Introdução à Engenharia Econômica

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Engenharia Econômica
Prof. Guilherme T. Garbrecht
Aula 1
Organização da Aula
 Juros simples e compostos
 Taxas efetiva, nominal, global e 
real
 Séries de pagamentos
 Valor atual e montante
 Descontos 
 Sistema de amortização
 Objetivo da empresa é o de 
maximização dos seus lucros
 Recursos são escassos e 
precisam ser bem aplicados
 Engenharia econômica – possui 
técnicas que permitem comparar 
os resultados de diferentes 
alternativas de investimentos
Engenharia Econômica
Bloco 1
 Capital (C)
• Montante no momento inicial
 Tempo (n)
• Período que o capital é aplicado
 Juros (i)
• Remuneração > capital
 Montante (M)
• Valor do capital mais a 
remuneração
Conceitos Básicos
 Juros simples
• J = C . i . n
• M = C . (1 + n . i)
 Juros compostos
• J = C . [(1 + i)n – 1]
• M = C . (1 + i)n
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1) Um fazendeiro possuía um 
estoque de 2.000 sacas de soja e, 
na expectativa de alta de preço 
do produto, recusou a oferta de 
compra do estoque a R$ 1.000,00 
por saca. Três meses mais tarde, 
vendeu o estoque a R$ 1.100,00 
por saca. (...)
Juros Simples
(...) Sabendo que a taxa de juros 
simples de mercado é de 4% ao 
mês, verifique se o fazendeiro teve 
prejuízo.
 2.000 sacas x R$ 1.000,00 = 
2.000.000,00
 2.000 sacas x R$ 1.100,00 = 
2.200.000,00
 Rendimento = 200.000,00
 M = C . (1 + i . n)
 M = 200000 . (1+0,04.3)
 M = 200000 . (1,12)
 M = 2.240.000,00
 Diferença:
• 2.240.000,00
• 2.200.000,00
• 40.000,00 (perdeu)
 E se quiser achar a taxa da 
operação:
• J = C . i . n
• i = J / C . n
• i = 200000 / 2000000 . 3
• i = 0,033333
• i = 0,03333 x 100
• i = 3,33% ao mês
Juros Compostos
n Capital Juros Montante
1 10.000
10.000 x 
0,10 
=1.000
11.000
2 11.000
11.000 x 
0,10 
=1.100
12.100
3 12.100 1.210 13.310
4 13.310 1.331 14.641
3
 Fórmulas:
• J = C . [(1 + i )n -1]
• M = C . (1 + i)n
1) Em quanto tempo o capital de 
R$ 100,00 gera um rendimento 
de R$ 100,00, aplicado a uma 
taxa efetiva de 5% a.m.?
i = ?
 i = ?
 n = 14,2067
Bloco 2
 Taxa nominal x taxa efetiva
 Taxa equivalente
iq = (1 + it)q/t – 1
• Taxa de 0,5% a.m. para taxa 
anual?
Taxas de Juros
 Taxa equivalente – mês para ano
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,005)12/1 – 1
iq = (1,005)12 – 1
iq = 0,06167 ou 6,167%
4
 Sucessão de recebimentos ou de 
pagamentos previstos para 
determinado período de tempo
Fluxo de Caixa
100 100
0 ..... 4
1 2
200 250
100 100
0 ..... 4
1 2
200 250
Capital Montante
Juros
 Os cálculos financeiros precisam 
levar em conta a inflação do 
período, provocada por:
• aumento da demanda de um 
produto
• especulação de estoques
• excesso de circulação de 
dinheiro
Inflação
 É o ganho real considerando a 
perda monetária decorrente dos 
efeitos inflacionários do período
Taxa de Juros Real
 Considere uma aplicação 
financeira de R$ 10.000,00 
durante o período de 1 ano com 
taxa de juros de 12% ao ano. No 
mesmo período, a inflação foi de 
6,5%. Qual é a taxa efetiva da 
operação, considerando a perda 
pela inflação?
Bloco 3
5
 Demonstram os pagamentos ou 
recebimentos para a quitação de 
uma dívida ou para a formação 
de um capital em um 
determinado período de tempo
• Ex: empréstimos, 
financiamentos, compra de 
bens
Séries de Pagamentos ou 
Recebimentos  Quanto ao prazo
• Temporárias ou perpétuas
 Quanto ao valor
• Constantes ou variáveis
 Quanto à forma
• Imediata ou diferida
 Quanto à periodicidade
• Periódicas ou não periódicas
Séries
 Calcula o montante equivalente 
a uma série de pagamentos 
iguais a uma determinada taxa e 
tempo
0 ..... M
1 2 n
P1 P2 Pn
Fator de Acumulação de 
Capital
 Deseja-se ao final de cinco anos 
adquirir um novo complexo 
industrial, cujo valor estimado é 
de R$ 1.000.000,00. (...)
(...) Sabendo-se que poderão ser 
retirados anualmente dos lucros 
R$ 100.000,00, quanto se deverá 
tomar emprestado no futuro, caso 
a taxa de juros no mercado seja 
de 10% ao ano?
 1.000.000 – 610.510 = R$ 389.500,00
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 Calcula o valor das prestações de 
uma série de pagamentos ou 
recebimentos, considerando um 
montante futuro a uma taxa e 
tempo
0 ..... M
1 2 n
P1 P2 Pn
Fator de Formação de Capital  Quanto uma pessoa terá que 
aplicar num fundo de renda fixa, 
durante 5 anos, para que possa 
resgatar R$ 200.000,00 no final 
de 60 meses, sabendo que o 
fundo proporciona um 
rendimento de 2% ao mês?
