2023 EM1 2BIM Aula 3 - Domínio e imagem de uma função (ID 93037 - 497765)

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Domínio e imagem 
de uma função
1ª série
Aula 3 
2º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
● Domínio e imagem de 
gráficos de funções.
● Domínio e imagem de 
funções numéricas.
● Analisar gráficos de função e 
estabelecer o domínio e a 
imagem das funções.
● Analisar funções numéricas e 
estabelecer o domínio e a 
imagem das funções.
Conteúdos Objetivos
Para começar
Vamos recordar o que aprendemos até hoje: 
1. Considere o diagrama a seguir: 
0
1
2
3
4
5
1
3
9
27
81
243
36
64
25
Im(f)
a) Como pode ser expressa a lei
de formação da função f: A → B?
b) Por que 36, 64 e 25 não
pertencem a Im(f)?
Para começar
Resolução:
a) A lei de formação da função A → B será dada por: f x = 3x.
0
1
2
3
4
5
1
3
9
27
81
243
36
64
25
Im(f)
f 0 = 30
f 1 = 31
f 2 = 32
f 3 = 33
f 4 = 34
f 5 = 35
b) Porque não são imagens de nenhum elemento do domínio de f.
Foco no conteúdo
2. O gráfico ao lado representa a função f: 
D ⊂ ℝ → ℝ , sendo D = {a, b}. Sabendo-se 
que f x = − 3x + 2, determine:
a)Os valores de a e b.
b)O valor de x, quando f(x) = 0.
c)O valor de f(x), quando x = 0.
d)Onde estão localizados esses valores no 
gráfico. 
Foco no conteúdo
a) Os valores de a e b. 
Pontos notáveis:
A = (a, 5) ⇒ f a = 5 ⇒ 5 = − 3 ∙ a + 2 =
5 ⇒ − 3a = 5 − 2 ⇒ − 3a = 3 ⇒
⇒ a =
3
−3
⇒ a = − 1
B = b, − 7 ⇒ f b = − 7 ⇒ − 7 =
− 3 ∙ b + 2 ⇒ −7 + −2 = − 3b ⇒
⇒ − 9 = − 3b = − 9 ∙ −1 = − 3b ∙ −1 ⇒ 3b =
9 ⇒ b =
9
3
= 3
Correção
Foco no conteúdo Correção
b) O valor de x, quando f(x) = 0;
f x = − 3x + 2
f x = 0
0 = − 3x + 2 ⇒
3x = 2 ⇒ x =
2
3
c) O valor de f(x), quando x = 0;
f x = − 3x + 2
x = 0
f x = − 3 ∙ 0 + 2 ⇒
f x = 2
d) Onde estão localizados esses valores no gráfico?
Na prática
Quais das relações de em , cujos esboços gráficos apresentados a 
seguir, são funções? Justifique. 
a) b)
c)
d) e) f)
Na prática
Não é função de ℝ em ℝ, pois 
qualquer vertical conduzida 
pelos pontos (x, 0), com x > 
0, encontra o gráfico da 
relação em dois pontos.
a) É função de ℝ em ℝ, pois 
qualquer vertical conduzida 
pelos pontos da abcissa 
encontra o gráfico em um 
único ponto da ordenada.
b)
Correção
Na prática
Não é função de ℝ
em ℝ, pois a reta 
vertical conduzida 
pelo ponto A 
encontra o gráfico 
da relação em mais 
que dois pontos, e 
as retas verticais, 
por qualquer ponto 
do eixo das 
abscissas, não 
encontram o gráfico 
da relação.
c) d) É função de ℝ em ℝ, pois 
qualquer vertical conduzida 
pelos pontos da abcissa 
encontra o gráfico em um 
único ponto da ordenada.
Correção
Na prática
Não é função de ℝ em ℝ, pois 
qualquer vertical conduzida 
pelos pontos (x, 0), com –1 < 
x < 1, não encontra o gráfico 
da função.
e) É função de ℝ em ℝ, pois 
qualquer vertical conduzida 
pelos pontos da abcissa 
encontra o gráfico em um 
único ponto da ordenada.
f)
Correção
Aplicando
Resposta:
Basta traçar retas paralelas 
ao eixo das ordenadas. Caso 
uma delas intercepte o 
gráfico da função em mais de 
um ponto, esse gráfico não 
será uma função de ℝ em ℝ. 
