equilíbrio 
>---+< Sim 
Figura 2.19. Na análise não linear, a configuração de equilíbrio é atingida por incrementas e iterativamente. Propõe-se uma 
configuração deformada por intermédio de um campo de deslocamentos assumidos no incremento. Na matemática há alguns 
recursos disponíveis que permitem, conhecendo-se o valor de uma função (por exemplo, os deslocamentos), determinar 
o valor dela depois de um incremento. A série de Taylor possibilita essa abordagem. Veremos como usar esse recurso adiante. 
2.6 O Problema Básico do Contato: Quando as Condições de Contorno Definidas 
no Início da Análise se Alteram - Como o Software Entende Isso no Meio do 
Processo de Análise? 
A Figura 2.20(a) representa uma estrutura que se deforma sob ação do carregamento externo. No âmbito das pequenas 
deflexões, este problema tem solução bastante conhecida nas aplicações da análise linear. No âmbito das grandes defle-
xões, os estudos de não linearidades geométricas que estamos iniciando vão mostrar o caminho para obtenção da respos-
ta. Lembremos inicialmente o caso da solução linear. Ela passa pela subdivisão da estrutura em elementos. O software 
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66 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
monta a matriz de rigidez da estrutura a partir da matriz de rigidez de cada elemento. Para isso, utiliza o procedimento 
de montagem, identificando os elementos nessa montagem, por intermédio dos vetores de localização. 
Vale lembrar que a solução matemática do sistema de equações é "terceirizada" com o software. Ele é "pago" apenas 
para fazer as "contas", ou seja, resolver as milhares de equações algébricas que resultam do processo de montagem. 
Quando essa árdua tarefa é transferida ao software, o sistema de equações deve ter solução possível e determinada. 
Não transferimos a ele uma tarefa impossível de ser resolvida. Para que isso ocorra, uma das condições-chave é que o 
sistema não apresente movimento de corpo rígido. Essa garantia é assegurada quando fornecemos as condições de apoio 
da estrutura, as restrições, também conhecidas como condições de contorno essenciais ou geométricas, que impedem 
qualquer dos seis movimentos de corpo rígido. Essenciais porque sem elas o problema não tem solução. Quem garante 
isso é o analista, nunca o software. O software elimina as linhas e colunas dos graus de liberdade restritos que foram 
informados pelo usuário, de modo que a matriz de rigidez não seja singular, ou seja, o seu determinante não seja zero. 
Quando montamos um modelo em elementos finitos e não damos essa garantia ao software, ele interrompe as "contas" 
e informa que houve um erro fatal (fatal errors ! ! !), o que tira o sono de muitos analistas. 
(a) 
E = 21000 Kgf/mm2 
........ . A p 
• A ~ • - -: 
- . A 1 1 
. 1000 mm . . 
. p 
íJãWE ~ !M1 ~!00!111 !tit! W;-!Wltiff U 
L CorteA-A 
• • 
100 ffilll 
' • 
. . 
. . 
4 mm 
Momento de 
inércia de seção 
I = (4. 1003)/12 
I = (106/3) mm4 
' 
.~ 
(b) 
A extremidade da viga 
se movimenta livremente 
- - -- ---- - - - --, ____________ u _______ _ 
o= "GAP" 
/SB------· 
- - - - - -- - _:.:i - - - - - - - - - - - - - ..!.. 
A extremidade da viga entra 
em contato com o apoio 
----------- --------------, 
Contato!!! 
- - - - - - - - - -r _- -_-_-_-_- ---------1~:~:'J' ~t~ +-8--~GAP" 
.... ._ ··" ~~~~-~~+ _____ _ . ·" ' 
A extremidade da viga continua : ... A = B 
1 
em contato com o apoio 1 
1 
Contato!!! 
• 
Figura 2.20. Estrutura sob ação do carregamento. Na figura (a), a estrutura em balanço se movimenta e o único 
vínculo é o engastamento. Na figura (b) ela se movimenta 11/ivremente11 apenas enquanto a extremidade livre não 
atinge o apoio. A partir desse instante temos uma nova condição de contorno; a estrutura passa a ser engastada em 
uma extremidade e apoiada na outra. Como a condição de apoio se alterou, a matriz de rigidez também se alterou. 
Resumindo, a decisão de fornecer a condição de contorno é do usuário e não do software. Se nos esquecermos de forne-
cer essa informação, o software não decide por nós no meio dos cálculos. Ele não cria uma restrição durante a execução 
das "contas". Se houver movimento de corpo rígido porque a estrutura não está completamente fixada, ele interrompe 
o processamento, informa o ''fatal error" e transfere o problema de volta para o usuário. Se não houver movimento de 
corpo rígido, mas as restrições fornecidas não representarem adequadamente a situação real, ele responde com uma , 
solução que não tem nenhuma relação com a realidade fisica, o que, convenhamos, pode ser até muito pior. E apenas 
um "número frio" sem nenhuma associação com a estrutura que estamos calculando. Em outras palavras, o softwareelimina as linhas e colunas que não representam as necessidades do problema real, e os deslocamentos calculados não 
representam o nosso real interesse. 
Imaginemos agora a situação fisica representada na Figura 2.20.b. Quando a extremidade livre atinge o apoio fixo ("base 
rígida''), uma nova restrição vale a partir desse instante, que em princípio não estava prevista no início da análise. Os 
graus de liberdade restritos a partir desse estágio não são mais aqueles que havíamos informado no início da análise, pois 
a "extremidade livre" agora está apoiada e não tem mais movimento na direção vertical. Neste caso particular da Figura 
2.20.b, mais uma linha e coluna da matriz deveriam ser eliminadas, pois o grau de liberdade associado ao movimento 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 67 
vertical do ponto extremo agora está restrito. Assim, as linhas e colunas da matriz de rigidez eliminadas no início da 
solução não previam o contato com o apoio, e temos mais uma linha e coluna a serem eliminadas. Em resumo, o usuário 
"não combinou isso com o software", ele não informou que essas linhas deveriam ser eliminadas, até porque, a priori, 
não sabia em que estágio do carregamento isso aconteceria. 
A realidade é que o procedimento de solução deve contabilizar a nova rigidez da estrutura a partir do contato estabeleci-
do entre a estrutura e o apoio, e neste caso não é uma mera atualização do material nem das propriedades geométricas. A 
condição de contorno se alterou durante a solução. Esta é a questão que devemos resolver. Vejamos a primeira ideia de 
efetuar esse controle. Certamente, com base nas considerações anteriores, começamos a perceber que essa decisão deve 
ser tomada antes do processo de análise iniciar, antes dos cálculos. De alguma forma a atualização da rigidez deve ser 
feita por algum elemento que já faça parte da malha e no modelo essa restrição também já deve existir originalmente, e 
só se manifestar no momento oportuno. Ou seja, o procedimento de solução já começa com as restrições definidas desde 
o início sem sofrer alteração durante o processo de análise, e a rigidez é atualizada a partir do instante em que o deslo-
camento obtido, nesse caso na extremidade da viga, atinja a distância, a folga ou o ''GAP'' ô entre a extremidade e o 
apoio. A partir dessa condição o elemento colocado entre a extremidade e o apoio começaria a trabalhar. Logicamente, 
então deve-se testar sucessivamente se essa distância não ultrapassa o apoio, e se isso ocorrer, não seria aceitável, pois 
a viga penetraria no apoio sem impedimento, o que corresponde a uma evidente impossibilidade fisica, já que a base é 
rígida. Esse teste só pode ser feito se o procedimento for incremental, verificando a evolução passo a passo do desloca-
mento da extremidade. 
O elemento que representa essa condição é o elemento de GAP, que estabelece a verificação da evolução do desloca-
mento entre os pontos A e B, até se estabelecer o contato entre A e B. Enquanto a extremidade A não atinge o ponto B, 
não há nenhuma resistência ao movimento da extremidade, é como se houvesse entre A e B uma "mola'' de rigidez zero. 
Quando a extremidade atinge o ponto B, ela não se movimenta mais, pois o apoio é rígido, impenetrável. Podemos dizer 
então que entre a extremidade da viga e o apoio temos um elemento com rigidez zero enquanto a extremidade não 
encosta no apoio, e com rigidez infinita quando a extremidade encosta no apoio. Certamente não podemos informar 
uma rigidez infinita ao software, mas podemos informar uma rigidez dele muito maior que a rigidez da extremidade da 
viga na direção vertical, por exemplo, 106 vezes a rigidez da viga. Isso quer dizer que, ao atingir o apoio, o GAP, ao ser 
solicitado, tendo rigidez infinita, praticamente não apresenta mais deslocamentos, ou ainda, numericamente, o desloca-
mento adicional é um número muito pequeno, ou seja, representa muito aproximadamente o apoio rígido, pois a função 
deste é não permitir o deslocamento adicional daquele nó. 
Assim, quando iniciamos o processo de análise, o elemento de GAP ( ou contato entre dois nós!) já faz parte do modelo, 
porém ele só começa a trabalhar a partir do instante em que o GAP inicial é atingido. Não mudamos a condição de 
contorno nesse caso, mas a rigidez do elemento, ou sua propriedade fisica, e de tal sorte que o seu valor numérico infi-
nito proporcione deslocamento praticamente zero para o ponto A, que em termos práticos faz o papel do apoio. Assim, a 
rigidez do elemento varia com os deslocamentos; neste caso particular, ela dá um "salto" de zero até "infinito", quando 
a viga tem o seu deslocamento de extremidade igual ao GAP, o que caracteriza, como sabemos, um comportamento não 
linear. Faremos um exercício inicial com elementos de mola a seguir para testar esse conceito e fazer as generalizações 
cabíveis. Essa aplicação da viga em balanço será mostrada por intermédio de um exemplo prático no software de análise 
no Quadro IV. A Figura 2.21 representa a ideia e o modo simbólico da ação do GAP. Constitui um elemento unidimen-
sional que permite representar a aproximação ou afastamento entre dois nós, e o consequente contato entre eles após uma 
dada condição estabelecida. No caso representado na Figura 2.21, após o ponto A deslocar-se da distância ô, o elemento 
unidimensional de GAP passa a ter uma rigidez axial à compressão como se fosse uma mola, sendo essa rigidez muitas 
vezes maior que a da viga, como comentado anteriormente. Entretanto, se o movimento ascendente do ponto A ocorrer, 
a extremidade da viga não ''puxa e arranca" o apoio; isso seria uma evidente impossibilidade fisica. Assim, o elemento 
deve ter a capacidade de representar essa situação real. Isso é feito definindo uma rigidez axial à tração nula. Se a distân-
cia que separa as duas extremidades é de 1 O mm, como mostra a figura, o GAP inicial é 1 O mm (lnitial Gap = 1 O mm). 
A rigidez vertical da viga no ponto A, como vimos em aplicações anteriores, pode ser avaliada por (3 · E · I) / 
(L)3 = (3 · 21000 · 106 / 3) / (1000)3 = 21 Kgf/mm. Como mostra a Figura 2.21, o elemento de GAP foi definido por 
intermédio das propriedades apresentadas de modo que o GAP inicial é 1 O mm, a rigidez à compressão é 106 vezes a 
rigidez vertical da viga nesse ponto (21 x 106 Kgf/mm) e a rigidez à tração é nula (Tension Stiffeness). 
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68 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
p 
------------~ ---------------, ---------------- ---------
Define Property • GAP Element Type 
1D 1 Tille GAP ·VIGA· SOLO 
Colo, 11 O I Peletle ... j 
EJ Drientation CSys 
Property V alues 
lnitial Gap 1 O 
Compresso, Stiffness@_OOOOOO 
T ensoo Stiffness O. 
T ren$ve,se Stiffne11 O. 
Y F,iction Coefficient O, 
. -ji.-_ . ô = "GAP" . . 
• :_ j\B-.:-- ----
. . . . . . 
GAP inicial 
Elemento 
deGAP 
Rigidez do GAP, 106 vezes a rigidez da viga 
A 
-L-
I ------~:-----r--... r 
' • ' . 
• 
• 
10 mm 
' ' ' 
Z F,iction Coefficient O, no ponto A, ou seja, k = 21 x 106 Kgf/mm - "infinita" 
Preload Force O, 
Figura 2.21. Estrutura deformando e condição em que a extremidade atinge o apoio. O elemento de 
CAP representa o início desse contato e o posterior comportamento da estrutura após essa condição. 
A rigor, no caso mais geral, este é o conceito físico presente no contato entre corpos. Não apenas entre dois pontos será 
definida essa condição de aproximação e consequente contato. Diversos nós das duas partes podem entrar em contato. E 
como fica sugerido a partir deste exemplo simples, a questão central do contato é a definição dessa rigidez entre as duas 
partes, até porque uma dos pontos vitais é representar a situação física real que impeça de um corpo penetrar no outro. 
No fundo, estamos voltando ao velho conceito,o primeiro de todos, o elemento de mola. Essa ideia está aqui presente. 
Existem alguns critérios para a definição dessas rigidezes no contato. Uma das formas de definir esse conceito é por , 
intermédio do método das penalidades (Penalty Method). E interessante observar que muitos usuários de softwares de 
elementos finitos várias vezes fazem a representação automática de condições de contato, com os chamados "software 
amigos - userfriends ", sem sequer desconfiar que estão definindo, no fundo, molas para representar essa situação física. 
Muitas vezes, alguns problemas numéricos de convergência desses modelos estão associados a valores não adequados 
desses parâmetros, ou seja, das molas, ou em outras palavras, dos tais "fatores de penalidade". O próximo exercício será 
muito útil para começarmos essa discussão. 
2.7 Exercício -Aplicação Numérica de GAP/Contato 
A Figura 2.22 mostra uma estrutura constituída por dois elementos de mola e sujeita à carga P, que é aplicada estatica-
mente até atingir o valor máximo fornecido no gráfico representado no diagrama P x t. Pede-se estudar o comportamento 
do conjunto, avaliando a possibilidade de estabelecer o contato entre a extremidade C e a parede rígida D. Avaliar a 
rigidez axial do GAP adotado para indicar o contato entre C e a parede D. A força P, as dimensões de comprimento e 
os valores das rigidezes dos elementos de mola são fornecidos em um sistema coerente de unidades e expressos pelos 
valores numéricos da figura. Os valores fornecidos e todos os cálculos são considerados com a precisão de quatro casas 
decimais. 
k =2 1 
B 
A 
UA = O (1) 
• 
p 
1111 
... u 
B 
k = 4 2 
(2) 
e 
+ • 
8=5 
KGAP 
p --/ ' 
1 \ 
20 --------
\ J D 
' 
, --
t t 
Figura 2.22. Estrutura sob a ação de carga que atua de forma crescente. Se houver contato entre C e D, a rigidez , 
da estrutura sofre alteração, e a matriz de rigidez deve ser atualizada. E necessário avaliar para os incrementos 
de carga adotados o instante a partir do qual o deslocamento Uc atinge ô. Então, um "novo" problema se inicia. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 69 
Resolução 
Neste caso de aplicação será resolvido um modelo estrutural constituído por uma montagem de elementos de mola, 
como indica a Figura 2.22. Embora seja um exemplo simples, em que os deslocamentos ocorrem somente em uma di-
reção, vamos desenvolvê-lo de modo sistemático, aplicando numericamente todas as etapas tratadas anteriormente em 
uma análise não linear. A partir deste exemplo podemos estabelecer algumas generalizações importantes para as aplica-
ções práticas de elementos finitos utilizadas no dia a dia com os softwares de análise. Neste caso, a questão fundamental 
é controlar a evolução dos deslocamentos de modo a localizar em qual estágio da aplicação da carga ocorre o contato 
entre o ponto C da ''malha'' de elementos finitos e o ponto D da parede. 
Embora neste caso simples tenhamos um "controle" maior da estrutura, nos casos mais gerais esse controle de como , 
crescem os deslocamentos só pode ser efetuado por um processo incremental passo a passo. E necessário avaliar para 
os incrementos de carga adotados o instante a partir do qual o deslocamento U e ultrapassa ô. Este é dos critérios nos 
casos mais gerais para detectar se houve contato entre duas partes, que vale também neste exemplo simples. Se monito-
rarmos os deslocamentos U e, podemos controlar a distância entre C e D, dada por: 
d =õ-U D C (2.5) 
Só ocorre contato se U e atingir ô. Se U e ultrapassar ô, significa que o ponto C "entrou na parede rígida - penetrou", 
portanto teremos dn < O, o que corresponde a uma evidente impossibilidade física. Nos estudos mais gerais de contato, é 
estabelecida a condição de impenetrabilidade, a qual faz parte de uma condição mais geral, que restringe a possibilidade de 
haver penetração. Nos casos em que ocorrem movimentos, tais como problemas de dinâmica, em que existe a possibilidade 
de escorregamento e movimento entre partes, a presença de forças de atrito também deve ser monitorada. Assim, os estudos 
mais gerais envolvem os ''constraints'' de impenetrabilidade e de atrito. O Quadro III introduz uma primeira visão de 
conceitos associados ao problema de contato, usados nos casos mais gerais. 
Voltando à aplicação imediata da Figura 2.22, devemos montar a rigidez da estrutura a partir da matriz de rigidez de 
cada um dos seus elementos. Neste exemplo simples, temos somente a possibilidade de o GAP ser comprimido. Ele se 
comporta como um elemento de ''mola'' de constante elástica K6AP porém essa mola tem rigidez nula (K6AP = O) en-
quanto o deslocamento U e não ultrapassar ó. Assim, se U e< õ, ou seja, dn = õ - U e> O, temos a garantia de que o nó C 
não penetrou na parede. Por outro lado, essa mola terá rigidez K6AP "infinita" quando o deslocamento U e ultrapassar õ. 
Se Uc > õ, ou seja, dn = õ - Uc <O, significa que o nó C penetrou na parede. Assumindo KGAP "infinita" a partir do 
instante em que o nó C atingiu D, e como a partir desse instante a rigidez do GAP passará a ser infinita, o deslocamento 
do ponto C praticamente será zero, o que representa na prática uma restrição, sem a necessidade de definir uma nova 
condição de contorno, pois no início da análise já foi assumido que o nó D está restrito. Apenas a rigidez foi atualizada 
por intermédio da atualização da propriedade física do elemento, como "combinado" no início da análise. 
Montemos então a rigidez de partida da estrutura, utilizando o velho conhecido vetor de localização. Primeiramente, 
estão representadas a seguir as matrizes de rigidez dos elementos, em seguida a montagem da matriz de rigidez da es-
trutura a partir deles. 
---------, 
' A i B i 1 1 1 
, _ - - _ 1_ - - - ~ -- -, 
1 
-2 i Ai 2 
r- - - -- - - - -, 
i B : C i 
1 I 1 ----- ____ ... ___ , 
1 
- 4 i B i 
----------------1 1 1 
1 C I D 1 
I ______ -1- ______ 1 -- -, 
1 
[Kjl = 
- 2 
1 1 
j" - -1 
2 i B i 
1 1 
4 
[Kj2 = 
- 4 
1 1 
j" - - 1 
4 1 e 1 
1 1 
[KjGAP = 
- KGAP : C: 
- - -1 
1 1 
KGAP I D 1 
1 
- - _1 
___ 1 
i - - - - - - - -,- - - - - - - - - -T- - - - - - - - - - 1- - - - - - - - -, 
1 A I B I C I D 1 
~ ________ I __________ I ___________ I __________ I 
{K]Estrutura = 
- ---1 
1 1 
2 : - 2 : O : O I A 1 
1 --------~----------~----------r-------- ---1 
1 1 1 1 1 
- 2 1 2 + 4 1 - 4 1 , O I B 1 
- - - - - - - -}- - - - - - - - - - -}- - - - - - - - - - - ~.,._ - - - - - - - r - -1 
0 : - 4 : 4 + KGAP : -KGAP : C : 
1 1 1 1_ - _ 1 --------r---------- r ---------- r-------- i ' 
0 : 0 : -KGAP : KGAP _ : D: 
L-- 1 
- - _1 
Pedaço da 111atriz utilizada para 
o cálculo dos deslocan1entos 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
70 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Nessa montagem, os graus de liberdade A e D estão bloqueados e correspondem às restrições do modelo. As linhas e 
colunas da matriz de rigidez serão eliminadas no processo de montagem da matriz não singular utilizada para o cálculo 
dos deslocamentos nodais. Portanto, para a finalidade do cálculo dos deslocamentos, somente a parte da matriz cor-
respondente aos termos B e C da matriz vai sobreviver, destacada anteriormente. Assim, para propósito de cálculo dos 
deslocamentos, teremos: 
[K]Estrutura = 
~--------r-------1 1 
B I e 1 1 1 1 
l ________ l _______ I 
6 
-4 
-4 
4+KGAP 
- -- -, 
1 1 
1 B 1 
1 1 
1 1 
f- -- -
1 1 
1 e 1 
1 1 
1 1 
--- _ J 
(rigidez de partida da estrutura) (2.6) 
Enquanto U e < 8, ou seja, dn = 8 - U e > O, essa matriz não sofre alteração, e neste intervalo do processo de análise o 
comportamento da estrutura é linear. A equação matricial que governa o comportamento do sistema é dada por: 
p 
o 
• Enquanto o nó C não atinge o nó D, teremos nessa matriz K6AP = O 
Neste caso, como K6AP= O, a matriz de rigidez da estrutura será dada por: 
[ K ]Estrutura = 6 
- 4 
- 4 
4 
(2.7) 
(2.8) 
Desde que essa rigidez valha enquanto o nó C não atingir o nó D, poderemos utilizar essa matriz para o cálculo dos des-
locamentos e verificar a condição de que só ocorrerá contato se U e atingir ô. A partir desse estágio a rigidez da estrutura 
sofre alteração. A equação que traduz a correspondência entre cargas e deslocamentos enquanto o nó C não atinge 
o nó D é dada por: 
p 6 M 6 
O - 4 O - 4 
• (forma incremental) (2.9) 
Nesta última equação poderíamos colocar Uc = 5 e verificar o valor que P deveria assumir para o ponto C encostar na 
parede. A partir deste estágio, atualizaríamos a nova rigidez da estrutura, considerando que o elemento de GAP com a 
sua rigidez à compressão, agora não nula, começaria a trabalhar. Assim, nesta aplicação particular, com dois incrementos 
resolveríamos o problema. Como o objetivo é entender com uma aplicação simples a estratégia geral, faremos um pouco 
diferente. Vamos aproveitar este exemplo simples para enxergar o método mais geral utilizado nos modelos de milhares 
de graus de liberdade. Normalmente, como já sabemos, esse processo é incremental. Verificaremos como a estrutura 
responde a pequenos incrementos de carga, avaliando ao final de cada incremento se a parede já foi atingida. Assim, o 
deslocamento total desde a posição inicial pode ser verificado e também a condição dn = ô - U e > O ( a garantia de que 
o nó C não penetrou na parede). 
Vamos dividir o carregamento em dez passos, o que significa que faremos o incremento de carga M= 2,já que a carga 
total a ser aplicada é igual a 20. As equações que traduzem a correspondência entre carga e deslocamentos são obtidas 
a partir de 2.9. Efetuando a multiplicação de matrizes, teremos: 
(2.10) 
(2.11) 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 71 
A partir de 2.11 concluímos que liUB = liU e. Este resultado está coerente com a realidade fisica, pois enquanto a ex-
tremidade C da mola (2) não encosta na parede D, essa mola não se deforma, portanto os deslocamentos de suas duas 
extremidades são iguais. Substituindo li UB = li U e na Equação 2.1 O, temos: 
(2.12) 
Comecemos então o processo incremental pelo início do carregamento, no qual a carga parte de zero (P0 = O): 
Primeiro incremento (1) - liP = 2 - carga no final do primeiro incremento = P1 = P O + liP = O + 2 = 2 
De 2.12 temos que liP = 2. liUc--4 2 = 2 • Uc --4 liUc = 1. Assim, como no início do carregamento não havia desloca-
mento do nó C, ou seja, U c(O) = O, o deslocamento ao final desse incremento será U c(l) = U c(O) + li U e= O + 1 = 1 --4 
, 
U c(l) = 1 . E importante observar que dn = 5-1 = 4 > O, portanto no final do primeiro incremento ainda não ocorreu 
contato. Podemos escrever também que UB(l) = 1. 
Segundo incremento (2) - liP = 2 - carga no final do segundo incremento = P2 = P1 + liP = 2 + 2 = 4 
De 2.12 temos que liP = 2 - liUc--4 2 = 2 · Uc--4 liUc = 1. Assim, como no fim do primeiro incremento o desloca-
mento do nó C era U c(l) = 1, o deslocamento ao final desse incremento será U c(2) = U c(l) + liU e --4 U c(2) = 1 + 1 --4 
, 
U c(2) = 2 . E importante observar que dn = 5 - 2 = 3 > O, portanto no final do segundo incremento ainda não ocorreu 
contato. Podemos escrever também que UB(2) = 2. 
Terceiro incremento (3) - liP = 2 - carga no final do terceiro incremento = P3 = P2 + liP = 4 + 2 = 6 
De 2.12 temos que liP = 2 - liUc --4 2 = 2 • Uc --4 liUc = 1. Assim, como no fim do segundo incremento o desloca-
mento do nó C era U c(2) = 2, o deslocamento ao final desse incremento será U c(3) = U c(2) + li U e --4 U c(3) = 2 + 1 --4 
, 
U c(3) = 3 . E importante observar que dn = 5 - 3 = 2 > O, portanto no final do terceiro incremento ainda não ocorreu 
contato. Podemos escrever também que UB(3) = 3. 
Quarto incremento (4) - liP = 2 - carga no final do quarto incremento= P4 = P3 + liP = 6 + 2 = 8 
De 2.12 temos que liP = 2 . liU e --4 2 = 2 • U e --4 li U e= 1. Assim, como no fim do terceiro incremento o desloca-
mento do nó Cera Uc(3) = 3, o deslocamento ao final desse incremento será Uc(4) = Uc(3) + liUc --4 Uc(4) = 3 + l --4 
, 
Uc(4) = 4. E importante observar que dn = 5- 4 = 1 > O, portanto no final do quarto incremento ainda não ocorreu 
contato. Podemos escrever também que UB(4) = 4. 
