Analise Matematica

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Conceito da Derivada
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da recta tangente ao gráfico da no ponto x0.
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y' , dy/dx  ou f ' (x).
 
A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por: 
Algumas derivadas básicas
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.    Sendo a, b, c e n são constantes.
 
· Derivada de uma constante
· Derivadas da potência
 Portanto 
Regras de Derivação
Nem sempre devemos calcular as derivadas directamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples.
Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.
Regras gerais param derivadas de funções
Multiplicação por escalar
(kf) '(x) = k f '(x)
Soma de funções
(f+g) '(x) = f '(x) + g '(x)
Diferença de funções
(f–g) '(x) = f '(x) – g '(x)
Produto de funções
(f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x)
Equação da recta tangente e recta normal 
Equação da recta tangente 
Para determinar a equação da recta que passa por um e único ponto e possui declive ′′𝒎’’, exemplo o ponto A no gráfico, é dada pela fórmula: 𝑦 – 𝑦0= 𝑚 (𝑥 – 𝑥0) essa equação vale para qualquer recta inclinada no espaço. 
· Vale ressaltar que 𝒇(𝒙) 𝑜𝑢 𝒇(𝒙𝟎) é mesma coisa que 𝒚 𝑜𝑢 𝒚𝟎, no sistema de coordenadas. 
Então, ⇔𝑦 =𝑦0+𝑓′(𝑥0).(𝑥 – 𝑥0).
Cálculo da recta tangente. 
Podemos calcular o coeficiente angular "𝒎” de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função 𝑓 em 𝑥=𝑐, (desde que o limite exista), então, a inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pela seguinte expressão: 
𝒎=lim𝑥→𝑥0 
Recta Normal
A Recta normal a uma curva em um determinado ponto é a reta perpendicular à reta tangente à curva no ponto, dada pela equação:
𝑦 – 𝑦0=−1^ 𝑚 (𝑥 – 𝑥0)
Derivadas de Funções Implícitas
Quando não é possível escrever uma equação do tipo F (x; y) = 0 na forma y = f(x) para derivá-la de maneira usual, pode-se determinar por intermédio do processo de derivação chamado derivação implícita.
· O processo de derivação implícita consiste:
1. Derivar os dois membros da equação em relação a x, considerando y como uma função dependente de x
2. Agrupar os termos que contém em um membro da equação.
3. Determinar 
Observação: É importante lembrar que se y = f(x), então ao longo do texto a derivada da função f(x) será denotada por: y’= = [f(x)].
Exercícios: 
1- Deriva implicitamente: se = x
· Derivando = x implicitamente em relação a x, obtém-se: .
· Isolando , tem-se =
2- Derivando implicitamente, determine a derivada indicada das funções:
a) 
b) 
a) Para derivar implicitamente x2 + y2 - 25 = 0 em relação a x, segue-se o processo:
· Derivar os dois membros da equação em relação a x, considerando y como uma função dependente de x.
· Agrupar os termos que contém y’= em um membro da equação.
· Determinar 
=
Derivada de uma função paramétrica 
Uma função com entrada unidimensional e um resultado multidimensional pode ser considerada como o desenho de uma curva no espaço. 
Esta função é chamada de função paramétrica, e sua entrada é chamada de parâmetro. 
Às vezes, em cálculo multivariável, precisamos encontrar uma função paramétrica que faça uma curva específica. Isto é chamado de parametrização da curva.
Seja:
Funções de mesma variável 𝑡,𝑡 ∈[𝑎,𝑏]. 
A cada valor de 𝒕 no intervalo [𝑎,𝑏] corresponde um único par 𝑃(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡)) no plano cartesiano. Se as funções 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑒 𝑦 = 𝑦(𝑡) forem contínuas, quando 𝑡 variar de 𝑎 até 𝑏, o ponto 𝑃 descreverá uma curva no plano.
As equações são chamadas de equações paramétricas da curva e 𝑡 é chamado de parâmetro. 
Derivada de uma função paramétrica 
A derivada de uma unção paramétrica e dada pela seguinte formula:
𝑦′(𝑥)=𝑦′(𝑡)^𝑥′(𝑡)
Exemplo:
Derivadas de ordem superior 
Sendo 𝑓 uma função, definimos 𝑓′′ (lê-se “𝑓 duas linhas") como sendo a derivada da derivada de 𝑓, ou seja 𝑓′′(𝑥)=(𝑓′(𝑥)) 
Analogamente, de define-se a terceira derivada de f(x): 𝑓′′′(𝑥)=(𝑓′′(𝑥)) 
Exemplo 
Consideremos a função f(x) = x2 + 3x 
Calcule a segunda derivada. 
Primeira derivada 𝑓′′(𝑥)= 2𝑥+3, já que a segunda derivada é 𝑓′′(𝑥)=(𝑓′(𝑥)), então teremos 𝑓′′(𝑥)=2 
Logo, para qualquer função teremos a seguinte formula: 𝑓(𝑛)(𝑥)=(𝑓(𝑛−1)(𝑥))′=𝑑𝑛𝑦^𝑑𝑥=(𝑑𝑛−1𝑦^𝑑𝑥𝑛−1)
Derivada da função exponencial 
Derivada da função exponencial, que é dada por: 𝑓(𝑥)= na qual 𝑏>0 𝑒 𝑏≠0 na qual é dada pela formula: 
𝑑 ^𝑥[]=.𝑙𝑛𝑏 . Caso particular das funções exponenciais 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥 em que a sua derivada é a própria função 𝑑𝑑𝑥[𝑒𝑥]=𝑒𝑥. 
Quando, por exemplo 𝑢=𝑔(𝑥) teremos uma função composta e dessa forma temos 
𝑑^𝑑𝑥[𝑒𝑢]=𝑒𝑢.𝑢′.
As maiorias das funções encontradas até agora eram dadas explicitamente, o que significa que os seus valores f (x) eram calculáveis facilmente. Por exemplo, se
Então f (x) pode ser calculado para qualquer valor de x: f (0) = 0 x 2 - 0 = 0, f (2) = 22 - 2 = 2, etc. Além disso, f (x) pode ser derivada aplicando simplesmente as regras de derivação:
	
