Aula - Átomo de Bohr - 1s2021 - Moodle

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FSQ 400 - Física Moderna
FSQ 400 - Física Moderna
Planck, Einstein e Bohr e a 2ª maior descoberta 
científica da história: O átomo de H
• Como entender o átomo a partir da quantização da luz e da energia
• Como calcular o comprimento de onda emitido/absorvido por
elétrons em um átomo
FSQ 400 - Física Moderna
Onde estudar
Livro texto: Halliday, D., Resnick, R., e Walker, J., 
Fundamentos de Física, volume 4: Óptica e Física 
Moderna, 9ª edição, Rio de Janeiro, gen|LTC, 2012. 
Capítulo 38: Fótons e Ondas da Matéria
Livro texto: Young, H. D. e Freedman, R. A., Sears & 
Zemanky Física IV, Óptica e Física Moderna, 12ª 
edição, São Paulo, Pearson / Addison – Wesley, 2008.
Capítulo 39: A Natureza Ondulatória das Partículas
Capítulo 38: Fótons, Elétrons e Átomos
Seção Tópico
38.3 Espectro atômico de linhas e níveis de energia
38.4 O núcleo do átomo
38.5 O modelo de Bohr
Capítulo 41: Estrutura Atômica
Seção Tópico
41.1 O átomo de Hidrogênio
Capítulo 39: Mais Ondas de Matéria
Seção Tópico
39.8 O Modelo de Bohr do átomo de hidrogênio
39.9 A equação de Schrödinger e o átomo de hidrogênio
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Onde encontrar o material no Moodle
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Rascunho
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Planck, Einsten, Bohr e o átomo
● Quantização da energia
● Quantização da luz
Quantum de Energia
𝑬𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒖𝒎 = 𝒉 ∙ 𝒇
Fóton
𝑬𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = 𝒉 ∙ 𝒇𝒍𝒖𝒛 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝒍𝒖𝒛
● Em cada órbita, a
energia é quantizada
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝑬𝒇 − 𝑬𝒊
𝑬𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = ∆𝑬 = |𝑬𝒇 − 𝑬𝒊| 
(1913)
𝑟𝑛
● Elétron só emite ou 
absorve radiação ao mudar 
de uma órbita para outra
● Excitação: o elétron
absorve um fóton e muda
de um nível de menor para
um de maior energia
● Decaimento: o elétron
emite um fóton e muda de
um nível de maior para um
de menor energia
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Espectro Contínuo e Espectro Discreto 𝟒𝟎𝟎 𝒏𝒎 ≤ 𝒗𝒊𝒔í𝒗𝒆𝒍 ≤ 𝟕𝟎𝟎 𝒏𝒎
Espectro eletromagnético é contínuo
[não há separação bem definida entre as cores ()]
Ver a Tabela`Periódica dos espectros de emissão e absorção
https://www.compadre.org/PQP/applications/section14_2.cfm
Átomo: Espectro discreto de emissão→  bem definidas
Átomo: Espectro discreto de absorção→ bem definidas
Átomos isolados emitem/absorvem luz de forma 
discreta [apenas algumas cores ()]
❶ Como um átomo
isolado emite/absorve luz
(fótons)?
❷ Como calcular esses
comprimento de onda?
https://www.compadre.org/PQP/applications/section14_2.cfm
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O Modelo de Bohr para o Átomo de H
Aplicativo PheT: 
https://phet.colorado.edu/pt_BR/
simulation/legacy/hydrogen-atom
𝟒𝟎𝟎 𝒏𝒎 ≤ 𝒗𝒊𝒔í𝒗𝒆𝒍 ≤ 𝟕𝟎𝟎 𝒏𝒎 Ver a Tabela`Periódica dos espectros de emissão e absorção
https://www.compadre.org/PQP/applications/section14_2.cfm
A energia do fóton emitido ou absorvido é 
a diferença (em módulo) entre 𝑬𝒇 e 𝑬𝒊:
𝑬𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = 𝑬𝒇 − 𝑬𝒊 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝒇ó𝒕𝒐𝒏
Definições:
• E1 < E2 < E3 < E4 < E5 ...