Quinto incremento (5) - liP = 2 - carga no final do quinto incremento = P 5 = P 4 + liP = 8 + 2 = 1 O 
De 2.12 temos que liP = 2 · liUc --4 2 = 2 • Uc --4 liUc = 1. Assim, como no fim do quarto incremento o desloca-
mento do nó C era U e( 4) = 4, o deslocamento ao final desse incremento será U e( 5) = U e( 4) + li U e --4 U e( 5) = 4 + 1 --4 
, 
U e( 5) = 5. Portanto, podemos escrever também que UB(5) = 5 . E importante observar que dn = 5 - 5 = O e> dn = O 
Desta forma, ao final do quinto incremento, a distância entre C e D é nula. Qualquer acréscimo de carga faz com que 
o ponto C comece a ''empurrar'' a parede em D. Como C não pode penetrar na parede, esta passa a fornecer uma 
reação de apoio, já que o grau de liberdade D está restrito. A partir desse estágio o GAP vai começar a trabalhar, portanto 
a rigidez da estrutura deve ser atualizada. 
Deveríamos continuar com o processo incremental, porém com a rigidez à compressão do GAP trabalhando efetiva-
mente. Pela Equação 2. 7 temos: 
p 
o 
6 -4 
-4 4 +KGAP 
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(2.13) 
72 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Essa equação deve ser aplicada aos incrementos de carga que serão considerados a partir do instante em que C atingiu 
a parede. Como o GAP deve ter uma rigidez à compressão muito maior que os elementos vizinhos que se deformam, 
podemos fazer algumas tentativas quanto ao valor que atribuiremos ao valor de KGAP· 
Essa mola terá rigidez K6AP "infinita", de modo que o acréscimo de deslocamento calculado para essa matriz de rigidez 
atualizada deve ser muito pequeno, e dentro da precisão do problema, praticamente nulo. Vamos reescrever a Equação 
2.13 para incrementos de carga Af> aplicados a partir do estágio em que C atinge D. Assim: 
6 -4 (2.14) 
• o -4 4 +KGAP (2.15) 
Se multiplicarmos os dois membros da Equação 2.14 por 2/3 e somarmos com a Equação 2.15, eliminamos ~UB e po-
demos calcular~ U e 
2/3 · ~p = (2/3) · 6 · ~Us-(2/3) · 4 · ~Uc 
Resolvendo 2.16, e com 2.15, teremos: ~Uc = 2.M 
4 +3.KGAP 
(2.17) e liUB = ( 4 + KGAP).liU e 
4 
(2.16) 
(2.18) 
Com essas duas expressões podemos calcular o valor do deslocamento U e em função da constante de ''mola'' ou 
rigidez à compressão atribuída ao GAP. Esse valor de rigidez à compressão do GAP será adotado tomando como re-
ferência para essa tentativa a rigidez dos elementos vizinhos ao GAP. Ou seja, ao definir o modelo de cálculo, é preciso 
definir a rigidez do GAP pela sua propriedade fisica. De acordo com esse valor adotado ao fazer a "malha", podemos 
avaliar o que acontecerá com a resposta dos deslocamentos. Pela mera substituição em 2.17 e 2.18 podemos verificar 
os resultados na Tabela 2.1. A Figura 2.23 exibe a situação fisica representativa do contato que se estabelece e como o 
GAP trata numericamente essa questão. 
Adicionalmente, deveríamos propor incrementos de carga Af> aplicados a partir do estágio em que C atinge D. Como a 
partir desse estágio a estrutura não sofre nenhuma alteração de rigidez, pois não haverá a possibilidade de contatos 
adicionais, vamos, para facilitar o trabalho de cálculo, considerar apenas mais um incremento de carga. Como no 
último incremento tínhamos atingido a carga de P 5 = 1 O, faltam mais dez unidades de carga para atingir a carga total 
20, portanto adotaremos Af> = 1 O. 
Sexto incremento (6) - Af> = 1 O - carga no final do sexto incremento = P 6 = P 5 + Af> = 1 O + 1 O = 20 
Tabela 2.1. Deslocamentos em 8 e C a partir do contato, em função da rigidez à compressão do CAP e para L1P = 1 O. 
Kc;AP ~Uc ~UB Observações 
Após o ponto C atingir a parede e ser aplicado ~p = 10, ele 
K2 / 10 = 0,4 3,846 4,2306 penetra 3,846 a parede. Esse valor de GAP não representa 
adequadamente o problema tisico do contato. 
Após o ponto C atingir a parede e ser aplicado ~p = 10, ele 
K2 /1 = 4 1,25 2,5 penetra 1,25 a parede. Esse valor de GAP não representa 
adequadamente o problema tisico do contato. 
Após o ponto C atingir a parede e ser aplicado ~p = 10, ele 
K2 · 10 = 40 0,161290 1,77419 penetra 0,161290 a parede. Esse valor de GAP não repre-
senta adequadamente o problema tisico do contato. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 73 
Kc;AP ~Uc ~UB Observações 
Após o ponto C atingir a parede e ser aplicado ~p = 10, ele 
K2 · 102 = 400 0,016611 1,677711 penetra 0,016611 a parede. Esse valor de GAP não repre-
senta adequadamente o problema tisico do contato. 
Após o ponto C atingir a parede e ser aplicado ~p = 10, ele 
K2 · 103 = 4000 0,00166611 1,667776 penetra 0,00166611 a parede. Esse valor de GAP não re-
presenta adequadamente o problema tisico do contato. 
Após o ponto C atingir a parede e ser aplicado ~p = 10, ele 
K2 · 10
4 = 40.000 0,0001666611 1,66677766 penetra 0,0001666611 a parede. Esse valor de GAP não 
representa adequadamente o problema físico do contato. 
p,OOOQl 6666611 ,1,6666)77767 Não penetra! Dentro da precisão proposta de quatro casas 
K2 · 10
5 = 400.000 decimais, o deslocamento do ponto C, após este ter atingi-- -
4 casas 4 casas do a parede, é zero! 
p,OOOQ0166666611 J ,666~67777 Não penetra! Dentro da precisão proposta de quatro casas 
K2 · 106 = 4.000.000 decimais, o deslocamento do ponto C, após este ter atingi-- -4 casas 4 casas do a parede, é zero! 
Portanto, o deslocamento do ponto B para P = 20 será UB(6) = UB(5) + ~UB = 5 + 1,6666 = 5,6666 
Como podemos observar, o valor do GAP adotado para simular o contato da estrutura com a parede rígida afeta profun-
damente a determinação acurada do campo de deslocamentos da estrutura, neste caso particular, os pontos B e C. Dentro 
da precisão adotada no cálculo de quatro casas decimais, as duas últimas linhas da Tabela 2.1 indicam deslocamentos 
nulos para o ponto C, que corresponde à expectativa do comportamento fisico do ponto C ao encontrar a parede. Note 
que, nestes dois casos, os deslocamentos calculados para o ponto B ''convergem'' para o valor de 1,6666, dentro da 
precisão adotada para o problema. 
Existe uma ''penalidade'' na adoção da rigidez do GAP para representar esse contato entre a mola e a parede rígida. 
Esse GAP só ''funciona bem" para certos valores atribuídos à sua rigidez. Acima de determinados valores de rigidez os 
resultados obtidos são consistentes. Um valor de referência interessante é adotar a rigidez do GAP 106 vezes a rigidez 
do elemento deformável adjacente, como mostra esse exemplo. Nos casos mais gerais, o estabelecimento dessa ''penali-
dade" depende das rigidezes dos corpos que entram em contato, e ambos podem ser deformáveis nos casos mais gerais. 
Os métodos numéricos que definem nos casos mais gerais essas condições de contato, indicam os ''penalty f actors '' 
adequados para representar as situações de contato entre componentes de rigidezes conhecidas. Eles, indiretamente, 
determinam a rigidez da estrutura na região de contato. O interessante de observar é que essa determinação de fatores de 
penalidade remete aos antigos conceitos de rigidez normalmente estudados nas aplicações iniciais de elementos finitos: 
o velho conhecido elemento de mola. 
Outra observação importante é a determinação da força interna no elemento de GAP: 
A rigor, houve uma pequena pene-
For ainternanoGAP=K . (U -U) =4.000.000x(0-0,00000166666611) traçã_o,poisporintermédiodelafoi 
ç GAP D e '----~• poss1vel calcular a força de contato. 
" Caso contrário, a rigidez deveria ser 
infinita ( oo ), e numericamente para 
Força interna no GAP = - 6,6666 (sinal negativo indicativo de compressão) fins computacionais seriam geradas 
instabilidades. 
Esse valor de compressão no GAP é transmitido ao apoio, portanto deve ser o valor da intensidade da reação de apoio. 
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74 
e 
Início 
8=5 
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• 
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D 
... 
----- ----- ... 
Contato 
• 
• 
.. • • • • 
• • .. 
Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
• • 
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• 
• 
• 
Evolução após contato 
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• 
Uc • • • • ... • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Uo o • -
• • • 
ô o • • - • • 
. .. . . . . - . . . . . -- . -
D. Penetra Uc = 3,846 
~! -------~> 
·1----... • • : Penetra ,__, - ---> Uc = 1,25 
Não penetra!!! 
• 
: Penetra 
Uc = 0,16 1290 
S) Uc = 0,000016666611 
• 
• 
• 
~ Uc = 0,00000166666611 
Figura 2.23. Deslocamentos Uc calculados após C ter atingido a parede em D. Escolhendo adequadamente 
a rigidez do CAP, levando em conta a rigidez dos elementos vizinhos, não ocorre penetração. 
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Observação ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 
O problema que começa a ser resolvido a partir do estágio em que se manifesta o contato entre C e a parede é básico de análise 
linear, em que são definidas as duas restrições nas extremidades A e C. Eliminando as linhas e colunas correspondentes aos 
graus de liberdade bloqueados, como indica a Figura 2.24, podemos resolver o deslocamento do ponto B e, posteriormente, a 
reação de apoio em C. 
u B 
---, 
1 
' A ' 1 1 
1 - - 1 
' B ' 1 . 1 
,--1 
Uc 'C ' 1 1 ___ , 
1 
1 
1 
• • 'u A 
LlP = 10 
1 1 
1 1 
• • • • 'u Uc B 
Figura 2.24. A partir do contato entre C e D a estrutura comporta-se linearmente até a ação da carga máxima. 
Para o cálculo do incremento do deslocamento nodal em B, a partir do instante em que se estabelece o contato, podemos 
escrever: 
Este último resultado coincide com o valor obtido para ~U8 , considerando o valor de rigidez "infinita" do GAP, obtendo-se a 
convergência, como observado na Tabela 2.1. A questão é, como comentamos anteriormente, que o software "não sabe" mudar 
a condição de contorno durante o processo. Obtém-se a mesma resposta atualizando a rigidez da estrutura. 
A reação de apoio em C será dada por: 
Essa força tem intensidade exatamente igual ao valor que havíamos obtido para a força de compressão no GAP, e que é 
transferida ao apoio. O sentido negativo indica que essa reação está em sentido contrário ao eixo de referência, ou seja, em 
sentido contrário à carga aplicada na estrutura. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 75 
QUADRO III-ALGUNS COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE CONTATO 
O estudo mais geral dos problemas de contato envolve diversas aplicações, desde os casos de pequenos deslocamentos 
nos quais o efeito da não linearidade manifesta-se exclusivamente depois de o contato ser estabelecido, pois havia um 
pequeno GAP inicial entre as partes, até condições mais complexas com grandes deflexões e deformações plásticas 
e movimentos rápidos entre partes, tais como em colisões. Neste último caso as partes que estão comprimidas e se 
movimentam relativamente, e geram forças de atrito dinâmico. 
Os conceitos introduzidos anteriormente com o exemplo de GAPsão fundamentais para o posterior entendimento 
dos fenômenos mais gerais de contato. O tratamento matemático desses problemas pode ser inserindo na formulação 
geral da análise não linear que envolve conceitos de trabalho externo e interno, como é normalmente desenvolvido nos 
estudos da análise estática e da análise dinâmica por elementos finitos. 
Já sabemos que a condição de equivalência entre os trabalhos interno e externo constitui uma forma alternativa de 
determinar a rigidez dos elementos e da estrutura, quando a solução exata não está disponível. Nos casos gerais, a 
formulação dos elementos bi e tridimensionais é efetuada de forma aproximada, utilizando esse recurso do cálculo dos 
trabalhos interno e externo. Nos casos em que a formulação aproximada do método considera as forças de contato, 
estas devem ser contabilizadas no cômputo do trabalho das forças que deformam a estrutura. As forças de contato são 
mais uma classe dessas forças, inseridas no conceito mais geral de trabalho. 
A questão é que, nos problemas não lineares, a rigidez varia e então é preciso fazer o cálculo da equivalência de forma 
incremental. Devemos estabelecer as variações do trabalho externo e do trabalho interno em um dado incremento para 
que a rigidez da estrutura que varia com os deslocamentos seja determinada por trechos. Daí a importância da forma 
variacional do princípio dos trabalhos virtuais, ferramenta utilizada para a determinação da rigidez dos elementos e, 
em consequência, da estrutura em problemas não lineares. Nessa formulação variacional, as forças de contato são 
inseridas como mais um participante da formulação geral que veremos adiante. 
A Figura 2.25 representa esquematicamente 
dois corpos na condição de ocorrência de 
contato entre eles. Note que, antes do con-
tato, existem diversos GAPs entre os pon-
tos que depois da aproximação entram em 
contato. Assim, no caso mais geral, diversos 
pontos da superficie dos dois corpos esta-
riam na condição do exercício que fizemos 
anteriormente, ou seja, deveríamos definir 
as rigidezes desses pontos que se aproxi-
mam, e entre eles indicar uma rigidez para 
que os corpos não penetrem um no outro. 
Antes GAPs 
1n1c1a1s 
diferentes 
' ' / __ , /---· ~\ __ ..........,, 
1 /\ 1' 
---./ li '1 '~ 
li \ 
Contato!!! ' 
Depois 
Figura 2.25. O contato no caso mais geral envolve conceitos semelhantes ao 
CAP, já estudado. Os diversos pontos, inicialmente as distâncias diferentes, 
ou GAPs iniciais diferentes, se aproximam. A partir do contato estabelecido, 
é fundamental definir a rigidez dos elementos colocados entre os nós que se 
encontram, para que o fenômeno seja representado adequadamente. 
No caso mais geral dos contatos estabelecidos ponto a ponto - e no caso do modelo discreto, nó a nó - é necessário 
definir as rigidezes dos elementos que serão colocados entre os nós que entrarão em contato, ou seja, o conceito é 
muito semelhante ao caso que acabamos de abordar no contato mola - parede rígida, porém essa nova situação mere-
ce algumas observações adicionais em relação ao caso da mola e da parede rígida. Ambos os corpos que entram em 
contato são deformáveis, e deve ser razoável supor que a rigidez assumida entre eles deva considerar as rigidezes dos 
vizinhos que se aproximam, pois poderia ocorrer penetração de um corpo no outro pelos motivos semelhantes aos já 
detalhados no exercício anterior. 
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76 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
QUADRO III -ALGUNS COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE CONTATO (CONTINUAÇÃO) 
Essa situação pode ser visualizada em um exemplo simples de molas, em que os dois corpos que entram em contato 
são deformáveis. A Figura 2.26 representa essa situação. 
A 
• • • • • • • 
Corpo 1 • • • • 
• 
• • 
• • 
• ' • ' 
' • • ' 
' • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • -____ :~---~~: ___ l __ _ 
~ GAP inicial 
------- ~------ --· --- ...... 
-
• • • • • • • • Corpo 2 • • • 
• • 
• • • • 
' • • ' • • • • 
• • 
• • • • -• 
. .. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
A 
• • 
• 
-. .. Corpo 1 
• 
• 
' 
' • 
' 
F = 500 Kgf 
(1) K1 = 100 
' • 
• _/ Contato!!! Q-"""_! _____ t __ o= O 
. e:><- ---~----- -------------------- - ---~', 
BC ~ ~~--- ----------------------------- --= ·.. _..,,, .. - ,~ 
...... I -- ~ 
----- ~~~--- --· 0=0 
Contato!!!. -· · 
• 
• • 
• • • 
' • 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• • 
• • 
• 
• ·. Corpo 2 
• 
• 
• 
• 
' 
' • 
• 
• 
• • 
Rigidez atribuída ao 
contato neste ponto . 
Esta 1nola Kc começa 
a trabalhar quando a 
distância entre os 
pontos B e C se torna 
nula. É atribuído um 
valor para esta rigidez . 
(2) 
Kc = 10 --------t -· 
Figura 2.26. Analogia para estudo de contato entre dois corpos deformáveis por intermédio de exemplo simples de molas. O corpo 
1, de cima, e o corpo 2, de baixo, são representados por molas. Quando o corpo de cima (mola) entra em contato com o corpo de 
baixo (mola), a rigidez Kc é introduzida de modo a transmitir a força de contato entre eles, e com valor adequado para evitar que o 
corpo de cima penetre no corpo de baixo. No exemplo dessa figura a força é dada em Kgf e as rigidezes das molas em Kgf/mm. 
Para a situação das três molas (incluindo a representação da rigidez Kc do contato) foram considerados os valores 
das constantes K1 = 100 Kgflmm, K2 = 200 Kgflmm e Kc=JO Kgflmm, apenas para ter uma visão numérica. O objetivo 
dessa aplicação numérica é ter uma dimensão inicial do quanto a escolha de Kc, que se manifesta apenas quando B 
atinge C, pode interferir na representação correta do fenômeno fisico. Assim, passemos ao já conhecido processo de 
montagem com os vetores de localização, para calcular a rigidez da estrutura a partir do estabelecimento do contato. 
500 
o 
o 
r-----.-----, , A , B 1 
'-----·-----' 
100 - 100 
,- - , 
1A I 
1 1 --• 
r----.------, 
1 B , e 1 1 _____ • _____ 1 
[ K1l -1 - 100 100 
1 1 
1 B 1 
1_ - J 
10 
[KJC= 
- 10 
- 10 
10 
1 A I B , C I D , 
1 1 1 1 1 
r - -
,- - , 
1B I 
1 1 - -• 
1 1 
1 e 1 
1_ - J 
r-----.----, 
1 c I D 1 1 _____ • _____ 1 
200 - 200 
[ K12 -1 - 200 200 
, - - 1 
1 e 1 
1 1 - - . 
1 1 
1 D 1 
1_ - J 
1 00 : -1 00 : O : O : A : 
- - - - - 1- - - - - 4 - - - - - ~ ;,;=--=--.;.+· -:=-=----- Pedaço da 1natriz utilizada para 
-100 : 11 O : -1 O : O : B : o cálculo dos deslocamentos [K]Estrutura = - - - - -1- - - - - J _ - - - - 1- - - - - . f - -
o : -10 : 210 : -200 :e: 
-----~----.l-----1----- · --l 
O I O 1 - 200 1 200 : o: 
L - -
100 -100 0 U A 500 = 100.UA -100.UB +O.Uc 
-100 110 -10 UB 
O -10 210 Uc 
O =-100.UA + 110.U B-10.Uc 
O= O.UA -10.UB + 210.Uc 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
(2.19) 
(2.20) 
(2.21) 
Solução de Problemas Básicos não Lineares 77 
QUADRO III-ALGUNS COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE CONTATO (CONTINUAÇÃO) 
Resolvendo esse sistema simples pelos métodos já conhecidos, teremos: 
U e = U B ( diretamente da Equação 2.21 ); U A = 
23 
.U B (substituindo o resultado de 2.21 em 2.20) 
21 21 
U A = 5 7, 5 mm ( obtido por intermédio da Equação 2.19, utilizando as conclusões anteriores) 
Assim, teremos UB = 52,5 mm e Uc = 2,5 mm 
, 
E interessante observar na Figura 2.27 o significado fisico dos deslocamentos calculados e, em particular, a importante 
conclusão, dado que partimos da condição de que a distância entre B e C inicialmente era nula, pois ô = O. 
Início do contato! 
Antes!!! 
B 
Após a aplicação de F = 500 Kgf 
Depois!!! 
Corpo 1 
Corpo 2 
Antes!!! 
• , • • • . ' 
B 
Corpo 2 
• 
' • T - - - • 
• 
Depois!!! 
A 1nola ( 1) penetrou na mola (2) - Corpo ( 1) entrou no corpo (2) - o que constitui evidente impossibilidade física. 
Figura 2.27. Significado físico dos deslocamento calculados. 
Fica claro, com este exemplo numérico, que a escolha da rigidez atribuída à representação do contato afeta profun-
damente o resultadoobtido, à semelhança do estudo que fizemos no elemento de GAP. Existe uma ''penalidade'' na 
escolha dessa rigidez, podendo implicar na perda do significado fisico do trabalho da estrutura. Este exemplo simples 
permite entender o conceito fisico da representação do contato. 
Escolha da rigidez do contato para não haver penetração 
, 
E interessante observar que as equações de equilíbrio 2.19, 2.20 e 2.21 poderiam ser montadas para um valor de Kc 
qualquer, e à medida que atribuirmos valores de Kc diferentes, a solução obtida permite verificar que para determina-
dos valores da rigidez assumida, dentro de uma precisão estabelecida, não haveria penetração, utilizando um raciocí-
nio semelhante àquele utilizado no exemplo do GAP e consolidado na Tabela 2.1. As equações ficariam então: 
5 00 = ] 00 · U A - ] 00 · U B + 0 · U e 
0=-100-UA +(JOO+Kc)·U 8 -Kc ·Uc 
O= O.UA -Kc ·U8 +(200+Kc)·Uc 
(2.22) 
(2.23) 
(2.24) 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Fi lho - 1ª Edição 
78 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
QUADRO III -ALGUNS COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE CONTATO (CONTINUAÇÃO) 
A partir da Equação 2.24, podemos obter: U _(200+KcJ.u B- C 
Kc 
Com este exemplo podemos começar a entender a questão da ''penalidade'' imposta ao valor de Kc para que não 
haja penetração, isto é, para que os deslocamentos dos pontos B e C praticamente sejam iguais. As molas, ou os dois 
corpos, podem evidentemente se deformar na região de contato, mas um não pode penetrar no outro. 
No exemplo numérico que acabamos de discutir, tínhamos Kc = 1 O. Podemos atribuir a Kc outros valores e a relação 
' entre os deslocamentos de B e C se modifica. A medida que Kc aumenta, o numerador (200 + Kc) e o denominador 
Kc são mais próximos, e a divisão entre eles tende para 1. Assim: 
)( Para Kc=lO---+ UB=[(200+10)/10]· Uc---+ UB=21- Uc 
)( Para Kc=lOO---+ UB=f(200+100)/100]· Uc---+ UB=3· Uc 
)( Para Kc = 1000---+ UB = [ (200 + 1000) I 1000 J · Uc---+ UB = 1,2 · Uc 
)( Para Kc = 10.000---+ UB = [ (200 + 10.000) 110.000 J · Uc---+ UB = 1,02 · Uc 
)( Para Kc = 100.000---+ UB = [ (200 + 100.000) I 100.000 J · Uc---+ UB = 1,002 · Uc 
)( Para Kc = 1.000.000---+ UB = [ (200 + 1000.000) I 1000.000 J · Uc---+ UB = 1,0002 · Uc 
Neste caso, considerando uma precisão de três casas após a vírgula, para Kc = 1.000.000 não haveria penetração. 
Alguns comentários de caráter geral em relação aos problemas de contato 
Os exemplos anteriormente introduzidos permitem ter uma primeira abordagem dos problemas de contato em elemen-
tos finitos. Voltaremos a abordar esta questão ao tratarmos da formulação geral do método em problemas não lineares. 
Apesar da simplicidade dos exemplos discutidos, é importante ter essa visão fisica que será, sem dúvida, importante 
ao estudar certas questões de forma generalizada, como é prática comum na vasta literatura disponível sobre este 
assunto. Muitas vezes, os métodos associados a problemas de contato passam pelo estudo dos fatores de penalização, 
multiplicadores de Lagrange, e o leitor aborda diversos recursos matemáticos, sem nenhum vínculo com o sentido 
fisico que essas equações gerais representam. 
Como observamos nesses exemplos simples, o método de penalização impõe que as condições de contato se verifi-
quem de forma aproximada, por meio de fatores de penalização que no fundo definem a rigidez do contato. Do ponto 
de vista prático, o problema fundamental desse método está na escolha de um valor apropriado para tal fator. Esse 
valor depende da precisão do computador, número total de incógnitas do sistema de equações e da rigidez do menor 
dos elementos envolvidos no contato. Na prática, um fator de penalização muito pequeno pode levar a penetrações 
inaceitáveis de um sólido em outro. 
Entendimento inicial de algumas condições ou restrições que afetam 
a definição do contato - os '' constraints '' de contato 
Nos exemplos anteriores vimos que a representação do contato passa pela escolha da rigidez adequada para a repre-
sentação do fenômeno, e a manipulação dos exemplos simples deu uma boa ideia inicial do significado das grandezas 
envolvidas. Normalmente, definimos o que chamamos de ''constraints'' de impenetrabilidade e de atrito. Como no 
contato entre partes surgem forças normais e se houver possibilidade de escorregamento entre partes, são geradas 
forças de atrito que dependem dessas forças normais e do coeficiente de atrito, costuma-se definir o ''vetor'' das ten-
sões nas direções normal e tangencial. Além disso, como vimos nas aplicações simples, a distância normal entre as 
partes que entram em contato deve ser monitorada durante os diversos incrementos e também em função do que foi 
mencionado anteriormente, na possibilidade de existência de atritos, o escorregamento tangencial. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 79 
QUADRO III-ALGUNS COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE CONTATO (CONTINUAÇÃO) 
N onnalmente, efetua-se a decomposição dos vetores em componentes nonnais à superficie de contorno e tangencial. 
Ou seja: 
- - -f . = N-+ T-
' 1 1 
~ Ponto i do contorno 
-N-
1 
... .. . 
• • • • • . . 1 ,· . _ .. _ . . . 