Mas às vezes, uma função pode ser definida de maneira implícita. Por exemplo, considere a função f definida da seguinte maneira: para um x pertencente R, y = f (x) é definido como a solução da equação
Exercício resolvido. 
Considere o círculo γ de raio 5 centrado na origem. Suponha, como no Exercício 5.5, que se queira calcular a inclinação da reta tangente a γ no ponto P = (3,-4). Na sua forma implícita, a equação de é dada por.
Para calcular a inclinação da reta tangente, é preciso ter uma função que represente o círculo na vizinhança de P, e em seguida calcular a sua derivada neste ponto. Neste caso, ao invés de (5.18), é possível isolar y na equação do círculo. Lembrando que P = (3;-4) pertence à metade inferior do círculo, obtemos y = f (x) = - √25- x2.Logo, a inclinação é dada por
Essa inclinação foi obtida explicitamente, pois foi calculada a partir de uma expressão explícita para f.
Vamos apresentar agora um jeito de fazer que não passa pela determinação precisa da função f. De fato, suponha que a função que descreve o círculo na vizinhança de P seja bem definida: y = y (x) (ou y = f (x)). Já que o gráfico de f passa por P, temos y (3) = -4. Mas também, como a função y (x) representa o círculo numa vizinhança de 3, ela satisfaz
(Estamos assumindo que a última expressão define y (x), mas não a calculamos explicitamente.) Derivamos ambos lados dessa expressão com respeito a x: como (x2) ‘ = 2x, (y (x) 2) ‘ = 2y (x) y’ (x) (regra da cadeia) e (25) ‘ = 0, obtemos
Isolando y’ (x) obtemos
Assim, não conhecemos y (x) explicitamente, somente implicitamente, mas já temos uma informação a respeito da sua derivada. Como o nosso objectivo é calcular a inclinação da reta tangente em P, precisamos calcular y’ (3). Como y (3) = -4, a fórmula (5.20) dá:
Derivadas das funções exponenciais
Para obter uma fórmula para a derivada de funções exponenciais
Y =
Reescrevemos esta equação como
X= 
E diferenciamos implicitamente usando para obter que podemos reescrever usando y = como
Assim, mostrando que se for uma função diferençável, então sua derivada em relação a x é
No caso especial onde b = e temos 1n e = 1n, assim torna-se
Além disso, se u for uma função diferençável de x, então tem-se a partir de e 
Que
Derivadas de funções logarítmicas
Agora, obteremos fórmulas das derivadas para as funções logarítmicas e exponenciais e discutiremos as relações gerais entre e derivada de uma função um a um e a sua inversa.
O logaritmo natural desempenha um papel especial nocálculo que pode ser motivado diferenciando , onde b é uma base arbitrária. Para esta proposta, admitiremos que é diferenciável, e portanto contínua para x > 0. Também necessitaremos do limite 
Usando a definição de derivada, obtemos (com x em vez de v como variável).
Assim, 
Mas a partir da fórmula, temos = 1/1n b; logo, podemos reescrever esta fórmula de derivada como
No caso especial onde b = e, temos = 1n e = 1, logo esta fórmula torna-se
Assim, entre todas as possíveis bases, a base b = e produz a fórmula mais simples da derivada para . Esta é uma das razões por que a função do logaritmo natural é preferida sobre todos os logaritmos no cálculo.
Derivada das funções trigonométricas. 
Preposições
Derivada das funções trigonométricas inversas 
Proposição:
Tabela de derivadas 
A Regra de Bernoulli-l'Hôpital
Voltemos nessa seção ao estudo de alguns limites indeterminados da forma 0/0 ou , em que a derivada permite, às vezes, calcular um limite não trivial. Por exemplo, as técnicas vistas até agora não permitem calcular limites do tipo:
Sabemos que:
 existem, e se o segundo,
 for diferente de zero, então
Ora, sabemos que o caso em que:
 é o mais frequente: aparece a cada vez que se calcula a derivada de uma função f num ponto a:
Nesta seção veremos como derivadas são úteis para estudar limites da forma
 Quando
 Ou quando
A ideia principal é que limites indeterminados da forma 0/0 (ou) podem, em geral, ser estudados via uma razão de duas derivadas. Os métodos que aproveitam dessa idéia, descritos abaixo, costumam ser chamados de Regra de Bernoulli-l'Hôpital (denotado por B.-H. abaixo). 
Exemplo:
Considere o limite
 Já que lim e^x - 1 = e^0 - 1 = 0 e limx—›0 sen x = sen 0 = 0, esse limite é indeterminado da forma 0/0 . Mas observe que, dividindo o numerador e o denominador por x,
Dessa forma, aparecem dois quocientes bem comportados quando x—›0. O numerador,
 tende à derivada da função ex em x = 0, isto é, 1.
O denominador,
tende à derivada da função sen x em x = 0, isto é: 1, diferente de zero. Logo