• Ao nível de menor energia se
dá o nome de Nível (ou estado) 
Fundamental
• Os outros níveis de energia (ou
estados) são chamados de 
excitados
Átomo de Hidrogênio*
• A energia do nível fundamental é
• A energia dos outros níveis é:
Notação:
Nível ou
“estado” Notações
de energia
K n = 1
L n = 2
M n = 3 ...
𝑬𝟏 = −𝟏𝟑, 𝟔 𝒆𝑽
𝑬𝒏 =
− 𝟏𝟑, 𝟔 𝒆𝑽
𝒏𝟐
* Veja demonstração no final dos slides
E6 E5 E4 E3 E2 E1
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/hydrogen-atom
https://www.compadre.org/PQP/applications/section14_2.cfm
FSQ 400 - Física ModernaAplicativo: Modelos para o átomo de Hidrogênio
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/hydrogen-atom
6 5 4 3 2 1 
𝑬𝒏 = −
𝟏𝟑, 𝟔
𝒏𝟐
𝒆𝑽
(𝑑𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛)
n En (eV)
1 E1 = – 13,6 
2 E2 = – 3,40 
3 E3 = – 1,51 
4 E4 = – 0,850 
5 E5 = – 0,544
6 E6 = – 0,378 
𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 = ∆𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛
𝐸4 − 𝐸1 = ∆𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛
−0,850 − −13,6 𝑒𝑉 = ∆𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛
∆𝑬𝒆𝒍é𝒕𝒓𝒐𝒏= +𝟏𝟐, 𝟕𝟓 𝒆𝑽
O elétron deve absorver exatamente esta quantidade de 
energia do fóton que incidir sobre ele!
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
ℎ ∙ 𝑐
∆𝐸
=
1,2423 ∙ 10−6 𝑒𝑉.𝑚
12,75 𝑒𝑉
= 𝟗𝟕, 𝟒 𝒏𝒎
Excitação
fóton
97,4 𝑛𝑚
12,75 𝑒𝑉
fóton
97,4 𝑛𝑚
12,75 𝑒𝑉
Modelo de Bohr para o Átomo de H: Absorção de fótons e Excitação
Energia e  que o elétron 
deve absorver para passar de:
𝒏𝒊 = 𝟏 → 𝒏𝒇 = 𝟒
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/hydrogen-atom
FSQ 400 - Física ModernaAplicativo: Modelos para o átomo de Hidrogênio
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/hydrogen-atom
6 5 4 3 2 1 
Excitação
n En (eV)
2 E2 = – 3,40 
4 E3 = – 0,85 
𝒏𝒊 = 𝟒 → 𝒏𝒇 = 𝟐
Energia e comprimento de onda que o 
elétron deve emitir para passar de:
∆𝑬𝒆𝒍é𝒕𝒓𝒐𝒏= 𝟐, 𝟓𝟓 𝒆𝑽
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
ℎ ∙ 𝑐
∆𝐸
= 𝟒𝟖𝟕, 𝟏 𝒏𝒎
Comprimento de onda do 
fóton que deve ser emitido:
fóton
97,4 𝑛𝑚
12,75 𝑒𝑉
Modelo de Bohr para o Átomo de H: Emissão de fótons e Decaimento
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/hydrogen-atom
FSQ 400 - Física ModernaAplicativo: Modelos para o átomo de Hidrogênio
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/hydrogen-atom
6 5 4 3 2 1 
Excitação
n En (eV)
2 E2 = – 3,40 
3 E3 = – 1,51 
𝒏𝒊 = 𝟑 → 𝒏𝒇 = 𝟐
∆𝑬𝒆𝒍é𝒕𝒓𝒐𝒏= 𝟏, 𝟖𝟗 𝒆𝑽
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
ℎ ∙ 𝑐
∆𝐸
= 𝟔𝟓𝟕, 𝟏 𝒏𝒎
Comprimento de onda do 
fóton que deve ser emitido:
fóton
97,4 𝑛𝑚
12,75 𝑒𝑉
Modelo de Bohr para o Átomo de H: Emissão de fótons e Decaimento
Energia e comprimento de onda que o 
elétron deve emitir para passar de:
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/hydrogen-atom
FSQ 400 - Física ModernaAplicativo: Modelos para o átomo de Hidrogênio
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/hydrogen-atom
6 5 4 3 2 1 
Excitação
Decaimentos
Absorção 
de fótons
Emissão 
de fótons
Modelo de Bohr para o Átomo de H: Emissão de fótons e Decaimento
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/hydrogen-atom
