numeros-reais

Prévia do material em texto

Números reais
Jaime Utria
Atenção: Este é um material preparação, portanto erros podem aparecer.
1 Valor Absoluto (ou módulo)
Seja x ∈R, definimos |x |= x se x > 0, |0|=0 e |x |=−x se x < 0. Note que
|x |=max{x ,− x },
em que max{a ,b } denota o maior entre a e b . Daí, temos que −|x | ≤ x ≤ |x |, para qualquer
x ∈R.
Teorema 1.1. Se x ,y ∈R, então |x + y | ≤ |x |+ |y | e |x · y |= |x | · |y |.
Teorema 1.2. Sejam a ,x ,δ ∈R. Tem-se que |x −a |<δ se, e somente se, a −δ < x < a +δ.
Demonstração. Por definição, temos que |x −a |=max{x −a ,−(x −a )}. Logo, |x −a |< δ
se, e somente se, x −a < δ e −(x −a )< δ(⇔ x −a >−δ), o que é equivalente a dizer que
a −δ < x < a +δ.
Existem conjuntos de números reais especiais, esses conjuntos são os chamados de interva-
los:
• [a ,b ] = {x ∈R : a ≤ x ≤ b } - intervalo fechado.
• (a ,b ] = {x ∈R : a < x ≤ b } - intervalo semiaberto à esquerda (fechado à direita).
• [a ,b ) = {x ∈R : a ≤ x < b } - intervalo semiaberto à direita (fechado à esquerda).
• (a ,b ) = {x ∈R : a < x < b } - intervalo aberto.
Observação. Com o auxilio de intervalos, dizer que |x − a | < δ é equivalente a dizer que
x ∈ (a −δ, a +δ). Essa notação, será muito útil quando estudemos o conceito de ‹‹limite››
de uma sequência.
1
2 Axioma de completitude
Antes de enunciar o axioma, precisamos de algumas definições:
Um conjunto X ⊆ R diz-se limitado superiormente quando existe algum b ∈ R, tal que
x ≤ b para todo x ∈ X . Neste caso diz-se que b é uma cota superior para X .
Um conjunto X ⊆ R diz-se limitado inferiormente quando existe algum b ′ ∈ R, tal que
x ≥ b ′ para todo x ∈ X . Neste caso diz-se que b é uma cota inferior para X .
Se X ⊆ R é limitado inferior e superiormente, diz-se que X é um conjunto limitado, ou
seja, se existe K > 0 tal que |x | ≤ K para todo x ∈ X . Todo conjunto não-vazio, limitado
superiormente, X ⊂R possui supremo b = sup X .
3 Exemplos
Exemplo 3.1. 10 é uma cota superior de S = {−3, 1/2, 4, 2}, também 5, ou 4 são cotas superiores.
Note que 4 ∈ S, neste caso 4 chama-se máximo de S.
Exemplo 3.2. 1 é uma cota superior de S = {1/2,2/3,3/4, . . .} = {n/(n + 1) : n ∈ N} pois
1> n/(n +1) para qualquer n ∈N. Note que 1 /∈ S.
Exemplo 3.3. 2 é uma cota superior do conjunto T = {x ∈Q : x ≥ 0, x 2 < 2}. Com efeito, se 2
não fosse uma cota superior de T , então 2< x para todo x ∈ T , mas como x ∈ T , temos que
x 2 < 2 absurdo!
4 Supremo e Ínfimo
Seja X ⊆R limitado superiormente e não-vazio, b ∈R chama-se o supremo de X quando é
a menor das cotas superiores de X . Notação: b = sup X .
Seja X ⊆R limitado inferiormente e não-vazio, b ′ ∈R chama-se o ínfimo de X quando é a
maior das cotas inferiores. Notação: b ′ = sup X .
Atenção: O supremo e/ou ínfimo de um conjunto X ⊆R não precisam pertencer ao con-
junto X . Caso eles pertençam ao conjunto X , são chamado de máximo e mínimo de X ,
respectivamente.