Como saber se um gráfico de ℝ em ℝ é uma 
função?
Função Não é função
Foco no conteúdo
Domínio e imagem em representações 
cartesianas 
Domínio:
(D) É o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais
conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, o
conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico.
Imagem:
(Im) É o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas
horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f,
isto é, o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do
gráfico.
Foco no conteúdo
Exemplos:
D(f) = x ∈ ℝ ∖ − 3 ≤ x ≤ 3 e
Im(f) = y ∈ ℝ ∖ − 8 ≤ x ≤ 2
D(f) = x ∈ ℝ ∖ − 2 ≤ x ≤ 3 e
Im(f) = y ∈ ℝ ∖ − 2 ≤ y ≤ 2
D(f) = x ∈ ℝ ∖ − 3 < x < 3 e
Im(f) = 2, 3
Foco no conteúdo
Domínio de funções numéricas
Quando se estudam as funções numéricas ou funções de
variáveis reais, temos que analisar se todos os valores do
domínio são válidos para uma determinada função.
Exemplos:
f x =
1
x + 2
Para que f(x) seja verdadeira, temos que considerar que o valor de
x não pode ser igual a –2, pois o denominador da fração não pode
ser igual a zero.
D(f) = ℝ − −2
Foco no conteúdo
Exemplos:
g x = 2x + 3
Nesse caso, temos que considerar
que 2x + 3 ≥0, ou seja, x ≥ −
3
2
,
pois em ℝ , não consideramos as
raízes quadradas de números
negativos.
D g = x ∈ ℝ ∖ x ≥ −
3
2
h x =
x − 1
x2 − 1
O denominador da função h 
não pode ser igual a zero, 
portanto:
D h = ℝ − −1, 1
Na prática
Atividade 1:
Considerando que os gráficos a seguir são de funções, indique os
respectivos conjuntos domínio e imagem.
a) b) c)
Na prática
a) b) c)
Correção
D(f) = x ∈ ℝ ∖ − 10 ≤ x ≤ 10 e
Im(f) = y ∈ ℝ ∖ − 2 ≤ y ≤ 8
D(f) = x ∈ ℝ ∖ − 4 ≤ x ≤ 7 e
Im(f) = y ∈ ℝ ∖3 < y ≤1
D(f) = x ∈ ℝ∖ − 3 ≤ x ≤ 2 e
Im(f) = y ∈ ℝ ∖ − 1 ≤ y ≤ 2
Na prática
Atividade 2:
Determine o domínio das seguintes funções reais:
a) f(x) = 
1
x
b) g x = x − 1
c) h x =
x
x − 2
d) p x =
x + 2
x − 2
e) q x =
3
x − 1
Na prática
a) f(x) = 
1
x
D f = R∗
b) g x = x − 1
D g = x ∈ ℝ ∖x ≥1
c) h x =
x
x − 2
D h = ℝ − 2
Correção
d) p x =
x + 2
x − 2
D p = x ∈ ℝ ∖x ≥ − 2 e x ≠2
e) q x =
3
x − 1
D q = ℝ
O que aprendemos hoje?
● Verificamos se um gráfico no plano cartesiano é ou 
não é uma função.
● Determinamos os conjuntos domínio e imagem em 
representações cartesianas reais.
● Determinamos o domínio de funções de variáveis 
reais.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 3 – Elaborado pelo autor.
Slide 4 – Elaborado pelo autor.
Slide 5 – Elaborado pelo autor.
Slide 6 – Elaborado pelo autor.
Slide 7 – Elaborado pelo autor.
Slide 8 – Elaborado pelo autor.
Slide 9 – Elaborado pelo autor.
Slide 10 – Elaborado pelo autor.
Slide 11 – Elaborado pelo autor.
Slide 12 – Elaborado pelo autor.
Slide 14 – Elaborado pelo autor.
Slide 17 – Elaborado pelo autor.
Material
Digital
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	Slide 22
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