Resumo_Integrais_Trigonomtricas

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CÁLCULO II - CCT1814
INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS (RESUMO)
Identidades Trigonométricas
sen2 x + cos2 x = 1 (1)
sen2 x = 1 − cos 2x2 (2)
cos2 x = 1 + cos 2x2 (3)
sen x cos x = 12 sen 2x (4)
tg2 x = sec2 x − 1 (5)
cotg2 x = cosec2 x − 1 (6)
Guia de Resolução
1.
∫
senn u du e
∫
cosn u du
Para resolver esse tipo de integral, manipulamos o integrando usando as identidades 1, 2 e 3 a fim de usar o método
de substituição simples.
• Quando n for ı́mpar, iremos fatorar o integrando da seguinte forma:
cosn x = (cos2 x)
n−1
2 · cos x
senn x = (sen2 x)
n−1
2 · sen x
Após isso, usamos a identidade 1.
• Quando n for par, iremos fatorar o integrando da seguinte forma:
cosn x = (cos2 x)n/2
senn x = (sen2 x)n/2
Após isso, usamos as identidades 2 e 3.
2.
∫
senm u cosn u du
Para resolver esse tipo de integral, manipulamos o integrando de forma similar ao primeiro caso.
• Quando pelo menos um dos expoentes for ı́mpar, fatoramos o termo com expoente ı́mpar (apenas um, caso os
dois sejam ı́mpares) da mesma maneira do caso anterior e utilizamos a identidade 1.
Exemplo:
sen5 x · cos2 x = (sen2 x)2 · sen x · cos2 x = (1 − cos2 x)2 · sen x · cos2 x
• Quando os dois expoentes forem pares, manipulamos da mesma forma do caso anterior e usamos as identidades
2 e 3.
Exemplo:
sen2 x cos4 x = sen2 x · (cos2 x)2 = 1 − cos 2x2 ·
(1 + cos 2x
2
)2
• Caso os expoentes sejam iguais, a identidade 4 pode ser usada para simplificar o cálculo.
senn x cosn x = (sen x cos x)n = (12 sen 2x)
n
1
3.
∫
tgn u du e
∫
cotgn u du
Para resolver esse tipo de integral, manipulamos o integrando da forma a seguir e utilizamos a identidades 5 e 6 para
resolver pelo método da substituição.
tgn x = tgn−2 x · tg2 x = tgn−2 x(sec2 x − 1)
cotgn x = cotgn−2 x · cotg2 x = cotgn−2 x(cosec2 x − 1)
4.
∫
secn u du e
∫
cosecn u du
• Para resolver esse tipo de integral, quando n for par, utilizaremos a fatoração a seguir e as identidades 5 e 6.
secn x = (sec2 x)
n−2
2 · sec2 x = (tg2 x + 1)
n−2
2 · sec2 x
cosecn x = (cosec2 x)
n−2
2 · cosec2 x = (cotg2 x + 1)
n−2
2 · cosec2 x
• Quando n for ı́mpar, devemos usar o método de integração por partes.
5.
∫
tgmu secn u du e cotgm u cosecn u du
• Quando m for ı́mpar ou n for par, preparamos o integrando para o método da substituição de forma similar aos
casos anteriores.
Se n for par, fatore o termo de forma idêntica ao caso anterior e mantenha o termo do expoente m.
Exemplo:
tg7 x sec6 x = tg7 x(sec2 x)2 sec2 x = tg7 x(tg2 x + 1)2 sec2 x
Se m e n forem ı́mpares, fatore os termos de forma que “sobre” um sec x tg x.
Exemplo:
tg7 x sec5 x = (tg2 x)3 tg x sec4 x sec x = (sec2 x − 1)3 sec4 x sec x tg x
• Quando m for par e n for ı́mpar, manipulamos o integrando para utilizar o método de integração por partes.
Quando for posśıvel/permitido utilizar, as fórmulas de redução ou recorrência simplificam bastante o cálculo.
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