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Modelo de Bohr para o Átomo de H: Resumo
• Os níveis de energia (camadas
K, L, M, ...) têm energias com
valores quantizados
• O nível de menor energia é 
chamado de nível fundamental
• A energia do fóton (emitido ou
absorvido) é igual a diferença:
• O comprimento de onda do
fóton (emitido ou absorvido) é 
Elétrons mudam de um nível para outro ao absorvem (𝑬𝒇 > 𝑬𝒊) ou emitem (𝑬𝒇 < 𝑬𝒊)
radiação eletromagnética na forma de luz (fótons)  Explica o espectro discreto
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝑬𝒇 − 𝑬𝒊
Absorção de fótons: 𝑬𝒇 > 𝑬𝒊
Ao absorver luz na forma de fótons, 
o elétron passa para um nível de 
maior energia

EXCITAÇÃO
Emissão de fótons: 𝑬𝒇 < 𝑬𝒊
Ao emitir luz na forma de fótons, o 
elétron passa para um nível de 
menor energia

DECAIMENTO
𝑬𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = ∆𝑬 = |𝑬𝒇 − 𝑬𝒊|
Energia de Ionização → Menor energia necessária para
arrancar o elétron do átomo
SALTO 
QUÂNTICO
𝑬𝒏 = −
𝟏𝟑, 𝟔
𝒏𝟐
𝒆𝑽
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𝑬𝒏 = −
𝟏𝟑, 𝟔 𝒆𝑽
𝒏𝟐
∆𝐸 = |𝐸𝑓 − 𝐸𝑖| =
ℎ ∙ 𝑐
𝑓ó𝑡𝑜𝑛
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 =
ℎ ∙ 𝑐
𝐸𝑓 − 𝐸𝑖
http://www.if.ufrgs.br/fis02001/aulas/aula_espec.htm
1 – 2: 122 nm
1 – 3: 103
1 – 4: 97
1 – 5: 95
1 – 6: 94
Diagrama de níveis de energia para o átomo de Hidrogênio, Decaimentos e Séries especiais
• No diagrama de níveis de
energia ao lado as setas
coloridas indicam os possíveis
decaimentos do elétron.
• Em cada decaimento há
emissão de fóton.
http://www.if.ufrgs.br/fis02001/aulas/aula_espec.htm
14
Aplicação: O LASER ➔ Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Amplificação da (Intensidade) da Luz por Emissão Estimulada de Radiação
Aplicações do Laser: LASER POINTER / IMPRESSÃO / COMUNICAÇÃO POR FIBRA ÓPTICA / DEPILAÇÃO A LASER / PROCEDIMENTOS 
ESTÉTICOS E CORRETIVOS / LEITOR DE CÓDIGO DE BARRAS / LEITOR DE CDS E DVDS / CORTE E SOLDA DE METAIS / REMOÇÃO DE 
TATUAGEM / CIRURGIAS (OCULAR, RENAL, ...) / SISTEMA ANTIMÍSSEIS(?) / ... ... ... 
• Todo laser precisa de um princípio ativo – que pode ser sólido, como o rubi, gasoso, como o
dióxido de carbono (CO2) ou o He-Ne ou ainda, líquido (corantes) – mantido em vácuo dentro
de uma câmara fechada;
• Para que haja a emissão de luz, é preciso excitar os (elétrons dos) átomos do princípio ativo. O
estímulo pode ocorrer por eletricidade, pela luz de outro laser menos potente, por uma fonte
de luz ou por reações químicas;
• A tendência dos (elétrons dos) átomos excitados é voltar à estabilidade, com os elétrons
voltando ao seu estado fundamental;
• Neste decaimento, há a emissão de luz (fótons);
• Esses fótons também excitam os (elétrons dos) átomos vizinhos e, desta forma, a intensidade
da luz emitida pelo laser é amplificada;
• Uma dupla de espelhos exatamente paralelos ordena os fótons que circulam pela câmara,
formando um feixe de luz coerente, ou seja, as ondas passa a ter todas a mesma fase;
• Para que o laser produza luz, é preciso que o número de átomos no estado excitado seja
maior que o número de átomos no estado fundamental em que a luz não se difunde: isto é
chamado de Inversão de População.