Uma definição equivalente para o ínfimo e o supremo é dada a continuação
Definição 4.1. M = supS se, e somente se,
i. M é uma cota superior para S , isto é,
x ≤M , para todo x ∈ S .
2
ii. Dado " > 0, existe x ∈ S , tal que x >M − ".
m = infS se, e somente se,
i. m é uma cota inferior para S , isto é,
x ≥m , para todo x ∈ S .
ii. Dado " > 0, existe x ∈ S , tal que x <m + ".
Agora, estamos prontos para enunciar o último axioma (o Axioma de Completitude) que
caracteriza aos números reais:
Todo subconjunto não-vazio, limitado superiormente, X ⊆R possui supremo M = sup X .
Observação. Também, todo subconjunto não-vazio, limitado inferiormente, X ⊆R possui
ínfimo m = inf X .
4.1 Q não é completo
Vamos mostrar que existe um subconjunto não-vazio dos racionais limitado superiormente
que não possui supremo emQ. Voltemos ao conjunto T do Exemplo 3.3. Já vimos que esse
conjunto é limitado superiormente, por exemplo, por 2.
Procedemos por redução ao absurdo: suponha que existe r = sup T ∈Q. Note que 1 ∈ T ,
logo 1< r < 2. Como r ∈Q então r 2 6= 2. Sem perda de generalidade podemos supor que
r 2 < 2, logo,
2+ r 2 < 4⇒
4r
2+ r 2
> r,
seja t = 4r2+r 2 ∈Q, afirmamos que t ∈ T . Com efeito,
t 2 =
16r 2
4+4r 2+ r 4
< 2 (verifique!).
Essa é uma contradição, pois sendo r = sup T , então t < r .
4.2 Propriedade Arquimediana
Teorema 4.1. O conjunto dos números naturais N não é limitado superiormente.
Demonstração. Vamos provar por contradição. Suponha que N é limitado superiormente.
ComoN 6= ;, pelo axioma de completitude existe b = supN. Por outro lado, b −1 não pode
ser cota superior deN (por quê?), portanto existe n ∈N tal que n > b −1, ou seja, n +1> b .
Mas n +1 ∈N, contrariando a hipótese de que b = supN.
3
Corolário 4.1. Dado x ∈R+, existe n ∈N tal que n > x .
Corolário 4.2. Dados x ∈R+ e y ∈R qualquer, existe um n ∈N tal que n x > y .
Um importante fato sobre o conjunto dos números reais é a não enumerabilidade. Isso
significa que o o conjunto dos irracionais (R\Q) é não enumerável, pois se fosse enumerável
então oR seria enumerável (já que união de conjuntos enumeráveis é enumerável). De fato,
temos os seguinte resultado.
Teorema 4.2. O conjunto R é não enumerável.
Antes de provar o Teorema anterior, vamos mostrar o seguinte lema:
Lema 4.1. O intervalo da reta (0,1) tem a mesma cardinalidade de R.
Demonstração. Note que é suficiente exibir uma bijeção entre (0,1) e R= (−∞,∞). Com
efeito, considere
f (x ) =



2− 1x se x ∈ (0,1/2)
−2+ 1x−1 se x ∈ [1/2,1)
Observação. Também, pode-se mostrar que [0,1] e (0,1) tem a mesma cardinalidade, para
ver isso, considere g (x ) = x para todo x ∈ (0,1), claramente, essa é uma função injetiva,
então |(0,1)| ≤ |[0,1]|. Além disso, se definimos h (x ) = 1/2+1/4x , x ∈ [0,1], de novo temos
uma função injetiva (na verdade, bijetiva!), logo |[0,1]| ≤ |(0,1)|. Portanto, |0,1|= |[0,1]|.
? Veja Definição 3.2 (c), do material complementar sobre conjuntos finitos e infinitos.
Exercício 4.1. Mostre que dado um intervalo fechado [a ,b ] e um ponto x ∈ [a ,b ] existe um
subintervalo [c ,d ]⊆ [a ,b ], tal que x /∈ [c ,d ].