,-:. ... , \ .·. . . ' . . . . . ., . . . ' .. , . . . 
' . . . 
' ' 1 ', 
' 
A condição de impenetrabilidade considera que: 
• Em um modelo contínuo não é possível que dois pontos ocupem a mesma posição no espaço. 
• Para diferentes e múltiplos corpos, essa questão reduz-se à colocação da condição de que nenhum ponto do con-
torno do primeiro corpo possa penetrar no outro corpo ( como foi estudado nos casos anteriores mais simples). 
• Assim, o problema completo de contato reduz-se a um problema de contorno, em que o sinal da distância de 
qualquer ponto do primeiro corpo seja não negativo em relação ao outro. No caso do exercício desenvolvido no 
item 2.7, correspondia a dn = ó - Uc- Se Uc ~ t5 ~ dn = t5 - Uc '?:. O. 
• A condição para o ''constraint'' de contato pode ser colocada da seguinte fonna: 
O'n (i) < O 
Ni. dn (i) = O 
.- -....... -------------------------------. -. ---....................................... ------------' 
' ' 
' ' 
' ' :.----t Condição que estabelece que não pode ocorrer penetração. ! 
Condição que estabelece que a tensão normal 
de contato deve ser compressiva. 
' 
' 
' - - , 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
Condição complementar. Se não há contato, nenhuma 
compressão pode ocorrer. Alternativamente, se não há 
compressão, então a distância deve ser positiva. 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ 
' 
' 
' .. --. • • 
• • • . . 
" 
• 
-~ · 
' ..................................... ----.. ---· 
' 
' 
' 
' ---, • 
Condições de Karush-Kuhn-Tucker 
A condição do ''constraint'' de atrito considera que: 
• O atrito de Coulomb é uma/unção da velocidade e/ou pressão. Leis mais gerais de atrito podem ser introduzidas. 
• O "vetor" tangencial trabalha no sentido oposto ao escorregamento. 
• Não ocorre escorregamento se o ''vetor'' tangencial não atingir um máximo local e, se ocorrer escorregamen-
to, então ele atingiu o seu máximo. 
Algumas curiosidades valem ser citadas ao final deste tópico introdutório sobre contato. Veremos uma aplicação 
numérica posterionnente. Quando um corpo vai entrar em contato com outro, ele "busca" uma superfície alvo a 
ser atingida no outro corpo. A superficie dele que vai "encontrar" a superficie alvo do outro é a superfície contatora. 
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80 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
QUADRO III -ALGUNS COMENTÁRIOS INICIAIS SOBRE CONTATO (CONTINUAÇÃO) 
Alguns algoritmos efetuam busca de contatos para determinar qual superficie alvo estásendo contatada por qual su-
perficie contatora. Um deles é mencionado a seguir: 
Método da ordenação cúbica: esse algoritmo de cálculo divide a região da superficie alvo em cubos. Nós do modelo 
em contato podem contatar qualquer segmento da superficie alvo no mesmo cubo ou em cubos adjacentes. O método 
de ordenação cúbica é extremamente robusto, mas pode ficar um pouco mais lento se a superficie alvo contém elevado 
número de elementos. 
Após o contato ser localizado, é utilizado o método de penalização, cuja ideia em última instância é atribuir a rigidez 
aos contatos estabelecidos, de forma semelhante aos conceitos anterionnente discutidos neste capítulo. Assim, tenta-se 
assegurar que não aconteçam penetrações entre os sólidos que interagem. Sem uma rigidez de contato, os corpos 
passariam um através do outro, como foi mostrado no exemplo anterior. A relação de contato é gerada por uma mola 
elástica colocada entre os dois corpos que colidem, em que a força de contato é igual ao produto da rigidez de contato 
(k) e a penetração ('5). A quantidade de penetração ('5), ou incompatibilidade entre os dois corpos, depende, portanto, 
da rigidez k. Idealmente não deveria haver penetração entre corpos, mas isso implicaria uma rigidez infinita (k = oo ), 
o que leva à instabilidade numérica. Essa questão também foi mostrada numericamente nos exercícios anteriores mais 
simples, em que só dois nós entravam em contato, mas o sentido fisico fica inalterado. 
A título de ilustração inicial, temos: 
Escolha do fator de penalidade para segmentos 
1 
sobre elementos sólidos e casca 
/ \ 1 ,----------, 
Ís. A2. K 
k = --------
J; ·área· K 
!e = ----------
volume do elemento min. diagonal do elemento 
k - rigidez de contato; 
A - área do segmento de contato; 
E 
K =-----
3 · (1 - 2 · v) 
•• 
K - compressão volumétrica ("Bulk Modulus"); -----------~ 
f
5 
- fator de penalidade. 
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Solução de Problemas Básicos não Lineares 81 
QUADRO IV - UM EXEMPLO COMPUTACIONAL DE GAP- VERIFICAÇÃO NA PRÁTICA 
Um exemplo semelhante àquele introduzido no item 2.6 foi submetido à solução por intermédio do software de aná-
lise. Foi processada inicialmente uma análise linear com a viga em balanço e a extremidade livre. O deslocamento 
máximo na direção vertical observado é de t = 9,3415 mm e a tensão máxima na extremidade engastada na direção 
longitudinal da tira de chapa é de 42,64 Kgf / mm2. As dimensões da chapa são as mesmas do item 2.6. Após essa 
análise, processou-se uma análise não linear sob nova condição. Na direção vertical e abaixo do ponto inferior da 
extremidade livre da chapa, coloca-se um apoio distando t = 9,3415 I 2 mm= 4,67 mm, correspondente à metade do 
máximo deslocamento da viga na situação livre. Definindo a rigidez do GAP tal como no item 2.6 e com GAP inicial 
de 4,67 mm, podemos observar o deslocamento do ponto da extremidade da viga em balanço. A tabela representada 
neste quadro mostra que, quando o deslocamento atinge o valor de 4,67mm, não se observam deslocamentos adicio-
nais desse nó, pois o GAP inicial já foi atingido, e como esse tem rigidez à compressão infinita e a outra extremidade 
está fixada, simula-se desta forma o encontro da extremidade livre com o solo rígido. 
Element 1- PLATE 
Property 1 · C4 
Material 1 · AÇO-JUNHO 
PI ate Top X Normal Stress= 33.97359 
Node 1 = 42.64458 
Node 2 = 42.64458 
Node 133 = 26.95726 
No de 132 = 25.3026 
1 ' 
' 
. . 
. . 
rD t 
' ' : __________ : ~ 
I 9,3415 mm 
• ' ' 
• . 
f.- ' ' 
f.-
' . . ' 
Node67 
Coord( O) = 1000,, O., O. 
DefCS : O OutCS = O 
Display CSys = O 
Total Tra nslation = 9.359438 
TI Translation = -057845 
T2 T ranslation = -9.341546 
T3 Translation: O. 
37.31 
31.98 
..---- 3 cargas nodais de 150 kg 
. 
I 
I 
1 
\ 
I 
--------- -- -- -' ' _ ......,,_+---------l' 
/ 
I 
,. ,. ' ' 
15.99 
10.66 
5.331 
O. 
-5.331 
-10.66 
-1 5.99 
-21.32 
-26.65 
-31.98 
-37.31 
·42.64 
' ' \ 
\ 
\ 
1 
1 
1 
1 
I 
\ I 
GAP inicial = 4,67 mm '. . ! ' _ _.... ________ +_ -1 1- / /4,67 mm 
Estrutura antes de se deformar ', 
'- L ~ /-~-
' , , _ - "Apoio - -- -- -- - - - -
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
82 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
,,,,, , ,. 
QUADRO IV - UM EXEMPLO COMPUTACIONAL DE GAP- VERIFICAÇAO NA PRATICA (CONTINUAÇAO) 
OutputSet 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
Time 
0.05 
0.10 
0.15 
0.20 
0.25 
0.30 
0.35 
0.40 
0.45 
0.50 
0.55 
0.60 
0.65 
0.70 
0.75 
0.80 
0.85 
0.90 
0.95 
1.00 
Deslocamentos do nó 67 em função dos incrementos de carga 
Tl T2 T3 
(Deslocamento x) (Deslocamento y) (Deslocamento z) 
-2.904670E-2 --4.671079E-1 o 
-5.834184E-2 -9.342766E-1 o 
-8.788550E-2 - 1.401505E+O o 
- 1.176778E-1 - 1.868794E+O o 
- 1.477185E-1 -2.336143E+O o 
- 1.780085E-1 -2.803549E+O o 
-2.085476E-1 -3.271017E+O o 
-2.393349E-1 -3.738539E+O o 
-2.703722E-1 --4.206123E+O o 
-3.013559E-1 --4.670000E+O o 
-2.952075E-1 --4.670001E+O o 
-2.890640E-1 --4.670001E+O o 
-2.829256E-1 --4.670002E+O o 
-2.767922E-1 --4.670002E+O o 
-2.706636E-1 --4.670002E+O o 
-2.64540 lE-1 --4.670003E+O o 
-2.58421E-1 --4.670003E+O o 
-2.523083E-1 --4.670004E+O o 
-2.461998E-1 --4.670004E+O o 
-2.400963E-1 --4.670005E+O o 
Define Property - GAP Element Type Li]_,) 
10_12 __ Title [• ______.] Material[ ___, ... j [ Gi,J 
Calor 11 0 1 Palette ... ] Layer-, -----..) [~-El-em-/P-ro-pe-rty-Ty-pe-... ~] 
[EJ Orientation CS_ys '-ID_.B_as_ic _Re_ct_an_gu_lar ____ __, ... I 
Property Values 
lnitial Gap 4,67 ' 
Compression Stiffness 21000000, 
T ension Stiffness O, 
T ransverse Stiffness O, 1 
Y Friction Coefficient O, 
Z Friction Coefficient O, 
Preload Force O, 1 
Load... ] [ Save ... 1 1 
Additional NAS T RAN O ptions 
~ Adaptive Max Penetration O, ] 
MaxAdjustment Ratio -O_---.] 
Min Penetration Ratio O, 
Y Friction = Static, Z Friction = Kinetic 
1 nterface E lement O ptions 
Normal X O, Width or Area 
Cop_y.. ] 
y O, 
Z O, 
O, 
[ OK ] [ Cancel ] 
' 
Notas 
O nó se 67 movimenta 
O nó se 67 movimenta 
O nó se 67 movimenta 
O nó se 67 movimenta 
O nó se 67 movimenta 
O nó se 67 movimenta 
O nó se 67 movimenta 
O nó se 67 movimenta 
O nó se 67 movimenta 
A partir deste estágio 
o GAP começou a 
trabalhar. Como a 
sua rigidez é "infinita", 
o deslocamento desse 
nó 67 não aumenta 
com o aumento da 
carga. Então simula-se 
o contato com o 
"chão rígido". 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Solução de Problemas Básicos não Lineares 83 
... , ... 
QUADRO IV - UM EXEMPLO COMPUTACIONAL DE GAP- VERIFICAÇAO NA PRATICA (CONTINUAÇAO) 
Definição das propriedades do elemento de GAP neste exemplo do Quadro IV 
Após a introdução do elemento de GAP ( de fonna a representar o "batente" entre a extremidade da viga e o apoio 
rígido em sua extremidade), os deslocamentos, após a extremidade da viga atingir o apoio, não crescem mais. O car-
regamento total foi dividido em 20 passos. Ao se atingir o passo 1 O, como mostra a tabela anterior, o GAP já foi atin-
gido e não ocorrerá mais aumento do deslocamento da extremidade da viga. As figuras seguintes representam para o 
passo 20 o deslocamento máximo da extremidade, que se mantém em 4,67 mm, que é o GAP inicial, e a tensão nonnal 
na direção do comprimento da viga. 
"Output Set 20" - passo 20 
"Output Set 20" - passo 20 
Tensão longitudinal máxima =+ 21,68 Kgf/mm2 
Tensão longitudinal mínima= - 21,67 Kgf/mm2 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
O. 
-0.292 
-0.585 -
1 1 
-1 462 
·1 754 
-2.046 
-2.339 
·2.631 
-2.923 
-3.215 
-3.508 
-3.8 
·4.092 
-4.385 
·4.67721.68 
18.97 
16. 26 jiiiiiii 
8.13 
5.421 
2.712 
0.00222 
·2 707 
.5 417 
-8.126 
-10.84 
-13.54 
-16.25 
-18.96 
-21.67 
- ··································································································································································································································································~························································································································· . 
Anotações 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear -Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
• • • 
-····· • • . 
• • • . 
• • • . 
• 
1 
Não Linearidade Geométrica: 
Entendimento do Conceito 
a partir dos Elementos 
Unidimensionais - Generalizações 
Formular a não linearidade geométrica a partir do equacionamento dos elementos de viga, a base para os casos 
mais gerais. Preparar a formulação geral do método dos elementos finitos para aplicações gerais não lineares. 
3.1 Introdução 
Este capítulo inicia o estudo da não linearidade geométrica utilizando como "pano de fundo" o elemento de viga que 
já havíamos formulado na análise linear. O elemento de viga foi o terceiro elemento finito que definimos no estudo da 
' análise linear e que passou a fazer parte da biblioteca de elementos que construímos nesse estudo. A semelhança do 
procedimento adotado na análise linear, mais uma vez aproveitaremos o estudo de um elemento simples para identificar 
muitas propriedades da análise não linear que são válidas para os elementos finitos mais gerais, fazendo as generaliza-
ções cabíveis. 
Porém, neste caso da análise não linear, teremos uma novidade em relação ao elemento finito de viga das análises linea-
res. A ideia da superposição de comportamentos fisicos independentes em um mesmo elemento e a contabilização destes 
também de forma independente na montagem da sua matriz de rigidez não são aplicáveis na análise não linear. Existe um 
"acoplamento" entre esses comportamentos, e a relação matemática que traduz a relação entre eles é não linear. 
Por exemplo, na teoria das pequenas deflexões de uma viga, os deslocamentos decorrentes da flexão da viga não vêm 
acompanhados de deslocamentos apreciáveis na direção axial gerados por essa flexão. Ou seja, não é contabilizada a 
contração da viga decorrente da flexão. Em outras palavras, os esforços decorrentes da flexão da viga não geram forças , 
axiais nela. E verdade que, na viga, podem conviver no mesmo elemento forças axiais e esforços decorrentes da flexão, 
porém esses esforços foram gerados por causas diferentes; eles não estão acoplados. Ou seja, um não tem responsabili-
dade da existência do outro. 
Assim, a aplicação de uma força axial na viga gera contração ou aumento dela e as consequentes tensões normais decor-
rentes da presença da rigidez axial contabilizada por (E. A/ L), e este é o único efeito dessa ação. Na análise não linear, 
a presença de uma força axial pode gerar flexão, como veremos a seguir. 
As aplicações de cargas perpendiculares ao eixo do centroide da viga, nos planos principais, geram flexões independen-
tes nesses planos (rigidez à flexão E· I / L3) e consequentes deformações associadas à curvatura e tensões normais de 
flexão, mas não geram forças axiais. Os efeitos são calculados separadamente e depois superpostos. De novo, na análise 
não linear esse conceito deve ser repensado. 
O conceito a ser introduzido sobre acoplamento entre os fenômenos anteriormente citados para o elemento de viga, e 
que tomam o problema não linear, é útil para o entendimento de outros elementos a serem estudados posteriormente na 
análise não linear, como, por exemplo, o elemento de placa, a ser desenvolvido no estudo dos elementos bidimensionais, 
dentro do âmbito não linear. 
No item 2.4 aproveitamos um exemplo "simples" da não linearidade geométrica para equacionar a condição de equilí-
brio da estrutura à medida que o carregamento atuante sobre ela se manifesta, inclusive com a presença de instabilidade. 
Vunos que a questão central era contabilizar o equilíbrio entre forças externas e forças internas. A Figura 3.1 relembra 
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86 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
a identificação desses tennos. Agora vamos tentar generalizar esse conceito para as aplicações de elementos finitos 
mais gerais, bem como nos socorrer da análise incremental já aplicada em exercício do capítulo anterior e do processo 
iterativo que já mencionamos anterionnente, discutindo também a sua importância nas estratégias de abordagem dos 
problemas não lineares. A Figura 3.1, embora visualize o caso particular abordado no capítulo 2, introduz esse conceito 
também de fonna mais geral. 
Força 
Força 
externa 
~ P(t) 
2 e 
Força externa 
aplicada 
--1-~ 
inte~rna . ?", ,(·j~~........................ ~ _.; 
., .... .... / ., . , 
1 .,,,,. .. /\' 
F Fb(t) ... :--;-:.---
b ., '---1"1 ,,,,. .,,,,. .. ' .,,,,. 
., ., 90 - ~ 1 ., • -;,---.,,,,. .,,, .,,,, .. ,,,,. 
,,,,,.., 1 ,,,,. , .. ,,,,. ,,,,. ,,,,. , ,. .. ., 
., ., 1 ... . ., 
P(t) 
2 
• 
• 
Força externa 
., ., _ . ., 
... :,:.:.:.--~ ~(t) 1 .- •• --··f-'---------·- .......... ! ··········-----··-···· 
9- .... _ ---------------..... 1 • ••••••••••••••••••• : .. • .. -:. • • • • • • • • •• -: ••••• 
, , . Forças internas : 
/7777J componentes : 
Problema básico na 
análise não linear geral 
Sendo as cargas externas 
aplicadas em função do tempo 
' 
' 
' 
Encontrar o estado de equilíbrio da estrutura 
correspondente às cargas aplicadas 
Condição de 
{P(t)} - {F(t)} = O 
equilíbrio 
Vetor das forças nodais 
externas no instante t 
Vetor das forças nodais correspondentes às 
tensões nos elementos nesta configuração -
forças internas 
Figura 3.1. Equilíbrio entre força externa e força interna à medida que o carregamento externo é aplicado na estrutura. 
Tanto no caso simples da treliça, já estudada no capítulo 2, como nas aplicações mais gerais de elementos finitos, a questão 
central reside na 11busca" do equilíbrio entre forças externas e internas à medida que a estrutura evolui sob a ação da carga externa. 
No estudo da análise linear, os primeiros elementos finitos estudados pennitiram identificar por intennédio de exem-
plos simples as propriedades gerais associadas aos sistemas discretos padrão. Essa abordagem ofereceu uma visão mais 
didática do método, superando as dificuldades que se colocavam à medida que os elementos com maiores sofisticações 
em suas fonnulações eram definidos. 
Em oposição a essa ideia, muitas abordagens do método dos elementos finitos introduzem os conceitos de fonna mais 
ampla, identificando propriedades gerais que se aplicam a todos os elementos e, posterionnente, analisam os casos parti-
culares objeto de interesse. Embora absolutamente rigorosa, essa abordagem muitas vezes toma-se um tanto árida, pois 
o entendimento físico dos fenômenos fica, até certo ponto, dificultado. 
Após tennos estudado os elementos finitos na análise linear, elemento por elemento, e as particularidades dos elementos 
mais utilizados no âmbito da mecânica estrutural por intennédio das funções de fonna, introduzimos no final do estudo 
a fonnulação geral do método dos elementos finitos, para aplicações da análise estrutural linear. 
A principal ideia utilizada na fonnulação geral do método dos elementos finitos no âmbito da análise linear estava 
assentada no princípio dos trabalhos virtuais. Tínhamos aplicado esse princípio no âmbito isolado de um elemento de 
viga, e pela condição de equivalência de energia detenninamos a sua matriz de rigidez. A energia externa fornecida a um 
elemento é annazenada como energia de defonnação. Aproveitamos em seguida e aplicamos o mesmo conceito, porém 
no âmbito de toda a estrutura. 
Esse caminho mais geral permite descobrir o procedimento deobtenção da matriz de rigidez da estrutura a partir da 
matriz de rigidez de cada um dos seus elementos. Foi interessante observar que chegamos ao mesmo procedimento de 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 87 
montagem obtido com as aplicações dos simples elementos de mola pela aplicação direta das equações de equil1õrio e 
compatibilidade. Ou seja, é bom lembrannos que equivalência de energia é o procedimento que permite determinar a 
rigidez de uma estrutura, bem como de cada um dos seus elementos, nos casos mais gerais. 
Poderíamos pensar no mesmo procedimento para o desenvolvimento das aplicações não lineares. A ideia realmente é 
a mesma, porém devemos lembrar que nesse caso a rigidez varia à medida que a estrutura evolui. Ou seja, a cada 
incremento de carga, a rigidez se altera. Como o objetivo é detenninar essa rigidez ao longo do carregamento, para 
posterior detenninação da configuração defonnada, a equivalência de energia deve ser feita a cada incremento, de 
sorte a determinar a rigidez da estrutura em cada trecho ou incremento de carga. Ou seja, a equivalência de energia 
deve ser feita por trechos. 
A aplicação do princípio dos trabalhos virtuais na forma incremental será nossa aliada mais importante para a tare/ a 
fundamental da análise, que é determinar a rigidez da estrutura. Na análise não linear, ela varia a cada incremento 
de carga. 
A partir dos comentários anteriores, em se tratando de análise não linear, efetuaremos o cálculo do trabalho externo, pro-
vocado por um incremento de carga. Esse trabalho externo acarreta um incremento de energia na estrutura defonnada, 
associado ao incremento das forças internas causado pelo incremento das correspondentes forças externas. Com isso 
calcularemos a rigidez da estrutura nesse incremento. 
Para calcular as forças internas que gerem esse trabalho no incremento associado, devemos conhecer a configuração 
defonnada, e ela não é conhecida, pois não temos a rigidez nesse trecho. Só temos uma alternativa, que já mencionamos 
antes. Atribuiremos uma condição defonnada, uma tentativa, à estrutura, ou seja, um "chute". Calculamos o trabalho 
externo referente a esse incremento na configuração deformada da estrutura. Como essa condição deformada gera defor-
mações associadas a essa geometria deformada assumida e, consequentemente, forças internas, calcularemos o trabalho 
interno. Se esses não forem iguais, significa que a configuração deformada proposta ("chutada'') não é a verdadeira, 
decorrente do incremento de carga externa aplicado. Então tentamos de novo, sucessivas vezes. Aí entram os recursos 
dos métodos iterativos para, de fonna "inteligente", efetuar esses "chutes", até a convergência do processo, naquele 
trecho ou incremento. De incremento em incremento, com sucessivas iterações, chega-se à configuração defonnada da 
estrutura no seu comportamento não linear. Enfim, encontramos uma configuração defonnada proposta na qual o traba-
lho interno coincide com o externo. 
Nessa contabilização trecho a trecho, os conceitos já introduzidos de forças concentradas, forças de superficie e forças 
de volume continuam vivos e, por consequência, as conhecidas cargas nodais equivalentes; apenas que esses conceitos 
aplicam-se a incrementos de carga. Assim, nos casos mais gerais de análise não linear que fonnularemos adiante, temos . , . 
o segumte cenar10: 
No caso geral da análise não linear 
envolvendo grandes deflexões, 
grandes defonnações ... 
Antes do carregamento 
.-::::::::::~ co1no estrutura como era ...=:::=-
Condição do corpo 
em um dado instante t 
A geometria do corpo se altera à medida 
que ele muda de posição. Essa nova geometria 
defonnada é desconhecida. Da mesma fonna, 
as tensões são desconhecidas, Figura 3.2. 
Depois do carregamento ~-
como estrutura como é ""---~ ;,___.o.. 
Condição do corpo em um 
dado instante (t + Lit) (t + Lit) 
t 
Solução conhecida! ---# 
L1t --... ? • 
Figura 3.2. No caso mais geral do comportamento não linear de um corpo sujeito à ação de forças externas, 
a condição assumida ao longo do tempo deve ser determinada. O segmento AB transforma-se em A181• 
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88 
A equação 
{P(t)} - {F(t)} = O 
(3.1) 
Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Considera o equilíbrio do sistema na geometria deformada no instante t. Esse 
equilíbrio deve considerar todas as não linearidades mencionadas até agora. 
Além disso, se o problema for dinâmico, as forças de inércia devem ser consi-
deradas. Essa equação deve ser satisfeita ao longo da história completa da apli-
cação da carga. 
Em muitos casos, a sequência de aplicação da carga é importante e deve-se deter-
minar a resposta da estrutura em todo intervalo em que a carga é aplicada, e não 
somente em um dado instante final. 
Justifica-se então a análise incremental passo a passo com um detenninado 
número de passos de carga até finalmente atingir a carga total aplicada. 
Abordagem básica 
A partir do conhecimento do comportamento da estrutura para um dado instante 
t (por exemplo, o instante inicial), devemos determinar a solução no instante 
seguinte (t + Lit). O incremento de tempo Lit deve ser adequadamente escolhido, 
levando em conta o conhecimento do fenômeno em estudo. Assim, em uma se-
quência de passos escolhida, determina-se o que ocorre no instante seguinte a 
partir do conhecimento do que ocorre no instante anterior. Os procedimen-
tos para ter sucesso nessa abordagem são estudados adiante. 
A equação de equihôrio no instante t+~t será: 
{P(t + ~t)} - {F(t + M)} = O (3.2) 
Se a solução é conhecida em um dado instante t, nesse instante as forças internas representadas {F(t)} são conheci-
das. Em um instante seguinte (t + ~t), a força interna sofre alteração e assume o valor {F(t + ~t)} , que será dado pelo 
valor da força interna no instante anterior {F(t)} e mais um acréscimo de/orça interna {F}. Assim, podemos escrever: 
{F(t + ~t)} = {F(t)} + {F} (3.3) 
A Figura 3.3 mostra a visão gráfica para um componente desse vetor. A relação entre {F(t)} e os deslocamentos{~} é 
contabilizada pela rigidez da estrutura representada pela sua matriz, dado que a força interna está em equilíbrio com a 
força externa. Do gráfico, o valor numérico da tangente é igual ao valor numérico da rigidez. Na análise linear a rigidez 
não varia e o valor da tangente se mantém constante durante o carregamento (a). Na análise não linear (b), a rigidez varia 
com os deslocamentos, como já sabemos, e a relação força x deslocamento é não linear, então surge o conceito da matriz 
de rigidez tangente [ Kr] que varia ao longo do carregamento, ou do tempo, e simbolizamos por [K(t)], que contabiliza 
como é a taxa de crescimento dos deslocamentos naquele estágio do carregamento ao qual a estrutura está submetida. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 
(a) (b) 
F(t) 
Linear ] 
F(t) 
1 Não linear 1 Tentativa 
Incremento real 
Real 
F(t + flt) -----<111-
A "tentativa" e o 
real coincidem 
B 
F (t + flt) i ... <1111---R_ea_l -----------------
- Tentativa · -F (t + flt) 14<111~-- -- ------------ -_-.~-: ___ -- -- --- -
F(t) 
F 
A a t 
----- . ······--·-·r··· ----
• 
' 
F(t) 
. - F . . F 
A .··)· a : • • ····· ···· ~:::: ....... ····t ............... . 