FSQ 400 - Física Moderna
Phet – LASERS
Aplicativo: 
Lasers
https://phet.colorado.edu/sims/cheerpj/lasers/latest/lasers.html?simulation=lasers
https://phet.colorado.edu/sims/cheerpj/lasers/latest/lasers.html?simulation=lasers
FSQ 400 - Física Moderna
Aplicação: As TV´s de QLeds que usam Quantum dots (QDs / pontos quânticos)
https://www.samsung.com/br/tvs/qled-tv/highlights/ 08/11/2020
d
Exemplo de 
nanopartícula
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Perguntas:
https://www.samsung.com/br/tvs/qled-tv/highlights/ 12/02/2020
“Pontos Quânticos” (Quantum Dots, 
QD) usados em uma tela de TV
❶ Como explicar as infinitas
tonalidades formadas em uma
tela de TV de Qled ?
❷ Como os Qdots emitem luz ?
❸ O que faz a energia ser
quantizada ?
FSQ 400 - Física Moderna
https://images.samsung.com/is/content/samsung/p5/africa_pt/tvs/qled-tv/technology/2019-qled-technology-23-colour-volume-100-row-pc.mp4 08/11/2020
Aplicação: As TV´s de QLeds que usam Quantum dots (QDs / pontos quânticos)
https://images.samsung.com/is/content/samsung/p5/africa_pt/tvs/qled-tv/technology/2019-qled-technology-23-colour-volume-100-row-pc.mp4
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Como funcionam as TVs com tecnologia de pontos quânticos?
19/10/2016 às 14:53 - https://www.tecmundo.com.br/telas/110737-funcionam-tvs-tecnologia-pontos-quanticos.htm
Por dentro da mágica
O segredo dos pontos quânticos está em seu tamanho
Os pontos quânticos são basicamente cristais inorgânicos minúsculos que,
ao entrar em contato com a luz azul pura, conseguem emitir as outras
tonalidades necessárias para formar o branco limpo. Cada um dos QDs é
feito por materiais semicondutores capazes de provocar o chamado efeito
de confinamento quântico, que limita o espaço dos elétrons do elemento
que constitui os nanocristais.
Traduzindo: isso basicamente significa que os pontos quânticos não
precisam de elementos químicos para produzir cores diferentes – basta
que eles tenham tamanhos variados para que isso aconteça. Assim, os
cristais menores (de 3 nm) geram luz azul e os maiores (de 7 nm)
originam a vermelha – a verde fica em algum ponto entre os dois
extremos. Para comparação, vale dizer que o diâmetro do DNA presente
nas nossas células é de 1 nm.
Tamanho das partículas
Aplicação: As TV´s de QLeds que usam Quantum dots (QDs / pontos quânticos)
https://www.tecmundo.com.br/telas/110737-funcionam-tvs-tecnologia-pontos-quanticos.htm
FSQ 400 - Física Moderna
Exercício 1) 
Considere que o elétron do átomo de
hidrogênio no estado fundamental é
atingido por um fóton de comprimento
de onda 110 nm. Determine o número
“n” que caracteriza o nível de energia
do elétron logo após ser atingido pelo
fóton.
(a) 1 (b) 2 (c) 3
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 ∙ 10−25 𝐽. 𝑚 = 1,243 ∙ 10−6𝑒𝑉.𝑚
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝑬𝒇 − 𝑬𝒊
𝑬𝒏 = −
𝟏𝟑, 𝟔
𝒏𝟐
𝒆𝑽
FSQ 400 - Física Moderna
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 ∙ 10−25 𝐽. 𝑚 = 1,243 ∙ 10−6𝑒𝑉.𝑚
• Calculando a energia do fóton com o comprimento de onda
dado no enunciado:
𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 =
ℎ ∙ 𝑐
𝑓ó𝑡𝑜𝑛
=
4,14 ∙ 10−15 𝑒𝑉. 𝑠 ∙ 3 ∙ 108 𝑚. 𝑠
110 ∙ 10−9 𝑚
= 11,3 𝑒𝑉
• Calculando a energia do elétron após absorver o fóton:
𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 = 𝐸𝑖 + 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = −13,6 + 11,3 𝑒𝑉 = −𝟐, 𝟑𝟎 𝒆𝑽
aqui, energia do elétron continua negativa após absorver o fóton, o 
que indica que o elétron continua ligado (preso) ao núcleo do átomo.