 Pn = 1.753,59
 Calcula o valor atual de uma 
série de pagamentos ou 
recebimento, a uma taxa e 
tempo
0 .....
C 1 2 n
P1 P2 Pn
Fator de Valor Atual Para 
Série Uniforme
 Qual o valor que, financiado à 
taxa de 4% ao mês, pode ser 
pago ou amortizado em 5 
prestações mensais, iguais e 
sucessivas de R$ 100,00 
cada uma?
 C = 445,18
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 Calcula o valor dos pagamentos 
ou recebimentos de uma série a 
partir de um capital a uma taxa e 
tempo
0 .....
C 1 2 n
P1 P2 Pn
Fator de Recuperação de 
Capital
 Um empréstimo de 
R$ 30.000,00 é concedido por 
uma instituição financeira para 
ser liquidado em 12 prestações 
iguais, mensais e consecutivas. 
Sabendo- se que a taxa de juros 
é 3,5% ao mês, qual é o valor 
da prestação?
 Pn = 3.104,58
Bloco 4
 O desconto normalmente é 
realizado quando se conhece o 
valor futuro de um título e se 
quer determinar o seu valor 
atual
 Juros X descontos
Desconto
 Incide sobre o montante ou valor 
futuro
 É utilizado nas operações de 
descontos de duplicata, por isso 
chamado de desconto bancário 
ou comercial
 D = M . d . n
Desconto Simples
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 Qual o valor líquido creditado na 
conta de um cliente que 
corresponde ao desconto de uma 
duplicata no valor de 
R$ 34.000,00, com prazo de 41 
dias, sabendo-se que o banco 
está cobrando nessa operação 
uma taxa de 4,7% ao mês?
 D = M . d . n
 D = M . d . N
 D = 34.000 . (0,047/30) . 41
 D = 34.000 . 0,00156667. 41
 D = 34.000 . 0,0642333
 D = 2.183,93
 Valor líquido creditado =
 34.000 – 2.183,93
 31.816,07
 O desconto incide sobre 
montante ou valor futuro, 
deduzindo-se os descontos do 
período anterior
• D = M . [1 – (1-i)n]
 E o valor do título:
• C = M . (1-i)n
Desconto Composto  Uma duplicata no valor de 
R$ 28.000,00 com 120 dias para 
o seu vencimento é descontada a 
uma taxa de 2,5% ao mês, de 
acordo com o conceito de 
desconto composto. Qual é o 
valor líquido creditado na conta e 
o valor do desconto?
C = M . (1-i)n
C = 28.000 . (1 – 0,015) 4
C = 28.000 . 0,903688
C = 25.303,26
D = 2.696,74
Bloco 5
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 Amortização = devolução do 
capital tomado emprestado
 Sistemas de amortização = 
formas de realizar as 
amortizações dos empréstimos 
e financiamentos
Sistema de Amortização de 
Dívidas
 Sistema francês de amortização 
ou Sistema Price
 Os pagamentos são compostos 
por juros e capital (que é a 
amortização do principal)
 A fórmula utilizada é a do fator 
de recuperação do capital
Sistema de Prestação 
Constante (SPC)
juros
amortização
P
re
st
aç
ão
 O valor das prestação é o mesmo 
em todo o período
 Juros maiores no início e menores 
nas prestações finais
 Quais os valores das parcelas de 
juros e amortização referentes à 
1a prestação de um empréstimo 
de R$ 30.000,00, à taxa de 1% 
ao mês, para ser liquidado em 24 
prestações mensais e iguais?
T Saldo D. Amort. Juros Prestação
0 30.000,00
1 28.750,00 1.250,00 300,00 1.550,00
2 27.500,00 1.250,00 287,50 1.537,50
3 26.250,00 1.250,00 275,00 1525,00
4 25.000,00 1.250,00 262,50 1.512,50
24 1.250,00 1.250,00 12,50 1.262,50
 Amortização = 
• 30.000 / 24 = 1.250,00
 Os pagamentos são compostos 
por juros e capital (que é a 
amortização do principal)
 As amortizações periódicas são 
iguais
 A amortização é obtida 
dividindo-se o empréstimo pelas 
parcelas
Sistema de Amortização 
Constante (SAC)
10
juros
amortização
P
re
st
aç
ão
 As prestações vão decaindo com o 
passar do período
 Quais os valores das parcelas 
de juros e amortização 
referentes à 1a prestação de um 
empréstimo de R$ 30.000,00, à 
taxa de 1% ao mês, paraser 
liquidado em 24 prestações 
mensais e iguais?
T Saldo D. Amort. Juros Prestação
0 30.000,00
1 28.887,80 1.112,20 300,00 1.412,20
2 27.764,47 1.123,33 288,88 1.412,20
3 26.629,91 1.134,56 277,64 1.412,20
4 25.484,01 1.145,90 266,30 1.412,20
24 1.398,22 1,398,22 13,98 1.412,20
Referências de Apoio
 CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. 
D. de. Matemática Financeira 
Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2008.
 HUMMEL, P. R. V.; TASCHNER, M. R. B. 
Análise e decisão sobre 
investimentos e financiamentos: 
engenharia econômica: teoria e 
prática. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1995.
 RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. 
K. Elementos de Engenharia 
Econômica. Curitiba: Ibpex, 2011.
 VIEIRA SOBRINHO, J. D. 
Matemática Financeira. 7. ed. 9. 
reimpr. São Paulo: Atlas, 2008.