... 8 .... • • .... ... . ...... ----'---... : • • Tentativa i -. Incremento de forças F 
tgu = Kr = Incremento dos deslocamentos = 8 
Incremento de forças F 
tgu = K(t) = - -
Incremento dos deslocamentos 8 
{F} = [KiJ. {8} Na análise linear Kr é constante -{F} = [K(t)J. {8} Na análisenão linear [K(t)J varia 
(c) 
.~ Nésiina tentativa para [K(t)] no intervalo 8, 
.. ·· .....-- na qual se obté1n a convergência no ponto B. 
• • 
• • • 
B .·· lt, .. ··~ .............. _. 3ª tentativa para [K(t)J no intervalo 8 
F(t + flt) -----------------------------------------.: --------~ -------.··- -----------. ' .. . . 
... ~~ · · · ..... · · · ·~----- --------- 2ª tentativa para [K (t) J no intervalo 8 
• 
• • 
• 
• • 
• .:.·· .. ·.·.· ... ··t·.· __ ..... ··~--·--·-·-··-·- 1ª tentativa para [K(t)} no intervalo 8 
-.: ..... - -· F 
.. .. . .... . 
.• ... . .. .. . 
• 
• 
• . . A ...... :·.-·· . 
F(t) . . . . . . . . . . . . '-:~'::::: .................. : ................................. . 
• • .. ·- ... ,. -··. .. ' . • -"":. .. .. 1 • . ' . 
' . 
' . 
' . 
' . 
' . 
' . 
8 
• 
• 
Ili>: 
Figura 3.3. Relação entre forças e deslocamentos nas análises linear e não linear. Na análise linear; os deslocamentos crescem 
a uma taxa constante, contabilizada pela matriz de rigidez que não varia durante a análise. Na análise não linear; a rigidez 
varia à medida que o carregamento é aplicado, ou seja, os deslocamentos crescem de forma não proporcional aos incrementos 
de carga ou de forças internas. Em cada estado de equilíbrio, as forças internas estão em equilíbrio com as forças externas. 
89 
O vetor que representa o acréscimo de força interna {F} pode ser aproximado usando a matriz tangente no instante t. 
No caso mais geral de análise não linear, deve-se levar em conta a condição em que se encontra o material e a geometria 
da estrutura. 
Assim, da Figura 3.3.b e dos comentários anteriores, podemos escrever: 
{ft} =[K(t)].{8} (3.4) 
em que {õ} é o vetor dos deslocamentos nodais. Note que o acréscimo de força interna dado por (3.4) é uma aproxi-
mação, desde que para os deslocamentos {õ} considerados tenha sido utilizada a matriz tangente [K(t)J, e o acréscimo 
de força interna não reproduziu o ponto B que corresponderia à configuração de equilíbrio, como mostra a Figura 3.3 
(casos b e e). Na análise linear, como indica a Figura 3.3.a, o equilíbrio já é atingido na ''primeira tentativa", pois [Kr] 
é constante. Assim, podemos escrever: 
{F(t + 11t)} = {F(t)} + [K(t)] · {ô} (3.5) 
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90 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
De posse do valor da força interna F(t + ~t), que deveria estar em equilíbrio com a força externa, dado que temos uma 
condição de equilíbrio, podemos substituir esse valor na equação de equilíbrio (3.2). Assim: 
{P(t + ~t)} - {F(t + ~t)} = O => {P(t + ~t)} - {F(t)} - [K(t)] · {o} = O 
A partir desta última expressão podemos determinar o incremento de deslocamento { õ}. Assim: 
{P(t + M)} - {F(t)} = [K(t)] · {o} => 
(3.6) 
Esse incremento {o} está associado ao incremento de carga e é um valor aproximado, pois como mostra a Figura , 
3.3, a matriz de rigidez utilizada é uma aproximação. E apenas a ''rigidez de partida'' no início desse intervalo. 
Como o deslocamento no final do intervalo é a soma do deslocamento no final do intervalo anterior com o incremento 
de deslocamento {õ}, e este último é aproximado, temos também uma aproximação para o deslocamento ao final desse 
intervalo. Assim: 
1 {U(t + ~t)} ~ {U(t)} + {o} 1 
(3.7) 
Os deslocamentos 
são aproximados 
Aproximação para os deslocamentos no instante (t + Ât). 
Corresponde a uma aproximação, pois foi utilizado {ô} obtido 
de 3. 6, que é aproximado. 
A configuração deformada 
é aproximada 
São calculadas aproximações para 
as tensões e as correspondentes 
forças nodais no instante (t + At) 
A partir desse deslocamento aproximado, poderíamos iniciar o cálculo do próximo incremento At, porém como o 
deslocamento é aproximado (3.7), a solução poderia apresentar erros significativos, e dependendo dos passos utili-
zados (no tempo ou na carga), a solução poderia ser até instável. 
Surge então a necessidade prática de resolver o problema iterativamente, até que a solução da equação de equilíbrio 
seja efetuada com suficiente precisão naquele intervalo. Aí sim, deveríamos passar para a solução do próximo inter-
valo. Como já mencionamos anteriormente, abordaremos os métodos iterativos adiante. 
3.2 Entenda o Acoplamento entre Cargas Axiais e Flexão a partir do Elemento de 
Viga: Matriz de Rigidez Geométrica - Generalizando ... 
Daremos agora o primeiro passo para entender o comportamento não linear decorrente das grandes de.flexões apre-
sentadas por uma estrutura, e para isso utilizaremos inicialmente o elemento de viga, o qual, considerado na análise não 
linear de estruturas reticuladas, pode ajudar de forma muito didática na demonstração de todos os princípios básicos da 
análise não linear pelo método dos elementos finitos, para efetuarmos posteriormente as generalizações cabíveis. Com 
base nas discussões iniciais feitas até agora, podemos resumir as principais ideias da não linearidade em estruturas: 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 
, . 
Geométricas 
, . 
As cargas na estrutura alteram a 
geometria dela, o suficiente para 
alterar o estado de equilíbrio. 
• As deflexões da estrutura são 
grandes ao comparar com suas 
dimensões originais. 
• Quando a estrutura deforma, 
ocorrem mudanças na rigidez 
e na carga. 
Em estruturas - principais tipos de não linearidades 
' 
Do material 
' . 
Plasticidade 
' . 
A estrutura pode ser 
carregada acima do 
limite de escoamento 
do material 
' . 
Pode-se modelar uma 
curva cr x s não linear 
• 
As cargas na estrutura são 
redistribuídas quando a 
estrutura escoa 
,1, 
Contato 
' . 
A estrutura altera a sua 
rigidez devido à mudança 
da condição de contorno 
durante a análise 
91 
Inicialmente, desenvolveremos o estudo da interação entre carga axial e lateral não considerada na análise linear de vigas. Esse acopla1nento dá 
origem a termos extras na matriz de rigidez, que dependem das forças nos elementos, que por sua vez dependem dos deslocamentos nodais que 
são desconhecidos, pois como sabemos, a rigidez varia com o carregamento. Isso torna a análise não linear. 
Teremos termos extras na matriz de rigidez, dando orige1n ao que chamamos de matriz de rigidez geométrica [~], que é aditiva à matriz ordinária já 
conhecida. Essa matriz, e111 última análise, contabiliza o efeito na mudança da rigidez da estrutura decorrente de sua deformação, ou seja, 
' decorrente do fato de as grandes deflexões serem determinantes na contabilização da rigidez da estlutura. E o processo que permite a atualização da 
rigidez da estrutura à medida que vai sendo carregada. 
Aí surge a necessidade da análise por elementos finitos iterativa. Vamos iniciah11ente introduzir a interação entre carga axial e deflexão, para 
conceituar matriz de rigidez geométrica . 
A questão central no entendimento e equacionamento do acoplamento entre as cargas axiais e a flexão no elemento de 
viga passa por um ponto básico, que poderia ser despercebido no equacionamento do elemento de viga já estudado na 
análise linear. Quando calculamos os efeitos da flexão no elemento de viga linear decorrentes apenas da ação de flexão, 
não eram geradas forças axiais decorrentes da flexão. Como sabemos, as forças axiais são calculadas a partir da relação 
F AXIAL= [(E· A) I L] · ó, em que ó representa a variação de comprimento da viga. Portanto, foi assumido na análise 
linear que, devido à ação isolada da flexão, temos 8 ~O.Ou seja, a variação do comprimento da viga, no comportamento 
linear, é tão pequena que a força axial gerada é desprezível. 
Isto é, se contabilizarmos o comprimento da viga antes da flexão dado por LANTES e contabilizarmos o comprimento da 
viga depois da flexão dado por L DEPOIS, dentro das hipóteses da análise linear teremosque LANTES ~ L DEPOIS· Assim, 
na condição deformada da viga sob ação de flexão, consideramos que os comprimentos dela antes e depois são iguais. 
Como a deformação é calculada pela condição geométrica, discutida no capítulo anterior, e ela não considera a defor-
mação axial uniforme na seção da viga, não teremos o acoplamento entre carga axial e flexão. 
Na análise não linear, porém, as deflexões são grandes. Os comprimentos da viga deformada antes e depois da flexão 
podem ser diferentes. Em outras palavras, são geradas forças axiais decorrentes dessa flexão. Além disso, como vimos 
no capítulo 1, essas forças axiais na presença de excentricidades podem gerar momentos fletores secundários que não 
eram contabilizados na análise linear. Enfim, esse novo cenário merece tratamento matemático mais adequado. Então 
entra em cena a matriz de rigidez geométrica. 
Qual o caminho lógico para isso? Em primeiro lugar já sabemos que a deformação pode ser calculada a partir do 
conhecimento da estrutura antes e depois da deformação, mais especificamente, das geometrias indeformada e defor-
mada, pois deformações são relações essencialmente geométricas. Para começarmos o desenvolvimento dessas rela-
ções, a primeira tarefa é desenhar a estrutura indeformada e depois de/ ormada, porém nesse esquema devemos consi-
derar na geometria deformada que o comprimento de um trecho de viga se alterou. Fazendo isso, teremos condições 
de calcular as forças axiais e, por extensão, os eventuais efeitos delas, gerando flexões na presença de excentricidades. 
A Figura 3.4 representa uma viga antes e depois da deformação. Isolamos para análise um pequeno trecho dessa viga, 
uma fibra, de sorte que ao identificarmos as suas geometrias indeformada e deformada, possamos aplicar as relações 
matemáticas cabíveis que, como já sabemos do capítulo anterior, são essencialmente geométricas. 
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92 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
-- ---------- ---- --carga 
y .i.i.i .. i.i.i.i.i.i.i.i.i .. i .. i .. X 
-- --- -
/- --- -, 
,,,,-- ~~~r~-ª~~---~---~~---!----- ',,,,, 
O deslocamento dv de uma 
pequena fibra dx ocorre na 
direção vertical y. Ocorre uma 
deformação axial da fibra dx 
devido à deflexão lateral. 
L a 
O deslocamento /J,. da viga é considerável 
em relação ao co1nprimento L da viga. 
Desta fonna, as deflexões são grandes. 
I , l \ 
I • -, ....................... 1 ( \ 
I --------- ----- ' 
I I I dV - > \ 
\ 
\ 
\ I 
\ I 
\ I 
' / ' / ' / 
' -' -' -' ---- --- ------ ------- -------
Devido a essa deformação 
axial da fibra, o comprimento 
dela se altera de dx para ds 
na posição deslocada. Porén1, 
embora as deflexões sejam 
grandes, as deformações são 
pequenas, dx se alterou, mas 
ds não é 1nuito maior que dx. 
Figura 3.4. Grandes deflexões em viga durante flexão. Neste caso, embora as def/exões sejam grandes, pois ô é 
um valor apreciável em relação ao comprimento L da viga, as deformações são pequenas, pois cada uma das 
fibras de comprimento dx apresenta pequena variação de comprimento em relação a esse comprimento inicial. 
Assim, identificando na Figura 3.4 os comprimentos inicial e final da fibra, antes e depois da deformação, podemos cal-
cular a deformação dessa fibra pertencente à seção transversal da viga. Essa fibra terá deformações no caso mais geral, 
decorrentes de três ações diferentes que são representadas na Figura 3.5, e permitirão entender como elas interagem 
entre si. Os diferentes comportamentos fisicos são representados a seguir, a saber: 
• Efeito direto da ação de uma força axial, agindo sobre a viga no eixo do centroide, e já estudado na análise linear. 
• Efeito direto da ação de momento fletor, agindo na seção transversal da viga, e já estudado na análise linear. 
• Efeito da mudança de comprimento da fibra, decorrente da ação de flexão, e não estudado na análise linear. 
h 
fibra 
• • '------------
1 
1 
1 êconstante 
-----L----l===i--~ 
Força axial agindo no centroide 
h 
-- ------------------------.. --• • 
• • 
• • 
• • 
• - - - - . . . . . . . . . . . . . . . . . - - - - - - -
' . 
• • -. ·- .. . . . . .. 
Devido à ação da carga axial agindo 
isoladamente, não há curvatura e a 
deforn1ação é dada pela prin1eira 
derivada do deslocamento. 
' . 
' . -- ·-.. . . . . .. 
du 
ê =-
X dX 
Deformação devido 
apenas à ação da 
força axial 
fibra 
' • 
' ------------
êvariável 
Mo1nento fletor na seção transversal 
dx 
1 d2 
- = v = v"(x) 
p dx2 
Devido à ação do momento fletor 
isoladamente, há curvatura, e a 
deformação é dada pela segunda 
derivada do desloca1nento. Só existe 
deformação por flexão se há curvatura, 
e esta é contabilizada pela segunda 
derivada do deslocamento. 
. ' . ' - - ,_ .. . . 
• • -. 
Deformação devido apenas à ex = y · ( ~:~) 
ação do momento fletor .--__,.......___ __ __.. 
Lantes 
Ldepois 
Ldepois > Lantes 
Devido à ação do momento fletor isoladamente, nas 
condições de grandes deflexões, ocorre o au1nento do 
comprimento da viga. Assin1, as deformações axiais, 
que fazem as fibras mudarem de comprimento, não 
foran1 neste caso causadas pela ação de forças axiais, 
1nas de ação secundária do momento fletor. Veja abaixo: 
... 
• • 
Variação de 
----~-- comprimento 
' . - - ·-"' . . 
• • -. 
da fibra 
8 
= (ds-dx) 
X 
dx 
Deformação devido +--' ____ __.. ___ Comprünento 
' -apenas a açao inicial da fibra 
secundária do 
momento tletor 
Figura 3.5. Ação conjunta de força axial aplicada diretamente na viga mais momento fletor aplicado 
diretamente na viga, e a presença de deformações axiais decorrentes das grandes deflexões. 
Editora Érica - Elementos Finitos: A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear-Avelino Alves Filho - 1ª Edição 
Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 93 
Para vigas de proporções normais, sendo desprezíveis as deformações por cisalhamento, as deformações são longitudi-
nais, e são dadas pela soma das três parcelas detalhadas na Figura 3.5. 
Deformação 
longitudinal Axial 
(A) 
Flexional 
(B) 
Componente da deformação 
associada ao acoplamento 
das ações flexional a axial 
(C) 
(3.8) 
, 
Vamos desenvolver a Expressão (C), que é uma das parcelas da deformação calculada por 3.8. E a deformação extra, 
causada pela deflexão lateral. Portanto, levando em conta somente o efeito do deslocamento lateral, teremos: 
ds2 = ( dx ) 2 + ( dv )2 ~ ds = ~ ( dx )2 + ( dv ) 2 . dx ~ ds = 
dx 
pois as deformações são pequenas: 
dv 
2 
dv 
1 + - .dx ~ Como 
dx dx 
, 
e pequeno 
ds= l+ 
dv 
2 
. dx -::::, 
dx 
1 
1 +-. 
2 
dv 
2 
dx 
.dx (aproximação matemática conhecida do cálculo) 
Assim: 
ds~ 
1 
J+ - . 
2 
dv 
2 
dx 
.dx~ ds ~ 
1 
dx+ - . 
2 
dv 
2 
dx 
.dx 
1 
~ ds ~dx+ - . 
2 
2 
dv ds - dx 1 
.dx ~ -::::, - . 
dx dx 2 
dv 
2 
dx 
(3.9) 
A parcela dada pela Expressão 3.9 corresponde ao componente da deformação associada ao acoplamento das ações 
flexional a axial. Assim: 
Termos lineares 
já conhecidos 
1 dv 
2 
+- . 
2 dx 
~ 
Este termo é não linear no deslocamento 
transversal v. A segunda derivada do 
deslocamento é do segundo grau 
(3.10) 
Portanto, a análise da viga nas condições de grandes de.flexões constitui uma análise não linear. A questão central é 
então a atualização da matriz de rigidez da estrutura, pois ela varia com o campo de deslocamentos. Dado que em cada 
intervalo, desde o início da análise, sob condições iniciais fornecidas, é conhecida a ''rigidez de partida'' no início de 
cada intervalo, devemos atualizá-la para poder, com a rigidez no início de cada intervalo e com a correção proposta, de-
terminar a rigidez correta para permitir o cálculo do incremento de deslocamentos verdadeiro para a estrutura nesse 
intervalo. A Figura 3.6 ilustra esquematicamente a ideia da correção e atualização da matriz de rigidez em cadaintervalo 
desde o início da análise. A relação entre forças aplicadas na estrutura e correspondentes deslocamentos dela dada por 
{F} = [ K J · { 11.} deve ser entendida por incrementos. Em cada incremento a rigidez é atualizada. Em outras palavras: 
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94 
I 
1 
-/ 
Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
f KJ Incremento = f KJ Início de incremento + f KJ Correção 
fKJ Incremento = fKJ Início de incremento + fKJ Geométrica 
Rigidez verdadeira 
atualizada 
Força - F 
{F} = [KJ1ncre111ento · (!::,.} 
fKJ Incremento = fKJ O + fKJ G 
• 
Rigidez de partida no 
início do intervalo 
[Kl1ncremento = [KJo + [KJc 
' ' 
[KJo 
Correção - Matriz de 
rigidez geométrica 
' ' ' ' ' ' ' ' 
/ 
I 
I 
1 
1 
' ' 
/ 
/ 
' ' \ 
1 , 
I 
/ ,,. 
--- ' 1 --------- \ ------ ' ---- ' 
-~:::::::~=~~~==~-~-~-~--~-~-;~,---_------={=K=J P=a=rh=·dc:1 ---'~,l--~:! i- ___ - - - - - - - - - - - - - ,, ,, ,, ,, ,,. ': Deslocamento - t::,. 
I 
I 
1 [K] Partida k:=::;> 1 !::,. = O 
' Figura 3.6. A medida que a estrutura é carregada, a rigidez é atualizada para permitir o cálculo adequado dos deslocamentos. 
No início de um incremento de carga a matriz de rigidez é conhecida [Klo- e corrigida para esse intervalo por intermédio da 
matriz de rigidez geométrica, ou seja, [KJ,NCREMENTO = [K.]0 + [Klc- A cada novo incremento, tendo a rigidez corrigida 
no final do incremento anterior, efetua-se a correção da matriz de rigidez novamente. No início da análise, assim que o 
modelo de elementos finitos está definido, é conhecida a rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada elemento, que é a 
rigidez de partida. Antes da aplicação do carregamento, essa rigidez já é conhecida, e os deslocamentos são nulos (A = O). 
Para um incremento de carga {F} na estrutura, que corresponde a um incremento dos deslocamentos {11), podemos 
escrever: 
{F} = ([KJ0 + [K]6 ). {11) (3.11) 
Note que, quando a estrutura estiver na "condição de partida", pronta para começar a receber os incrementos de carga, 
teremos [KJ 6 = [O]. Isso era esperado do ponto de vista fisico, pois a matriz de rigidez geométrica representa a correção 
da rigidez da estrutura decorrente da sua geometria deformada, pelo fato de as equações de equilíbrio sofrerem alteração 
decorrente dessa configuração deformada. Como no início do processo de carregamento da estrutura ela não está ainda 
' deformada, a matriz de rigidez geométrica tem contribuição nula na rigidez do conjunto. A medida que a estrutura for 
carregada, forças internas se manifestam dentro dela, e essas forças internas, estando associadas às deformações da 
estrutura, devem estar presentes na contabilização de [KJ 6 . 
No Quadro V demonstramos a expressão da matriz de rigidez geométrica para o elemento de viga à flexão, em um dos 
planos principais em que esta ocorre. No outro plano perpendicular, a ideia é a mesma, apenas alterando-se o momento 
de inércia da viga. Essa demonstração é desenvolvida por intermédio da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais, o 
qual já utilizamos para o elemento de viga da análise linear. Apenas que, neste caso, como já mencionado anteriormente, 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 95 
a aplicação é feita na forma incremental, pois a rigidez varia conforme o incremento. O leitor pode efetuar o acom-
panhamento dessa demonstração neste momento ou até posteriormente, sem prejuízo do entendimento dos conceitos 
até agora expostos. Evidentemente, utilizando os conhecimentos armazenados até aqui, a partir dos estudos da análise 
linear, enfatizam-se as manipulações matemáticas necessárias para tal demonstração do Quadro V Não fazemos nessa 
sequência para não desviar o foco dos conceitos expostos. 
Para um elemento de viga, apresentamos a matriz de rigidez de um elemento levando em conta os efeitos de forças axiais , 
e flexão, e o acoplamento entre elas contabilizado na matriz de rigidez geométrica. E feita uma comparação com a matriz 
de rigidez da viga para o caso da análise linear. 
Análise linear - elemento de viga com rigidez axial, flexão em um plano, e sem efeitos de acoplamento entre ambos 
,---------------[ _______ [ _______ [ _______ [ _______ , 
l ---! ---_:_ ---~ --- ---~ --- ---~ --- ---~ --- ---~ ---] 
E·A 
L 
o 
E·A 
L 
o 
,---1 
1 1 
1 1 1 
1 1 
1 1 
1 1 ---7 
2 
M, : 
F 
1 
Antes x i 
o 
E·A 
L 
o 
12EI 
L3 
6EI 
J} 
o 
6EI 
L2 
4EI 
L 
o 
E·A 
L 
o 
12EI 
L3 
6EI 
L2 
o 
6EI 
L2 
2EI 
3 . - - - p:=c:c:::c::::c:::c:::r:::::c::r::::::r::::::r:.,..._---+...!.._+ 
L 
o o o o 4 
o 12EI 6EI L3 L2 o 
12EI 6EI 
L3 L2 5 
o 6EI 2EI 
L2 L 
o 6EI 4EI 
L2 L 6 
'----
Rearranjando a posição dos graus de liberdade na matriz de rigidez, termos: 
... - - - - - - - ""T"" - - - - - - - 1- - - - - - - r - - - - - - - T - - - - - - - 1- - - - - - - ... 
: 1 : 4 1 2 ! 3 I 5 1 6 : 1 ________ i ________ [ _______ - ·' - _____ _ _ l ________ l ________ 1 
E-A E-A 
L L 
1--- -
1 1 
O O O O : 1 : 
1 1 
E.A 
L 
E.A 
L 
--------------~ ~+ 
o o o o 
1 
1 
4 : 
1 
1 
L 
5 6 
4 
Numeração dos graus de liberdade 
Parte da matriz 
associada somente à 
rigidez axial - [K]u 
X 
o o 
[K]e = 
12EI 
L3 
6EI 
L2 
6EJ 
J} 
4EI 
L 
6EI 
L2 
12EI 
L3 
6EI 
L2 
6EJ 
L2 
2EI 
L 
1 
1 
2 : e [K]u ! [O] 
[K] = ------r--- - --
[O] : [K]v o o 
o o 
o o 
12EI 
L3 
6EJ 
L2 
2EI 
L 
12EI 
L3 
6EI 
L2 
6EI : 
--- 5 : 
L2 - i---: + 
1----
1 1 
4EI 1 
6 
: 
1 1 
L 
1 1 
1 1 
1 _ - - -
Parte da matriz 
associada somente à 
rigidez à flexão - [KJv 
Análise não linear - elemento de viga com rigidez axial, flexão em um plano, e contabilizando os efeitos de 
acoplamento entre os comportamentos axial e flexão, caracterizando a não linearidade geométrica 
A demonstração da expressão que relaciona forças e deslocamentos para um elemento de viga, considerando a não li-
, 
nearidade geométrica, é desenvolvida no Quadro V. E importante identificar os termos dentro dessa matriz. 
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96 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
... ------r------, 
1 1 4 1 1 1 
{f}u [k1 [O] 
, ______ , ______ , ---~ 
{u} EA EA 1 1 1 1 
1 1 1 
[O] [k Jv +[k Jv G {V} L L 
1 1 
1 4 {f}v [k]u = 
1 1 ,. • • ... , EA EA 1 
4: 
L L ----
~-- --------------+ Matriz de rigidez usual para o elemento de viga em flexão 
Matriz de rigidez geométrica - [k]v,G 
Considera a interação entre força axial no elemento de viga 
e os deslocamentos de flexão. 
Um dos casos importantes de não linearidade geométrica 
ocorre quando as grandes deflexões acontecem de forma 
instável e elasticamente. 
Assim, a matriz [k1vc pode considerar esses efeitos de 
' , 
instabilidade, como veremos a seguir. E o caso que estudamos 
anteriormente, só que de forma analítica, no Exemplo 2.4, 
quando a não linearidade geométrica vem acompanhada de 
instabilidade da estrutura. Os deslocamentos aumentam 
sem o aumento da carga. 