• Calculando o número n que representa o novo estado (nível de
energia) do elétron:
𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 = −
13,6 𝑒𝑉
𝑛2
= −2,30 𝑒𝑉 → 𝑛 =
13,6
2,30
→ 𝒏 = 𝟐, 𝟒𝟑
É obrigatório que os números 
“n´s” que representam os níveis 
de energia (ou estados) sejam 
números inteiros
Exercício 1) 
Considere que o elétron do átomo de
hidrogênio no estado fundamental é
atingido por um fóton de comprimento
de onda 110 nm. Determine o número
“n” que caracteriza o nível de energia
do elétron logo após ser atingido pelo
fóton.
(a) 1 (b) 2 (c) 3
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Exercício 2) 
Calcule o comprimento de onda do fóton
emitido quando o elétron do átomo de
hidrogênio decai do terceiro estado
excitado para o estado fundamental.
𝒂 97,5 𝑛𝑚 𝒃 102,7 𝑛𝑚
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 ∙ 10−25 𝐽. 𝑚 = 1,243 ∙ 10−6𝑒𝑉.𝑚
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝑬𝒇 − 𝑬𝒊
𝑬𝒏 = −
𝟏𝟑, 𝟔
𝒏𝟐
𝒆𝑽
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Exercício 2) 
Calcule o comprimento de onda do fóton
emitido quando o elétron do átomo de
hidrogênio decai do terceiro estado
excitado para o estado fundamental.
𝒂 97,5 𝑛𝑚 𝒃 102,7 𝑛𝑚
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 ∙ 10−25 𝐽. 𝑚 = 1,243 ∙ 10−6𝑒𝑉.𝑚
Decaimento: o elétron passa de um nível de
maior energia para outro nível de menor
energia
Efinal < Einicial (𝑬𝒇 < 𝑬𝒊).
O processo de decaimento ocorre com 
emissão de fótons e a energia do fóton 
emitido é: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖
1) Calculando a energia do fóton emitido no decaimento:
• Estado inicial: 3º estado excitado → 𝑛𝑖 = 4
𝐸𝑖 = 𝐸4 = −
13,6
42
𝑒𝑉 = − 0,85 𝑒𝑉
• Estado final: estado fundamental → 𝑛𝑓 = 1: 𝐸𝑓 = 𝐸1 = − 13,6 𝑒𝑉
• Energia do fóton: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 = −13,6 − −0,85 𝑒𝑉
𝑬𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = 𝟏𝟐, 𝟕𝟓 𝒆𝑽 (emitido)
𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 =
ℎ ∙ 𝑐
𝑓ó𝑡𝑜𝑛
= 12,75 𝑒𝑉
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 =
4,14 ∙ 10−15 𝑒𝑉. 𝑠 ∙ 3 ∙ 108 𝑚. 𝑠
12,75 𝑒𝑉
= 𝟗, 𝟕𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟖 𝒎
2) Calculando o comprimento de onda do fóton emitido:
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ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 ∙ 10−25 𝐽. 𝑚 = 1,243 ∙ 10−6𝑒𝑉.𝑚
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝑬𝒇 − 𝑬𝒊
𝑬𝒏 = −
𝟏𝟑, 𝟔
𝒏𝟐
𝒆𝑽
Exercício 3) 
Calcule a velocidade do elétron após absorver
um fóton de comprimento de onda 82,5 nm.
Suponha que o elétron está, inicialmente, no
estado fundamental.
