Pre_calculo_Modulo_2_Aula_2

Prévia do material em texto

PRÉ-CÁLCULO
Cristiane da Silva
Inequações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 „ Definir inequações e sistemas de inequações.
 „ Resolver inequações de 1º grau e 2º graus, produto, quociente e 
simultânea.
 „ Analisar graficamente um sistema de inequações.
Introdução
As inequações são relações entre expressões algébricas que envolvem 
uma ou mais desigualdades. Existem formas de resolvê-las, de modo 
que a solução final fique mais evidente. Estudaremos inequações de 1º 
e 2º graus.
Neste capítulo, você aprenderá a definição e os sistemas das ine-
quações, verificará como resolvê-las e analisá-las graficamente. Serão 
disponibilizados vários instrumentos para lhe auxiliar na compreensão 
dos diversos tipos de inequações propostos.
Inequações e sistemas de inequações
Para compreender as inequações, é importante relembrar as relações de desi-
gualdade, quando usamos os símbolos descritos a seguir.
Maior Maior ou igual Menor Menor ou igual
> ≥ < ≤
Lembre-se de que, quando a igualdade faz parte do símbolo — por exemplo, 
maior ou igual —, significa dizer que aquele número faz parte do intervalo. 
Para ficar mais claro, vejamos a explicação detalhada na reta numérica.
O número a é menor que b, escrito como a < b, se b – a é positivo. Logo, b é maior 
que a, o que se escreve como b > a. Se a é menor ou igual a b, escreve-se a ≤ b. Desse 
modo, b é maior ou igual a a e escreve-se b ≥ a.
Interpretação geométrica: se a < b, então a está à esquerda de b em uma reta 
real, como mostra a Figura 1, a seguir. Se a > b, a está à direita de b.
a d c b
Figura 1. Representação da reta real em que a < d, b > c, a < c, b > d.
Fonte: Safier (2003, p. 52).
Essas relações de desigualdade são apresentadas em um conjunto solução. 
Para definir corretamente o conjunto solução de determinado problema, preci-
samos saber se o conjunto de todos os números que satisfazem a desigualdade 
pertence a um intervalo aberto ou fechado. Exemplificaremos várias desigual-
dades e suas representações como intervalos. Observe a Figura 2, a seguir.
Note que, quando temos apenas o símbolo de > ou de <, o intervalo sempre 
será aberto, indicando que aquele valor não está dentro do conjunto solução. 
Quando o intervalo é aberto, representa-se utilizando parênteses (a,b), ou 
colchetes virados para fora ]a,b[. E, quando temos o símbolo ≥ ou apenas o 
símbolo de ≤, indica que aquele valor faz parte do conjunto solução. A re-
presentação do intervalo fechado é representada pelos colchetes virados para 
dentro, ou seja, é escrito como [a,b]. Além disso, na reta numérica, é comum 
utilizarmos uma bolinha fechada para representar o intervalo fechado e uma 
bolinha aberta (sem preenchimento) para representar o intervalo aberto, como 
mostra a Figura 3.
Inequações2
Figura 2. Desigualdade, notação e gráfico.
Fonte: Adaptada de Safier (2013, p. 41–42).
Desigualdade Notação Grá�co
a < x < b
a ≤ x ≤ b
a ≤ x < b
x ≥ a
x ≤ b
x > a
x < b
a < x ≤ b
(a, b)
[a, b]
(a, b]
[a, b)
(a, ∞)
[a, ∞)
(–∞, b)
(–∞, b]
(
(
(
[
[
[
)
)
]
)
a b
x
a b
x
a b
x
a b
x
a
x
a
x
b
x
b
x
]
]
Figura 3. Representação do intervalo aberto e fechado.
Fonte: Adaptada de Safier (2003, p. 53).
]a, b] = {x є ℝ : a < x ≤ b}
a b
Na Figura 3, temos a situação em que a não faz parte do conjunto solução 
e b faz parte, ou seja, o valor de x é maior que a e menor ou igual a b. É essa 
3Inequações
indicação de igualdade que faz com que b pertença ao conjunto solução e 
tenha a bolinha fechada na reta numérica.
De acordo com Safier (2003), uma inequação que envolve variáveis, em ge-
ral, não é verdadeira nem falsa, pois isso dependerá do valor da(s) variável(eis). 
Quando se trata de desigualdades com uma variável, um valor da variável que 
torne a inequação verdadeira é uma solução para a mesma.
Inequações de 1º e 2º graus, produto, 
quociente e simultânea
Uma inequação de 1º grau, ou inequação linear, é aquela que está na forma 
ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0 ou ax + b ≥ 0. Essas inequações são resolvidas 
isolando-se a variável de um modo semelhante ao que se faz em equações 
(SAFIER, 2003). 
Demana et al. (2009) destacam que resolver uma inequação em x significa 
encontrar todos os valores de x para os quais a inequação é verdadeira e que 
uma solução de uma inequação em x é um valor de x que satisfaz isso. O con-
junto de todas as soluções de uma inequação é o que se conhece por conjunto 
solução. O autor também traz uma lista de propriedades que são utilizadas 
para resolver inequações, como mostra a Figura 4.