Essa matriz constitui uma correção na matriz de rigidez 
básica de flexão [k]v-
- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -
1 
2 
1 
3 
1 
5 
1 
6 
1 
1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 - -- ---- --- -- ----- ----- ---7 
Força interna 36 3L - 36 - 3L 1 :2 1 
~ 
1 
4L2 - L2 
L.--~ 
1 
[k] - Fx 3L -3L 
1 3 1 
1 1 
(3.12) • .._ __ ""1 
V,G 30-L - 36 - 3L 36 - 3L 
1 
1 5 1 
1 1 
L.--~ 
- L2 4L2 
1 
- 3L - 3L 1 6 1 1 1 
L.---' 
- -- --- -,--- -- - -- - ----,-- - -- --
1 2 1 3 1 5 1 6 1 1 I I I 1 
1_ - - - - - - .. - - - - - - - · - - - - - - - .. - - - - - - _ , 
12EI 6EI 12EI 6EI 
- ----, 
1 1 
1 1 
1 2' L3 L2 L3 L2 1 1 1 
6EI 4EI 6EI 2EI 
1 1 
1 1 
1 3: 
L2 L2 
1 
L L 1 1 
[k Jv = l.--~ 1 112EI 6EI 12EI 6EI 1 1 1 5: 1 
L3 L2 L3 L2 1 
1 1 
1 1 
6EJ 2EI 6EI 4EI 1 6: 1 
1 1 
L2 L L2 L , _ - - J 
~ '-------
i 2 sl+J Ç: 
3 
, 
E importante observar que essa matriz é adicionada à matriz usual para o elemento de viga em flexão. Ou seja, a parte 
da matriz de rigidez que incorpora as propriedades de flexão tem um termo que representa a força axial. Essa matriz 
depende da força interna que se manifesta na barra axialmente, ou seja, o efeito da força axial interna é contabilizado no 
comportamento à flexão da viga. Portanto,flexão e força axial no elemento são acopladas. 
Fica claro que quando a estrutura não está ainda carregada• Fx =O. ~I [k]v,6 = O 1. Ou seja, a matriz de rigidez 
geométrica só contribui para a rigidez da estrutura à medida que a estrutura estiver sendo carregada e, consequen-
temente, deformada. Com a geometria deformada da estrutura, a rigidez associada a essa configuração deformada está 
sendo levada em conta. À medida que a carga externa aumenta e a estrutura tem as forças internas axiais crescendo, a 
matriz de rigidez geométrica vai sendo atualizada, e a correção na matriz de rigidez dos elementos e da estrutura será 
considerada. 
Os termos individuais da matriz de rigidez geométrica só dependem de parâmetros geométricos, como era de se es-
perar. Não dependem de propriedades de materiais nem fisicas. Como pode ser verificado no Quadro V, a matriz de 
rigidez geométrica está associada ao trabalho realizado pela força axial na flexão. 
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Já sabemos que a matriz de rigidez da estrutura é montada a partir da matriz de rigidez de cada um de seus elementos, 
que considera a parcela da matriz de rigidez geométrica no termo de flexão, como acabamos de verificar. Podemos 
concluir que a matriz de rigidez geométrica de toda a estrutura deve levar em conta a matriz de rigidez geométrica 
de cada um de seus elementos. O procedimento de montagem é o mesmo, considerando os já conhecidos ''vetores de 
localização''. 
Da mesma forma efetuada na análise linear, o procedimento de montagem da matriz de rigidez geométrica da estrutura 
a partir da matriz de rigidez geométrica de cada um de seus elementos deve ser feita com alguns cuidados. Para efetuar 
o procedimento de montagem em cada incremento de carga, a matriz de rigidez geométrica de cada elemento deve ser 
apresentada no sistema global de coordenadas, ou seja, o sistema de referência que vale para a estrutura como um todo. 
Só após essa etapa o procedimento de montagem pode ser efetuado. Resumindo: 
(3.13) [ KG ]e= [T]T ·[ kv,G ]·[T. 
----:=:=====:::::Ili!:.,_ ____ __, 
Matriz de rigidez geométrica 
do elemento no sistema 
global de coordenadas 
Matriz de rigidez geométrica 
do elemento no sistema 
local de coordenadas 
Matriz de transformação, que 
transforma o equilíbrio do elemento 
do sistema local de coordenadas para 
o sistema global de coordenadas 
(3.14) 
Montagem da matriz de rigidez geométrica da estrutura a partir das 
matrizes de rigidez geométricas de cada um de seus elementos 
{F} =([K]+[KG ])·{.1} (3.15) 
Sistema de equações algébricas que representa o equilíbrio da estrutura. Esta expressão pode ser entendida para as 
aplicações gerais de elementos finitos. Foi utilizado o elemento de viga para a construção desse conceito, e demons-
trado no Quadro V pelo princípio dos trabalhos virtuais. Poderíamos aplicar esse procedimento para outros elementos 
e obter as correspondentes matrizes de rigidez geométricas. Evidentemente, cada elemento terá a sua particular matriz, 
que traduz o conceito anteriormente exposto. Da mesma forma, as Expressões 3.13 e 3.14 também têm caráter geral. 
3.3 Uma Aplicação Prática da Teoria Utilizando a Ferramenta Computacional: 
Grandes Deflexões em Viga 
A Figura 3.7 representa uma viga de aço (E= 21.000 Kgf lmm2) sob ação de carga distribuída uniformemente ao longo 
de seu comprimento. A máxima deflexão apresentada pela estrutura, neste caso, está fora dos padrões considerados para 
pequenas deflexões, sendo melhor representada pela teoria não linear. Na prática, quando efetuamos uma análise linear 
e constatamos a presença de grandes deflexões, sabemos que os resultados obtidos não se aplicam, pois a teoria linear 
aplica-se somente até um certo limite. Se as pequenas deflexões forem uma exigência da condição de trabalho da estru-
tura, para atendimento a alguma norma existente, deveríamos reforçá-la para que as deflexões diminuíssem, e com isso, 
se quiséssemos trabalhar no limite das pequenas deflexões, a aplicação da teoria linear seria válida. Por outro lado, se o 
critério de projeto da estrutura admitir deflexões maiores que aquelas representadas adequadamente pela teoria linear, 
devemos aplicar a análise não linear, cujos conceitos anteriormente introduzidos devem estar presentes. Neste caso, deve 
ser considerada a contribuição da matriz de rigidez geométrica. 
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98 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
A solução numérica linear foi considerada e comparada posteriormente com a solução numérica não linear. Em ambos 
os casos, foi feita a comparação das soluções numéricas, por elementos finitos, com as soluções analíticas disponíveis 
na literatura. 
, 
E importante observar que, quando as deflexões aumentam significativamente, ocorre a tendência de aproximação das 
extremidades da viga. Os apoios, opondo-se a essa tendência, aplicam forças axiais na viga, impedindo a aproximação 
das extremidades dela. São geradas então forças axiais e tensões axiais constantes ao longo da seção da viga. Essas for-
ças axiais têm uma natureza bastante diferente daquelas estudadas na análise linear, em que as forças axiais e as flexões 
eram independentes, e uma não causava aparecimento da outra. Não havia acoplamento entre forças axiais e flexões. 
Nas aplicações não lineares, devido à ação dessas cargas axiais, as curvaturas apresentadas ao longo da viga, ocasiona-
das pela flexão, diminuem, e observamos menores deflexões. As tensões de flexão, que variam ao longo da seção da viga, 
e que são mais intensas nas fibras extremas, também tendem a diminuir, pois estão associadas às curvaturas, que agora 
são menores. O que podemos verificar a partir dessa aplicação numérica é que as tensões axiais constantes que surgem 
devido ao efeito da carga axial decorrente da tendência de aparecimento de grandes deflexões são superpostas às tensões 
de flexão ocasionadas com essa diminuição da curvatura. Ou seja, neste caso, devido à presença da rigidez geométrica, 
a estrutura estará sujeita à força axial e flexão, dependentes uma da outra. 
A Figura 3.8 representa a solução numérica linear e a comparação com a solução analítica linear. A Figura 3.9 mostra a 
solução não linear pelo método dos elementos finitos, utilizando a ferramenta computacional. Como dissemos, a matriz 
de rigidez geométrica é demonstrada no Quadro V. 
q = 4 Kgf/mm --- ---- --- ---- -- . -- -- --
• ' • ' • • ' • ' • ' • • ' • ' • 
/'\ 
~ 
' --L 1500 mm 
-- ----
• ' • ' • 
---
• ' • 
I '\ 
• 
• 
1 1 ___., ,._ 
60mm 
espessuras = 2 mm 
Propriedades da seção da viga 
A=432 mm2 
11 = 723776 mm
4 
12 = 72064 mm
4 
.-.--.-.-.--.-. -.--.-.-.-.--.-.-• Shear area vertical = 186,09 mm2 Shear area horizontal = 229,07 mm2 
)\-------- lõ --------7\ -- --
---- ------+ Linha dos centro ides da estrutura deformada 
Figura 3. 7. Viga sob ação de carga distribuída e apoiada nas extremidades. A estrutura será avaliada dentro da teoria 
linear das pequenas deflexões e os resultados comparados com a teoria não linear, levando em conta a rigidez 
geométrica. São comparadas as soluções analíticas e pelo método dos elementos finitos (numérica) nosdois casos. 
Solução numérica pela análise linear - teoria das pequenas deflexões 
Considerando como recomendação de pequenas deflexões a re-
lação entre flecha máxima (õ) e vão livre como 1/300 no máxi-
mo, para este caso teremos: 
ô/L = (18,1011500) = 0,0121 >> 1/300 = 0,0033 
A relação observada neste caso, 0,021, é 3,67 vezes maior que 
o valor recomendado, 0,0033. Neste caso a análise linear não 
se aplica. Se aplicássemos a solução analítica linear para este 
caso, o resultado obtido por intermédio do software coincidiria 
com a solução analítica, como é mostrado a seguir, porém esse 
resultado não teria significado fisico, já que a teoria linear é vá-
lida dentro dos limites das pequenas deflexões. Como o modelo 
linear traduz o comportamento dado pela teoria linear, o modelo 
numérico e a previsão analítica conferem, mas esse resultado é 
um "número frio", sem significado fisico. Em resumo, a teoria 
linear "erra" da mesma forma que o software linear erra. 
T2 Translation = - 18.0962 
Solução obtida pela análise linear 
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_.,. 
181 1 
1& 97 
150:I 
Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 99 
Analiticamente, esse resultado poderia ser obtido considerando a solução dada pela teoria de vigas, levando em conta 
a deformação por cisalhamento, tal como é estudado na análise linear, a saber: 
5 . q · L4 48 · a · E · I 
v=---(1+ s 2) 
384-E·l 5-G·A·L 
Observando a expressão para o cálculo da deflexão máxima, contabi-
lizando-se os efeitos de flexão e cisalhamento, notamos que fora dos 
parênteses da equação está presente o valor da deflexão decorrente ape-
nas das deformações por flexão. Dentro dos parênteses, há um "fator 
de correção" que permite incorporar o efeito da deformação por cisa-
lhamento ao cálculo das deflexões. Esse fator é conhecido como co-
eficiente de cisalhamento. No caso de vigas I, ªs é igual a A/ Aa, em 
que Aª é a "Shear Area" associada ao plano de flexão da viga, neste 
caso o plano da alma, e A é a área da seção transversal do perfil. Assim: 
ªs =AIAª= 432 / 186,09 = 2,32. 
. 5-4-15004 
Assun: v = -------
384.21000. 723776 
l + 48 · 2,32-21000 · 723776 
5.8076.432.15002 
= 18, 09mm , portanto as soluções numéricas ana-
líticas conduzem ao mesmo valor de deslocamento máximo. 
Tensões normais calculadas pela hipótese da linearidade 
Momento fletor máximo no centro da Viga= MMÁX = q · L2 I 8 = 4 · 15002 I 8 = 1125000 Kg/· mm (coincidente com 
a solução numérica) 
T - 1 , . 112 5 000 50 77 717 Kgf 1.ensao norma ma:nma cr = · = , 
2 723776 mm 
Bea,n EndB Ptl Comb Stress = 77. 7174 
Solução obtida pela análise linear - Tensões 
.. 
Bea,n EndA Planei Mo111ent = 1125000. 
Solução nu111érica 
n.n 
72.86 
68. 
~14 
(coincidente com a solução numérica seguinte) 
A análise linear não considera o aparecimento de forças axiais 
decorrentes das grandes deflexões. Portanto, a solução nu1n érica 
fornece o diagrama de forças axiais na viga com valores nulos em 
todos os elementos de viga: 
Bea11, EndA Axial Force = O. 
Bea111 EndB Axial Force = O. 
Figura 3.8. Solução linear por elementos finitos e comparação com a solução analítica linear. Apesar de as def/exões serem 
grandes, a teoria linear não contabiliza as forças axiais decorrentes da tendência de aproximação das extremidades fixas. 
As soluções analítica e numérica fornecem os mesmos valores, porém estão fora dos limites de aplicação da teoria. A decisão 
a respeito da faixa de aplicação da teoria e da validade dos resultados obtidos não é do software, mas, como sempre, do usuário. 
Solução numérica pela análise não linear - teoria das grandes deflexões 
Neste caso, como observado na Figura 3.8, deve-se considerar a análise não linear. Podemos observar pela solução 
numérica que a flecha máxima é menor que aquela prevista pela teoria linear. Isso ocorre devido ao fato de que as 
forças axiais que surgem decorrentes da tendência de aproximação dos lados contribuem para que as curvaturas dimi-
nuam e as flechas sejam menores. A teoria linear não contabiliza esse efeito. Como o fenômeno é não linear, a impor-
tância da contribuição da força axial não será proporcional à medida que a carga aumenta, e em cada caso teremos uma 
solução que deve ser avaliada pela solução não linear. Ou seja, a rigidez varia com os deslocamentos, e esse efeito é 
contabilizado pela rigidez geométrica na análise não linear pelo método dos elementos finitos. 
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100 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
T2 Translation = - 17.3029 17-3 
Solução obtida pela análise não linear ,s.22 
1514 
6.489 
A solução analítica não linear é bastante trabalhosa e não será desenvolvida aqui. Os textos clássicos envolvendo o , 
equacionamento desse problema podem ser consultados pelo leitor interessado na solução analítica. E bom lembrar que, 
na análise linear, é considerada a solução da equação diferencial aproximada M =E. I . v" (x) da teoria de vigas para 
pequenas deflexões, que considera inclinações pequenas. No caso de grandes deflexões e inclinações, deve-se utilizar 
a equação diferencial correta, em que não se considera a hipótese de que os ângulos em radianos e a sua tangente são 
iguais pelo fato de serem pequenos. Desenvolvendo a solução da equação diferencial sem a simplificação mencionada, 
pode-se obter a forma exata da linha elástica da viga. Normalmente são soluções muito longas. A questão da linha elás-
tica exata foi investigada inicialmente por Jacob Bernoulli, Euler, Lagrange. Uma obra bastante completa sobre grandes 
deflexões em vigas é a referência ''Flexible Bars'' de Frisch-Fay, R., Butterworth e Co., Ltd.,1962. Normalmente são 
utilizadas as funções elípticas tratadas nos cursos avançados de cálculo. São resolvidas equações transcendentais, cuja 
solução deve ser encaminhada por tentativas. 
Flexão não linear 
l I V'~ ~"-
h / ,,,,.. 
~ 
1 . 
Solução Numérica 
Beam EndA Plane] Moment = 1085541. 
.... 
' ' 
' ' 
1085541. 
1018427. 
951313. 
' 
Força axial na flexão - não linear 
A análise não linear considera o aparecimento de forças axiais decor-
rentes das grandes de.flexões. Portanto, a solução numérica fornece o 
diagrama de forças axiais na viga, com valores não nulos em todos os 
elementos de viga: 
Neste caso o momento fletor no centro da viga é 1085541 Kgf.mm. E Axial Force= 3021.46 
Axial Force= 2931.26 menor que o anterior calculado pela teoria linear, pois as curvaturas são 
menores, causadas pela ação da força axial na flexão. Assim as tensões 
de flexão serão: 
Essa força axial gera uma tensão axial constante na seção da viga: 
--
u = (1085541/723776) · 50 = 74,992 Kgf/mm2 
- 74,992 Kgf/mm2 
+ 74,992 Kgf/rmn2 
-68,2062 Kgf/mm2 
6,785 Kgf/mm2 
-------------
+ 81,7768 Kgf/mm2 
cr=(2931,26/432) = + 6,785 Kgf/mm2 
• 
A superposição dessa tensão com aquela da flexão, em cada estágio do 
carregamento, gera a tensão dada a seguir: 
3 4 
y 
EndA Ptl Co,nb Stress = 81. 7768 
EndA Pt2 Comb Stress = 81. 7768 
z 
EndA Pt3 Co11ib Stress = - 68.2062 
EndA Pt4 Co11ib Stress = - 68.2062 
1 2 
Figura 3.9. Solução não linear por elementos finitos. Força axial na flexão devido à não linearidade. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 101 
QUADRO V -A MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA[ ... ~] 
Já sabemos que na análise não linear a rigidez não se mantém constante e não sabemos a priori como ela se altera. 
A ''rigidez de partida'' se modifica à medida que a estrutura é carregada. Então não poderíamos calcular os desloca-
mentos, pois esse cálculo depende da rigidez, e só conhecemosa rigidez de partida. Ou seja, a curva representativa do 
comportamento não linear da estrutura não é conhecida. Na análise linear essa curva já é conhecida a priori, quando 
acabamos de fazer a "malha". 
Como abordamos essa questão aparentemente sem solução? Com os conceitos da condição geométrica e da condição 
física. Temos como certo que, para a estrutura sob a ação de uma carga AP1 conhecida, ela estará deformada, e em 
consequência dessa condição seus elementos estarão sujeitos às forças internas que serão transferidas aos nós, como 
no problema da treliça (item 2.4) que resolvemos anteriormente. Essas forças internas transferidas pelos elementos aos 
nós equilibram as forças externas aplicadas nos mesmos nós, desde que a estrutura esteja em equilíbrio. Não existe 
equilíbrio sem igualdade de forças internas e forças externas. 
Já que não conhecemos a condição deformada que corresponderia ao deslocamento provocado por AP1, pois não 
conhecemos a rigidez, surge a principal estratégia da análise não linear: nós "chutamos" uma configuração deforma-
da, vizinha da condição inicial, por intermédio dos deslocamentos propostos que achamos serem causados por AP1. 
Como sabemos da análise linear, as forças e os correspondentes deslocamentos causados por elas permitem calcular 
o trabalho das forças externas aplicadas na estrutura. Esse trabalho externo será transferido à estrutura na forma de 
energia de deformação, que é contabilizada pelo trabalho interno. Este último pode ser calculado, pois depende da 
deformação interna do elemento e das forças internas. Desde que atribuímos uma condição deformada por intermédio 
dos deslocamentos nodais propostos associados a AP1, podemos obter a deformação interna por interpolação. Foi 
assim que trabalhamos na análise linear para formular a rigidez dos elementos. 
Ou seja, a condição de equivalência entre os trabalhos interno e externo constitui uma forma alternativa de determi-
nar a rigidez dos elementos e da estrutura, quando a solução exata não está disponível. Nos casos gerais, a formula-
ção dos elementos bi e tridimensionais é efetuada de forma aproximada. A questão é que, nos problemas não lineares, 
a rigidez varia trecho a trecho e então temos de fazer o cálculo da equivalência de forma incremental. Já falamos 
anteriormente que é preciso dividir a carga em incrementos. Devemos estabelecer as variações do trabalho externo 
e do trabalho interno em um dado incremento para que a rigidez da estrutura que varia com os deslocamentos seja 
determinada por trechos, ou por incrementos. Ou seja, a rigidez da estrutura é determinada por trechos. 
Daí a importância da forma variacional do princípio dos trabalhos virtuais, ferramenta utilizada para a determina-
ção da rigidez dos elementos e, em consequência, da estrutura em problemas não lineares. Antes de utilizarmos esse 
conceito central para demonstrar como a rigidez do elemento é atualizada em uma análise não linear, dando origem 
ao conceito de matriz de rigidez geométrica, vale relembrar um conceito importante nas operações matemáticas do 
cálculo do trabalho em uma transformação fisica. A área sob o gráfico da Figura 3.10 fornece numericamente o tra-
balho realizado pela força F, o qual pode ser determinado a partir da integral J Rdx. Em cada incremento dx a força F 
pode ser considerada constante. 
F (Força) 
F 
"[ = fF-dx = IF-dx 
-•11••-
dx 
x (De,slocan1ent.o) 
F 
d't = F · dx 
-•11••-
dx 
X 
Figura 3. 1 O. Durante o cálculo do trabalho da força externa F em um pequeno incremento de deslocamento x, 
dado por dx, a variação do deslocamento é tão pequena que podemos considerar que a força F se mantenha 
constante. Se o trabalho externo for armazenado como energia de deformação, dada pelo trabalho interno, 
podemos supor que haja uma pequena variação da deformação interna, com forças internas constantes. 
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102 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
QUADRO V -A MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA [Krw] (CONTINUAÇÃO) 
Vamos utilizar inicialmente o elemento de viga, visando entender o procedimento adotado para obtenção da matriz de 
rigidez geométrica de um elemento finito. Nos elementos mais gerais, o conceito é o mesmo, apenas temos um número 
maior de graus de liberdade e as funções de interpolações são multidimensionais. Entendido o procedimento central, 
podemos estabelecer as generalizações e analogias cabíveis. Para desenvolver esse conceito, vamos nos socorrer no 
velho conhecido que é o "diagrama de corpo livre". Se a estrutura está em equilíbrio, cada elemento também está. 
Representamos o elemento e as forças que ele troca com os elementos vizinhos em uma condição de equilíbrio, como 
mostra a Figura 3.11. Se a estrutura, e como consequência, um elemento, mudar a condição de equilíbrio para outra 
próxima da anterior, estarão presentes os conceitos de trabalho externo e trabalho interno, como já discutido anterior-
mente. A questão é que vamos considerar que as condições de equilíbrio "vizinhas" são próximas o suficiente para ga-
rantir que durante um incremento dos deslocamentos nodais e das consequentes deformações internas, tanto as forças 
nodais externas como as forças internas e as tensões associadas se mantenham constantes. Essa ideia foi explorada 
na Figura 3.10. Entra mais uma vez em jogo o teorema dos trabalhos virtuais aplicado no estudo da análise estática 
linear, porém nesse estágio, na forma incremental, considerando variações do trabalho externo e do trabalho interno. 
'. y 
L 
0 = v' e 0 = v' 1 1 2 2 
X 
Figura 3.11. Elemento de viga em uma condição deformada. "Antes" ele 
está indeformado, "depois" ele evoluiu para uma condição deformada. 
Na condição deformada qualquer estão presentes as forças nodais e os 
correspondentes deslocamentos nodais dessa configuração. O elemento 
pode sofrer uma pequena mudança dessa condição de equilíbrio em 
que ele se encontra deformado. Essa alteração dos deslocamentos é 
suficientemente pequena para supor que as forças nodais representadas 
na figura se mantenham constantes e as forças internas correspondentes 
também. As forças externas e os correspondentes deslocamentos 
nodais permitem calcular o trabalho externo. As forças internas e as 
correspondentes deformações permitem calcular o trabalho interno. 
Eles são equivalentes nesse incremento. Ou seja, a variação do 
trabalho externo é igual à variação do trabalho interno. 
Assim, podemos resumir os conceitos até aqui discutidos: 
Matriz de rigidez do 
elemento viga 
Teorema dos 
trabalhos virtuais 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . . ' . ' 
A !: A transf onnação é não linear !: 
Y Utilizamos forma variacional do teorema . ' ·- ..... -................ --------------............................ --·' ______________________________ , 
-
__ __,-~ 8 · 't ext = 8 · 't int 
Símbolo de variação (3.16) 
Se uma variação ó[d] é considerada nos deslocamentos nodais, então a variação do trabalho externo órExterno 
realizada pelas/orças nodais {F} (que são constantes!) é igual à variação de energia interna de deformação, a qual 
envolve a variação nas deformações ó{e] e as tensões atuantes {u} (que são constantes!) . 
••• ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// W Observação ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 
A variação nas defonnações é expressa em tennos de variação dos deslocamentos, por intennédio da matriz deslocamento 
- defonnação [B] já estudada na análise linear. As tensões atuantes são expressas em tennos dos deslocamentos nodais. 
Lembre-se de que, na análise linear, "tudo que ocorre" dentro do elemento finito é determinado a partir dos deslocamentosnodais por intennédio da função de interpolação (função de forma). A partir dos deslocamentos nodais ctdculamos os 
deslocamentos dentro do elemento por intennédio da função de fonna [NJ, a partir dos deslocamentos nodais calculamos 
as deformações dentro do elemento por intermédio da matriz deslocamento defonnação [B], e a partir dos deslocamentos 
nodais calculamos as tensões dentro do elemento, utilizando as equações constitutivas que relacionam as defonnações 
com as suas causas. Na análise não linear esse conceito pennanece, porém consideramos variações do deslocamento e 
contabilizamos as variações dos trabalhos externo e interno. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 103 
QUADRO V -A MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA [Kc] (CONTINUAÇÃO) 
Calculemos a variação dos trabalhos interno e externo para uma dada variação dos deslocamentos nodais: 
Variação do trabalho externo 
A variação do trabalho externo é dada pela variação do produto da força constante {f} pela variação do deslocamento 
{d}. Aplicando os conceitos do cálculo diferencial, no qual se considera o diferencial de um produto, podemos escrever: 
, 
8r ext = 8 { d} r . {/} = 8 { d} r . {/} + { d} r . 8 • {f} . Como a força é considerada constante em uma pequena va-
riação do deslocamen o, podemos escrever que ô {f} = O. Desta forma, resulta: 
8 .r ext = 8 ( {d} r . { J}) = 8 {d} r . { J} . Para o elemento de viga utilizado na presente discussão, os deslocamentos 
têm componentes associados à deformação axial e outros associados à flexão. Então, podemos escrever, considerando 
também os componentes de forças nodais: 
- . 