(a) 3,18.106 m/s (b) 7,15.105 m/s (c) 1,80.1015 m/s
FSQ 400 - Física Moderna
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 ∙ 10−25 𝐽. 𝑚 = 1,243 ∙ 10−6𝑒𝑉.𝑚
• Calculando a energia do fóton:
𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 =
ℎ ∙ 𝑐
𝑓ó𝑡𝑜𝑛
=
1,243 ∙ 10−6𝑒𝑉.𝑚
82,5 ∙ 10−9 𝑚
= 15,1 𝑒𝑉
• Calculando a energia do elétron após absorver o fóton:
𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 = 𝐸𝑖 + 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = − 13,6 + 15,1 𝑒𝑉 = +𝟏, 𝟒𝟕 𝒆𝑽 > 𝟎
aqui, energia do elétron é positiva após absorver o fóton, o que 
indica que o elétron está “livre” (não está mais ligado ao núcleo)
𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 = 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 =
1
2
𝑚 𝑣2 =
ℎ2
2 𝑚 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛
2
𝑣 =
2 ∙ 1,47 𝑒𝑉 ∙ 1,6 ∙ 10−19
𝐽
𝑒𝑉
9,11 ∙ 10−31 𝑘𝑔
= 𝟕, 𝟏𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟓
𝒎
𝒔
Calcule o comprimento de onda 
deste elétron!
Exercício 3) 
Calcule a velocidade do elétron após absorver
um fóton de comprimento de onda 82,5 nm.
Suponha que o elétron está, inicialmente, no
estado fundamental.
(a) 3,18.106 m/s (b) 7,15.105 m/s (c) 1,80.1015 m/s
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Exercício 4) 
Quando a luz proveniente de um laser
ilumina um átomo de hidrogênio, o elétron
do átomo é excitado do primeiro para o
terceiro estado excitado. Quando esta
mesma luz ilumina a superfície de um metal,
os elétrons emitidos por efeito fotoelétrico
têm velocidadede 5,56x105 m/s. Calcule a
frequência de corte do metal, em unidades
do S.I. (a) 3,96 x 1014 Hz (b) 6,16 x 1014 Hz
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 ∙ 10−25 𝐽. 𝑚 = 1,243 ∙ 10−6𝑒𝑉.𝑚
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝑬𝒇 − 𝑬𝒊
𝑬𝒏 = −
𝟏𝟑, 𝟔
𝒏𝟐
𝒆𝑽
𝑲𝒎𝒂𝒙 = 𝑬𝒇ó𝒕𝒐𝒏 − ∅ =
𝟏
𝟐
𝒎 𝒗𝟐
∅ = 𝒉 ∙ 𝒇𝒄 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝒄
𝒄 = 𝒇𝒄 ∙ 𝒄
Responda antes de começar a resolução:
Estado inicial é o 1º estado excitado: 𝑛𝑖 = ?
Estado final é o 3º estado excitado: 𝑛𝑓 = ?
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Exercício 4) 
Quando a luz proveniente de um laser
ilumina um átomo de hidrogênio, o elétron
do átomo é excitado do primeiro para o
terceiro estado excitado. Quando esta
mesma luz ilumina a superfície de um metal,
os elétrons emitidos por efeito fotoelétrico
têm velocidade de 5,56x105 m/s. Calcule a
frequência de corte do metal, em unidades
do S.I. (a) 3,96 x 1014 Hz (b) 6,16 x 1014 Hz
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 ∙ 10−25 𝐽. 𝑚 = 1,243 ∙ 10−6𝑒𝑉.𝑚
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝑬𝒇 − 𝑬𝒊
𝑬𝒏 = −
𝟏𝟑, 𝟔
𝒏𝟐
𝒆𝑽
