Lista de Exercícios 1

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Ministério da Educação
Instituto Federal Sul-Rio-Grandense
Campus Pelotas
Cursos: Engenharia Elétrica / Engenharia Qúımica
Disciplina: Cálculo II
Profa. Lisiane Ramires Meneses
Prof. Odair Noskoski
Lista de Exerćıcios 01 - Funções de duas ou mais variáveis
1. Seja f(x, y) = x2y + 1. Determine:
(a) f(2, 1) = 5
(b) f(1, 2) = 3
(c) f(0, 0) = 1
(d) f(1,−3) =−2
(e) f(3a, a) = 9a3 + 1
(f) f(ab, a− b) = a3b2− a2b3 + 1
2. Seja f(x, y) = x2y + 1. Calcule:
(a) f(1,−3) = -2
(b) f(uv, u− v) =u3v2 − u2v3 + 1
(c)
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
= 2xy + hy
(d)
f(x, y + h)− f(x, y)
h
=x2
3. Seja g(x) = x senx. Determine:
(a) g
(
x
y
)
= xy sen
x
y
(b) g (xy) =xysenxy (c) g(x− y) = (x− y)sen (x− y)
4. Determine F (g(x), h(y)) se F (x, y) = x exy, g(x) = x3 e h(y) = 3y + 1. F (g(x), h(y)) =
x3 ex
3(3y+1)
5. Sejam g(u(x, y), v(x, y)) se g(x, y) = y sen (x2y), u(x, y) = x2y3 e v(x, y) = πxy. g(u(x, y), v(x, y)) =
πxysen (πx5y7)
6. Esboce o domı́nio de f .
(a) f(x, y) = ln(1− x2 − y2) D(f) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1}
(b) f(x, y) =
1
x− y2
D(f) = {(x, y) ∈ R2/x 6= y2}
(c) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 4 D(f) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≥ 4}
(d) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2) D(f) = {(x, y) ∈ R2/x29 + y
2 < 1}
(e) f(x, y) =
√
|x| − |y| D(f) = {(x, y) ∈ R2/− x ≤ y ≤ x ou x ≤ y ≤ −x}
(f) f(x, y) =
√
y +
√
36− x2 − y2 D(f) = {(x, y) ∈ R2/y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 36}
(g) f(x, y) = arcsen (x2 + y2 − 2) D(f) = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ x2 + y2 ≤ 3}
(h) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2 D(f) = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ 1}
(i) f(x, y, z) = ln (16− 4x2 − 4y2 − z2) D(f) = {(x, y, z) ∈ R3/x24 +
y2
4 +
z2
16 < 1}
(j) f(x, y, z) =
xyz
x+ y + z
D(f) = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y + z = 0}
(k) f(x, y) =
x− y
sinx− sin y
D(f) = {(x, y) ∈ R2/x+ y 6= π + 2kπ ou x− y 6= 2kπ, k ∈ Z}
(l) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 1 + ln(4− x2 − y2) D(f) = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ x2 + y2 < 4}
(m) f(x, y) = 4x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0 D(f) = {(x, y) ∈ R2/4x2 + y2 ≤ 1}
2
7. Esboce o gráfico de f , sendo:
(a) f(x, y) = 3
(b) f(x, y) = y + 1
(c) f(x, y) = x2
(d) f(x, y) =
√
x2 + y2
(e) f(x, y) =
√
9− x2 − y2
(f) f(x, y) = x2 − y2
(g) f(x, y) = 4− x2 − y2
(h) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 1
(i) f(x, y) = 1− x2, x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 1
(j) f(x, y) = sin y
(k) f(x, y) = arctan(x2 + y2)
3
8. Descreva como o gráfico de g é obtido a partir do gráfico de f .
(a) g(x, y) = f(x, y) + 2
Translada o gráfico de f duas unidades para cima.
(b) g(x, y) = −f(x, y)
Reflete o gráfico de f em relação ao plano xy.
(c) g(x, y) = 2f(x, y)
Amplia o gráfico de f verticalmente por um fator de 2.
(d) g(x, y) = 2− f(x, y)
Reflete o gráfico de f em relação ao plano xy e a seguir translada-o 2 unidades para cima.
(e) g(x, y) = f(x− 2, y)
Translada o gráfico de f duas unidades no sentido de
−→
i .
(f) g(x, y) = f(x+ 3, y − 4)
Translada o gráfico de f três unidades no sentido de −−→i e quatro unidades no sentido de−→
j .
4
9. Em cada parte, as questões se referem ao mapa de contorno na figura a seguir.
2
3
4
3
2 1 0
A
B
x
y
(a) O ponto A ou B é o mais alto? Explique seu racioćınio.
O ponto A é mais alto, uma vez que sua cota assume valor 3, enquanto a cota de B é 2.
(b) O ponto A ou B está na inclinação mais ı́ngreme? Explique seu racioćınio.
O ponto B, pois em sua vizinhança as curvas de ńıvel estão mais próximas.
(c) Iniciando em A e movendo-se de tal modo que y permanece constante e x cresce, a elevação
começará a crescer ou decrescer?
A função apresenta um crescimento e depois um decrescimento.
(d) Iniciando em B e movendo-se de tal modo que y permanece constante e x cresce, a elevação
começará a crescer ou decrescer?
A função apresenta um decrescimento.
(e) Iniciando em A e movendo-se de tal modo que x permanece constante e y decresce, a
elevação começará a crescer ou decrescer?
A função apresenta um crescimento e depois um decrescimento.
(f) Iniciando em B e movendo-se de tal modo que x permanece constante e y decresce, a
elevação começará a crescer ou decrescer?
A função apresenta um decrescimento.
10. Esboce o mapa de contorno da função mostrando, pelo menos, 5 curvas de ńıvel.
(a) f(x, y) = (y − 2x)2
Fazendo-se z = k (constante), obtemos: (y − 2x)2 = k → y − 2x = k2, com k ≥ 0.
(b) f(x, y) = x3 − y
Fazendo-se z = k (constante), obtemos: x3 − y = k → y = x3 − k.
(c) f(x, y) =
√
x+ y
Fazendo-se z = k (constante), obtemos:
√
x+ y = k → y = −
√
x+ k.
(d) f(x, y) = lnx2 + 4y2
Fazendo-se z = k (constante), obtemos: lnx2 + 4y2 = k → x = e
k
2
−2y2 .
(e) f(x, y) = yex
Fazendo-se z = k (constante), obtemos: yex = k → y = ke−x.
(f) f(x, y) = y secx
Fazendo-se z = k (constante), obtemos: y secx = k → y = k cosx.
(g) f(x, y) =
√
y2 − x2
Fazendo-se z = k (constante), obtemos:
√
y2 − x2 = k → y2 − x2 = k2, com k ≥ 0.
5
(h) f(x, y) =
y
x2 + y2
Fazendo-se z = k (constante), obtemos:
y
x2 + y2
= k → y = 0, para k = 0 e x2 +(
y − 12k
)2
=
(
1
2k
)2
, para k ≤ 0, com (x, y) 6= (0, 0).