• 
' 
• 
' 
{u}=· U1 • 
u ' 2. 
• 
' 
dx 2 -
Variação do trabalho interno 
' A variação do trabalho externo corresponderá uma variação do trabalho interno. O trabalho pode ser expresso pelo 
produto de uma força pelo correspondente deslocamento, ou no âmbito da força interna, pelo produto de tensão por 
deformação. Assim: 
8.rint = Jaolongodaviga 8fsxl·{ax}·dx 
integral em x 
L 
= f8fsxJ·{axJ·dx 
o 
(3.17) 
, 
E interessante interpretar o termo que está dentro da integral de O a L, da expressão anterior. O produto da tensão 
f<1x} pela variação da deformação ôfexl representa o trabalho interno contabilizado pela ação da tensão f<1x} atuante 
na seção. Ela considera o trabalho referente a todas as parcelas de energia de deformação agindo ao longo da seção 
da viga, em seus diversos pequenos elementos de área da seção transversal. Para a viga inteira, devemos considerar o 
somatório da contribuição de todas as seções deformadas desde x = O até x = L. 
/ ' 2 d d 2 1 / dv' 
A equação s = u + y . v + - . - fornece a deformação ex em termos dos deslocamentos u e v e pode ser 
X dx dx2 2 dx 
substituída na expressão anterior. Se as parcelas de ex são consideradas em termos de variações, a variação da energia 
interna de de/ ormação pode ser determinada. Assim: 
r . 
/ du' / d 2 V" ] dv' 2 
8.rint = foL· , f [8 dx J ·ax ·dA- , f [8 2 J ·ax. ydA+ 2 , f [8 dx J ·ax ·dA ··dx 
Area da Seção ' Area da Seção dx Area da Seção ' 
' . ...___ ____________ _, 
V 
...___ _______ ------' 
V 
...___ ____ ------
V 
(A) (B) (C) (3.18) 
, 
E interessante interpretar os termos que estão dentro das integrais em (A), (B) e (C) da expressão anterior e o porquê 
do aparecimento das integrais definidas ao longo da área da seção transversal da viga. Em (A) temos a contribuição 
das deformações constantes ao longo da seção devido à força axial, em (B) a contribuição do momento fletor e em (C) 
a contribuição da parcela não linear da deformação que já foi deduzida anteriormente. 
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104 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
QUADRO V -A MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA[~] (CONTINUAÇÃO) 
As forças internas nos membros são Fx = f cr x · dA e M = f cr x · y · dA . Vale lembrar que (o-x • dA) representa a/orça 
A A 
que age em uma pequena área dA da seção transversal. A força axial total na seção é obtida integrando ao longo da 
área da seção transversal. A/orça axial (o-x • dA) multiplicada pela distância à linha neutray representa o momento de 
flexão referente à força que age em uma pequena área dA da seção transversal. O momento fletor total M na seção é 
então obtido integrando ao longo da área da seção transversal. Assim: 
8·'t· t = f L in 0 
/ 
8 
du 
·F -8 
X 
-
Sendo: 
du 
F =E·A· 
X dx 
dx 
ô.rint = foL 
teremos: 
-
/ / du 
8 
du 
.E.A. 
'dx dx -
-
-
- -
. 
~. 'J 
Area 
da secão 
- -
8 
/ dv"2 
' dx-' - -
- -
/d "2 
8 V 1 dv /dv" ·a ·dA= - ·2· - ·8 
X 2 dx dx dx 
- -
Como Fx é proporcional a du/dx e não está rela-
- cionado a dvldx, não foi apresentado Fx em ter-
mos de deslocamentos v neste caso. 
/ 2 " -
d 2v / dv dv" dv 
·ô ·dx -8 ·E·/ • + ·F (3.19) dx2 dx2 X dx dx 
- - ' -' -
~ 
Em seguida, vamos escolher a função de forma para representar o deslocamento interno do elemento em função 
dos deslocamentos nodais. Por conveniência, vamos escolher a mesma função de forma do elemento de viga es-
tudado na análise linear. 
, 
E interessante lembrar que a/unção deforma escolhida não necessita ser a solução analítica exata da equação dife-
rencial que governa o problema. Na flexão pura, sem carga distribuída, a solução exata é um polinomial cúbico. Para 
cargas combinadas axiais e de flexão, a solução exata envolve funções trigonométricas, mas o polinomial cúbico 
pode ser usado como função de forma. Relembrando os estudos de análise linear estática, temos: 
v(x) = C1 + C2 • x + C3 • x2 + C4 • x3 
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QUADRO V -A MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA [Kc] (CONTINUAÇÃO) 
Ainda tomando como base o estudo da análise estática: 
Deslocamentos Deslocamentos 
~d~e~nt~ro~d~o~e~k~m~e~n~w~~~~v~. =~M-~~1~~n~o~d~a,~s~co~n~h~ec~i~M~s~ 
A matriz [N(x)J permite ''passar" dos deslocamentos nodais para os deslocamentos dentro do elemento. Define, 
portanto, a forma pela qual se estabelece a interpolação do campo de deslocamentos, e é chamada de função 
de forma do elemento finito. 
Da mesma forma podemos lembrar da função de forma para o caso dos deslocamentos axiais, estudados nas aplica-
ções da análise linear, traduzindo o comportamento da viga sob ação de cargas axiais: 
v(x) = C1 + C2 • x 
A localização de um ponto dentro do elemento para determinação do deslocamento naquele ponto em função dos 
deslocamentos nodais pode ser efetuada pela localização fisica dele utilizando a coordenada x dimensional, ou tam-
bém na forma adimensional, introduzindo a linguagem paramétrica por intermédio do parâmetro ç = x . 
L 
Desta maneira, as funções de forma podem ser escritas na forma paramétrica . 
• -• _J. .1 
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Observação ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 
O desenvolvimento da função de interpolação para o elemento de viga com somente rigidez à flexão pode ser revisado 
das aplicações da análise linear de elementos finitos, que estabelece os procedimentos padrão para geração dos elementos, 
detalhando todo o desenvolvimento da função de forma para o elemento de viga, bem como, posteriormente, a aplicação 
do mesmo procedimento padrão para a geração das formulações dos elementos finitos bi e tridimensionais. 
Utilizando a linguagem paramétrica anteriormente proposta, teremos para as funções de forma: 
Deslocamentos de flexão deslocamentos nodais , 
, ' , 'v(x)=[(1-3ç 2 +2;3 ) 
Deslocamentos axiais deslocamentos nodais 
, . 
u( X) = [ (] - Ç) ] 
UI ç . . > 
u ' 2. 
= N
1 
( I;) · -u 1 (N, · { u} 
u 
' 2. 
, 
_du =-1 __ du =-1 __ d (N ·u)=-1 ·[N']·{u} 
dx L dç L dç 1 L 1 
(3.20) 
Como~ç =-x ~dç =-dx ~dx=L·dç ,portanto: · _dv =!._ __ dv =!._ __ d (N
3 
·v)=!...·[N~]·{v} 
L L dx L dç L dç L 
(3.21) 
d 2v 1 d 2v 1 d 2 1 " 
-
2 
= 
2 
• 
2 
= 
2 
• 
2 
(N3 ·v)= 2 ·[N3 ].{v} (3.22) dx L dç L dç L 
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106 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
QUADRO V -A MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA [Krw] (CONTINUAÇÃO) 
Substituindo as Expressões 3.20, 3.21 e 3.22 na Expressão 3.19, teremos: 
{ }T -E · À il , r , - { } { }T -E/ 
- - -
8 .rint =ô u -- N1 ·N1dç u -8 V 3 L O L 
J;N;r -N;dç ·{v}+ô{v}r · 7 J:N;r -N;-dç ·{v} 
- - - - - -
(3.23) 
Lembrando que 8 :r ext = 8 ( {d} r · { f}) = 8 {d} r · { f} e igualando essa expressão com o trabalho interno dado por 
3.23, e considerando que os termos vanacionais correspondentes de cada lado serão cancelados, após as devidas ma-
nipulações matemáticas teremos: 
(3.24) 
- -
AE 1 - 1 
em que fkul é a matriz de rigidez usual para deslocamentos axiais dada por: [ ku ] = -
1 L - 1 - -
e fkvl é a matriz de rigidez usual para o elemento de viga em flexão, dada por: 
~ -
12EI 6EI 12EI 6EI 
L3 L2 L3 L2 
6EI 4EI 6EI 2EI 
[k]v = 
L2 L L2 L 
12EI 6EI 12EI 6EI 
L3 L2 L3 L2 
6EI 2EI 6EI 4EI 
L2 L L2 L -
Os termos adicionais na matriz de rigidez do elemento, representados pelo símbolo fkv,g ], vêm do terceiro termo de 
t5rint dado por 3.23, ou seja: 
[ kv,G] = i, J: N/ N;dç. Substituindo os valores de N3 e calculando a integral, calcularemos {k,,g/ dada a seguir. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 107 
QUADRO V -A MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA [Kc] (CONTINUAÇÃO) 
A matriz de rigidez geométrica do elemento de viga ficará: 
Força interna 
' (3.25) 
Essa matriz leva em conta a interação entre força axial no elemento e deslocamentos de flexão. Pode ser considerada 
como uma correção na matriz de rigidez básica de flexão fkvl· Como podemos observar, os termos individuais de 
fkv,Gl só dependem de parâmetros geométricos. Matriz de rigidez geométrica depende só da geometria, não do mate-
rial. Está associada ao trabalho realizado pela força axial na flexão. 
Os termos da matriz de rigidez geométrica se adicionam àqueles já conhecidos da matriz de rigidez associada aos 
termos de flexão. Eles têm, portanto, dimensões de forças associadas a deslocamentos unitários. Desta forma, estão 
sujeitos às transformações que modificam a representação dos coeficientes de rigidez dos sistemas locais de coorde-
nadas para o sistema global de coordenadas. Assim: 
[KJ = [T]1 · fkv,Gl · [T] (3.26) 
Da mesma forma, a matriz de rigidez geométrica da montagem de elementos, ou seja, da estrutura, pode ser obtida de 
forma semelhante à montagem dos termos usuais estudados na análise linear, somando-se os termos correspondentes 
aos mesmos graus de liberdade do sistema global de coordenadas. A equação de equilíbrio será então: 
{F} = ([KJ +[KG])· [11] (3.27) 
O conceito de matriz de rigidez geométrica que acopla o efeito da força axial na flexão, como veremos adiante, per-
mite considerar os efeitos de instabilidade elástica, prevendo o valor da carga crítica que provoca instabilidade na 
estrutura. Por exemplo, uma viga, ao ser comprimida, pode instabilizar, deslocando-se lateralmente. Esse fenômeno 
pode ser avaliado levando em conta o efeito da carga axial nos deslocamentos laterais de flexão. 
A Expressão 3.25 e a consideração do comportamento da estrutura por intermédio da Expressão 3.27 foram desenvol-
vidas tomando como base o elemento de viga. Apesar do desenvolvimento bastante trabalhoso, o elemento de viga 
é bastante útil para o entendimento do princípio geral da matriz de rigidez geométrica, para um elemento e para a 
estrutura. 
Poderíamos desenvolver o mesmo raciocínio para os diversos elementos que fazem parte da biblioteca estudada na 
análise linear, utilizando o mesmo raciocínio e as funções de interpolação multidimensionais. A manipulação das 
funções de interpolação [NJ e o cálculo das integrais seria uma tarefa extremamente árdua e foge aos objetivos deste 
texto. Porém, como podemos observar, os conceitos gerais seriam absolutamente os mesmos; não teríamos a rigor 
grandes ganhos conceituais, mas muito trabalho braçal. 
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108 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
3.4 Mais uma Aplicação Prática da Teoria Utilizando a Ferramenta Computacional: 
Grandes Deflexões em Placa - Matriz de Rigidez Geométrica 
A Figura 3.12 representa uma placa de aço (E= 21000 Kgf / mm2) sob ação de pressão distribuída uniformemente ao 
longo de sua superfície superior. A máxima deflexão apresentada pela estrutura, neste caso, está fora dos padrões con-
siderados para pequenas deflexões de placa (temos deflexão máxima> 0,75 · espessura), sendo melhor representada 
pela teoria não linear. Na prática, quando efetuamos uma análise linear e constatamos a presença de grandes deflexões, 
sabemos que os resultados obtidos não se aplicam, pois a teoria linear aplica-se somente até um certo limite, tal como 
no exemplo anterior da viga. 
Se as pequenas deflexões forem uma exigência da condição de trabalho da estrutura, para atendimento a alguma norma 
existente, devemos reforçá-la para que as deflexões diminuam, e com isso, se quisermos trabalhar no limite das peque-
nas deflexões, a aplicação da teoria linear é válida. Por outro lado, se o critério de projeto da estrutura admitir deflexões 
maiores que aquelas representadas adequadamente pela teoria linear, deveremos aplicar a análise não linear, cujos con-
ceitos de rigidez geométrica anteriormente introduzidos devem estar presentes. Neste caso, então, deve ser considerada 
a contribuição da matriz de rigidez geométrica na formulação do elemento de placa. 
O Quadro VI discute alguns conceitos importantes da teoria de placas e a hipótese das grandes de.flexões. No presente 
exemplo é efetuada a comparação dos cálculos linear e não linear da placa em estudo e a validade dos resultados obtidos. 
Mostra também, como consequência do entendimento da teoria, um importante caso prático de aplicação da teoria não 
linear, cuja utilização para uma caixa estrutural de transporte de carga (vagão) permite obter uma estrutura mais leve, 
economizando significativamente o peso em aço da estrutura. 
, 
E interessante relembrar, antes da aplicação numérica, alguns conceitos da teoria de placas. Embora no Quadro V sejam 
mencionadas com detalhes as hipóteses de aplicação das teorias linear e não linear, é útil fazer algumas considerações 
físicas a respeito do comportamento das placas, na observação a seguir: 
Modelo elementos finitos 
f 
Apoios siinples, com 
translações fixadas 
e rotações livres 
Pressão = 0,0001 Kgf/mm2 
Real 
Figura 3.12. Placa quadrada de lado I = 2000 mm e espessura t = 5 mm, sob ação de pressão 
uniforme p = 0,0001 Kgf/mm2 • A placa é simplesmente apoiada em suas bordas. Para este 
caso são comparadas as soluções linear e não linear e a discussão da validade das soluções. 
~--·, ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// ~ Observação ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 
, 
E importante tecer algumas considerações conceituais a respeito do comportamento estrutural dos painéis de chapa, em relação 
ao panorama de tensões originadoda carga lateral na forma de pressão. Quando as deftexões máximas na chapa são da ordem 
da espessura dela e até maiores (a rigor, deflexão máxima> 0,75 · espessura), as hipóteses embutidas na análise linear 
estática deixam de ser atendidas, e uma verificação mais acurada desse comportamento deve ser efetuada por uma análise não 
linear do painel de chapa, que verificaremos agora neste exemplo numérico. Desta forma, é possível considerar as tensões no 
plano médio da chapa, que surgem quando o carregamento introduz deflexões da ordem da espessura dela, deformando a su-, 
perficie média da placa decorrente da flexão, fato não considerado, por hipótese, na análise linear. E importante mencionar que 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 
as tensões que surgem no plano médio da chapa são decorrentes das grandes deflexões, e não da ação independente de cargas 
no plano da chapa. Sob ação das grandes deflexões, a chapa apresenta a tendência de aproximação das extremidades, efeito não 
coberto pela análise linear, que considera apenas os deslocamentos perpendiculares ao plano da chapa. As tensões que surgem 
no plano médio decorrentes das grandes deflexões da chapa são chamadas de "tensões de membrana". Essa denominação é 
em razão da semelhança entre os tipos de tensões que ocorrem em uma membrana ( que transmite tensões constantes ao longo 
da espessura), e as tensões constantes ao longo da espessura que ocorrem na placa sob efeito de grandes deflexões. A rigor, é 
uma denominação imprópria, mas consagrada pelo uso, pois uma placa e uma membrana são elementos estruturais bastante 
diferentes. Enquanto uma placa carregada trabalha somente à flexão (no âmbito linear), uma membrana é solicitada pela tração 
axial. Já sabemos que as placas, dentro da hipótese linear, têm deflexões muito menores que a sua espessura. Entretanto, essa 
condição de linearidade é estabelecida a partir de uma condição geométrica de definição da chapa, até para poder trabalhar como 
uma placa, como vimos na análise linear. 
Análise linear - neste caso se aplica? 
109 
A solução analítica deste problema é conhecida. Para as condições de pequenas de.flexões ( caso seja válida a sua apli-
cação), as tensões de flexão na placa são dadas por: 
2 
cr 
1 
= k . P . b , em que a constante k depende das condições de fixação nas bordas, da relação alb ( comprimento/ 
p aca 2 t 
largura) da placa e da posição do ponto nela. Para a placa simplesmente apoiada dessa aplicação, com a/b = 1, a tensão 
máxima ocorre no ponto central dela, nas bordas superior e inferior, sendo uma tensão de tração e outra de compressão. 
No desenvolvimento analítico da teoria de placas é determinado o valor de k para diversas condições de apoio e relações 
a/b. Para a placa em estudo, com a/b = 1, teremos k ~ O, 582, e com p = O, 0001 Kgflmm2 e b = 2000 mm, teremos: 
2 
a máx.placa = k · ~. ~ = 0,582 · 0,0:01. 2000 
2 
5 
Kgf 
=> (J' máx.placa = 4' 65 6 2 (solução analítica) 
mm 
A deflexão máxima ocorre no centro da placa, e segundo a solução apresentada por Tzmoshenko (Theory of Plates and 
Shells - referência bibliográfica 19), é dada para alb= 1 por: 
p·b4 E·t3 1 . ºfi d m , = o, 00416 . -- , em que D = ---- . Esse termo D tem para a p aca o mesmo s1gn1 ca o que o termo 
max D 12(1-v2 ) 
E.I para a teoria de vigas. Neste caso, E 
2 
é chamado de módulo de elasticidade "efetivo", e t
3 
é o momento de 
(1-v ) 12 
inércia de uma fatia unitária de placa, que tem seção retangular. Assim: 
E· t3 
D=----
12(1-v2) 
21 OOO. 
53 
240384 62 A . d fl - ' . 
2 
= , . ss1m, teremos para a e exao max1ma: 
12(1-0,3) 
m , = O 00416. 0,0001.2000
4 
max ' 240384 62 
' 
romáx = 27,69 mm (solução analítica) 
Como podemos observar, (wmáxlt) = 29,69 I 5 = 5,54. Nessa condição a deflexão máxima no centro da placa é muito 
maior que 0,75·t (¾ da espessura da placa), que é a condição limite para considerar válida a teoria de pequenas 
deflexões. Portanto, essa solução analítica não é válida para a chapa em estudo. Deveríamos aplicar a teoria de , 
grandes de.flexões de placas. E interessante observar que podemos desenvolver a solução numérica por elementos 
finitos. Se considerarmos a solução linear, dado que o modelo discretizado seja construído com uma subdivisão de 
elementos adequada, os resultados obtidos pela solução numérica devem estar muito próximos da solução analítica 
(muito próximos, pois a solução numérica sempre envolve aproximação). Isso seria esperado, dado que a solução linear 
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110 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
por elementos finitos incorpora a teoria de pequenas deflexões de placa. Embora os resultados sejam muito próximos, 
eles estão fora da realidade do comportamento fisico real da placa. Note que, mais uma vez, quem decide sobre essa 
validade a respeito dos resultados obtidos é sempre o analista, nunca o software. A Figura 3.13 mostra os resultados 
obtidos dessa placa por intermédio da análise linear. 
Deslocamentos obtidos por elementos finitos 
Solução linear 
Tensões obtidas por elementos finitos 
Solução linear 
-8.492 
-1019 
1 <Jmáx = 4,656 Kgf/mm2 (analítica)! <Jniáx = 4,656 Kgf/mm2 (analítica) 
---_..J~_4.613 
-11.89 
• 
-23.78 
-25.48 
____... -27.18 
1 wanalítico = 27,69 mm 1<==> w máx = - 21,1s mm 
Forças de membrana obtidas por elementos finitos 
Solução linear 
0.188 
0.125 
0.0625 
F membrana(analítica) = F membrana(numérica) = O (zero) 
4.365 
1.883 . 
Figura 3.13. Solução por intermédio de elementos finitos, utilizando a análise linear. As soluções analítica e numérica conduzem 
aos mesmos valores. Porém, neste caso, como as deflexões são grandes, ambas as soluções não são válidas, pois estão fora das , 
condições de aplicações da análise linear. E interessante notar que as forças de membrana que seriam contabilizadas devido às grandes 
deflexões, opondo-se à tendência de aproximação dos lados, não são consideradas nem na solução analítica nem na solução numérica 
linear por elementos finitos, pois a teoria linear das pequenas deflexões não incorpora esse efeito. Essas forças de membrana limitariam 
as deflexões da placa, e a rigor, as deflexões não seriam tão grandes como calculadas pela teoria linear, proporcionando menores 
curvaturas na placa sob ação da pressão externa. Esse efeito é abordado a seguir, ao estudarmos a solução não linear. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 111 
Análise não linear - a solução correta para esta aplicação 
Embora no Quadro VI sejam feitas algumas considerações teóricas a respeito das soluções analíticas linear e não linear 
para placas, relembrando as equações diferenciais que descrevem matematicamente os seus comportamentos fisicos, 
algumas observações nessa aplicação merecem ser citadas, e serão constatadas e interpretadas na solução numérica por 
elementos finitos. 
Em geral, a flexão de uma placa é acompanhada de deformação no seu plano médio. As correspondentes tensões que 
ocorrem no plano médio da placa são desprezíveis se as deflexões dela são pequenas em comparação com a espessura. 
Se as deflexões não são pequenas, essas tensões adicionais devem ser consideradas. Esta é, na essência, a causa da não 
linearidade, ou seja, na presença dessas forças que surgem no plano médio, não temos mais a proporcionalidade entre 
cargas e deflexões. 
Nas aplicações lineares, as equações diferenciais que traduzem o fenômeno fisico são lineares, porém no caso de gran-
des de.flexões, as equações diferenciais são não lineares. Matematicamente,esta é toda a diferença; a solução toma-se 
muito mais complicada. 
Alguns métodos que utilizam conceitos de energia são usados para desenvolvimento analítico das soluções da teoria 
de placas para grandes de.flexões. Porém, como citado anteriormente, os cálculos são bastante trabalhosos. Uma das 
estratégias no desenvolvimento da solução analítica é buscar soluções aproximadas, por intermédio da combinação da , 
solução já conhecida válida para as pequenas deflexões e da teoria de membrana. E adotado que o carregamento agin-
do na placa pode ser tratado em duas parcelas. Uma delas é equilibrada por flexão e cisalhamento, com base na teoria 
de pequenas deflexões, e a outra parcela é equilibrada pelas tensões de membrana. A excelente referência Timoshenko 
(Theory of Plates and Shells - referência bibliográfica 19) trata deste assunto com detalhes. Para a verificação analítica 
aproximada da deflexão w em uma placa quadrada de lado igual a (2.a), utilizaremos a expressão desenvolvida na 
referência bibliográfica 19, no capítulo dedicado a "grandes defiexões de placas". A saber: 
W · E ·t3 w2 
p= 4 (1,37+1,94· 2) 
a t 
Substituindo na expressão anterior os valores válidos para a placa dessa aplicação e lembrando que 2 · a = 2000 mm e, 
portanto, a= 1000 mm, teremos: 
0,0001 = m · 2100~ · 
53 
( 1,37 + 1,94 · w:). Esta última equação é do terceiro grau. Utilizando os métodos conven-
1000 5 
cionais de solução, teremos: 
romáx = 7,145 mm (solução analítica não linear) 
' A semelhança do que fizemos na aplicação da solução linear anteriormente desenvolvida, Figura 3.13, é interessante 
observar que podemos desenvolver a solução numérica por elementos finitos para a análise não linear considerando 
as grandes de.flexões. Se considerarmos a solução não linear, dado que o modelo discretizado seja construído com uma 
subdivisão de elementos adequada, os resultados obtidos pela solução numérica devem estar muito próximos da solução 
analítica (muito próximos, pois a solução numérica sempre envolve aproximação e, neste caso, adotamos uma solução 
analítica também aproximada, pelos motivos citados anteriormente). Neste caso, a solução não linear por elementos 
finitos incorpora a teoria das grandes de.flexões de placa. Esses resultados estão dentro do comportamento fisico real 
da placa e correspondem ao comportamento esperado na prática e traduzido corretamente pelo modelo em elementos 
finitos . De novo, como na aplicação linear, quem decide sobre essa validade a respeito dos resultados obtidos é sempre o 
analista, e nunca o software. A Figura 3 .14 mostra os resultados obtidos dessa placa por intermédio da análise não linear. 
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112 
(a) 
Deslocamentos obtidos por elementos finitos 
Solução não linear 
O. 
·O 428 
-Oal% 
1 w analítico= 7' 145 mtn k~=> w,náx = -6,848 mm 
A diferença entre o valor analítico e o modelo não linear por elemen-
tos finitos é de 4,3% para esta subdivisão de elementos. 
(c) 
Tensões obtidas por elementos finitos -
Face superior da chapa 
Solução não linear - nó 261 
t~mf!n1 l !H- PIAíl 
Propeityl ,.,.,,. 5mm 
Mll,m1 1 ~ÇO MlciO 
Plate: Bot Miinor Str~.s 
Nodt 2C2 -0.21Bl)JS 
Nocle 20 = -O~ 
- m = -o.21i1111 
Nod, 161 = 0.l'll~V 
A tensão mínima obtida por intermédio da análise não linear, no cen-
tro da placa, é igual a -0,2119 Kgf / mm2 (numérica). De acordo com 
a orientação dos eixos locais do elemento, neste caso, essa tensão 
ocorre na face superior da chapa. Ao contrário da solução linear, as 
tensões na face superior e inferior da chapa sob ação pura de carga la-
teral - pressão - não geram tensões de tração e compressão de mesma 
intensidade. Nas grandes deflexões, surgem as tensões de membrana, 
que solicitam a chapa de forma constante na sua espessura, superpon-
do-se às tensões de flexão da chapa. 