Figura 4. Propriedades das inequações.
Fonte: Adaptada de Demana et al. (2009, p. 49).
Propriedades das inequações
Sejam u, v, w e z números reais, variáveis ou expressões algébricas e c um número real.
1. Transitiva
2. Adição
3. Multiplicação
Se u < v e v < w então u < w.
Se u < v e w < z então u + w < v + z.
Se u < v e c > 0 então uc < vc.
Se u < v e c < 0 então uc > vc.
Se u < v, então u + w < v + w.
As propriedades acima são verdadeiras se o símbolo < é substituído por ≤. Existem pro-
priedades similares para > e ≥.
Inequações4
Veja, a seguir, um exemplo de solução de uma inequação de 1º grau.
Resolva 5 – 3x > 4.
Como a ideia é isolar x, a constante que não está multiplicando x passa para o outro 
lado da desigualdade com sinal contrário:
–3x > 4 – 5
Resolve-se a operação de subtração:
–3x > –1
O número que está multiplicando x passa dividindo para o outro lado da desigual-
dade. Além disso, lembre-se de que, quando multiplicamos ambos os lados por (–1), 
inverte-se a desigualdade.
x <
1
3
Fonte: Safier (2003, p. 54).
Note que o sentido da igualdade foi invertido. Isso ocorre toda vez que 
mudamos o sinal de ambos os lados da desigualdade.
Uma inequação de 2º grau, ou inequação não linear, é aquela em que a 
variável x está elevada à segunda potência, assim como ocorre nas funções 
quadráticas. Safier (2003, p. 43) define as inequações não lineares como: 
[...] uma inequação na qual o lado esquerdo pode ser escrito como o produto 
ou quociente de fatores lineares (ou fatores quadráticos primos) pode ser 
resolvida via um diagrama de sinais. Se um tal fator jamais é zero em um 
intervalo, então é positivo ou negativo em todo o intervalo [...]. 
O autor também destaca os passos que devem ser seguidos para resolver 
tais inequações.
1. Determine os pontos nos quais cada fator é zero. Esses são chamados 
de pontos críticos.
2. Desenhe uma reta numerada e exiba os pontos críticos.
5Inequações
3. Determine o sinal de cada fator em cada intervalo; então, usando leis 
de multiplicação ou divisão, verifique o sinal de toda a expressão do 
lado esquerdo da inequação.
4. Escreva o conjunto solução.
Você pode saber mais, a partir de um exemplo resolvido, consultando o livro Pré-cálculo 
(SAFIER, 2003). Sugere-se a leitura do capítulo 6 desta obra.
Acompanhe o passo a passo de cada uma das inequações de 1º e 2º graus, 
produto, quociente e simultânea.
Veja, a seguir, um exemplo de inequação de 1º grau.
Resolva 3(x – 1) + 2 ≤ 5x + 6.
Utiliza-se a propriedade distributiva para resolver o lado esquerdo da desigualdade:
3x – 3 + 2 ≤ 5x + 6
3x – 1 ≤ 5x + 6
Como a ideia é isolar x, a constante que não está multiplicando x passa para o outro 
lado da desigualdade com sinal contrário:
3x ≤ 5x + 7
Agora, o 5x passa para o lado esquerdo da desigualdade com sinal contrário e 
resolve-se a operação:
–2x ≤ 7
O número que está multiplicando x passa dividindo para o outro lado da desigual-
dade. Além disso, lembre-se de que, quando multiplicamos ambos os lados por (–1), 
se inverte a desigualdade.
Inequações6
Veja, a seguir,um exemplo de inequação de 2º grau.
Resolva x² – 8x ≤ 20.
x² – 8x ≤ 20
x² – 8x – 20 ≤ 0
Resolvemos utilizando a fórmula de Bháskara.
∆ = b2 – 4ac → ∆ = 144
x = → x´ = 10 e x´´ = –2–b ± √∆
2a
Encontramos as raízes e podemos desenhar a reta numérica para fazer a análise do 
sinal, como mostra a Figura 5, a seguir. Podemos escrever a inequação x² – 8x – 20 ≤ 0 
de forma fatorada, ou seja, (x – 10)(x + 2) ≤ 0.
Sinal de x − 10
Sinal de x + 2
Sinal do resultado
− 2 0 10
−
−
+
−
+
−
+
+
+
Figura 5. Representação da inequação na reta numérica.
Fonte: Adaptada de Safier (2003, p. 56).
Os pontos críticos dividem a reta real nos intervalos (–∞, –2), (–2,10) e (10,∞). Em 
(–∞, –2), x – 10 e x + 2 são negativos; logo, o produto é positivo. Em (–2,10), x – 10 é 
negativo e x + 2 é positivo; logo, o produto é negativo. Em (10,∞), ambos os fatores são 
positivos; logo, o produto é positivo. A parte envolvendo a igualdade na inequação 
é satisfeita em ambos os pontos críticos, e a inequação é verdadeira quando (x + 2)
(x – 10) é negativo; assim, o conjunto solução é [–2,10].
x ≥ – ou x ≥ –3,57
2
O conjunto solução da desigualdade é o conjunto de todos os números reais maiores 
ou iguais a –3,5. Em notação de intervalo, o conjunto solução é [–3,5, +∞[.