𝑲𝒎𝒂𝒙 = 𝑬𝒇ó𝒕𝒐𝒏 − ∅ =
𝟏
𝟐
𝒎 𝒗𝟐
∅ = 𝒉 ∙ 𝒇𝒄 =
𝒉 ∙ 𝒄
𝒄
𝒄 = 𝒇𝒄 ∙ 𝒄
• Energia do fóton emitido pelo laser:
𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = ∆𝐸𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 = 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 =
13,6
𝑛𝑓
2 −
13,6
𝑛𝑖
2 𝑒𝑉
𝒏𝒊 = 𝟐 → 𝒏𝒇 = 𝟒
𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 =
13,6
42
−
13,6
22
= 2,55 𝑒𝑉 = 𝟒, 𝟎𝟖 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑱
• Energia cinética do fotoelétron:
𝐾𝑚𝑎𝑥 =
1
2
𝑚 𝑣2 =
1
2
9,11 ∙ 10−31 ∙ 5,65 ∙ 105 2 = 𝟏, 𝟒𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑱
• Função trabalho do material:
• Frequência de corte:
∅ = 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 − 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 4,08 ∙ 10
−19 − 1,45 ∙ 10−19 = 𝟐, 𝟔𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑱
∅ = ℎ ∙ 𝑓𝑐 → 𝑓𝑐 =
∅
ℎ
=
2,63 ∙ 10−19 𝐽
6,63 ∙ 10−34 𝐽. 𝑠
= 𝟑, 𝟗𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑯𝒛
Espectros: Aplicação na análise das estrelas
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Aplicação: Análise das estrelas 2 – Velocidade / Distâncias
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Aplicação: Lei de Hubble – velocidade de recessão / distância
𝑧 ≡
∆

=
𝑜𝑏𝑠 − 𝑟𝑒𝑠𝑡
𝑜𝑏𝑠
(𝟏)● Redshift / Blueshift parameter 𝒛:
𝑧 =
1 + Τ𝑣𝑟 𝑐
1 − Τ𝑣𝑟 𝑐
− 1 (𝟐)
e
𝒗𝒓 = 𝑯𝒐 ∙ 𝒅 (𝟑)
● Em 1911 descobriu-se que
todas as galáxias (com poucas
exceções) estão se afastando da
Via Láctea
● Edwin Hubble descobriu que a
velocidade radial dessas
galáxias, chamada de
velocidade recessional ( 𝒗𝒓 ),
aumenta com o aumento da
distância galáxia via Láctea
● A Lei de Hubble (equação 3 ao
lado) relaciona velocidade
recessional e distância 𝑑, e é
uma relação linear!
𝑣𝑟 = 𝑘𝑚/𝑠
𝑑 = 𝑀𝑝𝑐 𝑚𝑒𝑔𝑎𝑝𝑎𝑟𝑠𝑒𝑐
1 𝑝𝑎𝑟𝑠𝑒𝑐 = 3,26 𝑎𝑛𝑜𝑠 − 𝑙𝑢𝑧 )
● Para determinar a velocidade de recessão e a distância da galáxia, basta 
determinar o deslocamento das linhas do espectro discreto em relação a um padrão
● Pode-se mostrar que:
𝑯𝒐 = 71,9
𝑘𝑚
𝑠 ∙ 𝑀𝑝𝑐
𝑯𝒐 = Constante de Hubble 
(mede a velocidade de expansão 
do universo)
FSQ 400 - Física Moderna
• Energia cinética do elétron:
• Energia potencial do átomo:
• Energia total do elétron em um nível 𝑛:
• Energia do estado fundamental:
𝐾𝑛 =
1
2
𝑚 𝑣𝑛
2 =
1
𝜀𝑜
2 ∙
𝑚 ∙ 𝑒2
8 𝑛2 ∙ ℎ2
=
13,6 𝑒𝑉
𝑛2
𝐿 = 𝑚 𝑣𝑛 𝑟𝑛 =
𝑛 ℎ
2𝜋
= 𝑛 ℏ
𝑟𝑛 = 𝑛
2 ∙ 𝑎𝑜 ; 𝑎𝑜=
ℎ2𝜀𝑜
𝜋 𝑚 𝑒2
𝐸𝑛 = 𝐾𝑛 + 𝑈𝑛 →
𝐸1 = −13,6 𝑒𝑉
𝑈𝑛 = −
1
4 𝜋 𝜀𝑜
𝑒2
𝑟𝑛
= −
1
𝜀𝑜
2 ∙
𝑚 ∙ 𝑒2
4 𝑛2 ∙ ℎ2
=
−27,2 𝑒𝑉
𝑛2
𝐸𝑛 =
− 13,6 𝑒𝑉
𝑛2
A energia potencial do átomo é zero quando a distância 
entre o elétron e o próton é infinita ➔ elétron livre (não 
ligado ao núcleo)
Apêncide 1: Modelo Atômico de Bohr (1913) – Energia dos diferentes níveis