(b) 
Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Tensões obtidas por elementos finitos -
face inferior da chapa 
Solução não linear - nó 261 
Element 191 - PlATE 
Property 1 • chapa•5mm 
Material 1 • AÇO-noki• 
Plote Top Major Stress 
Node 242 = 1.746265 
Node 243 = 1.74943 
Node 262 = 1.746266 
Node 261 = 1.739557 
A tensão máxima obtida por intermédio da análise não linear, no 
centro da placa, é igual a 1,7396 Kgf / mm2 (numérica). De acordo 
com a orientação dos eixos locais do elemento, neste caso, essa tensão 
ocorre na face inferior da chapa. 
(d) 
Forças de membrana obtidas por elementos finitos 
Superfície média da chapa face 
Solução não linear - nó 261 
DMw!tlltltl . PI.ATt 
P.~l <hopo Sn,m 
Mll~l · ~ÇO-nolõl 
Ploh X Mnbt_,. for<• 
NO<lt ZAZ • J.llll0tl2 
Nocltlú•~ 
Nod<~•!&23'» 
No4t Xl • l.1114»5 
As forças de membrana são contabilizadas pela análise não li-
near. Neste caso, no centro da placa, a força de membrana é igual 
a 3,8143 Kgf. Essa força obtida pela análise numérica é a força por 
largura unitária de placa. Portanto, dividindo esse valor pela área 
de uma largura unitária, teremos a tensão de membrana, ou seja, 
ªMembrana= 3,8143 / (l · 5) =>ªMembrana= 0,7629 Kgf/mm2. 
Me1nbrana + 0,7629 -0,2119 
+ 
+ 0,9748 + 1.7396 
As tensões de flexão pura se superpõem às tensões de membrana, ge-
rando as tensões mostradas em (B) e (C). 
Figura 3.14. Solução por intermédio de elementos finitos, utilizando a análise não linear. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 113 
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// ~ Observação ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 
A Figura 3.15 apresenta uma visão mais geral desse exemplo numérico, mostrando as participações das tensões de membrana 
na tensão total, para os diversos estágios da aplicação da carga lateral de pressão. Da mesma forma são comparados os resul-
, 
tados obtidos pelas análises linear e não linear. A medida que as deflexões aumentam, a participação da tensão de membrana no 
cômputo das tensões devido aos dois efeitos simultâneos se toma mais importante. Embora nos primeiros estágios da carga já 
surjam as tensões de membrana, elas não são consideradas muitas vezes nas aplicações práticas, pois as tensões de flexão são 
mais representativas. A Figura 3 .16 representa outra aplicação em que os lados da placa, em vez de simplesmente apoiados, são 
engastados. A Figura 3.17 mostra uma aplicação prática de projeto de engenharia de vagão ferroviário para transporte de carga, 
comparando-se as soluções linear e não linear. Em função da redução da tensão obtida pela análise não linear em relação à aná-
lise linear, pode-se otimizar a estrutura e obter ganhos significativos na capacidade de carga transportada. A Figura 3.18 ilustra 
as tensões obtidas pelas análise linear e não linear, observando-se o ganho com esta última, pois as tensões obtidas são menores 
que aquelas obtidas pela análise linear, que exagera as deflexões obtidas e, consequentemente, as curvaturas. 
(8) 
llllll 
27,5 
25 
22,5 
20 
17,5 
15 
12,5 
10 
7,5 
5 
/ ., 
/ 
./ 
. 
2,5 
o ' ' 
0,2 0,4 
/ ,., 
-
' 
0,6 
?/ 
• 
V 
' 
0,8 
/ 
1 
--Deslocamento 
Timoshenko 
-- Deslocamento 
linear 
-.t.- Deslocamento 
não linear 
8/t - Relação entre deslocamento máximo e espessura 
Deslocamentos: linear e não linear 
5,6 ~--------------
4,2+----------... -----1 
Tensão 
1,86 
1,55 
1,24 
(cr) 093 
Kgf/1n1n2 ' 
0,62 
0,31 
o 
/ 
-.. 
0,2 
/ 
---
0,4 
/ 
~ 
. 
0,6 
~ 
--
0,8 l 
Tensão total 
-- Tensão de 
me,nbrana 
8/t - Relação entre deslocamento máximo e espessura 
Tensões: total e membrana 
Sob a ação da carga lateral na forma de pressão, a placa se deforma, 
eos deslocamentos ocorrem inicialmente na direção perpendicular ao 
' seu plano. A medida que as deflexões crescem, os lados que estão 
(cr) 
Kgf/mm2 
não linear 
2 8 +------~---------! -- Tensão linear ' 
apoiados apresentam tendência a se aproximarem. Em oposição a essa 
tendência surgem as forças de membrana, que se manifestam no pla-
no médio da placa. Desta forma, a placa apresenta menores deflexões 
em relação àquelas que teria se o seu comportamento fosse linear, e 
também menores curvaturas. Os gráficos indicam que à medida que as 
deflexões aumentam, a participação das tensões de membrana torna-se 
mais importante. Como as curvaturas são menores, a participação das 
tensões de flexão é menor. Embora as tensões de membrana gerem 
__.,. ___ __.. 
1,4 +-----,,,,C-- ,,--- --=-- :=.r--==-------1 
o+---~--~--~--~-----1 
0,2 0,4 0,6 0,8 l tensões constantes na espessura, a diminuição das tensões de flexão se 
8/t - Relação entre deslocamento máximo e espessura manifesta em proporção maior, de sorte que as tensões finais na placa 
Tensões: linear x não linear diminuem em relação àquelas que seriam previstas pela análise linear. 
Figura 3.15. Solução por intermédio de elementos finitos, utilizando a análise não linear. Comparação de resultados em gráficos 
em que se observa a resposta da estrutura em termos de tensões e deslocamentos, em função da relação entre o deslocamento 
máximo da placa e a sua espessura. A análise não linear contabiliza a presença da rigidez geométrica no trabalho da estrutura. 
0,2 0,4 0,6 0,8 1 
Deslocamento 
não linear 
8/t - Relação entre deslocamento máxitno e espessura 
Deslocamentos: linear e não linear 
4,2+-------------~---l 
3,5+--------------;,IS::....,,,_.L:....----j 
2,8+---------=~""----------1 
Tensão 
não linear 
( cr) 2, 1-t------'"?:!...,.._ _________ -t --Tensão 
Kgf/mm2 linear 
1,4 +-----,,,~--------------! -.t.- Tensão 
Tin1oshenko 
0,7+---------------------1 
0+---~---~--~---~------1 
0,2 0,4 0,6 0,8 1 
8/t - Relação entre deslocamento máximo e espessura 
Tensões: linear x não linear 
Figura 3.16. Solução por intermédio de elementos finitos, utilizando a análise não linear. Comparação de resultados 
em gráficos em que se observa a resposta da estrutura em termos de tensões e deslocamentos, em função da 
relação entre o deslocamento máximo da placa e a sua espessura. Nesta aplicação os lados estão engastados. 
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114 Elementos Finitos -A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Figura 3.17. Vagão de minério com painéis de chapa sob ação da pressão do minério. Nas chapas 
da lateral a pressão atua como pressão hidrostática e no fundo como pressão constante. 
Tensões no fundo do vagão obtidas pela análise linear 
ªmáxima= 29,4 Kgf/mm2 - pressão uniforme 
Tensões na lateral do vagão obtidas pela análise linear 
ªmáxima= 29,9 Kgf/mm2 - pressão hidrostática 
Tensões no fundo do vagão obtidas pela análise não linear 
crmáxinia = 26,8 Kgf/mm2 - pressão uniforme 
Tensões na lateral do vagão obtidas pela análise não linear 
ªmáxima= 15,9 Kgf/mm2 - pressão hidrostática 
Figura 3.18. Tensões obtidas em vagão de minério. Os resultados obtidos neste caso para as análises linear e não linear mostram as 
diferenças obtidas para o cálculo das tensões. As tensões obtidas pela análise linear são maiores que as tensões reais que atuam na 
estrutura1 que podem ser previstas pela análise não linear acuradamente. Por exemplo1 para um comboio de 200 vagões a economia 
de peso em aço da estrutura é em torno de 150 toneladas. Essa redução de peso de aço representa um ganho de 150 toneladas 
de carga transportada. Para uma operação de transporte de uma viagem diária1 são transportadas a mais 150 toneladas de minério. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 115 
QUADRO VI - RELEMBRE ALGUNS CONCEITOS DA TEORIA DE PLACAS 
No estudo da análise linear, são consideradas na fonnulação do elemento de placa algumas hipóteses fundamentais 
que garantam os limites nos quais a aplicação da teoria fosse válida na prática. São feitas algumas analogias com a 
teoria de flexão de vigas para os limites da análise linear. Ao contrário de uma viga, em que a flexão ocorre somente 
em uma "direção" (plano), que é a mesma "direção" da carga atuante - um dos planos principais de flexão em que 
ela age - a flexão de uma placa se manifesta, no caso mais geral, em duas direções ortogonais. Nonnalmente a teoria 
de placas é introduzida considerando a flexão de uma fatia de placa de largura unitária, e utilizamos a teoria de vigas 
para esse fim. Depois estabelecemos as generalizações cabíveis, estabelecendo as similaridades e diferenças entre os 
comportamentos de viga e placas. 
No estudo da flexão de vigas, um parâmetro importante é a rijeza da viga, dada por E · I, em que E é o módulo de 
elasticidade do material e J é o momento de inércia. Por analogia, na teoria de placas também temos esse parâmetro 
presente, porém aplicado a uma largura unitária de placa. Nesse caso, o momento de inércia de uma fatia unitária de 
placa é 11 = (b · h3) / 12 = (l · t1 /12). No caso da teoria de placas, E é substituído por E'= E/ (1 - v2). Desta fonna, a 
contabilização da "rijeza" por largura unitária de placa, que seria o equivalente ao E· Ida teoria de vigas, é dada por: 
D= E'. I = E. t3 
1 12(1-v2 ) 
(3.28) 
Na teoria de vigas aplicada à análise linear, estudamos a relação entre o momento jletor e curvatura, a qual é conta-
bilizada por intennédio da segunda derivada do deslocamento. A relação era do tipo M =E· I · v '' (x). Analogamente, 
vimos na teoria de placas que: 
ª
2w E ·t3 82w 
M=-D· - · 
8x2 12( J-v 2) 8x2 
(3.29) 
Na teoria de placas, podemos aplicar o consagrado conceito de diagrama de corpo livre para um retângulo elementar 
de dimensões dx e dy, como indica a Figura 3.19. O estudo do equilíbrio de um elemento diferencial permite a ob-
tenção da equação que traduz o comportamento da placa. Esse desenvolvimento, que foge aos objetivos deste texto, 
pode ser verificado na excelente referência Timoshenko (Theory of Plates and Shells - referência bibliográfica 19). 
Essa equação é dada por: 
84w 84w 84w p 
--+2·---+--=-
8x4 8x28y2 8y4 D 
(3.30) 
, 
Esta é a equação diferencial que traduz o equil1õrio da placa. E uma equação diferencial parcial, linear e de quarta 
ordem. Ela representa o comportamento fisico da placa nas condições de pequenas deflexões, e considera que o plano 
médio da placa não se defonna. Em outras palavras, não há presença de efeitos de membrana. As tensões de membrana 
decorrentes das deflexões ocasionadas pela flexão são nulas. Mesmo que os lados da placa estejam impedidos de se 
aproximar, as deflexões são suficientemente pequenas, de sorte que as tensões de membrana são desprezadas. Isso 
ocorre em uma placa quando a deflexão máxima não excede ¾ da espessura t. Essa equação é nonnalmente chamada 
de equação bi-harmônica e também é representada de fonna compacta por: 
(3.31) 
O operador V 4 simboliza a seguinte operação de derivação de uma função de fonna mais geral: 
v4 = 84 + 2 . 84 + 84 , e de fonna compacta é mais conveniente representar apenas por V 4 . 
8x4 8x28y2 8y4 
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QUADRO VI - RELEMBRE ALGUNS CONCEITOS DA TEORIA DE PLACAS (CONTINUAÇÃO) 
dx 
~ 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
I 
t 
I 
I 
r··········· 
8···················· ........ . 
I 
i 5 
. . ······. '·····. ··•··· 
·····' 
t. .... ·············' 
1 
1, 2, 3 e 4: representam as forças cortantes que atuam nas faces do elemento diferencialdx dy. 
5, 6, 7 e 8: representam os momentos jletores que atuam nas faces do elemento diferencial dx dy. 
4 3 ... ,·; •••. ••. • 1 
.• ,.•' : 
... ···· ,. l .. . 
.• ,. : .. 7 . .... ' 
.. -········ - j 
~ : 
E 
. 
e 
z 
9, 10, 11 e 12: representam os momentos que atuam nas faces do elemento diferencial dx dy e que tendem a provocar a rotação dessas faces em 
relação à face do elemento adjacente a ele (torção). 
Figura 3.19. Diagrama de corpo livre de elemento diferencial dx d~ a partir do 
qual é montada a equação diferencial que traduz o equilíbrio desse elemento. 
Teoria das grandes de.flexões de placas 
Vimos no item 4 deste capítulo, inclusive com um caso prático de engenharia, que a aplicação da teoria das pequenas 
deflexões de placas sob ação de pressão pode levar ao cálculo de uma tensão exagerada atuante na placa e, como 
consequência, ao projeto com espessura excessiva. As tensões de membrana que surgem à medida que as deflexões 
da placa aumentam não são consideradas na teoria linear das pequenas deflexões, obtendo-se na aplicação desta ex-
cessivas curvaturas. Por exemplo, se os lados são impedidos de se aproximar, as tensões de membrana começam a 
ser muito significativas quando as deflexões atingem metade da espessura da placa. Se os lados estão livres para se 
aproximar, as tensões de membrana são bastante significativas para deflexões que superam o valor de uma espessura. 
' A medida que o carregamento lateral é progressivamente aplicado na placa, as deflexões vão aumentando e a ação de 
membrana toma-se cada vez mais importante. O equacionamento adequado dessa nova situação fisica, em que as de-
.flexões não crescem na mesma proporção das cargas, como era observado na análise linear, é feito por intermédio 
da teoria das grandes de.flexões de placas. As equações diferenciais obtidas a partir do diagrama de corpo livre, como 
mencionado anteriormente, porém agora válido para as grandes deflexões, foram formuladas por von Karman. Uma 
dessas equações estabelecendo a relação entre a carga lateral e as deflexões pode ser obtida a partir da condição de 
equilíbrio na direção vertical de um elemento retangular dx dy e constitui uma generalização da Equação 3.30/3.3 l. A 
Figura 3.20 representa esse diagrama de corpo livre. O estudo da solução analítica desse tema, como dissemos ante-
riormente, pode ser aprofundado na referência Theory of Plates and Shells - referência bibliográfica 19, pois foge aos 
objetivos deste texto, focado para a discretização do problema contínuo, por elementos finitos. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 117 
QUADRO VI - RELEMBRE ALGUNS CONCEITOS DA TEORIA DE PLACAS (CONTINUAÇÃO) 
O desenvolvimento da teoria das grandes deflexões de placas da referência bibliográfica 19 leva à dedução da Equação 
3.32 a seguir: 
84w 84w 84w 
--+2·---+--
8x4 8x28y2 8y4 
82w 82w 82w 
p+Nx ·-2-+2·Nxy · +Ny · 2 ax 8x8y 8y 
(3.32) 
(3.33) 
Para os casos mais gerais, Nx, NY e Nxy dependem da posição do ponto na placa, portanto dependem de x e de y, ou 
seja, são funções de x e y. Desta forma, a solução da Equação diferencial 3.33 é extremamente complexa e a sua solu-
ção é efetiva somente em alguns casos, nos quais, por exemplo, as forças de membrana podem ser calculadas de forma 
separada. Assim, a menos de alguns casos mais simples, a solução exata dessa equação é muito dificil. Esta é uma 
equação diferencial parcial, não linear e de quarta ordem. Traduz em termos práticos a relação não proporcional 
entre cargas e deslocamentos, isto é, uma relação não linear. Na linguagem do engenheiro, ao dobrar a carga lateral 
atuante na placa, os deslocamentos não dobram . 
• 
\ • • • • 
\ • 
\ 
• 
\ • • • • • • • • • • • • 
a 
y 
• • • • • • • • • . 
• • • ' • • • • • 
• 
' 
X 
Figura 3.20. Diagrama de corpo livre representando as forças de membrana para o problema não linear. 
A intensidade das forças de membrana que surgem na placa no comportamento não linear está associada a dois fatores: 
• Valores das deflexões ou curvaturas assumidas pela placa; 
• Condição de contorno que define se os lados são livres para se aproximarem, se há engastamento ou uma condi-
ção intermediária dessas duas. 
Se os lados estão impedidos de se aproximarem, altas tensões de membrana surgem quando a placa é submetida a 
deflexões grandes. Quando w > 1,5 · t, a maior parte da carga lateral é suportada pelas ações de membrana e pequena 
parcela é suportada pela ação de flexão. Por exemplo, em algumas aplicações específicas de estruturas de navios, o 
comportamento de alguns painéis de chapa encontra-se nas condições anteriores, nas quais as forças de membrana de-
sempenham importante papel no equilíbrio das cargas externas. Nesse caso, pelo exposto anteriormente nos exemplos 
abordados, economia de peso substancial pode ser obtida no projeto dessas regiões da estrutura. 
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118 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
3.5 Mais uma Aplicação Importante: A Instabilidade Estrutural (11 Flambagem11) -
Método do Autovalor 
Vimos anterionnente que a matriz de rigidez geométrica leva em conta a interação entre força axial no elemento e des-
locamentos deflexão. Uma aplicação prática constitui o caso no qual a estrutura está sob ação de carga de compressão, 
e "repentinamente" ocorrem deslocamentos laterais, perpendiculares à direção da ação da carga local, como mostra a 
Figura 3 .21. 
Como vimos, a matriz de rigidez geométrica pennite considerar os efeitos de instabilidade elástica, e já sabemos que 
essa nova matriz pode ser considerada uma correção na matriz de rigidez básica de flexão [ky]. 
+ Deslocamentos ___ , __ - -Força ...-- --::::.. - - - , - - - -::_ --- --.... 
/,,..- 1 ..._ ........ 
axial ~~=----======:::::::=======--....=' '~ ... ""' 
Instabilidade da viga - deslocamentos 
perpendiculares à direção da carga 
--~ l' Deslocamentos 
Figura 3.21. Viga apresentando instabilidade sob a ação da carga de compressão. 
A equação {F} = [K + K6 ] • {A} pode ser expressa na forma incremental, isto é, as equações de equil1õrio são válidas 
para um incremento de carga {F} e o correspondente incremento de deslocamento {L1}, sendo[¾} avaliada no estado 
corrente da estrutura. 
Vimos que à medida que a estrutura é carregada, a rigidez é atualizada para pennitir o cálculo adequado dos desloca-
mentos. No início de um incremento de carga a matriz de rigidez é conhecida [K]0, e é corrigida para esse intervalo 
por intennédio da matriz de rigidez geométrica, ou seja, [KJINcREMENTO = [K]0 + [K]G. A cada novo incremento, tendo 
a rigidez corrigida no final do incremento anterior, efetua-se a correção da matriz de rigidez novamente. No início da 
análise, assim que o modelo de elementos finitos está definido, é conhecida a rigidez da estrutura a partir da rigidez de 
cada elemento, que é a rigidez de partida. Antes da aplicação do carregamento, essa rigidez já é conhecida, e os deslo-
camentos são nulos (~ = O). 
Portanto, para um incremento de carga {F} na estrutura, que corresponderá a um incremento dos deslocamentos { ~}, 
podemos escrever: 
{F} = (fKJo + [K]<). {~} (3.34) 
Quando a estrutura estiver na "condição de partida", pronta para começar a receber os incrementos de carga, teremos 
[KJ 6 = [ O]. Isso era esperado do ponto de vista fisico, pois a matriz de rigidez geométrica representa a correção da 
rigidez da estrutura decorrente da geometria defonnada dela, pelo fato de as equações de equilíbrio sofrerem alteração 
decorrente dessa configuração defonnada. Como no início do processo de carregamento da estrutura ela não está ainda 
defonnada, a matriz de rigidez geométrica tem contribuição nula na rigidez do conjunto. À medida que a estrutura forcarregada, forças internas se manifestam dentro dela, e essas forças internas, estando associadas às deformações da 
estrutura, devem estar presentes na contabilização de [KJ G' 
O que ocorre quando a estrutura sofre instabilidade, como mostra a Figura 3.21? Os deslocamentos crescem rapida-
mente na direção transversal, sem praticamente ocorrer aumento no incremento de carga. Note que a carga atuante 
na estrutura evoluiu até o valor dado pela Figura 3.22, porém a partir desse valor atingido por ela, o aumento dos deslo-
camentos é observado sem aumento da carga, ou seja, o incremento de carga será nulo. Como a Equação 3.34 é válida 
em cada incremento de carga, podemos estabelecer nela a condição de instabilidade, ou seja, ocorrerão deslocamentos 
transversais e o incremento de carga {F} será nulo. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 
(a) 
(b) 
{F} - Incrementos de carga 
-
{F4} Í 
{F3} I 
{F2} Instabilidade - "Flambagem" 
1 
1 
1 
l 
1 
1 
1 
1 
l 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
{ 6} - Incrementos de desloca111ento 
- i++,• •1 
{li,} {62} {63} {64} {65} 
Relação incremental de equilíbrio 
Incrementos de carga {F} e os correspondentes incrementos 
de deslocamentos { 6}. Quando ocorre instabilidade, tal 
como ilustra a Figura 3.21, para um incre1nento de força pra-
ticamente nulo { F6 } = {O}, a estrutura apresenta valores 
elevados de incrementos de deslocamentos, { 6 6} * {O}. 
{F} - Incrementos de carga 
tv{F0} ,...... ___ ~--::::::::;::i:sa---------------
Assume que a estrutura mantém-se indeformada até 
atingir o valor crítico, e1n que a deflexão torna-se .-? ----...,. infinita1nente grande, sen1 au1nento da carga 
({F} = {O}) 
Condição 
idealizada 
Curva carga x deflexão idealizada (abordagem de autovalor) { 6} - Incrementos de deslocamento 
119 
Figura 3.22. Condição de instabilidade. Em (a), os deslocamentos crescem rapidamente na direção transversal, sem praticamente 
ocorrer aumento no incremento de carga, condição descrita a partir do ponto A. Note que a carga atuante na estrutura evoluiu até 
o valor dado pelo ponto A, porém a partir desse valor atingido por ela, o aumento dos deslocamentos é observado sem aumento da 
carga. Em (b), dada uma carga aplicada qualquer {f0} na estrutura, deseja-se conhecer o valor de À de tal sorte que com a carga 
Ã.{f 0} a estrutura sofrerá instabilidade. Ou seja, dadas a estrutura e uma carga atuante {f 0}, a questão a ser respondida é se ela 
sofrerá instabilidade, ou ainda se a carga que a fará instabilizar é maior ou menor que a carga de referência {f0}. Essa relação é 
dada pelo parâmetro À. Este é o objetivo da análise, que é desenvolvida para calcular o valor de Ã, pelo método do autovalor. 
A partir das considerações anteriores e de posse da equação incremental de equilíbrio, podemos estabelecer a condição 
de instabilidade da estrutura, impondo à condição matemática que ocorram incrementos de carga sem incrementos de 
deslocamentos. Assim: 
Para o caso idealizado ~ Equação incremental de equilíbrio ~ {ft} = ([ K] + [ Ka ]).{Li}= O (3.35) 
Como {Li} é não é nulo, a equação de equilíbrio pode ser satisfeita somente se a matriz de rigidez total - [KJ+[KGJ 
for singular. Assim: 
Critério matemático para instabilidade - "flambagem" det([K] + [K0 ]) = O (3.36) 
Sabemos que a matriz de rigidez geométrica [KG] está associada às forças internas que surgem decorrentes do car-
regamento atuante na estrutura. A condição de instabilidade será verificada em um dado estágio do carregamento, o qual 
ainda não conhecemos. Aliás, este é o objeto de nossa busca, ou seja, determinar a carga que causa instabilidade. Uma 
ideia é avaliar essa matriz [KG] para um determinado nível de carga que atue sobre a estrutura. Essa carga na qual monta-
ríamos a matriz de rigidez geométrica [KG] seria uma carga de referência. A carga que produziria a instabilidade seria 
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120 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
essa carga multiplicada pelo fator l. Consequentemente, a matriz de rigidez geométrica também seria a matriz calculada 
para essa carga de referência, multiplicada pelo mesmo fator l, já que depende diretamente de Fx. Assim: 
O vetor de cargas que causa instabilidade pode ser expresso como um múltiplo de um conjunto de cargas tomado 
como referência, para a qual se calcula a matriz de rigidez geométrica. 
Relembrando, como exemplo, a matriz de rigidez geométrica para o elemento de viga, podemos observar que, à medida 
que as forças internas Fx se alteram em função do nível de carga atuante na estrutura, a matriz de rigidez geométrica 
no intervalo objeto de análise também se altera e é atualizada. Ou seja, a matriz de rigidez geométrica é função de Fx. 
36 3L - 36 - 3L 
4L2 - 3L - L2 
- 3L 36 - 3L 
- 3L - L2 - 3L 4L2 
(3.37) 
Expressando matematicamente o vetor das cargas em relação à carga de referência, teremos: 
(3.38) 
Então, a forma geral da matriz de rigidez geométrica, pelos motivos explicados anteriormente, é: 
[KG] = Â. [ KG,O] (3.39) 
Em que [¾ 0] é a matriz de rigidez geométrica computada no nível de carga expressa por {F O}. ' 
Assim: 
det(K + Â . ¾ (F x)) = O (3.40) 
A solução matemática deste problema é formalmente semelhante ao tipo de problema que é resolvido no estudo da , 
análise dinâmica. E o conhecido problema de autovalor, em que são calculados os seus autovalores por intermédio da 
solução de um polinômio característico. No caso do estudo de vibrações naturais, são calculados os autovalores que 
estão associados às frequências naturais de vibração. A cada frequência de vibrar associávamos um modo natural de 
vibração. A cada modo de vibrar tínhamos a sua representação dada por um autovetor, que definia a forma de vibração 
daquele modo de vibrar. 