Prova do Teorema 4.2. Pelo Lema 4.1 e a observação anterior (4.2), basta mostrar que [0,1] é
não enumerável. Vamos proceder por redução ao absurdo: suponha que [0,1] é enumerável,
então podemos colocar em uma correspondência um a um os elementos de [0,1] comN,
isto é, pondo f (n ) = xn , n ∈N, temos
[0,1] = {x1, x2, x3, . . .},
pelo Exercício 4.1, podemos concluir que existe um intervalo fechado I1 ⊆ [0,1] tal que x1 /∈ I1.
Aplicando de novo o Exercício 4.1, temos que existe um intervalo fechado I2 ⊆ I1 ⊆ [0,1]
tal que x2 /∈ I2, aplicando sucessivamente o Exercício 4.1, temos que existe um intervalo
fechado In+1 ⊆ In tal que xn /∈ In para todo n ∈N.
Desde que
⋂
In 6= ;, temos que existe y ∈ [0,1], y 6= xn para todo n ∈N (Contradição!).
4
http://www.professores.uff.br/jutriavaldes/wp-content/uploads/sites/196/2019/09/conj_finitos_infinitos.pdf
Definição 4.2. Um número diz-se irracional se ele não é racional.
Uma pergunta natural seria a seguinte se existem mais números irracionais que números
racionais, será que é possível achar um número racional sempre entre dois reais?
Antes de respondermos a essa pergunta, vamos a provar o seguinte resultado.
Lema 4.2. Dado x ∈R, existe n0 ∈N tal que
n0−1≤ x < n0.
Demonstração. Seja x ∈R e considere o conjunto X = {m ∈N : x <m} ⊂N. Pela proprie-
dade Arquimediana, temos que X 6= ;, logo pelo princípio da boa ordenação, temos que
existe n0 ∈ X menor elemento em X , isto é, n0 é o menor natural tal que x < n0. Portanto
n0−1≤ x < n0.
Teorema 4.3 (Densidade dos racionais). Dados x ,y ∈R com x < y , então existe um número
racional r ∈Q tal que x < r < y .
Demonstração. Assuma que x > 0. Como y − x > 0, temos pela propriedade Arquimediana
que existe n ∈N tal que 1/n < y − x , logo n x +1< n y . Por outro lado, pelo Lema 4.2 temos
que existe m ∈N tal que m −1≤ n x <m . Portanto, m ≤ n x +1< n y , assim n x <m < n y .
Finalmente r =m/n ∈Q é o racional pelo qual estávamos procurando.
5 ExemplosExemplo 5.1. Temos que
sup
n n
n +1
: n ∈N
o
= 1.
Com efeito,
i. Note que 1 é uma cota superior para
�
n
n+1 : n ∈N
	
, desde que 1> nn+1 para todo n ∈N.
ii. Dado " > 0, pela propriedade Arquimediana temos que existe n ∈N, tal que n > 1/",
ou seja, " > 1/n > 1/(n +1). Logo,
1− " < 1−1/(n +1) =
n
n +1
.
Exemplo 5.2. Temos que
inf{1/n : n ∈N}= 0.
Com efeito,
i. Note que 0 é uma cota inferior para {1/n : n ∈N}, desde que 1/n > 0 para todo n ∈N.
5
ii. Dado " > 0, pela propriedade Arquimediana temos que existe n ∈N, tal que n > 1/",
então 0+ " > 1/n.
Exemplo 5.3. Seja S um conjunto de números positivos, se infS > 0 demonstrar que:
sup{1/x : x ∈ S}= 1/m ,
onde m = infS > 0.
i Seja x ∈ S, então m ≤ x , logo 1/x ≤ 1/m. Ou seja, 1/m é uma cota superior para
{1/x : x ∈ S}.
ii. Dado " > 0, existe x ∈ S tal que
x <m + "m 2 (por quê?),
assim
1
m
−
1
x
<
"m 2
x m
= "
m
x
≤ ".
6
	Valor Absoluto (ou módulo)
	Axioma de completitude
	Exemplos
	Supremo e Ínfimo
	Q não é completo
	Propriedade Arquimediana
	Exemplos