Fonte: Demana et al. (2009, p. 50).
7Inequações
A seguir, veja um exemplo de inequação produto.
Resolva (x + 3)(5 – 2x) > 0.
(x + 3) > 0
x > –3
(5 – 2x) > 0
2x < 5
x < 5
2
Veja, a seguir, o quadro que apresenta o estudo de sinais dessa inequação.
Equação (x + 3) > 0
Equação (5 − 2x) > 0 + + −
− + −
−
−3
5
2
+ +
Conjunto solução
Portanto, o conjunto solução é S = {x є R| –3 < x < }
5
2 .
Fonte: Matex (2016, documento on-line).
Inequações8
Veja, a seguir, um exemplo de inequação quociente.
Resolva (3x – 6)(x + 1)
(21 – 7x) ≤ 0
.
(3x – 6) > 0
x > 
x > 2
6
3
(x + 1) > 0
x > –1
(21 – 7x) > 0
–7x > –21
x < 3
Veja o quadro a seguir, que apresenta o estudo de sinais dessa inequação.
Equação (3x − 6) > 0
Equação (x + 1) > 0
+
+
−
−
−
−
+
+
−
+
+
−
−1 2 3
+
+
+
+
Conjunto solução
Equação (21 − 7x) > 0
Portanto, o conjunto solução é S = {x є R|–1 ≤ x ≤ 2 ou x > 3}. 
Fonte: Matex (2016, documento on-line).
9Inequações
A seguir, veja um exemplo de inequação simultânea.
Resolva 1 < x² ≤ 4.
Nesse caso, resolveremos as duas inequações separadamente, e o conjunto solução 
será a interseção entre as duas soluções.
Iniciamos organizando o sistema: as constantes que estão do lado direito passam 
para o lado esquerdo da desigualdade.
x2 > 1
x2 ≤ 4
x2 – 1 > 0
x2 – 4 ≤ 0
Resolve-se cada uma das inequações.
x2 – 1 = 0
x2 = 1
x = ±1
x2 – 4 = 0
x2 = 4
x = ±2
Portanto, o conjunto solução é S = {x є R|–2 ≤ x < –1 ou 1 < x ≤ 2}.
Fonte: Procopio (2018, documento on-line).
Representação gráfica de um sistema de 
inequações
Agora que já sabemos como resolver inequações, verificaremos sua represen-
tação gráfica, conforme os exemplos a seguir.
Veja, a seguir, um exemplo de inequação de 1º grau.
Resolva a inequação e represente graficamente seu conjunto solução:
x
3
1
2
x
4
1
3
+ > +
Inequações10
O mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações é 12, então, teremos:
4x + 6 > 3x + 4
x + 6 > 4
x > –2
O conjunto solução é o intervalo ]–2, +∞[. Sua representação gráfica é mostrada 
na Figura 6, a seguir.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
x
Figura 6. Representação gráfica do conjunto solução da inequação x
3
1
2
x
4
1
3
+ > + .
Inequação simultânea
Resolva a inequação e represente graficamente seu conjunto solução:
–3 < ≤ 52x + 5
3
Multiplicação por 3:
–9 < 2x + 5 ≤ 15
Subtração por 5:
–14 < 2x ≤ 10
Divisão por 2:
–7 < x ≤ 5
O conjunto solução é o conjunto de todos os números reais maiores que –7 e menores 
ou iguais a 5. Em notação de intervalo, a solução é o conjunto ] –7,5]. Sua representação 
gráfica é mostrada na Figura 7.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
x
Figura 7. Representação gráfica do conjunto solução da inequação –3 < ≤ 52x + 5
3
.
11Inequações
Inequação quadrática
Resolva x² – x – 12 > 0.
Solução:
Em primeiro lugar, resolvemos a equação correspondente x² – x – 12 = 0.
x2 – x – 12 = 0
(x – 4)(x + 3) = 0
x – 4 = 0 ou x + 3 = 0
x = 4 ou x = –3
As soluções da equação de 2º grau são –3 e 4, porém essas não são as soluções da 
inequação original, porque 0 > 0 é falso. A Figura 8 mostra que os pontos sobre o gráfico 
de y = x² – x – 12, que estão acima do eixo horizontal x, são tais que os valores de x estão 
à esquerda de –3 ou à direita de 4. A solução da inequação original é ] –∞,–3[∪]4,+∞[. 
Figura 8. O gráfico de y = x² – x – 12 que cruza o eixo x em x = –3 e x = 4.
Fonte: Demana et al. (2009, p. 50-54).
DEMANA, F. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009. 
MATEX. Inequações produto e quociente. 2016. Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?time_continue=337&v=eGJFGldwPeI. Acesso em: 18 fev. 2019.
PROCOPIO, R. Inequação do segundo grau. 2018. Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?time_continue=1361&v=34MJuO8Q58o. Acesso em: 18 fev. 2019.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
SAFIER, F. Teorias e problemas de pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003.
Inequações12