No caso do estudo de instabilidade, temos uma interpretação análoga. De novo, é o conhecido problema de autovalor, 
em que é calculado o autovalor li por intermédio da solução de um polinômio característico. No caso da instabilidade, 
será calculado o autovalor l; que está associado ao valor que deve ser multiplicado pela carga de referência, de modo 
que permita obter a carga segundo a qual a estrutura instabiliza. Ao autovalor calculado, teremos um perfil associado 
a esse autovalor, que representa a forma da configuração deformada na instabilidade. Essa forma é definida por um 
conjunto de deslocamentos nodais, que definem o vetor dos deslocamentos na forma instabilizada da estrutura, sendo, 
portanto, um autovetor. Assim: 
Matriz de rigidez 
elástica 
Autovalor 
Matriz de rigidez geométrica , 
E função de F x 
(3.41) 
Vetor que define o modo segundo o 
qual a estrutura instabiliza 
Modo de "flambar" 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 121 
3.6 Aplicação Prática do Método do Autovalor: Flambagem de Coluna Simples 
A Figura 3.23 representa uma coluna (viga) sob a ação de carga axial de compressão. 
Vamos aplicar o método do autovalor para determinar a carga segundo a qual ocorre instabilidade da estrutura, também 
muitas vezes denominada '' carga crítica de ftambagem ''. 
A Equação 3.40 permite determinar o autovalor associado a este problema. Para isso, devemos conhecer a matriz de rigi-
dez elástica [KJ e a matriz de rigidez geométrica [KJ. Como já as conhecemos dos desenvolvimentos anteriores, temos: 
,---------,---------r---------, --------, 
1 2 1 3 5 1 6 1 
1 1 1 1 
- - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - --. - - - - - - - - .J 
12 -E·l 6-E ·l - 12-E ·1 6-E·l 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
1 
1 
I 
I 
I 
---+--
---- Rotação nulaL3 L2 L3 
6-E·l 4-E·l -6 ·E ·1 
L2 
2-E·l 
L = 2 · I 1 1 
1 
{k}e = L2 L L2 L 
- 12-E ·I - 6 ·E ·1 12 -E ·l - 6 ·E ·1 
L3 J! L3 J! 
6-E·l 2-E·l - 6 ·E ·1 4-E·l 
L2 L2 L2 L 
(Matriz de rigidez elástica da viga) 
A matriz de rigidez geométrica é dada por: 
[ k ]- Fx v,G - 30 -L 
~ - - - - T - - - - T - - - -i----7 
: 21315 6 1 
L - - - - ~ - - - - j _ - - - - - - - - _ I 
' 3-6 
', Simétrica 
3L 4-J} 
' ' 
- 36 -3L ' 3-6 
' ' 2 ' 2 - 3L - L - 3L 4b, 
(Matriz de rigidez geométrica da viga) 
1 
1 
l \ 
\ 
\ 
\ 
\ 
--------- \ 1 
IP 
9
1 
Deslocamento 1/ nulo 
Numeração dos graus de liberdade 
Figura 3.23. Instabilidade de coluna. 
Na condição de instabilidade, como indicam as Figuras 3.23 e 3.21, vamos considerar a condição de simetria da viga na 
configuração que representa a viga instável, pois no centro dela a rotação é nula e na extremidade livre o deslocamento 
é nulo. Isso permite reduzir o número de graus de liberdade da estrutura (neste caso, um elemento de viga) a ser analisa-
da, facilitando as operações matemáticas, que neste caso serão efetuadas manualmente. Na representação das matrizes 
anteriores, são destacadas as porções que são objeto de interesse, considerando os vetores de localização associados aos 
graus de liberdade que correspondem a movimentos e que não estão bloqueados. Assim: 
EI 412 
det([K]+Ã · [KJ) = O ~ [[ KJ + Â · [KG] ]= 3 l - 61 
- 61 
12 
-/ ' 
412 - 61 I 2' - ·;P·l, 41
2 
- 61 12 130El1 \ I - 31 
' - "'4.Â* 
- 31 
={O} 
36 ~ 
412 (1 -Ã *) 
3l(- 2 + Ã*) 
+Â-(-P_) 
301 
412 
- 31 
- 31 
36 ={O} ~ 
31(- 2 +Â *) 
= {a} ~ det A = O 
12(1 - 3Ã*) 
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122 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
48/2(] -Ã*)(l-3Ã*) - 9. /2. (- 2 + Ã*)2 = O => Â * = 0,08392 
Como Fcrit = íl · F0 = íl · P ~ 
íl* =008392 = (íl·P)·l
2 
= ~r;1 ·l
2 
~F . = 30-El·0,08392 = 30-El·0,08392 
, 3 o . EI 3 o . EI crlf /2 ( ½) 2 
120-EI EI 
~rit = 2 • 0,08392 ~ ~rit = 10,07 2 L L 
Relembrando o valor exato, estudado nos cursos de resistência dos materiais, para a carga crítica de Euler, teremos: 
~rit = 
exato 
n
2 
E· I = 9,87. EI . Comparando o resultado obtido pela formulação de elementos finitos, por intermédio da 
L2 L2 
matriz de rigidez geométrica, com o resultado exato obtido pela carga crítica de Euler, teremos: 
~rit 10 07 
MEF -- ' --1 02 , . (2% acima do valor exato) 
~rit 9,87 
exato 
A Figura 3.25 representa a aplicação numérica desse problema, resolvido pela ferramenta computacional por elementos 
de viga, considerando os dados de geometria de perfil e seção transversal representados na Figura 3.24. As dimensões 
lineares são todas dadas em milímetros e a força aplicada é dada em Kgf. 
4 t:T ==:=:::;z===1 3 1ze 
Area, A 2328, 
M oment of I nertia, 11 or I zz 1 003384, 
Height 200, 
12 or l_y_y 14616736, 
112 or lz_y O, 
Width, Top 100, 
y 
Width, B ottom 100, 
T orsional Constant, J 28808,23 
Thick, Top 6, 
Y Shear Area 1250,833 
Thick, Bottom 6, 
Z Shear Area 1124,498 
Thickness 6, 
L 
1 2 
Figura 3.24. Seção transversal de perfil utilizado para cálculo de instabilidade na Figura 3.25. 
(a) Elemento de viga 
100 IDlll 
~ 
t = 6 ID111 200mm 
Output Set - Eigenvalue 103.4602 
Buckling Factor = 103 ,4602 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 
Carga crítica de Euler: 
~rit = 
exato 
1r
2 
E. J = 9 87 . EI = 9 87 . 21000 · 1003384 = 51992 85 K ... + 
L2 ' L2 ' 20002 ' ó! 
E , . d . - . 1 , . d - d 51992,85 22 33 Kgf ssa carga cnt1ca correspon ena a uma tensao ax1a cntica e compressao e cr axial = ---= , 2 2328 mm 
123 
Como a carga atuante é de 500 Kgf, a relação entre a carga que instabilizaria a viga e a carga real é de 51992,85 / 500, o que equivale a um fator de 
103,98. O fator de flambagem, "buckling factor", calculado pela análise numérica para este caso foi de 103,46. 
A mesma aplicação foi analisada por intermédio de elementos de casca, representados em (b ), obtendo-se o fator de flambagem igual a 102,63. 
(b) Elemento de casca 
Output Set - Eigenvalue 102.63 
Buckling Factor = 102,63 
500 Kgf 
· .. , ...... 
.. J , ·-
Figura 3.25. Instabilidade de coluna e cálculo do fator de flambagem por elementos finitos de viga e casca. 
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// m Observação ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 
Limitações do estudo pelo método do autovalor 
O tipo de estrutura que sofre instabilidade, tal como a viga esbelta abordada no exemplo anterior, movimenta-se repentina-
mente de uma situação de equilíbrio para outra totalmente diferente. Essa ocorrência está associada à presença de um ponto a 
partir do qual o comportamento da estrutura muda totalmente, também chamado de ''ponto de bifurcação", como abordado 
pelo método do autovalor. Esse fenômeno, a rigor, é essencialmente dinâmico, embora no seu equacionamento não tenhamos 
envolvido efeitos de amortecimento e de inércia. Muitas vezes esse fenômeno é chamado também de "instabüidade por bifur-
cação" - "Bifurcadon Buck/,ing ", sendo bem representado pelo método do autovalor. A Figura 3 .26 representa a ocorrência de 
instabilidade na condição idealizada. 
Carga 
Pequenas deflexões antes 
da ocorrência da instabilidade 
B 
-----
------- ------- ------
Deflexão 
' ---- ,' --- . -- . -. . --!-~-~············· 
• • • • • • Idealizada : ~= • • • • • • • • • • • 
• • • 
• 
B 
.. , ................ .. . 
Figura 3.26. Instabilidade de coluna esbelta e representação idealizada pelo método do autovalor. 
Assim, a questão fundamental presente nesse tipo de estudo é a presença de um ponto de bifurcação. Em muitas estruturas 
esbeltas encontradas nas aplicações de engenharia naval, aeroespacial e mecânica, a identificação desses pontos de bifurcação 
é mais importante do que as situações limites da estrutura, pois a partir da ocorrência da instabilidade, a estrutura não atende 
aos critérios de uso para os quais foi projetada. Poderíamos até investigar o comportamento que surge após essa ocorrência 
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124 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
no sentido de verificar como ela se comportaria até o colapso, porém do ponto de vista de projeto, o interesse já foi atingido, 
identificando a carga a partir da qual a estrutura foge do comportamento desejado. Tais fenômenos são chamados informalmente 
de flambagem ("buckling"). Análise do que ocorre após a ocorrência do ponto de bifurcação (''post-buckling analysis''), não é 
informada pelo método do autovalor. Para o estudo desse fenômeno, dever-se-ia proceder a uma análise verdadeiramente não 
linear, incremental e iterativa, o que requer grande esforço computacional normalmente. Ela poderia ser justificada quando o 
objetivo do estudo é determinar o estado limite da estrutura, ou seja, prever o seu comportamento até o completo colapso de 
um membro ou dela toda. 
Muitos casos de instabilidade em estruturas com pontos de bifurcação, que no seu conjunto constituem um fenômeno não linear, 
podem ser estudados resolvendo-se um problema de autovalor, que em essência tem equacionamento linear, semelhante ao 
equacionamento dos modos e frequências naturais da análise dinâmica linear. A questão é determinar a carga segundo a qual 
esperamos ocorrer a instabilidade, porém sem nenhuma expectativa do que ocorrerá depois de esta ser atingida. Embora não 
tenhamos nenhuma ideia a respeito do que ocorre depois de a carga ser atingida, a informação é extremamenteútil para propósi-
tos de determinar as cargas admitidas em um projeto, de sorte que não gerem instabilidades. A rigor, temos uma análise linear 
do comportamento pré-instável da estrutura ("Linear Buckling''). Assim, dada esta última informação a respeito do equacio-
namento da instabilidade pelo método do autovalor, fica claro que esse método só pode ser aplicado com sucesso desde que, 
antes de se atingir o ponto de bifurcação, a estrutura tenha um comportamento que possa ser previsto por uma análise linear, tal 
como o método do autovalor admite. Se a estrutura tem um comportamento claramente não linear antes de se atingir o ponto de 
instabilidade, a aplicação do método do autovalor não se justifica, pois a previsão do estágio no qual a estrutura estará ao ocorrer 
a instabilidade ficará comprometida. Assim, vale lembrar as condições adequadas para a aplicação do método do autovalor: 
• O carregamento atuante na estrutura cresce de forma proporcional. A análise da pré-instabilidade pelo método do auto-
valor é uma visão estática, tal como o método de Euler, do problema da instabilidade, embora este tenha, como foi dito 
antes, uma essência dinâmica. 
• A perda da estabilidade deve ser manifestada na forma de uma bifurcação simétrica. A rigor, a única forma prática de 
verificar se o primeiro ponto crítico corresponde a uma bifurcação simétrica é por intermédio de uma análise não linear 
completa, incremental e iterativa, passo a passo. A Figura 3.27 sugere alguns tipos de estruturas em que o método do 
autovalor tem boa resposta na prática. 
Figura 3.27. Alguns exemplos de estruturas adequadamente modeladas pelo método do autovalor. 
• As deformações na condição de pré-instabilidade devem ser pequenas. Muitas estruturas nas aplicações de engenharia 
seguem essas condições em função da natureza dos materiais envolvidos, tais como colunas retas, estruturas reticuladas 
e chapas planas. Deve-se ter muito cuidado com arcos, cascas (envolvem curvaturas iniciais), membros muito finos de 
estruturas ou estruturas que já apresentem grandes imperfeições iniciais. 
• O material deve ter comportamento elástico. Se o material é inelástico, a estrutura é internamente não conservativa. A ma-
triz de rigidez tangente depende da história prévia da deformação da estrutura, e a aplicação da técnica linear do autovalor 
não tem significado algum. O estudo da instabilidade inelástica, e mais especificamente quando envolve fluência e plas-
ticidade, é bastante complexo e cai dentro do estudo da análise não linear completa. Apenas este tópico em si justificaria 
todo um curso ou texto dedicado apenas a essa questão. Evidentemente, quando trabalhamos com materiais que por sua 
essência são altamente não lineares, como é o caso, por exemplo, da borracha - materiais hiperelásticos - , a aplicação já 
se torna inviável. 
• As cargas aplicadas não deveriam depender não linearmente dos deslocamentos. Essa dependência introduz efeitos não 
conservativos. A matriz de rigidez geométrica, tomada na configuração de referência tal como tratado antes, deveria de-
pender do nível em que se encontra o carregamento, o que mereceria um tratamento por intermédio de um problema de 
autovalor não linear. 
• Não são consideradas imperfeições iniciais. Elas, a rigor, sempre existem, porém são consideradas desprezíveis pelo 
método do autovalor. 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 
• A Figura 3.28 ilustra dois tipos de aplicações em que o método do autovalor apresenta dificuldades na previsão da carga 
de instabilidade, em função dos comentários anteriormente efetuados. No caso (a) temos um tubo que é comprimido axial-
mente. A seção transversal forma uma espécie de "triângulo curvo", em que se observam painéis planos em combinação , 
com painéis curvos. E como se fosse uma casca cilíndrica ligadas por painéis planos, utilizada em algumas aplicações 
aeronáuticas. Devido à mudança de geometria da parte plana para a parte cilíndrica da casca que constitui o perfil, ocorre 
uma redistribuição de tensões na casca. Desta forma, pode ocorrer colapso em uma carga bastante superior àquela prevista 
pelo método do autovalor, e teremos um coeficiente de segurança exagerado quanto a esse tipo de falha. Já o tubo cilíndri-
co de seção circular é bastante sensível em termos de carga de colapso em função das imperfeições iniciais, e pode falhar 
sob condições de carregamento muito menos severas que aquelas previstas pelo método do autovalor, tomando a análise 
pelo método do autovalor bastante insegura. 
(a) (b) 
L À, 
B 
" Método do 
autovalor 
Método do ~ autovalor 
Real ,/ B 
L Real 
,/ 
R t) R t) 
Figura 3.28. Dois casos interessantes nos quais o método do autovalor apresenta dificuldades na previsão da carga de colapso. 
, 
E interessante observar, então, que o comportamento não linear, nos casos mais gerais, deve ser conduzido por intermédio de 
uma análise não linear incremental e iterativa. Discutimos até agora, com exemplos simples, os casos de plasticidade, grandes 
deflexões - pelo estudo das não linearidades geométricas - e os problemas de contato. Esses exemplos mais "simples" permiti-
ram manipular os "modelos II de cálculo de forma manual, visando o entendimento dos procedimentos e dos conceitos utilizados 
nas aplicações do método dos elementos finitos na análise não linear. Tanto no exemplo da plasticidade como no exemplo do 
contato com o elemento de Gap, desenvolvidos em exercícios anteriores, exercitamos a busca da solução por incrementos. A 
cada passo pudemos verificar a evolução da estrutura até a condição final de carga. 
Veremos adiante, a rigor, esses mesmos conceitos, porém expandidos para os casos mais gerais, por intermédio da/ ormulação 
geral para as aplicações do método dos elementos finitos em análise não linear. Lá estarão presentes os conceitos de trabalho 
e energia deforma incremental, considerando as forças externas na estrutura e o trabalho realizado por elas. Esse trabalho 
mede em última análise a energia fornecida à estrutura por intermédio da ação das forças externas durante um incremento 
de carga e o consequente incremento de deslocamento. Nos problemas de contato, as forças de contato também entrarão no 
cômputo do trabalho externo, como mais uma força que "ajuda" a deformar a estrutura. 
O recurso dos trabalhos virtuais já nos ajudou na análise linear, e na análise não linear ele será considerado por meio de uma 
variação do trabalho virtual externo. Fizemos isso como primeira abordagem para o elemento de viga na contabilização da 
rigidez geométrica, mas podemos expandir esse conceito para um contínuo inteiro, discretizando-o como uma montagem de 
elementos finitos, discretos. A uma variação do trabalho externo corresponderá uma variação do trabalho interno. Estabelecen-
do as iterações dentro de cada incremento, podemos determinar a condição de equilíbrio ou, em outras palavras, a rigidez da 
estrutura naquele intervalo. Desta forma, nos problemas mais gerais que envolvam grandes deflexões, grandes deformações, 
contato, plasticidade e ação dinâmica, a formulação geral do método deve determinar a condição de equilíbrio em cada trecho 
ou incremento, levando em conta todas as possíveis variações do sistema passo a passo. Fenômenos, como, por exemplo, aque-
les citados na Figura 3.28, podem ser resolvidos pelo método dos elementos finitos dessa forma. 
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125 
126 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
3.7 O Estudo das Grandes Deformações - Primeira Abordagem 
Vimos anterionnente que a matriz de rigidez geométrica pennite considerar o efeito das grandes deftexões no cálculo 
do comportamento não linear da estrutura. Sob diversas condições práticas, podemosobservar comportamentos nos 
quais as grandes deflexões se manifestam, tais como em asas de aviões, torres elevadas de transmissão da rede elétrica, 
placas utilizadas em paredes de reservatórios e vagões etc. Nesses casos, os deslocamentos da estrutura apresentam 
valores consideráveis em relação às dimensões globais características dela. 
Há situações práticas nas quais, além da presença das grandes deflexões, ocorre a presença de grandes deformações, tor-
nando o problema não linear mais trabalhoso em tennos dos recursos matemáticos e computacionais a serem disponibili-
zados, até porque, como veremos a seguir, o equacionamento das grandes defonnações passa a ser mais complexo e deve 
ser incorporado às soluções até aqui desenvolvidas. Nesses casos, as variações de comprimento das fibras ao redor de um 
pequeno trecho da estrutura apresentam valores consideráveis em relação às dimensões iniciais dessas mesmas fibras. 
Assim, em alguns casos, as alterações das dimensões originais da estrutura são pequenas, tal como nas defonnações 
elásticas do aço. Entretanto, há situações, mesmo em materiais como o aço, nas quais as variações dimensionais são 
bastante grandes, como, por exemplo, no processo de conformação. Por exemplo, na operação de trefilação a peça pode 
apresentar mudanças significativas na área da seção transversal, com a presença de grandes defonnações plásticas. A 
consequência prática pode ser, em tennos finais, a obtenção de uma considerável variação no comprimento do corpo. 
Ludwik, P., foi o primeiro pesquisador a propor uma maneira de quantificar essa questão de a defonnação ser pequena 
ou grande. O entendimento desses conceitos passa pela definição de deformação verdadeira ou deformação natural, 
em que a variação do comprimento é relacionada ao comprimento instantâneo do corpo de prova em vez do compri-
mento original. Em alguns casos, a estrutura do material já é por si só indicativa dessa característica, como é o caso da 
borracha, ou de fonna mais geral, os materiais hipereláticos. A Figura 3.29 mostra a situação que ocorre com um "elás-
tico" à medida que ele se encontra sob efeito de uma força de tração. O seu comprimento inicial à medida que a força é 
progressivamente aplicada toma-se muito grande em relação ao comprimento original, o que não ocorre nonnalmente 
com uma barra de aço no regime elástico. Já vimos que a defonnação, na análise linear, é quantificada identificando-se a 
mudança de comprimento em relação ao comprimento inicial. Agora, esta questão merece cuidados adicionais. 
(A) 
,,: 
www.nce.com.br 
"-· 55 1111 5071 • 57 .. 
Fu SI 111) Slill • 1121 
www.nce.com.br 
Fono, SS 1111 ~71 · 5TH 
1 '•• H (11) - -1121 
,, 
14 cm 
,, ,, ,, 
,, ,, 
("Elástico esticado") 
www.nce.com.br 
I ,,_ 55 (111 5071 • 5711 
, •• 51 (11) ... • 1111 
• 
www.nce.com .br 
Fone 55 (11) !071 . 5716 
,.. 55 (11 I 5519 · 6121 
1 
15 cm 
Figura 3.29. Dois casos de medição de deformações. Observe o comprimento inicial e final nos dois casos. 
(B) 
(D) 
Consideremos a condição do elástico no seu tamanho natural sem defonnação, cujo comprimento é de 9 cm, tal como 
representado no caso (A) da Figura 3.29. Após a ação da força F1, ele se encontra defonnado em (B) e passa a ter o 
comprimento final igual a 10 cm. Se calculássemos a defonnação, tal como trabalhamos na análise linear, teríamos: 
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Não Linearidade Geométrica: Entendimento do Conceito a partir dos Elementos Unidimensionais - Generalizações 
Deformação de A para B = (variação de comprimento)/ (comprimento inicial)= (10- 9) / 9 = 1/9 = 0,1111 
Porém, ao observar as condições (C) e (D), referindo-se ao comprimento inicial do elástico, teríamos: 
Deformação de A para C = (variação de comprimento)/ (comprimento inicial)= (14 - 9) / 9 = 5/9 = 0,5555 
Deformação de A para D = (variação de comprimento) / ( comprimento inicial) = (15 - 9) / 9 = 6/9 = 0,6666 
127 
Esta forma de contabilizar a deformação do corpo merece algumas críticas. A deformação representa em última análise 
a taxa de variação do comprimento do elástico comparado à sua dimensão antes de essa variação de comprimento se 
manifestar. 
Por exemplo, considere o elástico na condição (C), cujo comprimento nesse estágio é de 14 cm, em seguida observe-o 
na condição (D) cujo comprimento é de 15 cm. Nessa mudança de 14 cm para 15 cm, o comprimento do elástico variou 
1 cm. Essa variação se processou em um estágio no qual o "comprimento inicial disponível" para registrar essa variação 
de comprimento de 1 cm era de 14 cm. Ou seja, por unidade de comprimento inicial, o elástico se deformou menos 
do que se calculássemos da forma convencional da análise linear, pois dos 14 cm disponíveis inicialmente antes dessa 
variação, o elástico variou seu comprimento 1 cm. Não seria correto calcular essa taxa de variação do comprimento do 
elástico nesse estágio da deformação, dividindo pelo comprimento inicial de 9 cm. Assim, se considerarmos a deforma-
ção medida em relação à situação em que o elástico se encontra na realidade, teríamos: 
Deformação 
de C paraD 
Variação de comprimento de C para D 
Comprimento antes da ocorrência desta variação de C para D 
15-14 - 1 =0,0714 
14 14 
Note a diferença de 0,0714 para 0,6666. O valor 0,0714 para a deformação no estágio de C para D é muito mais repre-
sentativo, pois a variação de comprimento do elástico medida em relação ao comprimento que ele tinha antes de variar 
de C para D é menor do que se fosse referido ao comprimento inicial de 9 cm. A Figura 3.30 ilustra essas novas defi-
nições de deformações que são quantificadas a seguir, medidas em relação ao comprimento inicial antes de o elemento 
estar deformado, ou medidas em relação ao comprimento do elemento em um determinado estágio da deformação, o 
que seria de maneira figurativa uma "deformação instantânea". Daí o termo empregado para a deformação medida em 
relação ao estágio atual do corpo de prova: deformação verdadeira. 
Uma questão merece comentário, antes de introduzirmos as definições de deformação, tal como discutido anteriormente. , 
Por que nos estudos da análise linear esses conceitos não foram introduzidos? E que nas hipóteses da análise linear 
as deformações são pequenas, e as variações de comprimento, tanto medidas em relação ao comprimento original do 
corpo de prova, como em relação ao comprimento atualizado depois de deformado, não apresentam diferenças apreci-
áveis, e fica mais cômodo trabalhar com as deformações medidas sempre em relação ao comprimento inicial, devido à 
manipulação mais simples do ponto de vista matemático. Na análise linear, a variação do comprimento inicial do corpo 
de prova não é grande como nos processos em que se manifestam as grandes deformações. 
Note que na Figura 3.30 a deformação linear média (e) ou deformação de engenharia é medida em relação ao com-
primento inicial da barra L0, e assim: 
AL 
e=-
Lo 
L-L o (Deformação de engenharia) (3.42) 
Já para um determinado estágio do carregamento, no qual a barra apresenta um comprimento L e sofre uma pequena 
variação de comprimento dL, a deformação verdadeira será dada por: 
dL 
S=-
L 
(Deformação verdadeira) (3.43) 
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128 Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE / Análise não Linear 
Desta fonna, se quiséssemos contabilizar a defonnação verdadeira, que o elástico apresenta desde o seu tamanho ori-
ginal até atingir um tamanho final no qual a defonnação é bastante grande e o seu comprimento final é muito diferente 
do inicial, deveríamos dividir esse aumento progressivo do comprimento dele, em diversos pequenos trechos dL, e 
compará-lo ao tamanho do elástico na condição em que esse dL se manifesta. O somatório de todos os dL / L indicaria a 
defonnação verdadeira, aquela que realmente representa a defonnação do elemento